Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 1 Ma trận định mức

Chương 1:
MA TRẬN − ĐỊNH THỨC
Th.S NGUYỄN PHƯƠNG
Khoa Giáo dục cơ bản
Trường Đại học Ngân hàng TPHCM
Blog:
Email:
Yahoo: nguyenphuong1504
Ngày 30 tháng 10 năm 2013
1







1
Giới thiệu
2
Ma trận
Các khái niệm
Các phép toán trên ma trận
Các tính chất

Ma trận con
3
Định thức
Định nghĩa
Tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Các tính chất
Định thức con
4
Hạng của ma trận
Định nghĩa
Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp
5
Ma trận nghịch đảo
Định nghĩa
Điều kiện tồn tại
Tìm ma trận nghịch đảo bằng ma trận phần bù đại số
Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp
Tính chất
Giải phương trình ma trận
2







Giới thiệu
Công ty điện tử ABC sản xuất 4 mặt hàng TV, radio, đầu máy VCD và quạt
máy. Công ty có 3 đại lý bán hàng. Bảng sau cho biết số lượng các mặt hàng

bán được của các đại lý trong tháng 9 vừa qua:
TV radio đầu máy VCD quạt máy
Đại lý 1 120 150 80 210
Đại lý 2 140 180 120 220
Đại lý 3 150 120 180 250
Ta có thể viết lại bảng trên như sau:
q =








120 150 80 210
140 180 120 220
150 120 180 250








- Dòng thứ nhất là vector khối lượng hàng hóa bán được trong tháng 9 của đại
lý 1.
- Dòng thứ hai là vector khối lượng hàng hóa bán được trong tháng 9 của đại
lý 2.

- Cột thứ nhất là vector khối lượng TV bán được trong tháng 9 của công ty
ABC.
- Cột thứ nhất là vector khối lượng radio bán được trong tháng 9 của công ty
ABC.
3







Ma trận Các khái niệm
Định nghĩa
- Ma trận cấp m × n là một bảng số (thực hoặc phức) hình chữ nhật bao gồm
m dòng và n cột .
- Ma trận A cấp m × n, kí hiệu A = (a
ij
)
mxn
với i = 1, m, j = 1, n
A =






















a
11
. . . a
1j
. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
i1

. . . a
ij
. . . a
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
. . . a
mj
. . . a
mn






















m×n
← dòng thứ i
↑
cột thứ j
- A
i∗
=

a
i1
a
i2
· · · a
in

được gọi là dòng thứ i của ma trận A.
- A
∗j
=















a
1j
a
2j
.
.
.
a
mj















được gọi là cột thứ j của ma trận A.
Khi đó có thể biểu diễn A: A =

A
i1
A
i2
· · · A
in

=















A
1j
A
2j
.
.
.
A
mj














4

Ma trận Các khái niệm
Ví dụ:
A =








0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11








A là ma trận có 3 dòng và 4 cột
A là ma trận thực cấp 3 × 4
Các phần tử của ma trận A là:
a
11
= 0, a

12
= 1, a
13
= 2, a
14
= 3
a
21
= 4, a
22
= 5, a
23
= 6, a
24
= 7
a
31
= 8, a
32
= 9, a
33
= 10, a
34
= 11
Định nghĩa
Ma trận không là ma trận có các phần tử đều bằng không (a
ij
= 0, ∀i, j), kí
hiệu là O.
Ví dụ:

O
2×3
=

0 0 0
0 0 0

5







Ma trận Các khái niệm
Định nghĩa
Cho A = (a
ij
)
mxn
Khi m=1, ta được ma trận dòng A = (a
11
a
12
· · · a
1n
)
Khi n=1, ta được ma trận cột A =















a
11
a
21
.
.
.
a
m1















Ví dụ:
Ma trận dòng A = (1 2 3) và ma trận cột B =












1
2
3
4













6







Ma trận Các khái niệm
Định nghĩa
Ma trận vuông cấp n là ma trận có n dòng và n cột.
Các phần tử a
ii
lập thành đường chéo chính.
Các phần tử a
ij
với i + j = n + 1 lập thành đường chéo phụ.
Ví dụ:
A =













0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11
12 13 14 15












4×4
7

Ma trận Các khái niệm
Định nghĩa
Ma trận vuông A = (a
ij
)
nxn
được gọi là ma trận tam giác trên ⇔ Các phần tử
nằm phía dưới đường chéo chính đều bằng 0, tức là a
ij
= 0, ∀i > j.
Ví dụ:
A =








2 1 −3
0 0 0
0 0 1









Định nghĩa
Ma trận vuông A = (a
ij
)
nxn
được gọi là ma trận tam giác dưới ⇔ Các phần tử
nằm phía trên đường chéo chính đều bằng 0, tức là a
ij
= 0, ∀i < j.
Ví dụ:
A =








2 0 0
−1 0 0
3 0 3









8







Ma trận Các khái niệm
Định nghĩa
Ma trận vuông A được gọi là ma trận chéo ⇔ Các phần tử không nằm trên
đường chéo chính đều bằng 0, tức là a
ij
= 0, ∀i  j
Ví dụ:
A =








1 0 0
0 0 0
0 0 −3









Định nghĩa
Ma trận chéo có các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 1 được gọi
là ma trận đơn vị, tức là a
ij
= 0, ∀i  j và a
ii
= 1, ∀i. Ma trận đơn vị cấp n được
kí hiệu là I
n
.
Ví dụ: I
2
=

1 0
0 1

; I
3
=









1 0 0
0 1 0
0 0 1








9







Ma trận Các khái niệm
Định nghĩa
Ma trận bậc thang theo dòng là ma trận thỏa 2 điều kiện
1. Các dòng không (nếu có) phải nằm ở dưới cùng.
2. Phần tử khác không đầu tiên của dòng trên (nếu có) phải nằm ở cột bên trái

phần tử khác không đầu tiên của dòng dưới (nếu có).
Ví dụ:
Cho biết các ma trận sau có phải là ma trận bậc thang theo dòng hay không?
A =








1 0 2
0 2 −1
0 0 0








; B =













1 0 2 3
0 2 −1 1
0 0 0 0
0 0 1 1












;
C =













1 0 2
0 2 −1
0 −1 1
0 0 1












;D =













1 0 2 3 −1
0 2 −1 1 0
0 0 1 0 3
0 6 0 1 1












10