Đề thi HSG toán lớp 9 có đáp án đề 52

Sở GD - ĐT Thanh Hoá
đề thi vào lớp 10 lam sơn (37)
Môn : Toán Thời gian: 150 phút
Bài 1: ( 1điểm )
Rút gọn
12
14414
12
12
22

+


+
=
m
mmm
m
m
A
Bài 2: ( 2 điểm )
Giải





=++
=++
401320062007

401320072006
yx
yx
Bài 3: ( 1,5 điểm )
Cho
042
2
=++
mmxx
Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn | x
1
- x
2
| =1
Bài 4: ( 1,0 điểm )
Tìm các số nguyên a, b, c thảo mãn

cbabcba 233
222
++<+++
Bài 5: ( 1,5 điểm )
Cho a,b,c dơng thoả mãn a
2
+ b
2
+ c
2
= 1
Chứng minh rằng:
2

33
222222

+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a

Bài 6: ( 3,0 điểm )
Cho hình vuông ABCD trên AB lấy điểm P nằm giữa A và B. nối CP cắt DA
tại I. Đờng vuông góc với CP tại C cắt AB tại K
a. Tính góc CIK.
b. Gọi M là giao điểm của AC và BD; N là trung điểm IK.
Chứng minh M , B, N thẳng hàng.
c. Chứng minh
CKIK 2
=
. Tính PI theo a và x với AB=a; BP=x.
d. Từ P hạ PQ vuông góc với IK ( Q

IK) Chứng minh P di động trên AB thì Q di
động trên một đờng tròn cố định.

Sở GD - ĐT Thanh Hoá
đáp án và thang điểm
đề thi vào lớp 10 lam sơn
Câu
ý
Nội dung
điểm
I 1,0
Điều kiện:
( ) ( )






>






+
2
1
2
1
012
01212

m
m
m
mm
0,25
Nếu
2
1
>
m
:
( )( ) ( )( ) ( )
[ ]
11212121212
12
1
=+++

=
mmmmm
m
A
0,25
Nếu
2
1

m
:
1

12
12
2


+
=
m
m
A

0,5
II 2,0
Điều kiện





2007
2007
y
x
0,25
Hệ phơng trình suy ra:
2006200720072006
++=++
yxyx

( )( ) ( )( )
2006200720072006
+=+
yxyx



yx
=
0,5
Từ





=
=++
yx
yx 401320072006



120072006
=+
yx
0,75

=+
=++
120072006
401320072006
yx
xx



4026043
==
yx
0.5
III 1,5
Yêu cầu bài toán







=

1

0
21
,
xx








=+

12
04
2
221
2
1
2
xxxx
mm
0,75



( )

=

01164
04
2
mm
mm



2
58
+
=
m
0,5
Vậy
2
58
+
=
m
thì phơng trình có nghiệm thoả mãn
1
21
=
xx
0,25
IV 1,0

Do
Zcba

,,
nên : a
2
+ b
2
+ c
2
+ 4

ab + 3b + 2c


( )
021
2
3
2
2
22
+






+

c
bb
a

0.25











=
=
=
02
01
2
0

2
c
b
b
a








=
=
=
1
2
1
c
b
a
0,5
V 1,5
Do a
2
+ b
2
+ c
2

= 1 nên
( )
2
2
222
11 aa
a
a
a
cb
a

=

=
+
(1)
0,25
Mà
( )
( ) ( )
3
3
222
2
22
3
2
3
112

12






=






++

aaa
aa
0,25
Suy ra
( )
27
4
1
2
22

aa

( )
33
2
1
2

aa
(2)
0,25
Từ (1) và (2)


2
22
.
2
33
a
cb
a

+

0,25
Do đó:
( )
2
3
2

33
222
222222
=++
+
+
+
+
+
cba
ca
c
ac
b
cb
a
(đpcm)
0,25
Dấu = xảy ra







=
=
=
22

22
22
12
12
12
cc
bb
aa



3
1
===
cba
0,25
VI
3,0
a Do góc ICK = góc IAK = 1V

tứ giác ACKI nội tiếp

góc CIK = góc CAK = 45
0
Vậy góc CIK = 45
0
0,25
b 0,75
D C
M

A
P B K
I .Q N
Do BA = BC

B nằm trên đờng trung trực của AC


IKA và

ICK vuông; IN = KN
CNAN
IKCN
IKAN
=







=
=

2
1
2
1

N nằm trên trung trực của AC
B, N, M nằm trên trung trực của AC nên B,N,M thẳng hàng
0,25
0,25
0,25
c 1,0
CIKCIK
=
0
/\
45
Vuông cân
CI=CK
CKIK 2
=
API

~
BPC


BP
PCAP
PI
BP
AP
PC
PI .
==
hay

x
xaxa
PI
22
)(
+
=
0,25
0,25
0,5
d 1,0
Ta có :
/\/\
PQIPAI
=
=1V tứ giác APQI nội
tiếp

0
/\
0
/\/\
4545
===
AQICIKPAQ
AQ là đờng phân giác
/\
PAI
.
Vậy P di động trên AB thì Q di động trên đờng thẳng cố định AQ là

đờng phân giác của góc
/\
PAI

0,25
0,5
0,25