Sức bền vật liệu - Chương 1

Bài giảng: Sức bền vật liệu
Chơng 1
Các kiến thức cơ bản
1.1. Giới thiệu môn học.
Bài1 Bài 2 Bài 3 Bài 4 Bài 5
1.1.1 Nhiệm vụ môn học.
Sức bền vật liệu đa ra phơng pháp nghiên cứu về độ bền, độ cứng, độ ổn định
của chi tiết máy hoặc công trình dới tác dụng của ngoại lực.
- Độ bền là khả năng chịu lực lớn nhất của vật liệu chi tiết máy mà không bị
phá hỏng trong quá trình làm việc bình thờng.
Độ bền đợc đảm bảo thì chi tiết máy và công trình không bị hỏng khi làm việc
lâu dài.
- Độ cứng là khả năng chịu lực lớn nhất của chi tiết mà biến dạng không quá
lớn làm ảnh hởng đến điều kiện làm việc bình thờng của chi tiết máy và công
trình.
Độ cứng đợc đảm bảo thì máy sẽ làm việc tốt đảm bảo các tính năng và độ
chính xác khi làm việc.
-Độ ổn định là khả năng chịu lực lớn nhất của chi tiết mà không bị thay đổi
hình dáng hình học trong quá trình làm việc.
Độ ổn định đảm bảo thì máy sẽ làm việc ổn định lâu dài
1.1.2 Mục đích môn học
Trong thực tế ta thấy rằng kích thớc chi tiết càng lớn thì độ bền, độ cứng, độ
ổn định càng đảm bảo nhng lại tốn kém vật liệu. Chính vì vậy mà sức bền vật
liệu phải nghiên cứu tính toán sao cho phải đảm bảo chỉ tiêu kinh tế và kỹ thuật.
Do đó Sức bền vật liệu sẽ tìm ra các biểu thức toán học thoả mãn độ bền, độ
cứng, độ ổn định cho các chi tiết máy hoặc công trình. Các biểu thức đó đợc gọi
là điều kiện bền, điều kiện cứng, điều kiện ổn định.
Dựa theo các điều kiện bền, cứng, ổn định, sức bền vật liệu chủ yếu giải quyết
3 bài toán cơ bản sau:
+ Bài toán kiểm tra bền, cứng, ổn định.
+ Bài toán xác định kích thớc cho phép.

+ Bài toán xác định tải trọng cho phép.
Trong thực tế, chi tiết hoặc công trình rất đa dạng, để tính toán đợc ngời ta phải
thay thế mô hình ngoài thực tế bằng các mô hình tính toán, gọi là sơ đồ tính.
Sơ đồ tính của chi tiết hay công trình là hình ảnh đơn giản hoá mà vẫn đảm
bảo phản ánh sát với sự làm việc thực của công trình.
Trong sơ đồ tính ngời ta lợc bỏ các yếu tố các yếu tố không cơ bản và chỉ xét
đến yếu tố chủ yếu quyết định đến khả năng làm việc của chi tiết, công trình.
Khi tính toán, ngời ta thay tế mô hình thực tế bằng sơ đồ tính hợp lí.
1.1.3. Lịch sử hình thành và phát triển môn học
Sức bền vật liệu là môn khoa học ứng dụng của Cơ học vật rắn biến dạng mà
trong đó ngời ta chủ yếu nghiên cứu vật thể đàn hồi.
Các tính toán chính xác về độ bền vững của Lêôna đơ Vanhxi và Galilê đã xuất
hiện vào đầu thế kỷ 16, khi đó các ông nghiên cứu độ bề vững của dầm cột đợc
coi là vật rắn tuyệt đối.
Năm 1960, Định luật Húc ra đời, cho ta biết mối quan hệ giữa ứng suất và biến
dạng.
Tiếp theo là các công trình nh: Lí thuyết toán học về uốn thanh đàn hồi ( của Ơ
le, Bécnuli) Lí thuyết ổn định( của Ơ le)
Cuối thế kỷ 18, đầu thế kỷ 19 là các công trình của Ôstrôgratki, Cô si,
Poatsong.
1
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Vào giữa thế kỷ 19, nhu cầu phát triển của công nghiệp và công trình xây
dựng, từ đó phát sinh ra ngành Sức bền vật liệu và phát triển thành ngành khoa
học ứng dụng.
Ngày nay, Sức bền vật liệu đã đợc phát triển mạnh mẽ, hàng loạt các phần mềm
ứng dụng đợc sử dụng rộng rãi.
1.2. Đối tợng nghiên cứu của môn học.
1.2.1. Đối tợng vật lí, các giả thuyết cơ bản.
a. Đối tợng vật lí

