Đề thi thử Đại học môn Toán năm 2010 và đáp án

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (158.49 KB, 7 trang )

Sở GD & ĐT Hưng Yên ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2010 LẦN I
Trường THPT Trần Hưng Đạo Môn: Toán - Thời gian: 150 phút
Đề Bài
Bài 1(2 điểm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 2
(| | 1) .(| | 1)y x x= + −
2) Tìm các điểm trên trục hoành mà từ đó kẻ được đúng 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Bài 2(3 điểm)
1) Giải hệ phương trình:
2 2
( 1)( 1)( 2) 6
2 2 3 0
x y x y
x y x y
− − + − =


+ − − − =

(
,x y
∈
¡
)
2) Giải phương trình sau:
3 3
sin cos cos2 .(2cos sin )x x x x x+ = −
, ( với
x
∈

¡
)
3) Tìm m thực để phương trình sau có hai nghiêm thực phân biệt:

2
1/2 1/2
( 1).log ( 2) ( 5)log ( 2) 1 0m x m x m
− − − − − + − =
Bài 3(1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân (AB = BC =a > 0) và các
cạnh SA= SB = SC = 3a. Trên cạnh SA, SB lấy điểm M, N sao cho SM = BN = a.
Tính thể tích khối chóp SMNC.
Bài 4(2 điểm)
1) Tính tích phân sau:
1
2
0
.ln(1 )x x dx
+
∫
2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(3; 1) lập phương trình đường thẳng d
qua A và cắt chiều dương của trục Ox, Oy lần lượt tại P, Q sao cho diện tích tam
giác OPQ nhỏ nhất.
Bài 5(2 điểm)
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
1
1
: 1 2 ;( )
1 2
x t

d y t t
z t
= +


= + ∈


= +

¡
Đường thẳng d
2
là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y – 1 = 0 và
(Q): 2x + y + 2z – 5 = 0
1) Chứng minh rằng d
1
, d
2
cắt nhau tại I, viết phương trình mặt phẳng chứa d
1
và d
2

2) Viết phương trình đường thẳng d
3
qua A(2; 3; 1) tạo với hai đường thẳng d
1
và d
2

tam giác cân đỉnh I.
Hết
Đáp Án vắn tắt
Bài 1: 1) khảo sát hàm số : y = x
4
- 2x
2
+ 1 ( C)
2) Gọi A(a:0) là điểm trên trục hoành mà từ A kẻ được đến ( C) ba tiếp tuyến
Phương trình đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k là d: y = k(x-a)
d là tiếp tuyến của ( C) khi hệ pt sau có nghiệm

4 2 3
3 4 2 3
2 1 ( ) 4 4
4 4 2 1 (4 4 )( )
x x k x a x x k
x x k x x x x x a
 
− + = − − =
⇔
 
− = − + = − −
 
Phương trình
2
4 2 3 2 2
2
1 0

2 1 (4 4 )( ) ( 1)( 4 1) 0
4 1 0(*)
x
x x x x x a x x ax
x ax

− =
− + = − − ⇔ − − + = ⇔

− + =

Mà x
2
– 1 = 0 cho ta hai x nhung chỉ cho ta một tiếp tuyến duy nhất là d1: y = 0. Vì
vậy để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến tới (C) thì phương trình (*) phải có 2 nghiếm pb x
khác
1
±

KQ:
3 3

2 2
1 1
a a
a a
 
< − >
 
 

 
≠ − ≠
 
hoÆ c
Bài 2: 1) kq (3;2) hoặc (2;3)
2) kq
2
( , , )
4
1
arctan
2
x k
x l k l m
x m
π
π
π
π
π

