ve tam giac deu trong bai toan tinh so do goc

Trần Văn Đồng (b) - Trường THCS Thạch Kim - Lộc Hà - Hà Tónh
DỰNG TAM GIÁC ĐỀU TRONG CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH SỐ ĐO GÓC, SO
SÁNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG( CHỨNG MINH CÁC TAM GIÁC ĐẶC
BIỆT)
A. Đặt vấn đề:
Trong chương trình Toán THCS, các bài toán về tam giác cân là các bài toán hay
và khó; đặc biệt là các bài toán về tính số đo góc hoặc so sánh độ dài đoạn thẳng là
những bài toán rất hay, đòi hỏi người học phải có tư duy sáng tạo nhanh nhẹn, óc
quan sát thông minh, kỹ năng nhận dạng bài toán chính xác để từ đó tìm ra cách
giải nhanh và gọn nhất
Bài 1:
Cho
∆
ABC cân tại A có
µ
B
= 60
0
. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC
Tính số đo của
·
ACD
,
·
ADC
Giải
* Cách 1:
Dựng tam giác đều BEC sao cho E nằm trong
∆
ABC
Ta có:

·
ABE
=
·
BAC
= 20
0
và BE = CE = BC = AD
∆
AEB =
∆
AEC (c-c-c)
⇒

·
BAE
=
·
CAE

⇒
AE là tia phân giác
của
·
BAC

⇒

·
BAE

=
·
CAE
= 10
0
∆
ABE =
∆
CAD (c-g-c)
⇒

·
ACD
=
·
BAE
= 10
0
⇒

·
ADC
= 150
0
* Cách 2:
Dựng tam giác đều AFD sao cho F nằm trên nửa mp bờ AB
không chứa điểm C
⇒

∆

ADC =
∆
FDC (c-c-c)
⇒
CD là tia
phân giác của góc ACF
⇒

·
ACD
=
1
2

·
ACF
(1) và
·
CDF
= 20
0
⇒

∆
ACF =
∆
BAC (c-g-c)
⇒

·

ACF
=
·
BAC
= 20
0
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
·
ACD
= 10
0

⇒

·
ADC
= 150
0
* Cách 3:
Dựng tam giác đều AKD sao cho K nằm trên nửa mp
bờ AC không chứa điểm D
⇒

·
KAD
= 80
0
⇒

∆
AKD =
∆
CAB (c-g-c)
⇒

·
AKD
= 20
0

⇒

·
CKD
= 40
0

∆
AKD =
∆
CAB (c-g-c)
⇒
∆
CKD cân tại K và có

·
CKD
= 40
0

nên
·
CDK
= 70
0

⇒

·
ACD
= 10
0

⇒

·
ADC
= 150
0
Chuyên đề: Dựng tam giác đều trong bài toán tính số đo góc, so sánh đoạn thẳng
1
D
K
C
B
A
D
E
C
B

A
D
F
C
B
A
Trần Văn Đồng (b) - Trường THCS Thạch Kim - Lộc Hà - Hà Tónh
Bài 2 (Đảo lại của bài 1):
Cho Cho
∆
ABC cân tại A có
µ
A
= 20
0
. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho
·
ACD
= 10
0
Tính độ dài AD biết BC = a
Hướng dẫn:
Dựng tam giác đều BEC (Như bài 1) ta chứng minh được
∆
ABE =
∆
CAD (c-g-c)
suy ra AD = BE = BC = a
Các cách khác giải tương tự
Bài 3:

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Ở miền trong hình vuông dựng
∆
AEB cân tại E sao
cho
·
AEB
= 150
0
Chứng minh rằng:
∆
CDE là tam giác đều
Giải
Dựng tam giác đều AFE sao cho E thuộc miền trong
của tam giác AED
∆
AEB cân tại E và có
·
AEB
= 150
0
nên suy ra
·
·
EAB = EBA
= 15
0

⇒

·

DAE
= 75
0

⇒
·
FAD
= 15
0

⇒

∆
EAB =
∆
FAD (c-g-c)
⇒
∆
FAD cân tại F

⇒

·
FDA
=
·
FAD
= 15
0
và

·
AFD
=
·
AEB
= 150
0
Ta có:
·
DFE
= 360
0
- (
·
FAE
+
·
AFD
) = 150
0
⇒
∆
FED =
∆
FAD (c-g-c)
⇒