Trong cơ lý thuyết đối tợng nghiên cứu là vật thể rắn tuyệt đối (không bị biến
dạng khi có ngoaị lực tác dụng).
Trong Sức bền vật liệu đối tợng nghiên cứu là vật thể rắn thực (vật thể bị biến
dạng khi có ngoại lực tác dụng). Ta xét ví dụ sau:
Đối với Cơ lý thuyết thì xem hai bài toán (a) và (b) là nh nhau, nghĩa là vật
thể đều ở trạng thái cân bằng.
Đối với Sức bền vật liệu thì ý nghĩa của hai bài toán trên là khác nhau, trờng
hợp (a) là chịu nén còn trờng hợp (b) là chịu kéo.
Thực tế cho thấy hầu hết vật thể rắn đều có tính đàn hồi khi có lực tác dụng
giới hạn, gọi là vật thể rắn đàn hồi.
Tính đàn hồi là khả năng khôi phục lại kích thớc ban đầu sau khi thôi lực tác
dụng. Nếu khôi phục lại hoàn toàn kích thớc ban đầu thì ta có tính đàn hồi tuyệt
đối còn nếu khôi phục lại một phần kích thớc ban đầu thì ta có tính đàn hồi tơng
đối. Một vật thể có tính đàn hồi đợc gọi là vật thể đàn hồi và biến dạng tơng ứng
với giai đoạn đàn hồi đợc gọi là biến dạng đàn hồi.
Sức bền vật liệu chủ yếu nghiên cứu sự làm việc của vật thể trong giai đoạn
đàn hồi (đàn hồi tuyệt đối). Tức là ta chỉ nghiên cứu vật thể có tính đàn hồi tuyệt
đối. Việc nghiên cứu sự làm việc của vật liệu ngoài giai đoạn đàn hồi thuộc vào
lĩnh vực khác đó là Lý thuyết dẻo.
b. Các giả thuyết:
+ Giả thuyết 1: Vật liệu có tính đồng chất, liên tục và đẳng hớng.
- Tính đồng chất là tính chất hoá học, lý học tại mọi điểm đợc coi là nh
nhau.
- Tính liên tục có thể hiểu là trong lòng vật thể không có vết rỗ tế vi.
Coi vật thể có tính liên tục tức là cho rằng mật độ vật liệu là dày đặc, trong
toàn bộ thể tích khoảng cách giữa các nguyên tử có thể coi là bằng không.
Các giả thuyết này cho phép ta áp dụng các phép tính vi tích phân trong quá
trình tính toán và có thể nghiên cứu với một phân tố bé để suy rộng cho cả vật
thể lớn.
- Tính đẳng hớng là vật liệu chịu lực tác dụng theo các phơng là nh nhau.

Đối với kim loại, ta có thể xem là những vật liệu đẳng hớng, còn đối với các
loại vật liệu thiên nhiên nh gỗ, tre, nứa , khả năng chịu lực theo thớ dọc và
2
P
(b)(a)
P
P
P
Bài giảng: Sức bền vật liệu
theo thớ ngang là khác nhau nên ta không thể coi chúng là đẳng hớng. Trong
quá trình tính toán ta phải chú ý đến tính chất không đẳng hớng của chúng.
+ Giả thuyết 2: Vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi và tính đàn hồi của
vật liệu đợc xem là đàn hồi tuyệt đối.
Giả thuyết này cho phép ta sử dụng đợc các công thức trong lý thuyết đàn hồi
mà cơ sở là định luật Húc.
+ Giả thuyết 3: Biến dạng của vật thể do các yếu tố khác nhau gây nên đợc coi
là vô cùng bé so với kích thớc của chúng.
Với giả thuyết này ta coi điểm đặt lực không thay đổi trong quá trình biến
dạng cho nên có thể sử dụng các công thức trong cơ lý thuyết và nguyên lý cộng
tác dụng.
1.2.2. Đối tợng về hình học
Trong thực tế hình dạng vật thể rất đa dạng, ta có thể phân ra làm 3 dạng cơ bản
sau:
+ Dạng khối là dạng có kích thớc theo 3 phơng tơng đơng nhau (h.a).
+ Dạng tấm vỏ là dạng có kích thớc theo 2 phơng lớn hơn hẳn 1 phơng
còn lại (h.b).
+ Dạng thanh là dạng có kích thớc theo 1 phơng lớn hơn hẳn 2 phơng còn
lại (h.c).
Dạng thanh thờng đợc biểu diễn bằng đờng trục và Sức bền vật liệu chủ yếu
nghiên cứu dạng thanh.

Tóm lại: Sức bền vật liệu đề ra phơng pháp nghiên cứu về độ bền, độ cứng, độ
ổn định cho vật thể rắn đàn hồi có hình dạng là dạng thanh.
Trong phần lớn các chi tiết máy và công trình thờng gặp, chúng thờng đợc mô
hình hoá thành những thanh đàn hồi. Đối với dạng thanh, ta có định nghĩa cụ thể
cho một thanh nh sau:
Cho một đờng cong trong không gian 3 chiều Z = f(x,y) và một diện tích F có
trọng tâm là O. Di chuyển diện tích F trong không gian sao cho trọng tâm O
luôn nằm trên đờng cong Z và diện tích F luôn vuông góc với đờng cong Z. Hình
khối mà diện tích F tạo nên khi di chuyển đợc gọi là thanh.
Đờng cong Z = f(x,y) đợc gọi là trục của thanh và diện tích F đợc gọi là mặt
cắt ngang (hay tiết diện) của thanh.
Nếu trong khi di chuyển mà diện tích F = const thì ta đợc thanh có mặt cắt
ngang không đổi, còn nếu diện tích F

const thì ta đợc thanh có mặt cắt ngang
thay đổi.
3
z
(c)(b)(a)
x
dy
z
x
y
z
F
1
F
n
Z = f(x,y)

