Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (85.05 KB, 7 trang )
I. Phơng pháp đánh giá
Gii phng trình:
x3
+
14
+
x
=-16x
2
-8x+1 (1)
Giải
ĐK:
4
3
4
1
x
(*)
Ta có
( )
4)41)(43(2441)41)(43(2431443
2
++=++++=++
xxxxxxxx
24143
++
xx
(2)
Lại có : -16x
2
-8x+1=2-(4x+1)
2
2 (3)
Từ (2) và (3) ta có:
=+
=++
21816
24143
)1(
2
xx
xx
=++
=++++
01816
441)41)(43(243
2
xx
xxxx
=
=+
4
1
0)41)(43(
x
xx
=
=
=
4
1
4
1
4
3
x
x
x
4
1
= x
(thoả mãn(*))
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là
4
1
=
x
Luyện tập
Giải các phơng trình sau:
1)
xxxxx 4438414
22
=+++
2)
2152
2
=++
xxx
II. Phơng pháp đặt ẩn phụ
VD1:Giải phuơng trình:
3)8)(1(81
=++++
xxxx
Giải
C1: ĐK:
81
x
Đặt
xxt ++= 81
(đk
0
t
)
)8)(1(281
2
xxxxt
++++=
2
9
)8)(1(
2
=+
t
xx
Khi đó phơng trình đã cho trở thành:
3
2
9
2
=
+
t
t
0152
2
=+
tt
=
=
3
5
t
t
Với t=3, ta có:
381 =++ xx
9)8)(1(281 =++++ xxxx
0)8)(1( =+ xx
=
=
8
1
x
x
(thoả mãn (*))
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là:x
1
=-1 và x
2
=8
C2: ĐK:
81
x
Đặt
=
+=
xv
xu
8
1
(
0, vu
)
=
+=
xv
xu
8
1
2
2
9
22
=+ vu
Ta có hệ phơng trình:
=++
=+
3
9
22
uvvu
vu
=++
=+
6)(2
92)(
2
uvvu
uvvu
=+
=
2
6
92
2
6
2
uv
vu
uv
uv
=+
=
2
6
0)20(
uv
vu
uvuv
=+
=
=
2
6
20
0
uv
vu
uv
uv
(loại)
Với
=
=+
0
3
uv
vu
ta có:
=
=
3
0
v
u
hoặc
=
=
0
3
v
u
+)
=
=
0
3
v
u
=
=+
08
91
x
x
8
=
x
+):
=
=
3
0
v
u
=
=+
98
01
x
x
1
=
x
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm: x
1
=1 và x
2
=8
VD 2: Giải phơng trình
1221)14(
22
++=+
xxxx
Giải
=+
=
=+
=
7
20
3
0
vu
uv
vu
uv
Phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình:
12)1(21)14(
22
++=+ xxxx
(1)
Đặt
1
2
+= xt
(đk t >1), phơng trình (1) trở thành:
(4x-1)t=2t
2
+2x-1
2t
2
-(4x-1)t+2x-1=0 (2)
Coi (2) là phơng trình bậc hai ẩn t, khi đó phơng trình (2) có:
Rxxxx == ,0)34()12(8)14(
22
Phơng trình (2) ẩn t có các nghiệm là:
t
1
=2x-1 và t
2
=
2
1
(loại)
Với t
1
=2x-1, ta có:
121
2
=+ xx
=+
22
)12(1
012
xx
x
=
043
2
1
2
xx
x
=
=
3
4
0
2
1
x
x
x
3
4
= x
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là:
3
4
=x
Lu ý : phơng trình trên có thể giải theo cách đa về phơng tích
VD3: Giải phơng trình
112
3
=+
xx
Giải
ĐK:
1x
(*)
Đặt
=
=
1
2
3
xv
xu
,
0
v
=
=
1
2
2
3
xv
xu
1
23
=+ vu
Khi đó ta có hệ phơng trình:
=+
=+
1
1
23
vu
vu
1)1(
23
=+ uu
02
23
=+
uuu
=
=
=
2
1
0
u
u
u
Với u=0, ta có:
02
3
=
x
x=2
Với u=1, ta có:
12
3
=
x
12
=
x
1
=
x
Với u=-2, ta có:
22
3
=
x
82
=
x
10
=
x
Vậy phơng trình đã cho có ba nghiệm là:x=1,x=2,x=10
Luyện tập
Giải các phơng trình sau:
1)
55
2
=++ xx
2)
3
3
1
)3((4)1)(3( =
+
++
x
x
xxx
3)
