Giáo trình Cơ sở kỹ thuật thủy lợi_Chương 3 pdf

Khoa Xáy D͹ng Thͯy lͫi - Thͯy ÿi͏n B͡ môn C˯ Sͧ KͿ Thu̵t Thͯy Lͫi
Bài gi̫ng thͯy l͹c 1 Trang 30
CHѬѪNG 3
CѪ SӢĈӜNG LӴC HӐC CHҨT LӒNG
Fundamentals of Fluid Dynamics
***
CHѬѪNG 3 :
CѪ SӢĈӜNG LӴC HӐC CHҨT LӒNG
3.1 KHÁI NIӊM
1. Ĉӝng hӑc chҩt lӓng và ÿӝng lӵc hӑc chҩt lӓng
2. ChuyӇn ÿӝng không әn ÿӏnh và chuyӇn ÿӝng әn ÿӏnh
3. Các yӃu tӕ mô tҧ dòng chҧy chҩt lӓng
4. Hai mô hình nghiên cӭu chuyӇn ÿӝng cӫa chҩt lӓng
3.2 CÁC YӂU TӔ THӪY LӴC CӪA DÒNG CHҦY
1. DiӋn tích mһt cҳt ѭӟt Z
2. Chu vi ѭӟt F
3. Bán kính thӫy lӵc R
4. Lѭ
u lѭӧng Q
5. Vұn tӕc trung bình (tӕc ÿӝ trung bình) v
 3.3 PHѬѪNG TRÌNH LIÊN TӨC CӪA DÒNG CHҦY ӘN ĈӎNH
1. Phѭѫng trình liên tөc cӫa dòng nguyên tӕ chҧy әn ÿӏnh
2. Phѭѫng trình liên tөc viӃt cho toàn dòng
 3.4 PHѬѪNG TRÌNH BECNOULLI CӪA DÒNG CHҦY ӘN ĈӎNH
1. Phѭѫng trình Becnoulli cӫa dòng nguyên tӕ chҩt lӓng lý tѭӣng
2. Phѭѫng trình Becnoulli cӫa dòng nguyên tӕ chҩt lӓng thӵc chҧy әn ÿӏnh
3. Ý nghƭa vұt lý (năng l
ѭӧng) và ý ngh
ƭa thӫy lӵc (hình hӑc) cӫa phѭѫng trình
Becnoulli viӃt cho dòng nguyên tӕ chҧy әn ÿӏnh
a. Ý nghƭa năng lѭӧng (vұt lý)

b. Ý nghƭa thӫy lӵc (hình hӑc)
4 Ĉӝ dӕc thӫy lӵc và ÿӝ dӕc ÿo áp cӫa dòng nguyên tӕ
a. Ĉӝ dӕc thӫy lӵc cӫa dòng nguyên tӕ
b. Ĉӝ dӕc ÿo áp cӫa dòng nguyên tӕ
5 Phѭѫng trình Becnoulli cӫa toàn dòng chҧy (kích thѭӟc hӳu hҥn) chҩt l
ӓng thӵc,
ch
ҧy әn ÿӏnh
a. Ĉһt vҩn ÿӅ
b. ViӃt phѭѫng trình
c. Mӝt sӕ lѭu ý khi viӃt phѭѫng trình Becnoulli
d. Ĉӝ dӕc thuӹ lӵc J và ÿӝ dӕc ÿo áp J
p
cӫa toàn dòng chҧy
6. Ӭng dөng cӫa phѭѫng trình Becnoulli trong viӋc ÿo lѭu tӕc và lѭu lѭӧng
a. Ӕng Pitot
b. Ӕng Venturi
 3.5 PHѬѪNG TRÌNH ĈӜNG LѬӦNG CӪA TOÀN DÒNG CHҦY ӘN ĈӎNH
1. Ĉһt vҩn ÿӅ
2. ViӃt phѭѫng trình
a. Ĉӕi vӟi các dòng nguyên tӕ
b. Phѭѫng trình ÿӝng lѭӧng viӃt cho toàn dòng
Khoa Xáy D͹ng Thͯy lͫi - Thͯy ÿi͏n B͡ môn C˯ Sͧ KͿ Thu̵t Thͯy Lͫi
Bài gi̫ng thͯy l͹c 1 Trang 31
 3.6 MÔI TRѬӠNG CHUYӆN ĈӜNG COI NHѬ TҰP HӦP CӪA VÔ SӔ PHҪN TӰ
CHҨT LӒNG
1. Hai phѭѫng pháp nghiên cӭu sӵ chuyӇn ÿӝng cӫa chҩt lӓng
2. Phѭѫng trình vi phân cӫa ÿѭӡng dòng, ÿѭӡng xoáy và ӕng xoáy
3. Phân tích chuyӇn ÿӝng cӫa mӝt phҫn tӱ chҩt lӓng
4. Phѭѫng trình vi phân liên tөc