F
0
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Nếu đờng cong Z là hàm của một biến x hoặc y, nghĩa là Z = f(x) hoặc
Z = f(y) thì ta có thanh cong phẳng. Đặc biệt nếu Z là hàm bậc nhất của x hoặc y
thì ta có thanh thẳng.
1.3. Ngoại lực, phản lực và liên kết
1.3.1. Phân loại ngoại lực.
* Định nghĩa: Ngoại lực là lực tác động của môi trờng hoặc của vật thể khác lên
vật thể ta đang xét.
Ngoại lực bao gồm tải trọng và phản lực liên kết.
- Tải trọng là lực tác dụng đã biết trớc phơng chiều, trị số, điểm đặt và tính chất.
- Phản lực liên kết là lực phát sinh tại các vị trí liên kết khi có tải trọng tác
dụng và ta chỉ biết điểm đặt của chúng.
* Phân loại ngoại lực và tải trọng.
a. Ngoại lực:
- Lực tập trung: Là lực tác dụng tại một điểm hoặc một diện tích vô cùng bé
so với bề mặt chi tiết.
Lực tập trung có thứ nguyên là [lực] và có đơn vị là N, KN, MN,
- Lực phân bố:
+ Lực phân bố chiều dài: Là lực tác dụng trên một đơn vị chiều dài. Thứ
nguyên của nó là






dài Chiều
Lực

và nó có đơn vị là KN/m, KN/cm,
+ Lực phân bố bề mặt: Là lực tác dụng lên một phần hoặc toàn bộ bề mặt
vật thể khảo sát. Khi bề mặt có đặt lực biến thành một đờng thì lực tác dụng gọi
là lực phân bố chiều dài.
Thứ nguyên của lực phân bố bề mặt là
( )






2
Chiềudài
Lực
và có đơn vị là KN/mm
2
,
KN/cm
2
, KN/m
2
, . . .
+ Lực phân bố thể tích là lực tác dụng lên một phần hoặc toàn bộ vật thể
khảo sát. Nó có thứ nguyên là
( )

3
Chiềudài
Lực
và có đơn vị là N/ mm
3
, . . .
1.3.2. Các liên kết và phản lực
a. Các liên kết:
Trong không gian 3 chiều một vật thể sẽ có 6 khả năng dịch chuyển (3Q+3T). Ta
nói vật thể có 6 bậc tự do. Trong hệ phẳng vật thể chỉ còn lại 3 bậc tự do. Liên
kết nhằm mục đích hạn chế bớt số bậc tự do của hệ (vật thể).
Ta có 3 dạng liên kết cơ bản sau:
- Liên kết đơn (gối di động): Liên kết này chỉ hạn chế chuyển động tịnh
tiến theo phơng oy. Các liên kết ngoài thực tế nh ổ đỡ, ổ trợt
4
y
z
o
Bài giảng: Sức bền vật liệu
- Liên kết kép (gối cố định): Liên kết này hạn chế chuyển động tịnh tiến
theo 2 phơng oy và oz. Các liên kết ngoài thực tế nh ổ đỡ chặn, bản lề
- Ngàm: Hạn chế chuyển động tịnh tiến theo phơng oy, oz và chuyển động
quay trong mặt phẳng của ngàm.
Trên đây là 3 liên kết trong hệ phẳng còn trong không gian ta biểu diễn liên
kết theo các phơng trên 2 mặt phẳng vuông góc với nhau.
Trong hệ phẳng để hệ cố định thì ta phải có 3 liên kết hợp lý nghĩa là chúng
không đồng thời song song. Nh vậy hệ phẳng tĩnh định cần phải có 1 liên kết
đơn + 1 liên kết kép hoặc 1 ngàm.

b. Phản lực:
Tại vị trí có liên kết xuất hiện phản lực liên kết. Cụ thể:
- Liên kết đơn ( gối di động): Xuất hiện 1 thành phần phản lực theo phơng y khi
có tải trọng tác dụng.
- Liên kết kép ( gối cố định): Xuất hiện thành phần phản lực theo phơng bất kỳ,
thờng ngời ta thờng phân thành 2 thành phần phản lực vuông góc với nhau theo
phơng y và z.
- Liên kết ngàm: Xuất hiện 3 thành phần phản lực. Đó là: 2 thành phần phản lực
theo phơng y và z; Một mô men phản lực đối với trục x
Ví dụ đối với hình vẽ sau ta có:
- q là lực phân bố chiều dài.
- X
A
, Y
A
, Y
B
là phản lực liên kết.
- M, P là lực tập trung.
1.4. nội lực
5
z
y
o
quay
y
z
P
Y
A

Y
B
X
A
B
q
A
M
Bài giảng: Sức bền vật liệu
1.4.1.Nội lực - Phơng pháp mặt cắt xác định nội lực.
a. Khái niệm:
Vật thể rắn là vật thể có hình dáng, kích thớc nhất định. Để có hình dáng nhất
định, trong vật thể rắn, lực liên kết phân tử phải khá lớn để giữ khoảng cách giữa
các phân tử không thay đổi khi tồn tại trong tự nhiên. Khi có ngoại lực tác dụng,
lực liên kết phân tử có xu hớng tăng lên để chống lại biến dạng do ngoại lực gây
nên. Vậy ta có định nghĩa:
* Định nghĩa: Nội lực là độ tăng của lực liên kết phân tử để chống lại biến dạng
do ngoại lực gây nên.
b. Phơng pháp mặt cắt xác định nội lực.
Giả sử có 1 vật thể A chịu tác dụng của hệ lực cân bằng P
1
, P
2
, , P
n
. Để xác
định nội lực ta sử dụng phơng pháp mặt cắt. Tởng tợng dùng 1 mặt phẳng cắt
vật thể và chia vật thể làm 2 phần, ta giữ lại một phần để khảo sát (Giả sử phần
bên trái).
Vì hệ ngoại lực ( P) cân bằng, cho nên tổng véc tơ phần bên trái cũng bằng

