toan cuc tri trong hinh hoc_3

BÀI TOÁN 3 (CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ)
Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;4) và đường thẳng
2
z
1
2y
1
1x
:)d( =
+
=
−
−
.
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất.
(Tương tự đề thi Đại Học Khối A năm 2008)
Lời giải tham khảo
Cách1:Phương pháp hình học (Đáp án của Bộ)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) và K là hình chiếu vuông góc của A trên (d).
Ta có theo tính chất đoạn vuông góc và đoạn xiên :
MKMH ≤
, nên MH lớn nhất khi
KH ≡
.
Vậy mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng vuông góc với AK tại K.
Giải: Ta có
)2t2;6t;t(AK)d()t2;t2;t1(K −−−=⇒∈+−−
→
(d) có véctơ chỉ phương
)2;1;1(a −=
→

.
3
5
taAK =⇔⊥
→→
. Do đó
)
3
4
;
3
13
;
3
5
(AK −−=
→
. Chọn véctơ pháp tuyến của mặt
phẳng (P) là
)4;13;5(n −=
→
. Chọn điểm
)P(M)d()0;2;1(M
00
∈⇒∈−
.
Phương trình mặt phẳng (P): 5(x-1)+13(y+2)-4(z-0)=0
5x+13y-4z+21 = 0.
Cách 2: Phương pháp giải tích.
Đặt (P): Ax+By+Cz +D = 0 (

)0CBA
222
≠++
.
Chọn M(1;-2;0) và N(0;-1;2) thuộc (d) suy ra M,N thuộc (P).
Ta được :





−
=
+−=
⇔



=++−
=+−
2
BA
C
B2AD
0DC2B
0DB2A

Do đó (P):
.0B2Az.
2

BA
ByAx =+−
−
++
Ta có d=
AB2B5A5
B5A2
)P;A(d
22
−+
+
=
.
Ta xét các trường hợp:
Trường hợp 1: A=0. Ta được :
52
B5
B52
d
2
==
Trường hợp 2:
0A ≠
. Ta được :
)
A
B
x(
x2x55
x512

A
B
2
A
B
55
A
B5
12
d
22
=
−+
+
=






−






+
+

=
Ta có
5x2x5
)1x10x25(4
d
2
2
2
+−
++
=
Hàm số
5x2x5
1x10x25
)x(f
2
2
+−
++
=
đạt GTLN là :

5
13
xkhi
6
35
=
Vậy
5

13
A
B
xkhi
3
70
dmad)
6
35
(4dmax
2
===⇒=
.
( Chọn trường hợp 2 vì
52
3
70
>
)
Chọn A=5; B=13 thì C=-4 ; D= 21
Phương trình mặt phẳng (P): 5x+13y-4z+21=0.
Hết
Vình Long, ngày 8 tháng 6 năm 2009.
GV Nguyễn Ngọc Ấn, Trường PTTH Bán Công Vónh Long, TP Vónh Long.
Ghi chú:
1/ Có thể xét B=0 ,
0B
≠
(Tương tự như xét A).
2/ Bài toán 4 : Cho hai đường thẳng d và d’. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và

tạo với d’ góc lớn nhất.