đề thi hsg khoi 10 nam09-10

Sở Giáo Dục và Đào Tạo Thanh Hoá Đề Thi học sinh giỏi cấp trờng
TRờng THPT Nga Sơn khối 10 - năm học 2009 - 2010
Môn thi : Toán
Đề chính thức (gồm 01 trang) Thời gian : 180 phút (không kể thời gian phát đề )

Bài 1 (4 điểm)Tìm tập xác định của các hàm số sau:
1)
= +
3 2
8 7 5 6y x x x
2)
+
= +
+
2
2
2 1
2 10
2 5 3
x
y x x
x x
Bài 2 (4 điểm)
Cho
( )
= +
2
4 5 1.f x x mx m
(
m
là tham số)

1) Tìm
m
để
( )
> 0 x R.f x
2) Tìm
m
để phơng trình
( )
=
0f x
có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thoả
mãn -1 < x
1
< x
2
.
Bài 3 (5 điểm)

1) Giải phơng trình :
( )
+ =
+
2
2
2

4
12
2
x
x
x
.
2) Cho hệ phơng trình :

+ =


+ =


1
1 3
x y
x x y y m
a) Giải phơng trình khi m = 0.
b) Tìm m để hệ có nghiệm.
Bài 4: (5 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, tìm toạ độ đỉnh C của tam giác ABC . Biết
hình chiếu của C lên đờng thẳng AB là H(- 1; -1) , đờng phân giác trong của góc A có
phơng trình : x - y +2 = 0 và đờng cao kẻ từ B có phơng trình : 4x + 3y -1 = 0.

Bài 5: (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức :
+ +
=

+ +
2 2
2 1
7
x y
P
x y

Hết
Họ và tên thí sinh ; Số báo danh
(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Đáp án Đề Thi học sinh giỏi cấp trờng
khối 10 - năm học 2009- 2010
Môn thi : Toán Đề chính thức
Bài Nội dung Điểm
Bài 1
1) Hàm số xác định
( )
( )
3 2
2
8 7 5 6 0
1 8 6 0
1 0
1
x x x
x x x
x
x
+

+ +


Vậy TXĐ của hàm số :
[
= +1; )D
0.5
0.5
0.5
0.5
2) Hàm số xác định:


















<

+ >









>



2
2
5
2
5
2
2 10 0
2
1
2 5 3 0
2
3
2
x
x
x x

x
x
x x
x
x
.
Vậy TXĐ của hàm số là:
]

= +


5
( ; 2 ; )
2
D
1
1
Bài 2
1)

( )
<

>


<

+ < < <

2
1 0
0 x R
0
1
4 5 1 0 1
4
m R
f x
m m m


1
1
2) Đặt : t = x +1.
Phơng trình trở thành :
( )
= + + =
2
2(1 2 ) 9 0(2)g t t m t m
Để (1) có 2 nghiệm thoả mãn : -1 < x
1
< x
2
. Thì pt (2) phải có 2 nghiệm
dơng : 0 < t
1
< t
2

0.5
0.5
0.5


<




>



> + >



< <



> + > >



>
> >

>





2
1
4
1
0 4 5 1 0
1
0
1
0 1 2 0
4
2
1
0 9 0
0
m
m
m m
m
P m m
m
S m
m
( )

+
ữ

1
0; 1;
4
m
0.5
Bài 3
1) Giải phơng trình:
ĐK:
2

x
12
2
4
2
2
12
)2(
4
2
2
2
2
2
=
+

+






+
=
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
Đặt:
2
2
+
=
x
x
t
phơng trình có dạng:
2
6

4 12 0
2
t
t t
t
=

+ =

=

+
6
2
6
2
=
+
=
x
x
t
PT vô nghiệm
+
= 2t
=
+ 2
2
x
x

2




+=
=

51
51
x
x
(thoả mãn điều kiện)
Kết luận: Vậy phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
51,51 =+= xx
0.25
0.25
0.25
0.5
0.5
0.25
2) Điều kiện:
, 0x y
, 0x y
. Đặt :

=

=


, 0
u x
u v
v y
Hệ trở thành:
+ = + =
+ = + =



= =
+ = + + =


3 3 3
1 1
1 1
1 3 1 3
1 3 ( ) 3 ( ) 1 3
u v u v
u v u v
uv m uv m
u v m u v uv u v m

Do đó u, v là nghiệm của phơng trình: t
2
t + m = 0 (1).

a) Với m = 0. (1) suy ra t = 0, t = 1.
Vậy nghiệm của hệ là :


= =



= =




= =



= =



1 1
0 0
0 0
1 1
u x
v y
u x
v y
Vậy hệ có 2 nghiệm (1 ; 0); (0 ; 1).

Điều kiện để hệ có nghiệm khi (1) thoả mãn :
0.5
0.5
0.5
0.5














0 1 4 0
1
0 0 0
4
0 1
0
2
m
P m m
S
Vậy với

1
0
4
m
thì hệ có nghiệm.
0.5
0.5
Bài 4
Gọi
( )

;H a b
là điểm đối xứng của H qua phân giác AD thì


HH AD

và trung điểm của

HH
là


ữ

1 1
;
2 2
a b

I
thuộc AD:
( ) ( )

+ + =
=





=
+ =



1 1 1 1 0
3
1 1
1
2 0
2 2
a b
a
a b
b

nên
( )

3;1H
Đờng thẳng AC qua

H
, vuông góc với đờng cao BK nên có phơng trình:
3( x + 1) 4 (y - 1) = 0 hay 3x 4y + 13 = 0.
Đỉnh
=
A AD AC
là A(5 ; 7).
Đờng thẳng CH đi qua H, vuông góc HA nên có phơng trình:
6( x + 1) + 8 (y +1) = 0 hay 3x + 4y + 7 = 0.
Toạ độ C là nghiệm hệ phơng trình:

=

+ + =




+ =


=


10
3 4 7 0
3

3 4 13 0 3
4
x
x y
x y
y
Vậy


ữ

10 3
;
3 4
C

0.5
0.5
1
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 5
Xét điều kiện có nghiệm của phơng trình:
+ +
=
+ +

+ + =
2 2
2 2
2 1
7
2 7 1 0 (1)
x y
P
x y
Px x Py y P
Trong đó x là ẩn số, coi y là tham số tuỳ ý, còn P là tham số có điều kiện.
Xét hai trờng hợp:
+
0 2 1 0P x y= + + =
+
0P
, thì pt (1) luôn có nghiệm x khi biệt thức không âm:

2
2 2 2
1 4 ( 2 7 1) 0
4 8 28 4 1 0 (2)
P Py y P
P y Py P P
+
+ + +
Coi (2) là bất phơng trình ẩn y , BPT này xảy ra với mọi giá trị y khi:

2 2 2
2

16 4 ( 28 4 1) 0
5 1
28 4 5 0
14 2
P P P P
P P P
+ + +

+ +
Khi P nhận các giá trị này thì đẳng thức xảy ra ở (1) và (2), khi đó:

1 1
,
2
y x
P P
= =
0.25
0.25
0.5
0.5
0.25
VËy : GTLN :
1
2
P =
khi y = 2 vµ x = 1
GTNN:
5
14

P
−
=
khi
14 7
,
5 5
y x
− −
= =
0.25