bên phải cho nên ta xét phần bên nào cũng cho kết quả nh nhau. Trên mặt cắt,
theo định nghĩa tại mọi điểm đều xuất hiện nội lực mà hợp lực của chúng là R
đặt tại 1 điểm nào đó trên mặt cắt.
Để dễ dàng khi khảo sát, ta lập hệ trục toạ độ oxyz với gốc toạ độ O đi qua
trọng tâm C của mặt cắt, trục z vuông góc với mặt cắt còn trục x và y nằm trong
mặt cắt . Chuyển song song lực

R
về trọng tâm C của mặt cắt ta đợc 1 lực
R

và
6

P
n
P
2
P
1
P
2
P
1
z
P
2
P
1
M

z
M
y
M
x
Q
x
Q
y
R
N
z
x
y
0
Bài giảng: Sức bền vật liệu
mô men
M

. Chiếu
R

và
M

lên các trục tọa độ ta đợc 6 thành phần: 3 lực và 3
mô men. Đó là các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang bao gồm:
- Lực dọc: N
Z
vuông góc với mặt cắt, nó đợc coi là dơng khi hớng ra ngoài

mặt cắt và ngợc lại. Lực dọc đợc xác định theo phơng trình cân bằng:

=
=
m
1i
iZ
(z)PN
.
Trong đó m là số thành phần ngoại lực tác dụng lên phần bên trái.
- Lực cắt: Q
x
và Q
y
nằm trong mặt cắt và đợc xác định theo phơng trình cân
bằng chiếu lên phơng x và y.


=
=
m
i
i
xP
1
)(
x
Q
;

=
=
m
i
i
yP
1
)(
y
Q
Lực cắt Q
x
và Q
y
đợc coi là dơng khi pháp tuyến ngoài của mặt cắt (trục z)
quay 1 góc 90
0
theo chiều kim đồng hồ đến trùng với nó, nhng với chú ý là khi
quan sát thì đứng ở chiều dơng của trục y và x.
- Mô men uốn: M
x
, M
y
đợc xác định bằng các phơng trình mô men lấy đối
với trục x và y.

=
=
m
i

ix
Pm
1
)(
x
M
;

=
=
m
i
iy
Pm
1
)(
y
M
Mômen uốn M
x
và M
y
đợc coi là dơng nếu chúng làm căng thớ về phía chiều
dơng của các trục tọa độ.
- Mô men xoắn M
z
đợc xác định theo phơng trình mô men lấy đối với trục z
vuông góc với mặt cắt.

=

=
m
i
iz
Pm
1
)(
z
M
Mômen xoắn M
z
đợc coi là dơng khi nhìn từ ngoài mặt cắt vào thấy nó quay
thuận chiều kim đồng hồ.
Với hệ phẳng (ví dụ nh mặt phẳng yoz) chỉ tồn tại 3 thành phần nội lực, đó là
N
z
, Q
y
và M
x
. Đây là bài toán phẳng của Sức bền vật liệu.
c. Biểu đồ nội lực:
Ta cho mặt cắt di chuyển từ trái qua phải hoặc ngợc lại, khi đó các thành phần
nội lực sẽ thay đổi. Biều diễn sự thay đổi dó của từng thành phần nội lực ta có
biểu đồ nội lực, nh vậy tổng quát ta có 6 biểu đồ nội lực.
Biểu đồ nội lực là đồ thị biểu diễn sự biến thiên của nội lực theo trục thanh.
* Cách vẽ biểu đồ: Dùng phơng pháp mặt cắt.
- Chia thanh làm nhiều đoạn tải trọng tuỳ theo sự thay đổi của ngoại lực.
- Xét từng đoạn thanh: Dùng mặt cắt chia vật thể ra làm 2 phần, giữ lại
một phần để khảo sát và đặt nội lực lên mặt cắt theo chiều giả thiết. Lập phơng

trình cân bằng, sau đó giải ra ta đợc giá trị nội lực ( nếu có dấu dơng thì đúng
chiều giả thiết, dấu âm ngợc chiều giả thiết)
- Vẽ đồ thị theo các giá trị đã xác định.
- Đề dấu vào biểu đồ và gạch gạch bằng các đờng vuông góc với trục của
thanh.
1.4.2. Các liên hệ vi phân giữa nội lực và ngoại lực
Ta xét 1 đoạn thanh chịu uốn
a. Liên hệ giữa tải trọng phân bố và lực cắt.
7
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Trớc tiên ta quy ớc dấu của ngoại lực nh sau:
+ P và q dơng nếu hớng lên trên và ngợc lại.
+ M dơng nếu nó quay thuận chiều kim đồng hồ và ngợc lại.
Xét 1 dầm chịu tác dụng của các lực (hình vẽ), đó là tải trọng phân bố bất kỳ,
lực tập trung P và mô men tập trung M.
Tại hoành độ z có lực phân bố là q(z). Tại đây ta tách phân tố chiều dài vô
cùng bé dz để khảo sát, vì phân tố chiều dài là
vô cùng bé cho nên có thể coi lực phân bố q(z)
là đều: q(z) = q = const. Hợp lực của lực phân
bố là q.dz
Giả thiết nội lực ở mặt cắt trái là Q
y
, M
x

và mặt cắt phải là: Q
y
+ dQ
y
, M

x
+
dM
x

và dấu của chúng đều dơng

(hình vẽ).
Ta có:
( )
0qdzdQQQ0Y
yyy
=++=

.
Vậy ta có thể phát biểu:
Đạo hàm bậc nhất của lực cắt Q
y
theo biến số z bằng cờng độ lực phân bố
chiều dài.
b. Liên hệ giữa lực cắt và mô men uốn nội lực.
Lấy mô men với điểm O (trọng tâm của mặt cắt trái) có:
( )
0
2
qdz
.dzQdMMM
2
yxxx
=+++

