Chuyên Đề Lượng Giác( Theo cấu trúc của bộ GD)

Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác
Lời nói đầu
“Chuyên đề lượng giác” là một trong năm chuyên đề
trong: “Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học” mà tác
giả đã viết. Dựa theo cấu trúc đề thi của bộ giáo dục và đào
tạo năm 2010, tác giả đã sưu tầm và nghiên cứu viết ra một
phần nhỏ “chuyên đề lượng giác” theo đúng cấu trúc của bộ.
Các bài tập trong cuốn chuyên đề này các bạn có thể tìm thấy
ở các cuốn sách tham khảo trên thị trường và đặc biệt là các
đề thi tuyển sinh đại học từ các năm đến bây giờ.
Chuyên đề không giải chi tiết từng bài toán mà chỉ là đáp
số và hướng dẫn. Tuy nhiên, chuyên đề có sự phân dạng và
phương pháp giải cụ thể cho từng dạng toán. Lời giải của bài
toán sẽ được tác giả giải trong từng buổi học.
Chuyên đề gồm 13 chuyên đề chính dựa theo cấu trúc
của bộ giáo dục và đào tạo.
Chuyên đề tác giả viết ra vừa là tài liệu để mang đi dạy
vừa có thể đưa cho các em để các em làm bài tập ở nhà.
Do lần đầu viết tài liệu nên chắc chắn không tránh khỏi
thiếu xót. Mong nhận đựơc sự góp ý từ đồng nghiệp và các
em.
Mọi góp ý xin liên hệ trực tiếp tác giả hoặc theo địa chỉ:

hoặc
Đà Nẵng, 20/04/2010
Đình Nguyên
1
Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác
CHUYÊN ĐỀ PT LƯỢNG GIÁC LUYỆN THI ĐẠI HỌC
I. Cơ sở lý thuyết:
ÔN TẬP 1 SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1.CÔNG THỨC CỘNG:
a. cos(x + y) = cosx.cosy - sinx.siny e.
( )
1 .
tgx tgy
tg x y
tgx tgy
+
+ =
−

b. cos(x – y) = cosx.cosy + sinx.siny f.
( )
1 .
tgx tgy
tg x y
tgx tgy
−
− =
+
c. sin(x – y ) = sinx.cosy - siny.cosx
d. sin(x + y) = sinx.cosy + siny.cosx
2.CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI:
a. sin2x = 2sinx.cosx c.
2
2
2
1
tgx
tg x

tg x
=
−
b. cos2x = cos
2
x – sin
2
x = 2cos
2
x – 1 = 1 – 2sin
2
x
3. CÔNG THỨC NHÂN BA:
a. cos3x = 4cos
3
x - 3cosx
b. sin3x = 3sinx – 4sin
3
x
4. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG:
a. cosx.cosy =
[ ]
1
cos( ) cos( )
2
x y x y+ + −
b. sinx.siny =
[ ]
1
cos( ) cos( )

2
x y x y− − +
c. sinx.cosy =
[ ]
1
sin( ) sin( )
2
x y x y+ + −
d. cosx.siny =
[ ]
1
sin( ) sin( )
2
x y x y+ − −
2
Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác
5. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH:
)cos cos 2cos .cos
2 2
)cos cos 2sin .sin
2 2
)sin sin 2sin .cos
2 2
)sin sin 2cos .sin
2 2
x y x y
a x y
x y x y
b x y
x y x y

c x y
x y x y
d x y
+ −
+ =
+ −
− = −
+ −
+ =
+ −
− =
6. CÔNG THỨC HẠ BẬC:
2
2
1 cos 2
)sin
2
1 cos 2
) os
2
x
a x
x
b c x
−
=
+
=
3
3

3sin sin 3
)sin
4
3cos cos3
)cos
4
x x
c x
x x
d x
−
=
+
=
7. CÔNG THỨC RÚT GỌN sinx + cosx
)sin cos 2 sin( ) 2 cos( )
4 4
)sin cos 2 sin( ) 2 cos( )
4 4
a x x x x
b x x x x
π π
π π
+ = + = −
− = − = − +
8. CÔNG THỨC TÍNH sinx, cosx, tgx theo
2
x
tg
Nếu đặt t =

2
x
tg
, ta được:
2
2
2
2
2
)sin
1
1
)cos
1
2
)
1
t
a x
t
t
b x
t
t
c tgx
t
=
+
−
=

+
=
−
9. CÔNG THỨC VỀ GÓC HƠN KÉM NHAU:( cos đối; sin bù; phụ chéo;
tg, cotg
π
)
a. Hai góc bù nhau b. Hai góc phụ nhau:
3
Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác
)sin sin( )
)cos cos( )
) ( )
)cot cot ( )
x x
x x
tgx tg x
gx g x
π
π
π
π
+ = −
+ = − −
+ = − −
+ = − −

)sin cos( )
2
)cos sin( )

2
) ( )
2
cot cot( )
2
x x
x x
tgx tg x
x x
π
π
π
π
+ = −
+ = −
+ = −
+ = −
c. Hai góc đối nhau: d. Hai góc hơn nhau
π
+) cosx = cos( - x) +) tgx = tg(x +
π
)
+) sinx = -sin(- x) +) cotgx = cotg(x +
π
)
+) tgx= - tg(-x) +) sinx = - sin(x +
π
)
+) cotgx = - cotg(-x) +) cosx = - cos(x +
π