36333
22
=+++ xxxx
III. Phơng pháp biến đổi tơng đơng
Dạng phơng trình:
Dạng 1:
)()( xgxf =
=
)()(
0)(
2
xgxf
xg
Dạng 2:
)()( xgxf =
=
)()(
0)(
xgxf
xg
VD1: Giải phơng trình
xxx 2114 =+
Giải
ĐK:
+
021
01
04
x
x
x
2
1
4 x
(*)
Với đk(*) phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình:
4121 +=+ xxx
4)1)(21(121
+=++
xxxxx
12)21)(1( += xxx
+=
+
2
)12()21)(1(
012
xxx
x
=+
072
2
1
2
xx
x
=
=
7
0
2
1
x
x
x
0
=
x
(thoả mãn (*))
Vậy phơng trình có nghiệm là x=0
VD2:Giải phơng trình
1221221 =+ xxxx
Giải
Ta có:
1221221 =+ xxxx
112221222 =+++ xxxx
2
)12( + x
-
2
)12( x
=1
11212 =+ xx
11212 =+ xx
122 = xx
2
)12(2 = xx
22122 += xxx
2
1
2 = x
4
1
2 = x
4
9
= x
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là:
4
9
=x
Luyện tập
Giải các phơng trình sau:
1)
363 =+ xx
2)
2
2)2()1( xxxxx =++
3)
221682
22
+=+++ xxxx
IV. Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số
VD1:Giải phơng trình
11414
2
=+ xx
ĐK:
2
1
x
Xét hàm số
1414)( += xxxf
trên
+;
2
1
Ta có
+>
+
= ;
2
1
,0
14
4
14
2
)(
2
'
x
x
x
x
xf
Hàm số f(x) đồng bjến trên
+;
2
1
Mà
1)
2
1
( =f
Phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất :
2
1
=x
VD2(A-2007): Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thực:
4
2
12113 =++ xxmx
Giải
ĐK:
1x
Phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình:
m
x
x
x
x
=
+
+
+
4
1
1
2
1
1
3
(1)
Đặt
4
1
1
+
=
x
x
t
, khi đó phơng trình (1) trở thành: -3t
2
+2t=m (2)
Vì
44
1
2
1
1
1
+
=
+
=
xx
x
t
và
1
x
nên
10
<
t
.
Xét hàm số f(t)=-3t
2
+2t, với
10 < t
,ta có bảng biến thiên sau:
t
0
3
1
1
f(t)
3
1
0 -1
Từ bảng biến thiên ta suy ra phơng trình (2) có nghiệm thoả mãn
10 < t
khi
3
1
1 < m
Phơng trình (1) có nghiệm khi
3
1
1 < m
Vậy với
3
1
1 < m
thì phơng trình đã cho có nghiệm.
Luyện tập
1)Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:
13
2
+=+ xmx
2)Giải phơng trình:
541
3
+= xxx
V. Phơng pháp điều kiện cần và đủ
VD1:tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất
mxx =++ 54
Giải
Điều kiện cần:
Nhận thấy nếu phơng trình có nghiệm x
0
thì (-1-x
0
) cũng là nghiệm của ph-
ơng trình. Do đó để phơng trình có nghiệm duy nhất thì
00
1 xx
=
2
1
0
=
x
Thay
2
1
0
=
x
vào phơng trình đã cho ta đợc:
23=m
Điều kiện đủ:
Với
23=m
phơng trình đã cho trở thành:
2354 =++ xx
=++
+
18)54(
05
04
2
xx
x
x
=++++
185)5)(4(24
5
4
xxxx
x
x
=+
9)5)(4(2
45
xx
x
=+
81)5)(4(4
45
xx
x
=++
0144
45
2
xx
x
=
2
1
45
x
x
2
1
= x
Vậy với
23=m
thì phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất
Lu ý: phơng trình trên có thể giải bằng phơng pháp sử dụng tính đơn điệu
của hàm số
