Bài toán cực trị trong hình học không gian

LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN
Thư viện tài liệu trực tuyến miến phí - Chủ kiến thức 1
BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (1)
BÀI TOÁN 1
Trên 3 tia Ox, Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi ,lấy lần lượt các điểm A,B,C sao cho
OA = a;OB = b;OC = c
a) Tính khoảng cách từ O đến mp(ABC)
b) Giả sử A cố định còn B,C thay đổi nhưng luôn luôn thỏa OA = OB + OC .Hãy xác định
vị trí B,C sao cho thể tích tứ diện OABC lớn nhất (ĐH Ngoại thương)
HD:
a) mp(ABC) :
1
x y z
a b c
  
;
2 2 2 2 2 2
( ;( ))
abc
d o ABC
b c c a a b

 
b)
2
3
1 1 1
.( ) .
6 6 6 2 24
OABC
b c a

V abc a bc a

 
   
 
 
( đẳng thức khi b = c = a/2 )
BÀI TOÁN 2
Cho 3 tia Ox, Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi ,một mặt phẳng (P) đi qua điểm N cố
định cắt Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A,B,C .Giả sử N nằm trong tam giác ABC và
khoảng cách từ N đến các mp(OBC) ,(OCA) ,(OAB) lần lượt là a,b,c .
a) Chứng minh răng :
1
a b C
OA OB OC
  
b) Tính OA,OB,OC để thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất
c) Tính OA,OB,OC để tổng S = OA + OB + OC nhỏ nhất (ĐHHH95)
HD:
Chọn hệ trục Oxyz sao cho N(a,b,c) .Phương trình mặt phẳng (P) qua N là:
(x - a) + (y - b) + (z - c) = 0
  
Suy ra :
( ;0;0) ; (0; ;0) ; (0;0; )
a b c a b c a b c
A B C
        
  
     
b)

3
3
3
3. ( . . )
1 1 ( ) 1 9
6 6 6 2
OABC
a b c
a b c
V abc abc
  
  
 
 
   
9
min khi a =b =c
2
OABC
V abc
  

suy ra OA = 3a ; OB = 3b ;OC = 3c
c
b
a
C
O
A
B

N
LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN
Thư viện tài liệu trực tuyến miến phí - Chủ kiến thức 2
c) Ta có : OA + OB + OC
a b c a b c a b c
        
  
     
  
b a c a c b
a b c
     
     
     
        
     
     
2
2 2 2 ( )a b c ba ac cb a b c        
min (OA + OB + OC)
2 2 2
a b c OA a ab ac
  
      
…
BÀI TOÁN 3
Cho tứ diện SABC có
2 ; SC (ABC)SC CA AB a   
,tam giác ABC vuông tại A ,các
điểm M thuộc SA , N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a)

a) Tính độ dài đoạn MN.Tìm t để MN ngắn nhất
b) Khi MN ngắn nhất chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của SA và BC
(ĐH Đà Nẳng 2001)
HD: Chọn hệ trục C  O ; A(a;a;0) ; B(2a;0;0);
S(0;0; a 2)
Viết phương trình SA và MSA suy ra M :
( ; ; )
2 2
2
t t t
M a a 
; N(t;0;0)
6 2a
min khi t=
3 3
a
MN 
BÀI TOÁN 4
Cho tứ diện ABCD.Tìm điểm M sao cho S = AM
2
+ BM
2
+ CM
2
+ DM
2
nhỏ nhất
HD: Gọi G là trọng tâm của tứ diện ,ta có:
2 2 2
2 .MA MG GA MA MG GA MG GA     

    
Tương tự:
2 2 2
2 .MB MG GB MG GB  
 
;
2 2 2
2 .MC MG GC MG GC  
 
;
2 2 2
2 .MD MG GD MG GD  
 
Suy ra:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4MA MB MC MD MG GA GB GC GD       
Vậy S nhỏ nhất  MG nhỏ nhất  M G
C
B
A
S
M
N
LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN
Thư viện tài liệu trực tuyến miến phí - Chủ kiến thức 3
BÀI TOÁN 5
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Trên cạnh AA’ kéo dài về phía A’ lấy điểm
M ,trên cạnh BC kéo dài về phía C lấy điểm N sao cho MN cắt cạnh C’D’ .Tìm giá trị nhỏ
nhất của MN
HD:

Chọn hệ trục M(0;0;m) N(a;n;0)
Vì MD’//NC’ nên:
a a m an
m
a n a n a

  
 
. Suy ra : MN = m + n – a =
2 2
n an a
n a
 

Xét hàm số :
2 2
( ) (n>a)
n an a
f n
n a
 


. MinMN = 3a khi n =2a
BÀI TOÁN 6
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Xác định thiết diện đi qua một đường chéo
và tìm diện tích nhỏ nhất của nó theo a
I
A
D

D'
B
C
A'
K
B'
C'
M
N
A
D
D'
B
C
A'
B'
C'
M
N