)
II. Các dạng toán cơ bản:
Dạng 1: Phương trình đẳng cấp bậc nhất với sinx, cosx
♣ Phương pháp: asinx + bcosx = c (1)
+ Xét
cos 0
2
x
=
có phải là nghiệm của (1) hay không.
+ Đặt t =
tan
2
x
, đưa về phương trình bậc hai theo t.
♣ Bài tập:
1)
3
3sin3 3 cos9 1 sin 3x x x− = +
2)
cos7 .cos5 3sin 2 1 sin7 .sin5x x x x x− = −
3)
2 2(sin cos )cos 3 cos 2x x x x+ = +
4)
3sin( ) 4sin( ) 5sin(5 ) 0
3 6 6
x x x
π π π
− + + + + =
4

Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác
5)
3 3
4sin cos3 4cos sin3 3 3 cos4 3x x x x x+ + =
6)
3sin cos 1x x+ =
7)
sin 5cos 1x x+ =
8)
sin 3cos sin 3cos 2x x x x+ + + =
9)
(1 3)sin (1 3)cos 2x x+ + − =
10)
sin3 ( 3 2)cos3 1x x+ − =
Bài 11: Tìm m để phương trình
2sin cos 1x m x m+ = −
có nghiệm
;
2 2
x
π π
−
 
∈
 
 
Dạng 2: Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx, cosx
♣ Phương pháp:
2 2
sin sin cos cos 0a x b x x c x d+ + + =

+ Xét cosx = 0 có phải là nghiệm của (1) hay không
+ Chia hai vế của (1) cho cos
2
x. Ta được phương trình bậc hai theo tanx.
♣ Bài tập:
Bài 12: Giải phương trình
a.
2 2
sin 2sin cos 3cos 3 0x x x x+ + − =
b.
2
sin 3sin cos 1 0x x x− + =
13. Giải phương trình:
a.
2 2
5
4 3sin cos 4cos 2sin
2
x x x x+ = +
b.
2 2
5 3
3sin (3 ) 2sin( )cos( ) 5sin ( ) 0
2 2 2
x x x x
π π π
π
− + + + − + =
14. Giải phương trình:
a.

1
3sin cos
cos
x x
x
+ =
b.
1
4sin 6cos
cos
x x
x
+ =
15. GPT:
2 2
3
7sin 2sin 2 3cos 3 15 0x x x+ − − =
16. Tìm m để phương trình:
2
cos 4sin cos 2 0m x x x m− + − =
có nghiệm
0;
4
x
π
 
∈
 ÷
 
5

Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác
17. Cho phương trình:
( )
2 2
sin (2 2)sin cos 1 cosx m x x m x m+ − − + =
(1)
a. Giải (1) khi m = - 2
b. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
18. Cho phương trình
2 2
cos sin cos 2sin 0x x x x m− − − =
(1)
a. Giải phương trình (1) khi m = 1
b. Giải và biện luận theo m.
Dạng 3: Phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với sinx, cosx
♣ Phương pháp:
1)
3 2 2 3
sin sin cos sin cos cos 0a x b x x c x x d x+ + + =
2)
3 2 2 3
sin sin cos sin cos cos ( sin cos ) 0a x b x x c x x d x m x n x+ + + + + =
+ Xét cosx = 0 có phải là nghiệm của (1) hay không?
+ Chia hai vế của (1) cho cos
3
x. Ta đưa về phương trình bậc 3 theo tanx
♣ Bài tập:
Bài 19: Giải phương trình:
3 3 2
4sin 3cos 3sin sin cos 0x x x x x+ − − =

20. GPT:
3
sin sin 2 sin3 6cosx x x x+ =
21. GPT:
1 3sin 2 2tanx x+ =
22. GPT:
3
2 sin ( ) 2sin
4
x x
π
+ =
23. GPT:
3
8cos ( ) cos3
3
x x
π
+ =
24. GPT:
3
sin 2 sin
4
x x
π
 
− =
 ÷
 
25. GPT:

3
5sin 4 cos
6sin 2cos
2cos 2
x x
x x
x
− =
26. Cho phương trình
( ) ( ) ( ) ( )
3 2
4 6 sin 3 2 1 sin 2 2 sin cos 4 3 cos 0m x m x m x x m x− + − + − − − =
a. Giải (1) khi m = 2.
6
Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác
b. Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất
0;
4
x
π
 
∈
 
 
Dạng 4: Phương trình đối xứng và nửa đối xứng với sinx,
cosx
♣ Phương pháp:
1) a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0
2) a(sinx – cosx) + bsinxcosx +c = 0
Đặt t = sinx + cosx,

2; 2t
 
∈ −
 
( t = sinx – cosx)
biến đổi sinxcosx qua t. Đưa về phương trình bậc hai theo t
Chú ý: Nếu đặt t = sinx + cosx ( t = sinx – cosx) thì
2; 2t
 
