Sức bền vật liệu - Chương 10

chơng 10
Thanh cong
10.1 Khái niệm chung:
Trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật, thờng gặp các chi tiết, cấu
kiện kết cấu có trục cong: móc cần trục, vành tròn, bạc
Những chi tiết có trục cong không gian rất ít gặp vì vậy trong ch-
ơng này ta chỉ quan tâm đến thanh cong phẳng có ít nhất 1 trục đối
xứng trùng với đờng tải trọng. Với giả thiết nh vậy thì nội lực xuất
hiện trong thanh cong chỉ có 3 thành phần: Lực dọc N, lực cắt Q,
mô men uốn M.
Khi vẽ biểu đồ nội lực, nên xác định vị trí mặt cắt ngang theo hệ
toạ độ độc cực R và

.
Ví dụ: Ví dụ: Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh cong:




Ta dễ dàng tìm đợc phản lực tại 2 gối. Dùng mặt cắt cắt thanh, viết
phơng trình cân bằng:
( )

==+=

sin
2
0sin
2
P
Q

P
QQP
( )

==+=

cos
2
0cos
2
P
N
P
NNP
( ) ( )

===

cos1
2
0cos
2
PR
MRR
P
MM
x
Cho

biến thiên từ 0

0
đén 90
0
ta vẽ đợc biểu đồ nửa bên phải. Tơng
tự khi vẽ bên trái.

N

R
P/2
P
P/2
Q
M
(-)
(-)
(+)
(-)
P/2
P/2
PR/2
N
Q
M
10.2. ứng suất trong thanh cong:
10.2.1. Uốn thuần tuy:
Xét thanh cong có bán kính đờng trục R, bán kính trong R
1
, bán
kính ngoài R

2
. Thớ trung hoà có bán kính r.
Khi đó nội lực xuất hiện trên mặt cắt ngang là mô men uốn M.
Ta giả thiết khi biến dạng mặt cắt ngang vẫn phẳng và bỏ qua ng
xuất vô cùng bé theo phơng hớng kính.
Xét phân tố thanh chiều dài ds có mặt cắt ngang đối xứng với trục
oy. Trục ox là đờng trung hoà ( hình vẽ).
Ta có biến dạng tỉ đối tại bán kính

là:

yr
y
d
d
d
yd
ds
ds
+

=

=

= .
.
.

Theo định luật Húc:
R
R
2
R
1

d
y

r
ds

d
M

ds
y
0

yr
y
d
d
E
+

= .



(10-1)
Trên mặt cắt ngang ta có:


=
+

==
F F
dF
yr

y
d
d
EdFN 0



Ta thấy:
0



d
d
E
cho nên:

=
+
F
dF
yr
y
0
(10-2)
Tổng mô men của
dF

đối với trục trung hoà bằng mô men M:

+

==
F F
dF
yr
y
d
d
EydFM
2




(10-3)


+
=
+
=
+
F F FF
dF
yr
y
rdFydF
yr

yr
ydF
yr
y
.
.
2
Từ (10-2) ta có:

===
+
F F
x
yFSdFydF
yr
y
0
2

(10-4)
Trong đó
0
.yFS
x
=
là mô men tĩnh của mặt cắt ngang đối với đờng
trung hoà.
Thay (10-4) vào (10-3) ta có:

x

x
SE
M
d
d
S
d
d
EM
.
=



=




(10-5)
Thay (10-5) vào (10-1) ta có:



y
S
M
x
.=
(10-6)

10.2.2. uốn +kéo (nén) đồng thời :
áp dụng nguyên lí cộng tác dụng, ta có:



y
S
M
F
N
x
.+=
(10-6)
Trong đó N, M đợc xác định theo đờng trục đi qua trọng tâm mặt
cắt ngang.
10.3. Xác định vị trí đờng trung hoà.
10.3.1. Phơng pháp chính xác:
Từ (10-2) với

=+ yr
ta có:



===

=
+
F F F F
F

dF
F
r
dF
rdFdF
r
dF
yr
y



0
(10-8)
Đây là công thức xác định bán kính cong thớ trung hoà và vị trí
đờng trung hoà theo phơng pháp chính xác.
10.3.2. Phơng pháp gần đúng:
Ta đặt:

Fr
J
y
r
J
yFS
xx
x
.
.
*

0
*
0
===
Một cách gần đúng:

RrJJ
xx
;
)
*
trong đó
0
x
J
là mô men quán tính đối với trục đi qua trọng tâm. R
là bán kính cong của đờng trục thanh cong.
Vậy:
FR
J
y
x
.
0
0
=
(10-9)

Đây là công thức gần đúng xác định vị trí đờng trung hoà.
Công thức xác định vị trí đờng trung hoà của 1 số mặt cắt:

*) Mặt cắt tròn có đờng kính D:
Công thức chính xác:







=
4
8
2
2
2
D
RR
D
r
Công thức gần đúng:
R
D
y
16
2
0
=
(10-10)
*) Mặt cắt chữ nhật kích thớc bxh.
Công thức chính xác:

=
1
2
ln
R
R
h
r

Công thức gần đúng:
R
h
y
12
2
0
=
(10-11)
10.4. Điều kiện bền của thanh cong chịu uốn + kéo( nén)
Gọi y
N
và y

M
là khoảng cách từ đờng trung hoà đến biên ngoài và
biên trong của thanh cong. Ta có:

10
.
. R
y
Fy
M
F
N
M
M
=


20
.
. R
y
Fy
M
F
N
N
N
=

Việc chọn dấu phụ thuộc vào điểm đó chịu kéo hay nén do từng

thành phần nội lực gây nên.
Đối với vật liệu dẻo:
[ ]


NM
,max
Đối với vật liệu dòn, sau khi xét dấu ta tìm đợc
minmax
,

ta có điều kiện bền:
[ ] [ ]
nK


minmax
;