Ta thấy
2
qdz
2
là vô cùng bé bậc 2 nên có thể bỏ qua. Vậy có:
(2)

Đạo hàm bậc nhất của mô men uốn nội lực theo biến z bằng lực cắt
c. Liên hệ giữa mô men uốn nội lực với tải trọng phân bố.
Từ (1) và (2) ta có thể suy ra liên hệ:
8
y
Q
dz
dM
x
=
q
dz
Md
2
x
2
=
q
dz
dQ
y
=
(1)

Do đó có:
Q
y
M
x
qdz
q
dz
0
Q
y
+ dQ
y
M
x
+ dM
x
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Đạo hàm bậc 2 của mô men uốn nội lực theo biến số z bằng cờng độ lực phân
bố chiều dài .
d. Liên hệ giữa lực tập trung, mô men tập trung với nội lực.
Tại điểm đặt tập trung P và mô men tập trung M ta tách ra 1 phân tố có chiều
dài vô cùng bé dz (h.vẽ). Nội lực ở mặt cắt trái của phân tố là Q
y
1
và M
x
1
, còn ở
mặt phải là Q

y
2
và M
x
2
. Ta có:
+
0PQQ0Y
2
y
1
y
=+=

.
PQQ
1
y
2
y
=
.
Hay là:
PQ
y
=
.
Vậy tại chỗ có đặt lực tập trung, lực cắt có số gia bằng chính lực tập trung
đó.
+

0M.dzQMM0m
1
y
2
x
1
x0
=++=

Q
y
1
.dz là vô cùng bé nên ta có thể bỏ qua.
M
X2
- M
X1
= M
Hay: M
X
= M
Vậy tại chỗ có mô men tập trung, mô men uốn nội lực có số gia bằng trị số
mô men ngoại lực tập trung đó.
1.4.3. Nhận xét quan hệ nội lực, ngoại lực.
Dựa vào liên hệ vi phân ta có một số nhận xét để vẽ nhanh và kiểm tra biểu
đồ nội lực nh sau:

* Về dạng biểu đồ Q
y,
và M

x
:
- Trong đoạn thanh không có lực phân bố (q = 0) thì biểu đồ lực cắt là đờng
hằng số, biểu đồ mô men là đờng bậc nhất.
- Trong đoạn thanh có lực phân bố hằng số (q = const) thì biểu đồ lực cắt là
đờng bậc nhất, biểu đồ mô men là đờng cong bậc 2 luôn hứng lấy tải trọng.
- Tại điểm biểu đồ lực cắt cắt trục hoành (Q
y
= 0) thì biểu đồ mô men đạt cực
trị.
* Về bớc nhảy của biểu đồ:
9
Q
y2
M
x2
P
M
dz
0
Q
y1
M
x1
Bài giảng: Sức bền vật liệu
- Tại điểm có lực tập trung thì biểu đồ lực cắt có bớc nhảy, giá trị bớc nhảy
chính bằng giá trị lực tập trung. Biểu đồ mô men bị gãy khúc tại điểm đó.
- Tại điểm có mô men ngoại lực tập trung thì biểu đồ mô men có bớc nhảy,
giá trị bớc nhảy chính bằng giá trị mô men tập trung.
Nếu nắm vững đợc các nhận xét trên ta có thể vẽ nhanh chóng các biểu đồ nội

lực và kiểm tra chúng mà không cần phải qua đầy đủ các bớc .
Nhận xét: Đối với chịu lực bất kì, khi đó xuất hiện cả lực dọc và mô men xoắn,
ta cũng có nhận xét tơng tự.
1.4.4.Các ví dụ về vẽ biểu đồ nội lực.
Ví dụ 1:
Vẽ biểu đồ lực dọc cho thanh chịu lực nh sau (hình vẽ)
Giải:
Để vẽ đợc biểu đồ ta dùng phơng
pháp mặt cắt.
+ Dùng mặt cắt 1-1 cắt thanh và
giữ phần bên phải để khảo sát.
Ta có phơng trình cân bằng:
N
Z
2P = 0 N
Z
= 2P (dơng)
+ Dùng mặt cắt 2-2 cắt thanh và khảo
sát phần bên phải.
Phơng trình cân bằng:
N
Z
+3P 2P = 0 N
Z
= -P (âm).
+ Dùng mặt cắt 3-3 cắt thanh và
khảo sát phần bên phải.
Phơng trình cân bằng:
N
Z