∈ −
 
♣ Bài tập:
Bài 27: GPT:
( )
2 sin cos sin cos 1x x x x+ − =
28)
1 1 10
cos sin
cos sin 3
x x
x x
+ + + =
29)
3 3
3
1 sin cos sin 2
2
x x x+ + =
30.
2 3

sin cos 1 sin cos
3
x x x x+ = +
31. sinx – cosx + 7sin2x = 1
32.
( )
( )
1 2 sin cos 2sin cos 1 2x x x x+ − + = +
33.
sin 2 2 sin 1
4
x x
π
 
+ − =
 ÷
 
34. sin3x – cos3x + 2(sinx + cosx) = 1
35.
( )
1 1
2 2 sin 2 tan cot 0
sin cos
x x x
x x
 
+ + + + + =
 ÷
 
36. Tìm m để phương trình: m(sinx + cosx) + sin2x = 0 có nghiệm.

37. Tìm m để phương trình: sin2x + 4(cosx - sinx) = 0 có nghiệm.
38. Tìm m để: sin
3
x – cos
3
x = m có 3 nghiệm phân biệt
[ ]
0;x
π
∈
7
Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác
Dạng 5: Phương trình đối xứng với tan, cot
♣ Phương pháp: Sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi phương trình
về dạng đơn giản.
♣ Bài tập:
Bài 39:
( )
3 tan cot 4x x+ =
40.
( )
2 sin cos tan cotx x x x+ = +
41) 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x) 42. tan2x + cotx = 8cos
2
x
43) tanx = cotx + 2cot
3
2x 44) tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x)
45) 6tanx + 5cot3x = tan2x 46) 2(cot2x – cot3x) = tan2x + cot3x
47)

2
2tan cot 3
sin
x x
x
+ = +
48)
2
3tan3 cot 2 2tan
sin 4
x x x
x
+ = +
49)
1
2tan cot 2 2sin 2
sin 2
x x x
x
+ = +
50)
2
3tan6 2 tan 2 cot 4
sin8
x x x
x
− = −
51)
2
3tan 2 4tan3 tan 3 .tan 2x x x x− =

52.
2 3 2 3
tan tan tan cot cot cot 6x x x x x x+ + + + + =
53.
tan 2 tan 3 tan5 tan 2 .tan 3 .tan5x x x x x x− − =
54.
2 2 2 2
tan 2 .tan 3 .tan5 tan 2 tan 3 tan5x x x x x x= − +
55.
2 2 2
1 1 1
tan .tan 2 tan 2 .tan 4 tan 4 .tan8 tan8 2
2 4 4
x x x x x x x+ + = −
56.
2 2 2 2
tan 4tan 2 16tan 4 64cot 8 41x x x x+ + = +
57.
2 2 2
2 2 2
sin .cos2 sin 3 .cos6 sin 9 .cos18
0
cos 3 cos 9 cos 27
x x x x x x
x x x
+ + =
Dạng 6: Phương trình lượng giác đối xứng với sin
2n
x,
cos

2n
x
♣ Phương pháp: Sử sụng các công thức sau:
1.
4 4 2 2 2
1 3 3
sin cos 1 2sin .cos 1 sin 2 cos4
2 4 4
x x x x x x+ = − = − = +
8
Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác
2.
6 6 2
3 5 3
sin cos 1 sin 2 cos4
4 8 8
x x x x+ = − = +
3.
( )
2
8 8 2 4
1 cos4
1 1 cos4
sin cos 1 sin 2 sin 2 1
8 2 32
x
x
x x x x
−
−

+ = − + = − +
♣ Bài tập:
Bài 58: GPT:
4 4
sin cos cos2x x x+ =
59)
6 6
7
sin cos
16
x x+ =
60)
6 6 2
1
sin cos sin 2
4
x x x+ =
61)
6 6
sin cos cos4x x x+ =
62)
( )
6 6
16 sin cos 1 3sin 6 0x x x+ − + =
63. Cho phương trình:
6 6
2 2
sin cos
tan 2
cos sin

x x
m x
x x
+
=
−
(1)
a. GPT (1) khi
1
4
m =
b. Tìm m để (1) có nghiệm.
64. Cho phương trình:
4 4
1
sin cos sin 2
2
x x m x+ = −
(1)
a. GPT (1) với m = 1
b. Chứng minh rằng:
1m∀ ≥
phương trình (1) luôn có nghiệm
65. Cho phương trình:
( ) ( )
4 4 6 6 2
4 sin cos 4 sin cos sin 4x x x x x m+ − + − =
Tìm m để phương trình có nghiệm
66. Cho phương trình:
4 4 2

1
sin cos cos 2 sin 2 0
4
x x x x m+ − + + =
Tìm m để phương trình có nghiệm.
Dạng 7: Sử dụng công thức hạ bậc:
9
Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác
♣ Phương pháp:
Công thức sử dụng:
2
1 cos2
sin
2
x
x
−
=
;
2
1 cos2
cos
2
x
x
+
=
;
2
1 cos 2

tan
1 cos2
x
x
x
−
=
+
;
1
sin .cos sin 2
2
x x x=
3
3sin sin3
sin
4
x x
x
−
=
;
3
cos3 3cos
cos
4
x x
x
+
=