5. Phѭѫng trình vi phân chuyӇn ÿӝng cӫa chҩt lӓng lý tѭӣng
6. Phѭѫng trình vi phân chuyӇn ÿӝng cӫa chҩ
t lӓng lí tѭӣng viӃt dѭӟi dҥng Grô-mê-
cô
7. Phѭѫng trình vi phân chuyӇn ÿӝng cӫa chҩt lӓng thӵc (phѭѫng trình Navier -
Stockes)
Khoa Xáy D͹ng Thͯy lͫi - Thͯy ÿi͏n B͡ môn C˯ Sͧ KͿ Thu̵t Thͯy Lͫi
Bài gi̫ng thͯy l͹c 1 Trang 32
Nguӗn
bә sung
H
1
H
2
A
x
A
x
B
x
B
x
u
u

3.1 KHÁI NIӊM
- Chѭѫng này chúng ta nghiên cӭu nhӳng nét chính cӫa chҩt lӓng chuyӇn ÿӝng.
NhiӅu hiӋn tѭӧng thӫy lӵc phӭc tҥp, không thӇ nghiên cӭu hoàn toàn bҵng lý thuyӃt
ÿѭӧc mà phҧi kӃt hӧp vӟi thӵc nghiӋm.
-Trong phҥm vi thӫy lӵc ÿҥi cѭѫng, thѭӡng sӱ dөng ba ÿӏnh lөât bҧo toàn: Khӕi

lѭӧng, Năng lѭӧng và Ĉӝng lѭӧng.
1. Ĉӝng hӑc chҩt lӓ
ng và ÿӝng lӵc hӑc chҩt lӓng:
- Ĉӝng hӑc chҩt lӓng: Nghiên cӭu nhӳng qui luұt chuyӇn ÿӝng cӫa chҩt lӓng mà
không xét ÿӃn các lӵc tác dөng.
- Ĉӝng lӵc hӑc chҩt lӓng: Nghiên cӭu nhӳng qui luұt chuyӇn ÿӝng cӫa chҩt lӓng,
trong ÿó có xét ÿӃn yӃu tӕ lӵc.
¾ Nhұn xét:
-Nhӳng qui luұt mà ÿӝ
ng hӑc chҩt lӓng nghiên c
ӭu áp dөng ÿѭӧc cho cҧ chҩt lӓng
thӵc và chҩt lӓng lý tѭӣng.
-Nhӳng qui luұt mà ÿӝng lӵc hӑc chҩt lӓng nghiên cӭu vӅ chҩt lӓng lý tѭӣng; nӃu
muӕn áp dөng cho chҩt lӓng thӵc phҧi có nhӳng hӋ sӕ hiӋu chӍnh phù hӧp vӟi tính
nhӟt cӫa chҩt lӓng thӵc.
2. ChuyӇn ÿӝ
ng không әn ÿӏnh và chuyӇn ÿӝng ә
n ÿӏnh
- ChuyӇn ÿӝng không әn ÿӏnh: Là chuyӇn ÿӝng mà các yӃu tӕ chuyӇn ÿӝng phө
thuӝc vào thӡi gian, tӭc là: u = u (x,y,z,t); p = p(x,y,z,t) hoһc
0z
w
w
t
u
; 0
t
p
z
w

w
-ChuyӇn ÿӝng әn ÿӏnh: Là chuyӇn ÿӝng mà các yӃu tӕ chuyӇn ÿӝng không thay ÿәi
theo thӡi gian tӭc là: u = u (x,y,z); p = p(x,y,z ) hoһc
0
w
w
t
u
; 0
w
w
t
p
9
Ví dө: Cho bình chӭa nѭӟc và có vòi lҩy nѭӟc nhѭ sau:
- Ban ÿҫu mӵc nѭӟc trong bình là
H
1
, sau thӡi gian t do nѭӟc chҧy ra ngoài
nên mӵc nѭӟc trong bình chӍ còn là H
2
.
Ĉây là dòng chҧy không әn ÿӏnh vì áp suҩt
p
A
tҥi ÿiӇm A và vұn tӕc u
A
tҥi ÿiӇm A ÿã
thay ÿәi và giҧm dҫn theo thӡi gian. Tҩt
nhiên tҥi ÿiӇm B thì