·
·
FDE = FDA

= 15
0
và ED = AD = CD
⇒

∆
CED cân tại D (1)
Mặt khác
·
EDA
=
·
·
FDE + FDA
= 30
0

⇒

·
EDC
= 60
0
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
∆
CDE là tam giác đều
Mở rộng bài toán:
có thể thêm yêu cầu: Tính số đo của góc AED
Bài 4:

Cho tam giác ABC cân tại A có
µ
A
= 100
0
. Qua B dựng tia Bx sao cho
·
CBx
= 30
0
Tia phân giác của góc ACB cắt tia Bx tại D
a) So sánh CD với CA
b) Tính số đo của góc BDA
Giải
a) Dựng tam giác đều BEC sao cho E và A cùng
nằm trên nửa mp bờ BC
Ta suy ra EA là đường trung trực của BC
suy ra EA là tia phân giác của góc BEC
suy ra
·
AEB
=
·
AEC
= 30
0
Chuyên đề: Dựng tam giác đều trong bài toán tính số đo góc, so sánh đoạn thẳng
2
F
E

D
C
B
A
x
E
D
C
B
A
Trần Văn Đồng (b) - Trường THCS Thạch Kim - Lộc Hà - Hà Tónh
∆
ABC cân tại A có
µ
A
= 100
0
nên suy ra
·
ACB
=
·
ABC
= 40
0

⇒

·
·

·
ECA = ACD = DCB
= 20
0
suy ra
∆
DBC =
∆
AEC (g-c-g)
⇒
CD = CA
b) Ta có
·
BDA
= 180
0
- (
·
ABD
+
·
BAD
) (1)
Mà
·
·
·
ABD = ABC - DBC
= 10
0

(2)
·
·
·
BAD = BAC - DAC
=
·
BAC
-
·
0
180 - ACD
2
 
 ÷
 ÷
 
= 100
0
-
0 0
180 - 20
2
 
 ÷
 
= 20
0
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra

·
BDA
= 180
0
- (
·
ABD
+
·
BAD
) = 180
0
- (10
0

+ 20
0
) = 150
0
* Mở rộng bài toán: Có thể thay kết luận bằng yêu cầu: Tính số đo các góc ADC;
BAD
Bài 5:
Cho tam giác ABC cân tại A có
µ
A
= 40
0
. Trên tia phân giác AD của góc A lấy điểm
E sao cho
·

ABE
= 30
0
; trên cạnh AC lấy điểm F sao cho
·
CBF
= 30
0
a) Chứng minh : AE = AF
b) Tính số đo của
·
BEF
Giải
a) Ta có :
·
FBA
= 40
0
=
·
BAC

⇒

∆
BFA cân
tại F
⇒
FA = FB
⇒

F thuộc đường trung trực
của AB (1)
AH là phân giác của
·
BAC
nên
·
BAE
= 20
0
Dựng tam giác đều ABD sao cho D nằm trên
nửa mp bờ AC không chứa điểm B thì D
thuộc đường trung trực của AB (2)
và
·
FAD
= 20
0
Từ (1) và (2) suy ra DF là đường trung trực
của AB
⇒
DF là tia phân giác của góc ADB
⇒

·
·
ADF = BDF
= 30
0
Suy ra

∆
FAD =
∆
EAB (g-c-g)
⇒
AE = AF
b) Ta có
·
DFA
=
·
DFB
= 130
0
;
·
EFA
= 80
0
nên suy ra
·
EFB
= 20
0
,
·
EBF
= 10
0
Trong

∆
BFE thì
·
BEF
= 180
0
- (
·
EBF
+
·
EFB
) = 150
0

Bài 6:
Cho tam giác ABC cân tại B có
µ
B
= 80
0
. Điểm I nằm ở miền trong tam giác sao cho
·
IAC
= 10
0
;
·
ICA
= 30

0
Chuyên đề: Dựng tam giác đều trong bài toán tính số đo góc, so sánh đoạn thẳng
3
//
//
H
F
E
D
C
B
A
Trần Văn Đồng (b) - Trường THCS Thạch Kim - Lộc Hà - Hà Tónh
Tính số đo của
·
BIA
Giải
* Cách 1:
Dựng tam giác đều AKC sao choK và B cùng
nằm trên nửa mp bờ AC thì:
∆
BAK =
∆
BCK (c-c-c)
⇒