= +



= − + ∈



= +



¢
3) kq
7
( 3;1) (1; )
3
m
∈ − ∪
Bài 3: +) Chân đường cao hạ từ đỉnh S là trung điểm của AC
+) Kq
3
34
( )
54
a dvtt
Bài 4: 1) Kq
1
ln 2
2
−
2) Kq
1
6 2
x y
+ =
Bài 5: 1) Hai đường thẳng d
1
và d
2

cắt nhau tại I(1;1;1) và mặt phẳng chứa hai đường
thẳng chính là mặt phẳng (P)
2) Gọi B là giao của d
1
và d
3
( đk: B khác I). C là giao của d
2
vàd
3
(đk: C khác I)
Ta có B(1 + t;1 +2 t;1 + 2t), C(1 + t’;1 +2 t’;1 -2 t’) Với đk:
. ' 0t t ≠
Từ điều kiện A,B,C thẳng hàng ta đi tìm toạ độ B, C. Từ đó đưa ra phương trình của d
3
Sở GD & ĐT Hưng Yên ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2010 LẦN 2
Trường THPT Trần Hưng Đạo Môn: Toán - Thời gian: 180 phút
Đề Bài
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số:
( )
3 2
3 1 9 2y x m x x m= − + + + −
(1) có đồ thị là (C
m
)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m=1.
2) Xác định m để (C
m
) có cực đại, cực tiểu và hai điểm cực đại cực tiểu đối xứng với nhau
qua đường thẳng

1
2
y x=
.
Câu II: (2,5 điểm)
1) Giải phương trình:
( )
( )
3
sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3cos sinx 3 3 0x x c x c x x+ − − + − − =
.
2) Giải bất phương trình :
( )
2
2 1
2
1 1
log 4 5 log
2 7
x x
x
 
+ − >
 ÷
+
 
.
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=x.sin2x, y=2x, x=
2
π

.
Câu III: (2 điểm)
1) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên hợp với
đáy một góc là 45
0
. Gọi P là trung điểm BC, chân đường vuông góc hạ từ A’ xuống (ABC) là H
sao cho
1
2
AP AH=
uuur uuur
. gọi K là trung điểm AA’,
( )
α
là mặt phẳng chứa HK và song song với BC
cắt BB’ và CC’ tại M, N. Tính tỉ số thể tích
' ' '
ABCKMN
A B C KMN
V
V
.
2) Giải hệ phương trình sau trong tập số phức:
( )
2
2
2 2 2 2
6
5
6 0

a a
a a
a b ab b a a

+ − =

+


+ + + − =

Câu IV: (2,5 điểm)
1) Cho m bông hồng trắng và n bông hồng nhung khác nhau. Tính xác suất để lấy
được 5 bông hồng trong đó có ít nhất 3 bông hồng nhung? Biết m, n là nghiệm của hệ sau:
2 2 1
3
1
9 19
2 2
720
m
m n m
n
C C A
P
−
+
−

+ + <




=

2 ) Cho Elip có phương trình chính tắc
2 2
1
25 9
x y
+ =
(E), viết phương trình đường thẳng song
song Oy và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho AB=4.
3) Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d
1
và d
2
biết:

1
2
: 2
3
x t
d y t
z t
= +


= +



= −


2
1 2 1
:
2 1 5
x y z
d
− − −
= =
Câu V: (1®iÓm) Cho a, b, c
0
≥
và
2 2 2
3a b c+ + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3 3
2 2 2
1 1 1
a b c
P
b c a
= + +
+ + +
……………………Hết………………………

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2
Bài
1
1
Khi m = 1 ta có hàm số:
3 2
6 9 1y x x x= − + −
• BBT:
x -
∞
1 3 +
∞
y
/
+ 0 - 0 +
3 +
∞
y
-
∞
1
1đ
2
9)1(63'
2
++−= xmxy
Để hàm số có cực đậi, cực tiểu:
09.3)1(9'
2
>−+=∆ m