p
B
z p
A
; u
B
z u
A
.
- NӃu ta có nguӗn nѭӟc bә sung vào
bình, giӳ cho H
1
không bӏ thay ÿәi (nhѭ
vұy áp suҩt và vұn tҥi A và B sӁ không
thay ÿәi theo thӡi gian). s
=> Ĉây là chuyӇn ÿӝng әn ÿӏnh.
Khoa Xáy D͹ng Thͯy lͫi - Thͯy ÿi͏n B͡ môn C˯ Sͧ KͿ Thu̵t Thͯy Lͫi
Bài gi̫ng thͯy l͹c 1 Trang 33
3. Các yӃu tӕ mô tҧ dòng chҧy chҩt lӓng.
a. Quӻÿҥo, Ĉѭӡng dòng.
9 Quӻÿҥo: Là ÿѭӡng ÿi cӫa mӝt phҫn tӱ chҩt lӓng trong không gian theo thӡi gian.
9 Ĉѭӡng dòng:
- Ĉѭӡng dòng là ÿѭӡng cong (C) tҥi mӝt thӡi ÿiӇm cho trѭӟc, ÿi qua các phҫn tӱ
chҩt lӓng có vectѫ lѭu tӕc là nh
ӳng tiӃp tuyӃn cӫa ÿѭӡng ҩy.
-Có thӇ vӁÿѭӡng dòng trong môi trѭӡng chҩt l
ӓng nhѭ sau: Tҥi mӝt thӡi ÿiӇm t
phҫn tӱ M có tӕc ÿӝ u, cNJng ӣ thӡi ÿiӇm ÿó, phҫn tӱ chҩt lӓng M
1
ӣ sát cҥnh phҫn

tӱ M và nҵm trên véctѫ u, có tӕc ÿӝ u
1
. Tѭѫng tӵ cNJng ӣ thӡi ÿiӇm trên ta cNJng có
M
2
và u
2
, M
i
và u
i
. Ĉѭӡng cong C ÿi qua các ÿiӇm M
1
, M
2
,…M
i
lҩy tӕc ÿӝ u
1
,
u
2
,… u
i
làm tiӃp tuyӃn chính là mӝt ÿѭӡng dòng ӣ thӡi ÿiӇm t.
¾Tính ch̭t
- Hai ÿѭӡng dòng không giao nhau hoһc tiӃp xúc nhau.
Lý do: NӃu giao nhau hoһc tiӃp xúc nhau, mӛi ÿѭӡng có mӝt véctѫ tiӃp tuyӃn khác nhau,
nhѭng tҥi mӝt ÿiӇm chӍ có mӝt véc tѫ lѭu tӕc u, do ÿó trái vӟi ÿӏnh nghƭa.
- Trong dòng chҧy әn ÿӏnh, ÿѭӡng dòng cNJng ÿӗng thӡi là qNJy ÿҥo cӫa nhӳng

phҫ
n tӱ chҩt lӓng trên ÿѭӡng dòng ҩy.
b. Dòng nguyên tӕ, dòng chҧy
Trên chu vi diӋn tích dw vô cùng nhӓ ta vӁ
các ÿѭӡng dòng ÿi qua và khi sӕÿѭӡng
dòng là vô cùng sӁ cho ta mӝt mһt kín gӑi
là ӕng dòng và chҩt lӓng chuyӇn ÿӝng
trong ӕng dòng gӑi là dòng nguyên tӕ.
- Dòng chҧy: Là môi trѭӡng chuyӇn ÿӝng
tұp hӧp gӗm vô sӕ dòng nguyên tӕ. Trong
thӵc tiӇn kӻ thuұt ta có dòng chҧy trong
sông, dòng chҧy trong ӕng.
M
M
M
M
t
4
M
M
t
3
t
2
t
1
t
5
t
6