♣ Bài tập:
Bài 67:
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = −
68. a.
2 2 2 2
cos cos 2 cos 3 cos 4 2x x x x+ + + =
b.
2 2 2 2
3
cos cos 2 cos 3 cos 4
2
x x x x+ + + =
69. a.
2
4
cos cos
3
x
x =
b.
2
3 4
1 2cos 3cos
5 5
x x
+ =
70.
4 4
4

sin 2 cos 2
cos 4
tan .tan
4 4
x x
x
x x
π π
+
=
   
− +
 ÷  ÷
   
71.
4 4
7
sin cos cot .cot
8 3 6
x x x x
π π
   
+ = + −
 ÷  ÷
   
72.
4 4 4
9
sin sin ( ) sin ( )
4 4 8

x x x
π π
+ + + − =
73.
8 8 2
17
sin cos cos 2
16
x x x+ =
74. a.
3 3
2
cos .cos3 sin .sin3
4
x x x x+ =
b.
3 3 3
cos .cos3 sin .sin3 cos 4x x x x x+ =
75.
3 3 3
1
cos .cos3 sin .sin3 cos 4
4
x x x x x− = +
76.
3 3
4cos .sin 3 4sin .cos3 3 3cos4 3x x x x x+ + =
Dạng 8: Sử dụng công thức góc nhân đôi.
10
Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác

♣ Phương pháp:
Công thức:
( )
( )
2
2
sin 2 2sin cos
sin 2 sin cos 1
sin 2 1 sin cos
x x
x x x
x x x

=


= + −


= − −


;
2 2
2
2
cos2 cos sin
cos2 2cos 1
cos2 1 2sin
x x x

x x
x x

= −

= −


= −

2
2
2tan
tan 2
1 tan
cot 1
cot 2
2cot
x
x
x
x
x
x

=

−

−


=


;
2
2
2 2
2
tan ; sinx=
2 1
1 2
cos2 ; tan2x=
1 1
x t
t
t
t t
x
t t

=

+

−

=

+ −


♣ Bài tập:
77)
4 6
cos sin cos2x x x+ =
78)
cos2 5sin 2 0x x+ + =
79)
3
2sin cos2 cos 0x x x− + =
80)
4 6
cos cos2 2sin 0x x x− + =
81)
4cos 2cos2 cos4 1x x x− − =
82)
3 3
sin cos cos2x x x+ =
83.
2 2
1 sin sin cos sin 2cos ( )
2 2 4 2
x x x
x x
π
+ − = −
84)
sin 4 cos4 1 4(sin cos )x x x x− = + −
85)
2 cos 2tan

2
x
x+ =
86.
( ) ( )
1 tan 1 sin 2 1 tanx x x− + = +
87)
1 3tan 2sin 2x x+ =
88)
cot tan 2tan 2x x x= +
89)
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 tan 1 tan 2 1 tan 4 8x x x− − − =
90.
( ) ( ) ( )
2 2 2
cot 1 tan 1 tan 2 1 tan 4 8x x x x− − − =
91.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 tan 1 tan 2 1 tan 4 8cot8x x x x− − − =
Dạng 9: Sử dụng công thức góc nhân ba
♣ Phương pháp:
Công thức sử dụng:
3
sin3 3sin 4sinx x x= −
;
3
cos3 4cos 3cosx x x= −

11
Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác
♣ Bài tập:
Bài 92:
sin3 sin 2 5sinx x x+ =
93)
sin3 sin 2 2sin 0x x x+ + =
94)
2
cos3 cos 2 sin 2x x x+ + =
95)
2
sin3 sin 2cos 0x x x+ − =
96)
2 3
cos10 2cos 4 6cos3 .cos cos 8cos .cos 3x x x x x x x+ + = +
97)
6
32cos cos6 1x x− =
98)
( )
2
2sin3 1 4sin 1x x− =
99)
1 1
2sin3 2cos3
sin cos
x x
x x
− = +

100)
3 1 3
sin sin
10 2 2 10 2
x x
π π
   
− = +
 ÷  ÷
   
101)
sin 3 sin 2 .sin
4 4
x x x
π π
   
− = +
 ÷  ÷
   
102)
3
8cos cos3
3
x x
π
 
+ =
 ÷
 
103. Tìm a để:

2 2
cos4 cos 3 sinx x a x= +
có nghiệm
0;
12
x
π
 
∈
 ÷
 
104)
4
cos6 cos 4 cos2 3 4sinx x x x+ + = +
105)
4 2
cos6 1 8sin sin 2x x x= + +
106)
sin3 cos3 2(sin cos ) 1x x x x− + + =
107)
2cos3 sin 2 cos 0x x x+ + =
Dạng 10: Biến đổi tổng, hiệu thành tích
♣ Phương pháp:
Công thức sử dụng:
sin sin 2sin cos
2 2
x y x y
x y
+ −
+ =

;
sin sin 2cos sin
2 2
x y x y
x y
+ −
− =
cos cos 2cos cos
2 2
x y x y
x y
+ −
+ =
;
cos cos 2sin sin
2 2
x y x y
x y
+ −
− = −
♣ Bài tập:
Bài 108)
sin sin 2 sin3 1 cos cos2x x x x x+ + = + +
109)
1 cos cos2 cos3 0x x x+ + + =
110)
cos10 cos8 cos6 1 0x x x− − + =
111)
9sin 6cos 3sin 2 cos2 8x x x x+ − + =
112)

1 sin cos3 cos sin 2 cos2x x x x x+ + = + +
12
Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác
113)
1
sin 4 sin3 sin
6 2
x x x
π
 
