hai phương pháp tìm GTLN; GTNN thường dùng

HAI PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
I. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
VD1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức :
A = 2x -3 x + 1
B = -x + 4 x 1+

C = 2x + 3 x + 1
D = - x - 4 x 1+
Giải
2
3 1
A = 2x + 3 x + 1= 2(x- x )
2 2
3 9 9 1
= 2 x 2 x.
4 16 16 2
3 1
= 2 x -
4 8
+
 
− + − +
 ÷
 
 
−
 ÷
 
Ta thấy
2
3

x 0
4
 
− ≥
 ÷
 
nên
1
A -
8
≥
Dấu bằng xảy ra
3 9
x x
4 16
⇔ = ⇔ =
Vậy Min
1
A
8
= −
*)
B = - x - 4 x 1+
( Đk :
x 0≥
)

( )
( )
2

x 4 x 4 5
= - x 2 5 5
= − − + +
− + ≤

( Do
( )
2
- x 2 0− ≤
) . Vậy
B 5≤
với mọi
x 0≥
Dấu bằng xảy ra
x 2 x 4⇔ = ⇔ =
Vậy Max
B 5 x 4= ⇔ =
*)
C = 2x + 3 x + 1
( Đk :
x 0≥
)
Page 1 of 3
Ta có:
2x 0
3 x 0
 ≥


≥



với mọi
x 0≥
Suy ra
C = 2x + 3 x + 1 1≥
với mọi
x 0≥
Vậy Min C = 1
x 0⇔ =
*)
D = - x - 4 x 1+
( Đk :
x 0≥
)
Ta có :
x 0
4 x 0
− ≤


− ≤


với mọi
x 0≥
Suy ra
D = - x - 4 x 1 1+ ≤
với mọi
x 0≥

Dấu bằng xảy ra khi x = 0
Vậy Max B = 1 khi và chỉ khi x = 0
Nhận xét:
P ax b x c(a 0)= + + ≠
1) a > 0 suy ra có giá trị nhỏ nhất của P
a < 0 có giá trị lớn nhất của P
2) Nếu a, b trái dấu dung hằng đẳng thức
Nếu a, b cùng dấu lập luận trực tiếp theo đk
x 0≥
II. Áp dụng BĐT Cosi – Bunhacopxki
1) BĐT Côsi :
a 0
a b
ab a b 2 ab
2
b 0
 ≥
+
⇒ ≥ ⇔ + ≥

≥

. Dấu bằng xảy ra ⇔
a = b
2) BĐT Bunhacopxki :
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
ax by x y a b
+ ≤ + +

. Dấu bằng xảy ra
⇔
x y
a b
=
VD2: Cho M(x; y) thuộc đường thẳng: 2x + 3y = 26 (d)
Tìm điểm M sao cho khoảng cánh từ M tới gốc tọa độ là nhỏ nhất.
Giải
Cách 1: M (x; y) ; O (0; 0)
Page 2 of 3
Suy ra
( ) ( )
2 2
2 2
OM x 0 y 0 x y= − + − = +
Hay
2
2 2 2 2
26 2x
OM x y x
3
 − 
= + = +
 ÷
 
Để OM đạt giá trị nhỏ nhất thì
2
OM
đạt giá trị nhỏ nhất
( Dùng hằng đẳng thức để biến đổi)

Cách 2:
2 2 2
OM x y= +
Mặt khác :
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2 2
26 2x 3y 2 3 x y 13 x y= + ≤ + + = +

2
2 2
26
x y 52
13
⇒ + ≥ =

Vậy OM đạt giá trị nhỏ nhất
x y
x 4
2 3
y 6
2x 3y 26

 =
=

⇔ ⇔
 
=



+ =

Cách 3:
Kẻ OH vuông góc với (d), H thuộc (d)
Khi đó
OM OH≥
với mọi M thuộc (d)
Vậy OM nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng với H
Mà (d) :
2 26
y x
3 3
−
= +
;
OH d
OH d a .a 1⊥ ⇔ = −

OH
3
a =
2
⇔
;
3
(OH): y x
2
=
Vậy tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình:

3
x 4
y x
2
y 6
2x 3y 26

 =
=

⇔
 
=


+ =

Vậy với M (4; 6) thì Om đạt giá trị nhỏ nhất
Page 3 of 3
O
x
y
(d)
H