);31()31;( +∞+−∪−−−∞∈⇔ m
Ta có
( )
14)22(29)1(63
3
1
3
1
22
++−+−++−






+
−= mxmmxmx
m
xy
Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là
14)22(2
2
++−+−= mxmmy
Vì hai điểm cực đại và cực tiểu đối xứng qua đt
xy
2
1
=
ta có điều kiện cần là

[ ]
1
2
1
.)22(2
2
−=−+− mm



−=
=
⇔=−+⇔
3
1
032
2
m
m
mm
Khi m = 1
⇒
ptđt đi qua hai điểm CĐ và CT là:y = - 2x + 5. Tọa độ trung điểm
CĐ và CT là:








=
++−
=
+
==
+
1
2
10)(2
2
2
2
4
2
2121
21
xxyy
xx
Tọa độ trung điểm CĐ và CT là (2; 1) thuộc đường thẳng
xy
2
1
=
1
=⇒
m
tm .
Khi m = -3
⇒

ptđt đi qua hai điểm CĐ và CT là: y = -2x – 11.

3
−=⇒
m
không thỏa mãn.
Vậy m = 1 thỏa mãn điều kiện đề bài.
1đ
Bài
2
1 phương trình đưa về:





=
=
=
⇔




=−+
=−
⇔
=+−−−⇔
)(4cos
1cos

3tan
04cos3cos
0sincos3
0)8cos6cos2)(sincos3(
2
2
loaix
x
x
xx
xx
xxxx
Ζ∈




=
+=
⇔ k
kx
kx
,
2
3
π
π
π
1 đ
2

Đk:



−>
+∞∪−−∞∈
⇔



>+
>−+
7
);1()5;(
07
054
2
x
x
x
xx
)1()5;7( ∞+∪−−∈⇒ x
Từ pt
7
1
log2)54(log
2
2
2
+

−>−+⇒
x
xx

2 2
2 2
27
log ( 4 5) log ( 7)
5
x x x x
−
⇔ + − > + ⇔ <

Kết hợp điều kiện: Vậy BPT có nghiệm:
)
5
27
;7(
−
−∈x
0.75đ
3 Ta có: x.sin2x = 2x
⇔
x.sin2x – 2x = 0
⇔
x(sin2x – 2) =0
⇔
x = 0
Diện tích hình phẳng là:
∫∫

−=−=
2
0
2
0
)22(sin)22sin.(
π
π
dxxxdxxxxS
Đặt





−
−
=
=
⇒



−=
=
x
x
v
dxdu
dxxdv

xu
2
2
2cos
)22(sin
44424
222
πππππ
−=+−=⇔ S
(đvdt)
0.75đ
Bài
3
1 Gọi Q, I, J lần lượt là trung điểm B’C’, BB’, CC’
ta có:
2
3a
AP =
3aAH =⇒
Vì
'' AHA∆
vuông cân tại H.
Vậy
3' aHA =
Ta có
4
3
2
3
.

2
1
2
aa
aS
ABC
==
(đvdt)
4
3
4
3
.3
32
'''
aa
aV
CBABCA
==⇒
(đ vt
t) (1)
Vì
'' AHA∆
vuông cân
( )
CCBBHKAAHK ''' ⊥⇒⊥⇒
G ọi E = MN
∩
KH
⇒

BM =
PE = CN (2)
mà AA’ =
22
' AHHA +
=
633
22
aaa =+
4
6
2
6 a
CNPEBM
a
AK ===⇒=⇒
Ta có thể tích K.MNJI là:
1
.
3
1 1 6
'
2 4 4
MNJI
V S KE
a
KE KH AA
=
= = =
2

6 6
. . ( )
4 4
MNJI
a a
S MN MI a dvdt= = =
2 3
1 6 6
( )
3 4 4 8
KMNJI
a a a
V dvtt⇒ = =
1đ
45
E
K
J
I
A
B
C
C'
B'
A'
P
H
Q
N
M