− + + =
 ÷
 
114)
1
cos 2 2cos
3 2
x x
π
 
− + = −
 ÷
 
115)
2sin cos3 sin 2 1 sin 4x x x x+ + = +
116)
1
sin cos 2 tan
cos
x x x

x
+ + = +
Dạng 11: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
♣ Phương pháp:
Từ công thức biến đổi tổng, hiệu thành tích ta có công thức biến tích thành
tổng, hiệu
♣ Bài tập:
Bài 117:
( )
sin 3cos sin3 2x x x+ =
118)
4cos .sin sin cos2
6 6
x x x x
π π
   
+ − =
 ÷  ÷
   
119)
3 1
8sin
cos sin
x
x x
= +
120)
cos3 .tan5 sin7x x x=
121.
2 4

sin .sin sin 4 3 cos .cos cos 2
3 3 3 3
x x x x x x
π π π π
       
+ − + + + =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
122)
( )
2
2sin3 1 4sin 1x x− =
123)
cos2 cos4 cos6 cos .cos 2 .cos3 2x x x x x x
+ + = +
124)
3 3 1
cos .cos .cos sin .sin .sin
2 2 2 2 2
x x x x
x x− =
125)
3
5
sin 5cos .sin
2 2
x x
x=
126.
tan 3cot 4 sin 3 cosx x x x

 
− = +
 
Dạng 12: Phương trình dạng phân thức
♣ Phương pháp:
+ Đặt điều kiện cho mẫu số ( có thể giải ra nghiệm cụ thể hoặc giữ nguyên điều
kiện)
13
Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác
+ Áp dụng các phương pháp giải phương trình lượng giác thông thường. Suy ra
nghiệm
+ Kiểm tra điều kiện:
- Dùng phương pháp đại số
- Dùng phương pháp đường tròn đơn vị.
♣ Bài tập:
127)
1 1 2
cos sin 2 sin 4x x x
+ =
128)
2
cos 2sin cos
3
2cos sin 1
x x x
x x
−
=
+ −
129)

sin .cot 5
1
cos9
x x
x
=
130)
1 cos4 sin 4
2sin 2 1 cos4
x x
x x
−
=
+
131)
sin sin 2 sin 3
3
cos cos2 cos3
x x x
x x x
+ +
=
+ +
132)
( )
2
2sin cos4 cos2
0
sin cos sin 2
x x x

x x x
+ −
=
−
133)
2
1 2sin 3 2 sin sin 2
1
2sin cos 1
x x x
x x
+ − +
=
−
134)
6
3cos 4sin 6
3cos 4sin 1
x x
x x
+ + =
+ +
135)
2
1 cos 2
1 cot 2
sin 2
x
x
x

−
+ =
136)
tan3 .cot 1x x
= −
Dạng 13: Các bài toán tổng hợp:
137.
( )
( ) ( )
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x
−
=
+ −
138.
( )
3
sin cos sin 2 3 cos3 2 cos4 sinx x x x x x+ + = +
139.
3 cos5 2sin 3 cos2 sin 0x x x x− − =
140)
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2

x
x
x
π
π
 
+ = −
 ÷
 
 
−
 ÷
 
141.
3 3 2 2
sin 3 cos sin cos 3sin cosx x x x x x− = −
14
Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác
142.
( )
2sin 1 2cos sin 2 1 2cosx x x x+ + = +
143.
( ) ( )
2 2
1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x+ + + = +
144.
2
2sin 2 sin 7 1 sinx x x+ − =
145.
2

sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x
 
+ + =
 ÷
 
146.
( )
6 6
2 cos sin sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
+ −
=
−
147.
cot sin 1 tan tan 4
2
x
x x x
 
+ + =
 ÷
 
148.
cos3 cos2 cos 1 0x x x

+ − − =
149.
2 2
cos 3 cos2 cos 0x x x− =
150.
1 sin cos sin 2 cos2 0x x x x+ + + + =
151.
4 4
3
cos sin cos sin 3 0
4 4 2
x x x x
π π
   
+ + − − − =
 ÷  ÷
   
152.
( )
2
5sin 2 3 1 sin tanx x x− = −
153)
( ) ( )
2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x− + = −
154.
2
cos2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x

x x x
x
− = + −
+
155)
2
cot tan 4sin 2
sin 2
x x x
x
− + =
156.
2 2 2
sin tan cos 0
2 4 2
x x
x
π
 
− − =
 ÷
 
157. Tìm nghiệm thuộc khoảng
( )
0;2
π
của phương trình:

cos3 sin 3
5 sin cos2 3

1 2sin 2
x x
x x
x
+
 
+ = +
 ÷
+
 
158.
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = −
159. Tìm x thuộc đoạn
[ ]
0;14
nghiệm đúng phương trình:

cos3 4cos2 3cos 4 0x x x− + − =
160.
2
tan cot 4cos 2x x x= +
161.
2
sin 2 sin
4 4 2
x x
π π
   
− = − +

 ÷  ÷
   
162)
1
2sin sin 2
3 6 2
x x
π π
   
+ − − =
 ÷  ÷
   

15
Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác
163.
2
3sin cos2 sin 2 4sin cos
2
x
x x x x+ + =
164.
4 4
4(sin cos ) cos 4 sin 2 0x x x x+ + + =