·
·
·
BAK = BCK = IAC

= 10
0

và
·
·
BKA = BKC
= 30
0

∆
BAK =
∆
IAC (g-c-g)
⇒
AB = AI
⇒

∆
BAI cân tại A có
·
BAI
= 40
0

⇒

·
·
AIB = ABI

= 70
0

* Cách 2:
Vẽ tia Ax hợp với AB sao cho
·
BAx
= 10
0
,
Ax cắt tia phân giác BH tại K
⇒
KAH = 60
0
Trong
∆
AHK có
·
AHK
= 90
0
,
·
KAH
= 60
0
nên suy ra
·
AKH
= 30

0

⇒
AK = 2 AH
⇒
AK = AC
⇒

∆
BAK =
∆
IAC (g-c-g)
⇒
AB = AI
⇒

∆
BAI cân tại A có
·
BAI
= 40
0

⇒

·
·
AIB = ABI
= 70
0

(Đây chính là cách dựng nửa tam giác đều AHK)
* Mở rộng: Bài toán này có thể thay yêu cầu trên
bằng : Chứng minh tam giác AIB cân hoặc tính số
đo của góc BIC, góc IBC
Bài 7:
Cho tam giác ABC cân tại A có
µ
A
= 20
0
Trên AB lấy điểm E sao cho
·
ECB
= 50
0

Trên AC lấy điểm D sao cho
·
DBC
= 60
0
Tính số đo của
·
BDE
Giải
Vẽ tamgiác đều ABF sao cho F nằm trên
nửa mp bờ AC không chứa điểm B
Gọi giao điểm của BF và AC là K
Ta có

·
CBK
= 20
0
;
·
DBK
= 40
0

·
BKC
= 180
0
- (
·
CBK
+
·
BCK
) = 80
0
⇒

∆
CBK cân tại K
⇒
BK = BC (1)
·
BEC

= 180
0
- (
·
CBE
+
·
BCE
) = 50
0
⇒

∆
CBE cân tại B
⇒
BE = BC (2)
Chuyên đề: Dựng tam giác đều trong bài toán tính số đo góc, so sánh đoạn thẳng
4
K
I
C
B
A
x
I
H
B
C
A
K

K
80
40
60
40
50
20
40
20
20
50
F
E
D
C
B
A
Trần Văn Đồng (b) - Trường THCS Thạch Kim - Lộc Hà - Hà Tónh
Từ (1) và (2) suy ra BE = BK
⇒
∆
KBE cân tại B và
·
EBK
= 60
0

⇒
∆
KBE là tam

giác đều
⇒
BK = EK (3)
Ta có
·
BDC
= 180
0
- (
·
CBD
+
·
BCD
) = 40
0
∆
BKD có
·
·
KBD = KDB
= 40
0
nên
∆
BKD cân tại K
⇒
BK = DK (4)
Từ (3) và (4) suy ra EK = DK
⇒

∆
EKD cân tại K và có

·
EKD
= 180
0
- (
·
BKC
+
·
BKE
) = 40
0
nên
·
KDE
= 70
0
mà
·
BDC
= 40
0
nên
·
BDE
= 30

0
Bài tập tương tự:
Bài 1:
Cho tam giác ABC cân tại C có C = 100
0
. Qua A và B lần lượt vẽ tia AL(L
∈
BC)
và BK (K
∈
AC) sao cho
·
LAB
= 30
0
;
·
KBA
= 20
0
. Gọi M là giao điểm của AL và
BK. Tính số đo của các góc ACM, BCM
Hướng dẫn: Dựng tam giác đều ADB sao cho D và C cùng thuộc nửa mp bờ AB
Chứng minh
∆
AMB =
∆
DCB để suy ra
∆
BMC cân tại B

Kết quả:
·
ACM
= 20
0
;
·
BCM
= 80
0
Bài 2:
Cho tam giác ABC cân tại A có
µ
A
= 80
0
. Trên AC lấy điểm K sao cho
·
CBK
= 10
0
Trên BK lấy điểm M sao cho
·
CAM
=
·
CBK
. Tính số đo của
·
CMB

;
·
CMA
Chuyên đề: Dựng tam giác đều trong bài toán tính số đo góc, so sánh đoạn thẳng
5