5P + 3P 2P = 0 N
Z
= 4P (dơng)
Ta có biểu đồ lực dọc nh hình vẽ.
* Ta có nhận xét:
- Tại điểm có lực tập trung, biểu đồ lực dọc có bớc nhảy. Giá trị bớc nhảy
chính bằng giá trị lực tập trung.
- Nội lực không phụ thuộc vào kích thớc tiết diện của thanh.
Ví dụ 2
Vẽ biểu đồ nội lực cho sơ đồ dầm chịu lực nh hình vẽ.
Giải:
10
2P
N
Z
2P
N
Z
3P
5P
N
Z
2P
3P
5P
3
2F
F
2P
3P

2
2
1
3
1
+
-
+
4P
P
2P
Bài giảng: Sức bền vật liệu
* Xác định các phản lực liên kết tại gối.
Theo cơ lý thuyết thì tại A có 2 thành phần phản lực là X
A
và Y
A
, tại B có 1
thành phần phản lực là Y
B
. Giả thiết các phản lực có chiều nh hình vẽ.
Ta có các phơng trình cân bằng:


==+ 0X0X
A
.
11
X
A

= 0
1
P=3qa
C
B
A
M = 4qa
2
q
Y
B
=
Y
A
=
1
2
2
qa
10
1
+
-
qa
10
29
qa
10
1
a

10
1
Q
Y
2
qa
200
1
2
qa
10
42
2
qa4
M
X
Bài giảng: Sức bền vật liệu
qa
10
1
5a
4qa
2
9qa
9qa
Y
0.5aYMP.3a
2
3a
q.3a.0m

2
2
2
B
BA
=

=
=++=+


qa
10
1
qa
10
1
3qa3qaY
YPq.3aY0Y
A
BA
=+=
+=+

Các giá trị Y
A
và Y
B
đều dơng chiều giả thiết là đúng.
* Phơng trình nội lực.

- Xét đoạn AC (A C): Dùng mặt cắt 1-1 cắt thanh và giữ phần bên trái để
khảo sát.
Ta có: z = 0 ữ 3a.
Giả thiết Q
y
dơng, M
x
căng thớ dới.
Ta có:

== 0QqzY0Y
yA
.
qzqa
10
1
Q
y
=
.
qa
10
1
Q0z
y
==
( dơng ).

qa
10

29
Q3az
y
==
( âm ).
Lấy mô men đối với điểm O (trọng tâm mặt cắt 1-1) có:
2
qz
qa.z
10
1
M0M
2
qz
.zY0m
2
xx
2
A0
===


0M0z
x
==
.
2
x
qa
10

42
M3az ==
( trên ).
Tìm điểm có mô men uốn đạt cực trị:
a
10
1
z0Q
y
==
.Với
2
x
qa
200
1
Ma
10
1
z ==
( dới ).
12
M
x
1
z
Q
y
A
q

Y
A
=
1
0
Bài giảng: Sức bền vật liệu
- Xét đoạn BC ( B C ): Dùng mặt cắt 2-2 cắt thanh và giữ phần bên phải để
khảo sát.
Ta có: z = 0 ữ 2a
Giả thiết Q
y
dơng, M
x
căng thớ dới.
Ta có phơng trình cân bằng:

== 0YQ0Y
By
.
qa
10
1
Q
y
=
( dơng ).

+==++=

qa.z
10
1
qaM0MM.zY0m
2
xxB0
4
2
x
qaM0z 4==
( trên ).

2
x
qa
10
42
M2az ==
( trên ).
* Vẽ biểu đồ:
Với các giá trị đã xác định đợc theo các phơng trình trên và với quy ớc về
vẽ biểu đồ ta vẽ đợc biểu đồ lực cắt và mô men uốn nh hình vẽ.
Ví dụ 3:
Vẽ biểu đồ cho khung chịu lực nh hình vẽ.
Giải:
* Xác định phản lực liên kết tại các gối.

13
B
M=4qa
2
Y
B
=
2
2
z
M
x
Q
y
0
2a
D
3a
A
q
B
M = 3qa
2
4a
P = 2qa
C
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Giả sử các phản lực tại gối A và B có chiều nh hình vẽ. Ta có các phơng
trình cân bằng:
+

= 0m
A
.
0a.3Ya.2Pa.2a.4qM
B
=+
qa
3
7
a3
qa4qa8qa3
Y
222
B
=
+
=
+
0YYP0Y
BA
=+=

qa
3
1
qa2qa
3
7
Y

A
==
.
+
qa4X0a.4qX0X
AA
===

.
Ta thấy các thành phần phản lực đều dơng chiều giả thiết là đúng.
* Phơng trình nội lực.
+ Xét đoạn BC (B C): Dùng mặt cắt 1-1 cắt khung và giữ phần bên phải để
khảo sát. Ta có: z = 0 ữ 3a.
Giả thiết Q
y
dơng, M
x
căng thớ dới.
Ta có:
qa
3
7
Q0YQ0Y
yBy
==+=

(âm).
0N0X ==

z.qa
3
7
M
0z.YM0m
x
Bx
=
==


0.M0z
x
==

2
x
qa7Ma3z ==
(dới).
+ Xét đoạn CD (D C): Dùng mặt cắt 2-2. (z = 0 ữ 2a).
Giả thiết Q
y
dơng, M
x
căng thớ dới.
Ta có:
qa2Q0PQ0Y
yy
==+=

(âm).
0N0X ==

.
z.qa2M0z.PM0m
xx
==+=


0.M0z
x
==

2
x
qa4Ma2z ==
(trên).