165.
2
2
tan tan 2
sin( )

tan 1 2 4
x x
x
π
+
= +
+
166.
1 1
sin 2 sin 2cot 2
2sin sin 2
x x x
x x
+ − − =
167.
2
2cos 2 3 sin cos 1 3(sin 3 cos )x x x x x+ + = +
168.
5 3
sin cos 2 cos
2 4 2 4 2
x x x
π π
   
− − − =
 ÷  ÷
   
169.
sin 2 cos2
tan cot

cos sin
x x
x x
x x
+ = −
170.
2 2sin( )cos 1
12
x x
π
− =
171.
( ) ( )
1 tan 1 sin 2 1 tanx x x− + = +
172.
( )
2
1 2sin cos 1 sin cosx x x x+ = + +
173)
sin3 3 cos3 2sin 2x x x− =

174.
7 5
sin 2 3sin 1 2cos
2 2
x x x
π π
   
+ − − = +
 ÷  ÷

   
175.
sin 2 cos2 3sin cos 1 0x x x x+ − − + =
176.
cos2 2cos 3 0x x+ − =
177.
4 6
cos cos2 2sin 0x x x− + =
178.
sin 2 3 cos2 2sin3x x x− =
179.
2
sin 2 cos2 sin 2cos 0
2
x
x x x+ + − =
180.
( )
2
2 sin cos tan
4
x x x
π
 
− = −
 ÷
 
181.
4 4
sin cos 1 1

cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x x
x
x x
+
= −
182.
( )
2
4
4
2 sin 2 sin3
tan 1
cos
x x
x
x
−
+ =
183. Cho phương trình
2sin cos 1
(2)
sin 2cos 3
x x
a
x x
+ +
=
− +

a. Giải phương trình (2) khi
1
3
a =
b. Tìm a để phương trình (2) có nghiệm.
16
Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác
184.
2
1
sin
8cos
x
x
=
185)
( )
3 tan tan 2sin 6cos 0x x x x− + + =
186.
( )
2
2 3 cos 2sin
2 4
1
2cos 1
x
x
x
π
 

− − −
 ÷
 
=
−
187.
3 sin
tan( ) 2
2 1 cos
x
x
x
π
− + =
+
188.
( )
( )
2
cos cos 1
2 1 sin
sin cos
x x
x
x x
−
= +
+
189.
2

tan cos cos sin 1 tan tan
2
x
x x x x x
 
+ − = +
 ÷
 
190. Xác định m để phương trình:
( )
4 4
2 sin cos cos4 2sin 2 0x x x x m+ + + + =
Có ít nhất một nghiệm thuộc
0;
2
π
 
 
 
.
♥♥♥.III. Đáp số và hướng dẫn:
1.
2
18 9
7 2
54 9
k
x
k
x

π π
π π

= +



= +


2.
3
x k
x k
π
π
π
=



= − +

3. Vô nghiệm
4.
9
24 4 2
36 6 3
k
x

k
x
π α π
π α π

= + +



= − +


với
4 3
sin ,cos
5 5
α α
= =
5.
24 2 8 2
k k
x x
π π π π
−
= + ∨ = +
6.
2 tan 3
2
x
x k

π
= ∨ =
7.
2
2 tan
2 2 3
x
x k
π
π
= + ∨ = −
8.
2 2
6 2
x k x k
π π
π π
−
= + ∨ = +
9.
5
2 2
3 6
x k x k
π π
π π
= + ∨ = +
10.
2 2 2
6 3 9 3

k k
x x
π π π π
= + ∨ = +
11.
1 3m− ≤ ≤
17
Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác
12. a.
4
x k x k
π
π π
= ∨ = +
b.
1
tan
4 2
x k x
π
π
= + ∨ =
13.a.
3
tan
3 9
x k x
π
π
−

= + ∨ =
;b.
5
tan
4 3
x k x
π
π
−
= + ∨ =
14. a.
3
x k x k
π
π π
= ∨ = +
b.
tan 5
4
x k x
π
π
−
= + ∨ =
15. vô nghiệm 16.1<m<2 17)a.
4
x k
π
π
= +

b.
2 1m− ≤ ≤
18) a.
cot 3x k x
π
= ∨ = −
19.
4 3
x k x k
π π
π π
= + ∨ = ± +
20.
tan 2
3
x x k
π
π
= ∨ = ± +
21.
3 17
tan
4 4
x k x
π
π
− ±
= + ∨ =
22.
4

x k
π
π
= +
23.
6 3
x k x k x k
π π
π π π
= ∨ = + ∨ = +
24.
4
x k
π
π
−
= +
25. Vô nghiệm 26. a.
4
x k
π
π
= +
b.
3
1
4
m m≥ ∨ <
27.
2 2

cos
4 2
x
π
−
 
− =
 ÷
 
28.
2 19
cos
4
3 2
x
π
−
 
− =
 ÷
 
29.
2 2
2
x k x k
π
π π π
−
= + ∨ = +
30.