dZ
Z
dZ
M
M
1
u
u
1
u
2
M
3
u
3
M
4
u
4
M
2
(C)
Khoa Xáy D͹ng Thͯy lͫi - Thͯy ÿi͏n B͡ môn C˯ Sͧ KͿ Thu̵t Thͯy Lͫi
Bài gi̫ng thͯy l͹c 1 Trang 34
4. Hai mô hình nghiên cӭu dòng chҧy
Mô hình 1: Môi trѭӡng chҩt lӓng chuyӇn ÿӝng coi nhѭ là tұp hӧp gӗm vô sӕ dòng
nguyên tӕ. Vӟi mô hình nҫy ta ÿi ÿӃn bài toán ÿѫn giҧn mӝt chiӅu.
Mô hình 2: Môi trѭӡng chҩt lӓng chuyӇn ÿӝng coi nhѭ là tұp hӧp gӗm vô sӕ phҫn tӱ
chҩt lӓng. Nghiên cӭu theo mүu này thѭӡng ÿi ÿӃn nhӳng phѭѫng trình vi phân phӭc tҥp
nhiӅu chiӅu.

Khoa Xáy D͹ng Thͯy lͫi - Thͯy ÿi͏n B͡ môn C˯ Sͧ KͿ Thu̵t Thͯy Lͫi
Bài gi̫ng thͯy l͹c 1 Trang 35
MÔI TRѬӠNG CHUYӆN ĈӜNG COI NHѬ TҰP HӦP
VÔ SӔ DÒNG NGUYÊN TӔ

3.2 CÁC YӂU TӔ THӪY LӴC CӪA DÒNG CHҦY
1. DiӋn tích mһt cҳt ѭӟt
Z
-Cҳt ngang dòng chҧy ta ÿѭӧc diӋn tích, ký hiӋu
Z
-Mһt cҳt ѭӟt
Z
là phҫn diӋn tích do chҩt lӓng chuyӇn ÿӝng qua vӟi ÿiӅu kiӋn
vectѫ vұn tӕc vuông góc mһt cҳt ѭӟt.
-Mһt cҳt ѭӟt có thӇ là phҷng khi các ÿѭӡng dòng là nhӳng ÿѭӡng thҷng song
song và là mһt cong khi các ÿѭӡng dòng không song song.
2. Chu vi ѭӟt F
Chu vi ѭӟt
F
là bӅ dài cӫa phҫn tiӃp xúc giӳa chҩt lӓng và thành rҳn.

4

2
d
hhmb
S
ZZ

dmhb .1.2

2
SFF

3. Bán kính thӫy lӵcR
- Là ti sӕ giӳa diӋn tích mһt cҳt ѭӟt Z và chu vi ѭӟt F
F
Z
R
(3.1)
- Ĉӕi vӟi hình tròn ta có:
4
d
R
(khác vӟi bán kính hình hӑc
2
d
r
)
4. Lѭu lѭӧng Q
-Là thӇ tích chҩt lӓng ÿi qua mӝt mһt cҳt ѭӟt nào ÿó trong mӝt ÿѫn vӏ thӡi gian.
D
A
B
C
D
d
b
h
m=cotg
D

Ĉѭӡng dòng
Mһt cҳt
Sông
Khoa Xáy D͹ng Thͯy lͫi - Thͯy ÿi͏n B͡ môn C˯ Sͧ KͿ Thu̵t Thͯy Lͫi
Bài gi̫ng thͯy l͹c 1 Trang 36
t
w
Q
(m
3
/s) hay (l/s)
w: ThӇ tích chҩt lӓng ÿi qua Z trong thӡi gian t.
t : Thӡi gian mà thӇ tích chҩt lӓng w ÿi qua Z.
- Giҧ sӱ ta có mӝt diӋn tích phҷng dZ, tӕc ÿӝ u cӫa chҩt lӓng ÿi qua diӋn tích lұp
vӟi pháp tuyӃn cӫa diӋn tích mӝt góc D. ThӇ tích chҩt lӓng dw ÿi qua trong thӡi gian dt rõ
ràng bҵng thӇ tích hình trөÿáy dZ, dài udt tӭc bҵng tích sӕÿáy dZ vӟi chiӅu cao udt
cosD.
dw = dq.dt = udt.cosD.dZ.
Gӑi u
n
là hình chiӃu cӫa u lên pháp tuyӃn,
ta có u
n
= ucosD
Vұy: dq = u
n
dZ
- NӃu diӋn tích phҷng dZ lҥi là mһt
cҳt ѭӟt cӫa mӝt dòng nguyên tӕ thì rõ ràng
lѭu tӕc ÿiӇm trên mһt cҳt ѭӟt phҧi thҷng

