đề thi HSG Toán 9

111)
111
)((
++++++++=++++
b
c
a
c
c
b
a
b
c
a
b
a
cba
cba
;2
+
a
b
b
a
2
+
b
c
c
b
2

+
a
c
c
a
)()()(3
c
a
a
c
b
c
c
b
a
b
b
a
++++++=
92223)()()(3
=+++++++++
c
a
a
c
b
c
c
b
a

b
b
a
Phòng GD&ĐT Lục Nam Đề Thi chọn HSG cấp huyện
Năm học 2009 - 2010
Môn: Toán 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 (6 điểm).
1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x
7
+ x
2
+ 1
b) x
3
+ 2x
2
y+ xy
2
- 9x
c) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) 15
d) (x + y)(y + z)(z + x) + xyz
2. Chứng minh rằng: Nếu a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc và a, b, c đều là những số dơng

thì: a = b = c
Đáp án:
1. Phân tích thành nhân tử: Mỗi ý làm đúng cho 1 điểm
a) x
7
+ x
2
+ 1 = x
7
x + x
2
+ x + 1 = (x
2
+ x + 1)[x(x
3
+ 1)(x 1) + 1]
b) x
3
+ 2x
2
y

+ xy
2
9x = x(x + y + 3)(x + y 3)
c) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) 15 = (x
2
+ 7x + 7)(x
2
+ 7x + 15)

d) (x + y)(y + z)(z + x) + xyz = (x + y + z)(xy + yz + zx)
2. Ta có a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc

a
3
+ b
3
+ c
3
- 3abc = 0


(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
ab ac bc )= 0 (1 điểm)


(a+b+c)(2a
2
+2b

2
+2c
2
2ab 2ac 2bc )= 0


(a+b+c)[(a

-b)
2
+(b-c)
2
+(a-c)
2
]= 0 (0,5 điểm)


(a

-b)
2
+(b-c)
2
+(a-c)
2
= 0 (Vì a,b,c >0)


a = b = c (0,5 điểm)
Câu 2 (4 điểm).

1. Với a, b, c là những số dơng. Chứng minh rằng:

2. Tìm các giá trị
Zyx ,
thỏa mãn:
14)1(
22
++++= yxyxy

Đáp án:
1. Ta có: (0,5 điểm)
(0,5 điểm)
Vì a,b,c > 0 nên ta có ; (0,5 điểm)
(đpcm) (0,5 điểm)
9)
111
)((
++++
cba
cba
2009200820082009
1
2008200720072008
1

3223
1
2112
1
+

+
+
++
+
+
+
2
1
12
3
32
24
6
32
24
168
8
24
2
242
41212
22
2
222
+
+=

=

+

=

+
=
+=
++++=+
x
x
x
x
x
xx
y
x
xx
y
xxxyy
yxyxxyy
)12(3
12
3
+
+

xZ
x

=

=

=
=







=
=
=
=

=+
=+
=+
=+

0
2
1
2
1
0
2
1
1
0
312
312
112
112
y
y
y
y
x
x
x
x
x
x
x

x
1
11
1)1(
1
+
=
+++
nnnnnn
2009
12009
2009
1
1
1
2009
1
2008
1
2008
1
2007
1
2007
1

4
1
3
1

3
1
2
1
2
1
1
1

==
+++++
2.
14)1(
22
++++= yxyxy


22
4)1(1 yxyxy +++=
(1)
+ Nếu
101 << yy
thì (1) vô nghiệm. (0,5 điểm)
+ Nếu
101 yy
Khi đó bình phơng hai vế của (1) ta đợc:


(0,75 điểm)
Vì

Zyx ,


(không thỏa mãn đk
1y
)
Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm. (0,75 điểm)
Câu 3 (4 điểm).
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
91051263
242
++++ xxxx
2. Rút gọn biểu thức sau:
B =
Đáp án:
1. Ta có A =
91051263
242
++++ xxxx
=
54)1(59)1(3
222
++++ xx
dấu = xảy ra khi: x = -1. (1,5 điểm)
2. Xét và biến đổi trờng hợp tổng quát
Khi đó ta đợc:
B =
Câu 4 (4 điểm).
Cho tứ giác ABCD. Gọi E và G lần lợt là trung điểm của AD và BC. Lấy F và H
lần lợt trên AB và CD, biết rằng EFGH là hình bình hành, F không trùng với trung

điểm của AB. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD là hình thang.
b) S
EFGH
= S
ABCD
.
Đáp án: ( làm đúng mỗi phần đợc 2 điểm)
a) Lấy M, N lần lợt là trung điểm của AB và CD. Gọi O là giao điểm của MN và EG





=++
=++
=++
1
1
1
333
222
cba
cba
cba
200920082007
cba
++
2
1

2
1
2
1
2
1





=
=
=




==
==
1
0
0
10
10
c
b
a
bc
cb

=
=
=
0
1
0
c
b
a
+ Tứ giác MENG là hình bình hành.
+ Tứ giác EFGH là hình bình hành (GT)
=>OG=OE=OM=ON=OF=OH
=> Tứ giác MFNH là hình bình hành
=> MF//NH=>AB//CD
=>tứ giác ABCD là hình thang.
b) Kẻ FI

EG, HK

EG
Ta có S
EFGH
= S
EFG
+ S

EHG
= (FI.EG + HK.EG)= EG(FI + HK) (1)
Ta lại có EG là đờng trung bình của hình thang ABCD =>EG = (AB + CD) (2)
FI + HK = h : chính là chiều cao của hình thang (3)
Thay (2) và (3) vào (1) ta đợc: S
EFGH
= S
ABCD
(đpcm)
Câu 5 (2 điểm).

Cho Tính: P =
Đáp án:
Từ a+b+c =1=>( a+b+c)
2
=1=> a
2
+b
2
+c
2
+2(ab+ac+bc)=1=> ab+ac+bc = 0
Xét a
3
+b
3
+c
3
3abc = (a+b+c)(a
2

+b
2
+c
2
ab ac bc ) 1(1-0)=1
=>3abc = 0 => a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0. (1điểm)
+) Trờng hợp 1:

a = 0 => => b
2
+ c
2
+2bc = 1 => 2bc = 0

=> hoặc => P = 1
Xét tơng tự hai trờng hợp còn lại ta đợc P=1
Kết luận: P = 1 (1điểm)
A
B
MF
D
C
E
G
HN
O

=+
=+
=+
1
1
1
33
22
cb
cb
cb