2
4
x k
π
π
= +
31.
3 2
2 2 cos
2 4 7
x k x k x
π π
π π π
 
= − + ∨ = + ∨ + =
 ÷
 
32.
3
2 2 2
2 4
x k x k x k
π π
π π π π
= − + ∨ = + ∨ = +
33.
2 2
4 2
x k x k x k
π π

π π π π
= + ∨ = + ∨ = +
34.
2
4
x k
π
π
= +
35.
4
x k
π
π
−
= +
36.
m∀
37.
4 2 1 4 2 1m− − ≤ ≤ +
38.
2
1
2
m< <
39.
6 3
x k x k
π π
π π

= + ∨ = +
40.
2
4
x k
π
π
= +
18
Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác
41.
4
x k
π
π
= +
42.
5
2 2 24 2 24 2
k k k
x x x
π π π π π π
= + ∨ = + ∨ = +
43.
4 2
k
x
π π
= +
44.

4 2 8 2
k k
x x
π π π π
= + ∨ = +
45.
1 1
cos2 cos2
3 4
x x
−
= ∨ =
46. vô nghiệm 47.
3
x k
π
π
= +
48.
1
cos2
4
x
−
=
49.
3
x k
π
π

= ± +
50.
1
cos4
4
x
−
=
51.
2
3
tan
5
x k x
π
= ∨ =
52.
4
x k
π
π
= +
53.
3
k
x
π
=
54.
5

k
x
π
=
55.
4
x k
π
π
= +
56.
4 2
k
x
π π
= +
57.
26 28
k k
x x
π π
= ∨ =
58.
x k
π
=
59.
6 2
k
x

π π
= ± +
60.
4 2
k
x
π π
= +
61.
2
k
x
π
=
62.
5
2 12 12
k
x x k x k
π π π
π π
= ∨ = + ∨ = +
63. a. vô nghiệm b.
1
4
m >
64. a.
4
x k
π

π
= +
65.
9
1
16
m
−
≤ ≤
66.
2 0m
− ≤ ≤
67.
2 9
k k
x x
π π
= ∨ =
68. a.
4 2 10 5
k k
x x
π π π π
= + ∨ = +
b.
2
8 4 5 5
k
x x k x k
π π π π

π π
= + ∨ = ± + ∨ = ± +
69. a.
3
3
4 2
k
x k x
π π
π
= ∨ = ± +
b.
2 1 21
5 cos
5 4
x
x k
π
−
= ∨ =
70.
2
k
x
π
=
71.
12 2
k
x

π π
= ± +
72.
2 6
cos2
2
x
− +
=
73.
8 4
k
x
π π
= +
74. a.
8
x k
π
π
= ± +
b.
3
k
x
π
=
75.
24 12
k

x
π π
= +

76.
24 2 8 2
k k
x x
π π π π
−
= + ∨ = +
77.
x k
π
=
78.
5
2 2
6 6
x k x k
π π
π π
− −
= + ∨ = +
79.
2 2
4
x k x k
π
π π

−
= ∨ = +
19
Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác
80.
x k
π
=
81.
2
2
x k x k
π
π π
= + ∨ =
82.
3
2 2
2
x k x k
π
π π
= ∨ = +
83.
x k
π
=
84.
4
x k

π
π
= +
85.
2
2
x k
π
π
= +
86.
4
x k x k
π
π π
−
= ∨ = +
87.
4
x k
π
π
−
= +
88.
tan 1 2 tan 1 2x x= − ± ∨ = ±
89.
7
k
x

π
=
90.
32 8
k
x
π π
= +
91.
4
x k
π
π
= +
92.
x k
π
=
93.
x k
π
=
94.
2x k
π
=
95.
5
2 2
2 6 6

x k x k x k
π π π
π π π
= + ∨ = + ∨ = +
96.
2x k
π
=
97.
1
cos2
2 4
x k x
π
π
−
= + ∨ =
98.
2 2
14 7 10 5
k k
x x
π π π π
= + ∨ = +
99.
4 2 12 12
k
x x k x k
π π π π
π π

−
= + ∨ = + ∨ = +
100.
3 14 4
2 2 2
5 5 5
x k x k x k
π π π
π π π
= + ∨ = + ∨ = +
101.
4 4
x k x k
π π
π π
−
= + ∨ = +
102.
2
6 3
x k x k x k
π π
π π π
−
= + ∨ = + ∨ =
103. 0 < a < 1 104.
x k
π
=
105.

x k
π
=
106.
2 2
2
x k x k
π
π π
= ∨ = +
107.
5 3
2 2 sin
2 6 6 4
x k x k x k x
π π π
π π π
− −
= + ∨ = + ∨ = + ∨ =
108.
2 5
2 2 2
2 3 6 6
x k x k x k x k
π π π π
π π π π
= + ∨ = ± + ∨ = + ∨ = +
109.
2
2 3 3

k
x k x
π π π
π
= + ∨ = +
110.
3 4
k k
x x
π π
= ∨ =
111.
2
2
x k
π
π
= +
112.
7
2 2 2
3 6 6
x k x k x k x k
π π π
π π π π
−
= ∨ = ± + ∨ = + ∨ = +
113.
2
2

18 3 6
k
x x k
π π π
π
= + ∨ = +
114.
2
2
3 2
x k x k
π π
π π
−
= + ∨ = +
20
Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác
115.
5 2
2 2
6 6 3
k
x k x k x
π π π
π π
= + ∨ = + ∨ =
116.
2x k
π
=