góc vӟi mһt ÿó. Vұy lѭu lѭӧng nguyên tӕ
dq cӫa dòng nguyên tӕ bҵng: dq = u.dZ
- Lѭu lѭӧng cӫa toàn dòng chҧy là tәng sӕ các lѭu lѭӧng nguyên tӕ trên mһt cҳt
ѭӟt cӫa toàn dòng:
³³
ZZ
Z d.udQQ
(3.2)
5. Vұn tӕc trung bình (lѭu tӕc trung bình) v.
-Lѭu tӕc trung bình cӫa dòng chҧy tҥi mһt cҳt là tӹ
sӕ lѭu lѭӧng Q ÿӕi vӟi diӋn tích cӫa mһt cҳt ѭӟt
ÿó, ký hiӋu bҵng v, ÿѫn vӏÿo bҵng m/s (hay cm/s).

Z

Q
v
hay
Z
Z

³
Z
d.u
v

(3.3)
Nhѭ vұy lѭu lѭӧng bҵng thӇ tích hình trө có ÿáy là mһt cҳt ѭӟt, có chiӅu cao bҵng lѭu tӕc
trung bình mһt cҳt ѭӟt.
Z .vQ

v
u
max
u
i
BiӇu ÿӗ phân bӕ
v
ұ
n tӕc
Khoa Xáy D͹ng Thͯy lͫi - Thͯy ÿi͏n B͡ môn C˯ Sͧ KͿ Thu̵t Thͯy Lͫi
Bài gi̫ng thͯy l͹c 1 Trang 37

3.3 PHѬѪNG TRÌNH LIÊN TӨC CӪA DÒNG CHҦY ӘN ĈӎNH
Cѫ sӣ thiӃt lұp phѭѫng trình:
Chҩt lӓng chuyӇn ÿӝng mӝt cách liên tөc, nghƭa là trong môi trѭӡng chҩt lӓng
chuyӇn ÿӝng không hình thành nhӳng vùng không gian trӕng không, không chӭa chҩt
lӓng. Tính chҩt liên tөc này ÿѭӧc biӇu thӏ bӣi biӇu thӭc toán hӑc gӑi là phѭѫng trình liên
tөc.
1. Phѭѫng trình liên tөc cӫa dòng nguyên tӕ chҧy әn ÿӏ
nh
- Trên mӝt dòng nguyên tӕ ta lҩy hai mһt cҳt AA và BB có diӋn tích tѭѫng ӭng là
d
1
và d
2
vӟi lѭu tӕc tѭѫng ӭng u
1
và u
2
.

- Sau thӡi gian dt, thӇ tích chҩt lӓng ӣ trong dòng nguyên tӕ giӟi hҥn bӣi hai mһt
cҳt AA và BB có vӏ trí mӟi là thӇ tích cӫa dòng giӟi hҥn bӣi hai mһt cҳt A
’
A
’
và
B
’
B
’
. Ngoài ra trong chuyӇn ÿӝng әn ÿӏnh, hình dҥng cӫa dòng nguyên tӕ không
thay ÿәi theo thӡi gian, ÿӗng thӡi chҩt lӓng không xuyên qua ӕng dòng mà ÿi ra
hay ÿi vào dòng nguyên tӕ.
- Trong dòng nguyên tӕ không có chӛ trӕng, ÿӕi vӟi chҩt lӓng không nén ÿѭӧc thì
thӇ tích chҩt lӓng trong ÿoҥn dòng nguyên tӕ giӟi hҥn bӣi hai mһt cҳt ѭӟt AA và
BB phҧi là mӝt trӏ hҵng sӕ không ÿә
i, tӭc là: W[AA,BB] = W[A’A’,B’B’]
Hay W[AA’] = W[BB] (vì ÿoҥn giӳa hai m
һt cҳt A’A’ và BB là chung)
Do ÿó: u
1
.d
1
dt = u
2
.d
2
dt
Nên u
1

d
1
= u
2
d
2
(3.4)
- Phѭѫng trình (3.4) là phѭѫng trình liên tөc cӫa dòng nguyên tӕ. Theo (3.4) biӇu
thӭc (3.2) viӃt thành: dq
1
=dq
2
hoһc dq = const. (3.5)
2. Phѭѫng trình liên tөc viӃt cho toàn dòng
-Tӯ phѭѫng trình liên tөc (3.4) cӫa dòng nguyên tӕәn ÿӏnh, ta suy ra phѭѫng
trình liên tөc cho toàn dòng chҧy әn ÿӏnh. Ta tích phân phѭѫng trình (3-2) cho
toàn mһt cҳt .