3 3
2 3
' ' '
3
1
8 8
3
2
8 8
ABCKMN
A B C KMN
a a
V
a a
V
−
⇒ = =
+
2
ĐK:
0
2
≠+ aa
Từ (1)
06)(5)(
222
=−+−+⇔ aaaa






=+
−=+
⇔
6
1
2
2
aa
aa
Khi
1
2
−=+ aa
thay vào (2)
2
1 23.
2
6 0
1 23.
2
i
b
b b
i
b

− −
=



⇒ − − − = ⇔

− +
=


;






+−
=
−−
=
⇔=++
2
31
2
31
01
2
i
a
i
a

aa
Khi
6
2
=+ aa




=
−=
⇔
2
3
a
a
Thay vào (2)
2
1 5
2
6 6 6 0
1 5
2
b
b b
b

− +
=



⇒ + − = ⇔

− −
=


Vậy hệ pt có nghiệm (a, b) là:








+−−−








−−−−
2
31
;
2

231
,
2
31
;
2
231 iiii








−−+−








−−+−
2
31
;
2
231

,
2
31
;
2
231 iiii
;








−−








+−









−−
−








+−
−
2
51
;2,
2
51
;2,
2
51
;3,
2
51
;3
Bài
4
1)






=
<++
−
+
−
720
2
19
2
9
1
12
3
2
n
mn
m
m
P
AcC
Từ (2):
761!6720)!1( =⇔=−⇔==− nnn
Thay n = 7
vào (1)
09920

19990
2
19
2
9
45
2
)1(
2
2
<+−⇔
<++−⇔
<++
−
⇔
mm
mmm
m
mm
119
<<⇔
m
vì
10
=⇒Ζ∈
mm
Vậy m = 10, n = 7. Vậy ta có 10 bông hồng trắng và 7 bông hồng nhung, để
lấy được ít nhất 3 bông hồng nhung trong 5 bông hồng ta có các TH sau:
TH1: 3 bông hồng nhung, 2 bông hồng trắng có:

1575.
2
10
3
7
=CC
cách
TH2: 4 bông hồng nhung, 1 bông hồng trắng có:

350.
1
10
4
7
=CC
cách
TH3: 5 bông hồng nhung có:

21
5
7
=C
cách
⇒
có 1575 + 350 + 21 = 1946 cách.
Số cách lấy 4 bông hồng thường
%45,31
6188
1946
6188

5
17
≈=⇒
=
P
C
2) Gọi ptđt // Oy là: x = a (d) tung độ giao điểm (d) và Elip là:
25
25
25
1
9
1
925
222
22
aay
ya
−
=−=⇔
=+
2
2
2
25
5
3
25
25
.9 ay

a
y −±=⇒
−
=⇒
Vậy






−−






−
22
25
5
3
;,25
5
3
; aaBaaA







−=
2
25
5
6
;0 aAB
;
2 2 2
10 100 100 125
25 25 25
3 9 9 9
a a a⇔ − = ⇔ − = ⇔ = − =
3
55
±=⇒ a
Vậy phương trình đường thẳng:
3
55
,
3
55
=
−
= xx
3)đường thẳng d
2
có PTTS là:






+=
+=
+=
'51
'2
'21
tz
ty
tx
⇒
vectơ CP của d
1
và d
2
là:
1 2
(1;1; 1), (2;1;5)
d d
u u= − =
r
⇒
VTPT của mp(
α
) là
1 2

. (6; 7; 1)
d d
n u u
α
 
= = − −
 
r r r
⇒
pt mp(
α
) có dạng 6x – 7y – z + D = 0
Đường thẳng d
1
và d
2
lần lượt đi qua 2đ’ M(2; 2; 3) và N(1; 2; 1)
( ,( )) ( ,( ))
|12 14 3 | | 6 14 1 |
| 5 | | 9 | 7
d M d N
D D
D D D
α α
⇒ =
− − + = − − +
⇔ − + = − + ⇔ =
Vậy PT mp(
α
) là: 3x – y – 4z +