117.
6
x k
π
π
= +
118.
2
5
k
x
π
=
119.
12 2 6
k
x x k
π π π
π
−
= + ∨ = +
120.
20 10
k
x
π π
= +
121.
2
18 3

k
x
π π
= +
122.
2
14 7 10 5
k k
x x
π π π π
= + ∨ = +
123.
x k
π
=
124.
1
sin
4 2 2
x k x k x
π π
π π
− − −
= + ∨ = + ∨ =
125.
1 21
2 cos
10
x k x
π

− ±
= ∨ =
126.
4 2
3 9 3
k
x k x
π π π
π
−
= + ∨ = +
127.
5
2
6 6
x k x k
π π
π π
= + ∨ = +
128.
2
18 3
k
x
π π
−
= +
129.
20 10
k

x
π π
= +
130. vô nghiệm 131.
2
6 3
x k x k
π π
π π
−
= + ∨ = +
132.
4
x k
π
π
−
= +
133.
3
2
4
x k
π
π
= +
134.
2 2
2
x k x k

π
α π α π
= + + ∨ = +
với
4 3
sin ,cos
5 5
α α
= =
135.
4
x k
π
π
−
= +
136.
4
x k
π
π
= ± +
137.
2
18 3
k
x
π π
−
= +

138.
2
2
6 42 7
k
x k x
π π π
π
−
= + ∨ = +
139.
18 3 6 2
k k
x x
π π π π
−
= + ∨ = +
140.
5
4 8 8
x k x k x k
π π π
π π π
− −
= + ∨ = + ∨ = +
141.
2
4 2 3
k
x x k

π π π
π
= + ∨ = +
142.
2
2
3 4
x k x k
π π
π π
= ± + ∨ = +
143.
2 2
4 2
x k x k x k
π π
π π π
−
= + ∨ = + ∨ =
144.
2 5 2
8 4 18 3 18 3
k k k
x x x
π π π π π π
= + ∨ = + ∨ = +
21
Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác
145.
2 2

2 6
x k x k
π π
π π
−
= + ∨ = +
146.
5
2
4
x k
π
π
= +
147.
5
12 12
x k x k
π π
π π
= + ∨ = +
148.
2
2
3
x k x k
π
π π
= ∨ = ± +
149.

2
k
x
π
=
150.
2
2
4 3
x k x k
π π
π π
−
= + ∨ = ± +
151.
4
x k
π
π
= +
152.
5
2 2
6 6
x k x k
π π
π π
= + ∨ = +
153.
2

3 4
x k x k
π π
π π
−
= ± + ∨ = +
154.
4
x k
π
π
= +
155.
3
x k
π
π
= ± +
156.
2
4
x k x k
π
π π π
−
= + ∨ = +
157.
5
3 3
x x

π π
= ∨ =
158.
9 2
k k
x x
π π
= ∨ =
159.
3 5 7
2 2 2 2
x x x x
π π π π
= ∨ = ∨ = ∨ =
160.
4 2 8 2
k k
x x
π π π π
−
= + ∨ = +
161.
2
4 3
x k x k
π π
π π
= + ∨ = ± +
162.
2

2
3 2
x k x k
π π
π π
= + ∨ = +
163.
7
2 2 2
2 6 6
x k x k x k
π π π
π π π
−
= + ∨ = + ∨ = +
164.
4
x k
π
π
−
= +
165.
5
2 2
4 6 6
x k x k x k
π π π
π π π
−

= + ∨ = + ∨ = +
166.
4 2
k
x
π π
= +
167.
2
3
x k
π
π
= +
168.
2
2
3 3 2
k
x x k x k
π π π
π π π
= + ∨ = + ∨ = − +
169.
2
3
x k
π
π
= ± +

170.
4 3
x k x k
π π
π π
= + ∨ = +
171.
4
x k x k
π
π π
−
= ∨ = +
172.
5
2 12 12
x k x k x k
π π π
π π π
−
= + 2 ∨ = + ∨ = +
22
Đà Nẵng_Tháng 04- 2010 Chuyên đề lượng giác
173.
4 2
2
3 15 5
k
x k x
π π π

π
= + ∨ = +
174.
2
2 3
x k x k
π π
π π
= + ∨ = ± +
175.
5
2 2
6 6
x k x k
π π
π π
= + ∨ = +
176.
2x k
π
=
177.
x k
π
=
178.
4 2
2
3 15 5
k

x k x
π π π
π
−
= + ∨ = +
179.
5
2 2
6 6 4
x k x k x k
π π π
π π π
= + ∨ = + ∨ = +
180.
2
2
4 3
x k x k
π π
π π
= + ∨ = ± +
181.
6
x k
π
π
= ± +
182.
2 5 2
18 3 18 3

k k
x x
π π π π
= + ∨ = +
183. a.
4
x k
π
π
−
= +
, b.
1
2
2
a
−
≤ ≤
184.
3 5 7
2 2 2 2
8 8 8 8
x k x k x k x k
π π π π
π π π π
= + ∨ = + ∨ = + ∨ = +
185.
3
x k
π

π
= ± +
186.
( )
2 1
3
x k
π
π
= + +
187.
tan 2 3
2
x
= ±
188.
2 2
2
x k x k
π
π π π
−
= + ∨ = +
189.
2x k
π
=
190.
10
2

3
m
−
≤ ≤ −
23