³³

21
2211

ZZ
ZZ
dudu (3.6)
- ĈӇ tích phân nó ta ÿѭa ÿҥi lѭӧng vұn tӕc trung bình mһt cҳt ѭӟt v tѭѫng ӭng vӟi
mһt cҳt ѭӟt
Zsao cho
³

Z
Z Z d.u.v , do ÿó phѭѫng trình (3-6) viӃt thành:
v
1
Z
1
= v
2
Z
2
(3.7)
Khoa Xáy D͹ng Thͯy lͫi - Thͯy ÿi͏n B͡ môn C˯ Sͧ KͿ Thu̵t Thͯy Lͫi
Bài gi̫ng thͯy l͹c 1 Trang 38
D
1
D
2
- Ĉó là phѭѫng trình liên tөc cӫa dòng chҧy әn ÿӏnh cӫa chҩt lӓng không nén
ÿѭӧc. Nó ÿúng cho cҧ chҩt lӓng lý tѭӣng và chҩt lӓng thӵc. Tӯ công thӭc (3.5)
có thӇ biӃn ÿәi (3.7) thành:
Q
1
= Q
2
hay Q = const (3.8)
Nhѭ vұy: Trong dòng chҧy әn ÿӏnh, lѭu lѭӧng qua các mһt cҳt ÿӅu bҵng nhau.
Tӯ v
1
.Z
1

= v
2
.Z
2
o
1
2
v Z
Z

2
1
v
,, ,
Tͱc là trong dòng ch̫y ͝n ÿ͓nh l˱u t͙c trung bình t͑ l͏ ngh͓ch vͣi di͏n tích m̿t c̷t ˱ͣt.
Trong thӵc tӃӣ mӝt ÿoҥn suӕi ngҳn hoһc trong mӝt ÿoҥn ӕng có ÿѭӡng kính khác
nhau ta có thӇ quan sát ÿѭӧc, chӛ nào rӝng thì nѭӟc chҧy chұm, chӛ nào hҽp thì
nѭӟc chҧy nhanh.
¾
Ghi chú: Phѭѫng trình liên tөc thuӝc loҥi phѭѫng trình ÿӝng hӑc ch
ҩt lӓng nên dùng
ÿѭӧc cho cҧ chҩt lӓng lý tѭӣng và chҩt lӓng thӵc.
9
Ví dө:
Cho sѫÿӗ hình bên. Dòng chҧy әn ÿӏnh.
D
1
=1dm; D
2
=2dm; Lѭu lѭӧng:Q=3,14 l/s.

Xác ÿӏnh vұn tӕc v trong ӕng ?
Giҧi:
-Vұn tӕc trong ӕng có ÿѭӡng kính D
1
:

sdm4
1.
4.14,3
D.
4.QQ
v
22
11
1

S

S

Z

-Vұn tӕc trong ӕng có ÿѭӡng kính D
2
: Ta dùng phѭѫng trình liên tөc.

sdm v
.v
v.v.v 1
2

1
4
2
2
1
1
2
11
22211

¸
¹
·
¨
©
§

Z
Z

Z
Z
oZ Z
Ta cNJng có thӇ tính v
2
theo quan hӋ :

sdm
.
.,Q

v.vQ 1
2
4143
2
2
222

S

Z
oZ
Rõ ràng, ÿoҥn ӕng có ÿѭӡng kính D
2
= 2 dm > 1 dm = D
1
,
nên vұn tӕc v
2
=1 dm/s < 4 dm/s = v
1
.
Khoa Xáy D͹ng Thͯy lͫi - Thͯy ÿi͏n B͡ môn C˯ Sͧ KͿ Thu̵t Thͯy Lͫi
Bài gi̫ng thͯy l͹c 1 Trang 39
'
S
2
W
1
1
W