14
Y
A
=
1
1
X
A
= 4qa
Y
B
=

2
2
D
A
q
B
M = 3qa
2
4a
P = 2qa
C
2a 3a
33
qa
3
1
+
N
2qa
4qa
+
-
-
Q
qa
3
7
4qa
2
7qa

2
M
8qa
2
2qa
4qa
2
qa
3
7
7qa
2
3qa
2
qa
3
1
8qa
2
C
B
Y
B
=
1
1
z
M
x
Q

y
0
D
P = 2qa
2
2
z
M
x
Q
y
0
Bài giảng: Sức bền vật liệu
+ Xét đoạn AC (A C): Dùng mặt cắt 3-3.
z = 0 ữ 4a
Giả thiết Q dơng, N dơng, M căng thớ phải.
Ta có:
qzqa4Q0qzXQ0X
A
==+=

.

qa4Q0z ==
(dơng).

0.Qa4z ==
qa
3
1

N0YN0Y
A
===

(dơng).
2
z.q
z.qa4M0z.X
2
z
.z.qM0m
2
A
==+=


0.M0z ==

2
qa8Ma4z ==
(phải).
Vì quan hệ giữa M và z là bậc 2 nên để vẽ đợc đờng cong cho chính xác thì ta
cần xác định thêm 1 điểm nữa.

2
qa6Ma2z ==
(phải).
* Vẽ biểu đồ nội lực.
Với các trị số nội lực đã tính đợc ở trên ta vẽ đợc các biểu đồ M, N và Q nh
hình vẽ.

* Chú ý: Đối với bài toán khung, sau khi vẽ biểu đồ ta phải kiểm tra trị số nội
lực tại nút của khung bằng cách xét sự cân bằng của nút.
15
X
A
= 4qa
M
z
Q
A
Y
A
=
3
3
q
0
N
Bài giảng: Sức bền vật liệu
ở đây ta xét sự cân bằng của nút C. Tởng tợng dùng các mặt cắt cắt sát nút,
giá trị nội lực trên các mặt cắt sát nút C chính là trị số nội lực tại nút C.
Bằng các phơng trình cân bằng (X = 0, Y = 0 và m = 0) viết cho nút C ta
thấy chúng đã thoả mãn. Vậy nút C đã cân bằng.
Ví dụ 4: Vẽ biểu đồ mô men xoắn nội lực M
z
cho sơ đồ chịu lực sau:
Cho: M
1
= 200 N.m ; M
3

= 800 N.m ; M
4
= 350 N.m
Giải:
Bỏ qua ma sát ở các ổ trục. Ta có phơng trình cân bằng:
M
3
- M
1
- M
2
- M
4
= 0.
M
2
= M
3
- M
1
- M
4
= 250 N.m
+ Xét đoạn AB: Dùng mặt cắt 1-1 để cắt thanh, giữ lại phần bên trái để khảo sát.
Ta có phơng trình cân bằng:
M
1
- M
Z1
= 0

M
Z1
= M
1
= 200 N.m
Nhìn vào mặt cắt ta thấy M
Z1
quay ngợc chiều kim đồng hồ. Vậy:
M
Z1
= - 200 N.m
+ Xét đoạn AC: Dùng mặt cắt 2-2 cắt thanh và khảo sát phần bên trái. Ta có ph-
ơng trình cân bằng:
M
1
+ M
2
M
Z2
= 0
16
M
1
M
2
M
4
M
3
A

1
2
2
3
3
D
CB
1
M
Z
(N.m)
-
450
200
350
+
-
M
1
M
Z1
A
1
1
Bài giảng: Sức bền vật liệu
M
Z2
= M
1
+ M

2
= 200 + 250 = 450 N.m
Nhìn vào mặt cắt ta thấy M
Z2
quay ngợc chiều kim đồng hồ.
Vậy ta có: M = - 450 N.m
+ Xét đoạn CD: Dùng mặt cắt 3-3 cắt thanh và giữ phần bên phải để khảo sát. Ta
có phơng trình:
M
Z3
M
4
= 0
M
Z3
= M
4
= 350 N.m
Nhìn vào mặt cắt ta thấy M
Z3
quay thuận chiều kim đồng hồ. Vậy ta có:
M
Z3
= +350 N.m
Biểu đồ M
Z
đợc biểu diễn trên hình vẽ.
* Nhận xét: Tại chỗ có mô men tập trung (điểm A, B, C, D) biểu đồ mô men
xoắn M
Z

có bớc nhảy. Trị số bớc nhảy chính bằng trị số các mô men xoắn tập
trung.
1.4.4. Cách vẽ biểu đồ nội lực cho thanh cong.
Thanh cong là thanh có đờng trục là đờng cong. Khi vẽ biểu đồ nội lực, tuỳ
theo phơng trình đờng cong cho ở dạng nào mà ta chọn hệ toạ độ đề các hay hệ
toạ độ độc cực. Nếu thanh cong phẳng có bán kính không đổi ( cung tròn) thì khi
đó biến của mặt cắt đợc chọn là góc trong hệ toạ độ độc cực.
1.5 ứng suất - biến dạng và chuyển vị
1.5.1. ứng suất.
Xét một vật thể chịu lực, tại một điểm C bất kỳ trên mặt cắt ngang lấy xung
quanh nó một diện tích F vô cùng bé.
Hợp lực của các thành phần nội lực trên F là

R
. Lập tỷ số


=
tb
P
F
R
.
tb
P

đợc gọi là ứng suất trung bình tại điểm C.
17
C
F

R
D
M
4
M
Z3
3
3
M
1
M
2
M
Z2
A
2
2
B
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Ta có



= p
F
R
Lim
0F
gọi là ứng suất thực tại điểm C.

Vậy ta có: ứng suất thực tại một điểm là cờng độ nội lực tại điểm đó.
* Phân loại ứng suất: ứng suất p có 2 thành phần đó là:
- ứng suất pháp là thành phần vuông góc với mặt cắt. Ký hiệu là .
- ứng suất tiếp là thành phần nằm trong mặt cắt. Ký hiệu là .
Ta thấy rằng

+=

p
và có trị số là
22

+=P
.
* Quan hệ giữa ứng suất và nội lực:
Tại điểm K( x, y) trên mặt cắt xuất hiện các thành phần ứng suất là

,
z
. Phân

thành 2 thành phần là
zyzx

,
.
Xung quanh K lấy phân tố
diện tích dF.
Ta có quan hệ giữa ứng suất và các thành phần nội lực là:
( )

===
===
F
zxzyz
F
zy
F
zx
F
zyy
F
zxx
F
zz
dFyxMdFxMdFyM
dFQdFQdFN


;.;.
;;

1.5.2. Biến dạng và chuyển vị.
a. Biến dạng: Là sự thay đổi kích thớc, hình dáng hình học của vật thể khi
có ngoại lực tác dụng.
Biến dạng bao gồm 2 loại là biến dạng dài và biến dạng góc.
- Biến dạng dài tuyệt đối là sự thay đổi kích thớc tuyệt đối của vật thể trớc
và sau biến dạng. Ký hiệu là .
18

p



'A
BA l
'l
'B
z
P
2
P
1
M
z
M
y
M
x
Q
x
Q
y
R
N
z
x
y

0
zzyzx


Bài giảng: Sức bền vật liệu

Giả sử có vật thể chịu lực nh hình vẽ. Khi đó có
ABBA = ''
Biến dạng tơng đối đợc định nghĩa bằng biểu thức
l

=

. Trong đó l là
kích thớc trớc khi biến dạng.
- Biến dạng góc là sự thay đổi giá trị của một góc trớc và sau biến dạng. Ký
hiệu là .
Biến dạng dài biểu hiện sự thay đổi kích thớc còn biến dạng góc thể hiện sự
thay đổi hình dáng.
Các loại biến dạng cơ bản:
- Biến dạng kéo nén: Khi đó trục thanh vẫn thẳng, thanh bị dãn ra hay co vào tuỳ
thuộc thanh chịu kéo hay nén.
- Biến dạng xoắn: Khi đó mặt cắt ngang bị xoay đi một góc nào đó đối với nhau
xung quanh trục thanh, còn trục thanh vẫn thẳng.
- Biến dạng uốn: Khi đó trục thanh bị uốn cong đi.
19
1
2
1
'1

P
P
M
M
l
M
M
Bài giảng: Sức bền vật liệu
- Biến dạng cắt: Khi đó mặt cắt ngang bị trợt theo trục x hoặc y, trục thanh vẫn
thẳng.
b. Chuyển vị: Là sự thay đổi vị trí của một điểm hoặc một mặt cắt.
Chuyển vị bao gồm chuyển vị dài và chuyển vị góc.
- Chuyển vị dài là sự thay đổi vị trí của một điểm. Ký hiệu là f.
- Chuyển vị góc (góc xoay) là sự thay đổi vị trí của một mặt cắt ngang trớc và
sau biến dạng. Ký hiệu là


1.5.3. Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng.
Mối quan hệ này đợc thể hiện thông qua định luật Húc:
Trong giai đoạn đàn hồi, ứng suất tỷ lệ bậc nhất với biến dạng.


.E=



.G=
Trong đó E và G là hằng số của vật liệu.
E là môđun đàn hồi khi kéo nén.
G là môđun đàn hồi trợt.

Đối với thép có: E = (2-2,1).10
7
N/cm
2
. G = 8.10
6
N/cm
2
.
Gang xám: E= ( 1,15- 1,6). 10
7
N/cm
2
Bê tông E= (0,15-0,32).10
7
N/cm
2
1.6. Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh cong
Thanh cong là thanh có đờng trục là đờng cong. Tuỳ theo hàm của đờng cong cho ở
dạng toạ độ đề các hay toạ độ độc cực mà ta tính toán trong hệ toạ độ đó.
Trong trờng hợp thanh cong phẳng có bán kính không đổi ( cung tròn) ta thờng chon hệ
toạ độ độc cực với biến là góc. Ví dụ: Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh cong:




20

P
A

A

N

R
P/2
P
P/2
Q
M
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Ta dễ dàng tìm đợc phản lực tại 2 gối. Dùng mặt cắt cắt thanh, viết phơng trình cân
bằng:
( )

==+=

sin
2
0sin
2
P
Q
P
QQP
( )

==+=

cos

2
0cos
2
P
N
P
NNP
( ) ( )

===

cos1
2
0cos
2
PR
MRR
P
MM
x
Cho

biến thiên từ 0
0
đén 90
0
ta vẽ đợc biểu đồ nửa bên phải. Tơng tự khi vẽ bên trái.
21
(-)
(-)

(+)
(-)
P/2
P/2
PR/2
N
Q
M