2

3.4 PHѬѪNG TRÌNH BERNOULLI CӪA DÒNG CHҦY ӘN ĈӎNH
Ӣ chѭѫng thӫy tƭnh
ta ÿã có phѭѫng trình :
constHz 
J
p
- Ý nghƭa năng lѭӧng: Trong môi trѭӡng chҩt lӓng tƭnh ÿӭng cân bҵng thӃ năng cӫa
ÿѫn vӏ trӑng lѭӧng cӫa mӑi ÿiӇm trong chҩt lӓng ÿӅu bҵng nhau.Tùy theo vӏ trí mà ÿiӇm
ta xét sӁ có cӝt nѭӟc vӏ trí (vӏ năng ÿѫn vӏ) và cӝt nѭӟc ÿo áp (áp năng ÿѫn vӏ) khác nhau
nhѭng vүn ÿҧm bҧo tәng cӝt nѭӟc H (hay còn gӑi là n
ăng lѭӧng ÿѫn vӏ E) là không ÿәi.
Trong
chѭѫng này, ta nghiên cӭu chҩt lӓng nѭӟc chuyӇn ÿӝng, nghƭa là nѭӟc
không còn ÿӭng yên nӳa. Năng lѭӧng ÿѫn vӏ trӑng lѭӧng E sӁ biӃn ÿәi nhѭ thӃ nào trong
trѭӡng hӧp có vұn tӕc, có ma sát cӫa nѭӟc? lúc ÿó z và
J
p
sӁ nhѭ thӃ nào?
Ta sӁ nghiên cӭu vҩn ÿӅ nҫy ӣ mөc tiӃp theo.
1. Phѭѫng trình Bernoulli cӫa dòng nguyên tӕ chҩt lӓng lý tѭӣng.
Ta có ÿӏnh luұt ÿӝng năng nhѭ sau:
Ĉӏnh luұt ÿӝng năng: Sӵ biӃn thiên ÿӝng năng 'w cӫa mӝt khӕi lѭӧng nhҩt ÿӏnh khi nó
di ÿӝng trên mӝt quãng ÿѭӡng bҵng công cӫa các lӵc tác dөng lên khӕi lѭӧng ÿó cNJng
trên quãng ÿѭӡng ÿó.
Ta có ÿӝng năng:
2
v.m
w

2

'w = w
2
- w
1
= công cӫa lӵc tác dөng trên ÿoҥn ÿѭӡng 's
- Trong dòng chҧy әn ÿӏnh cӫa chҩt
lӓng lý tѭӣng, ta xét mӝt ÿoҥn dòng
nguyên tӕ giӟi hҥn bӣi mһt cҳt 1-1 và
2-2 có diӋn tích tѭѫng ӭng d
1
và d
2
. Ta
cNJng chӑn trөc chuҭn nҵm ngang ox;
nhѭ vұy mһt cҳt 1-1 có trӑng tâm ӣÿӝ
cao z
1
ÿӕi vӟi trөc chuҭn, áp suҩt thӫy
ÿӝng lên mһt cҳt ÿó là p
1
, lѭu tӕc là u
1
;
mһt cҳt 2-2 có trӑng tâm ӣÿӝ cao z
2
ÿӕi vӟi trөc chuҭn, áp suҩt thӫy ÿӝng
lên mһt cҳt ÿó là p
2

, lѭu tӕc là u
2
.
- Sau mӝt thӡi gian vô cùng nhӓ
't, các phҫn tӱ chҩt lӓng cӫa mһt cҳt
ѭӟt 1-1 ÿã di ÿӝng ÿѭӧc mӝt quãng ÿӃn
vӏ trí 1’-1’, ÿӝ dài 's
1
cӫa quãng ÿѭӡng ÿó bҵng: 's
1
= u
1
't.
- CNJng trong thӡi gian vô cùng nhӓ 't, các phҫn tӱ chҩt lӓng cӫa mһt cҳt ѭӟt 2-2 ÿã
di ÿӝng ÿѭӧc mӝt quãng ÿӃn vӏ trí 2-2, ÿӝ dài 's
2
cӫa quãng ÿѭӡng ÿó bҵng: 's
2
= u
2
't
- Lѭu lѭӧng ÿi qua mһt cҳt ѭӟt 1-1 và 2-2 bҵng: dQ = u
1
d
1
= u
2
d
2
.

- Không gian giӳa 1-1 và 2’-2’ có thӇ chia làm 3 khu vӵc: a, b, c
- Trong thӡi gian 't, sӵ biӃn thiên ÿӝng năng ' (ÿn) cӫa ÿoҥn dòng nguyên tӕÿang
xét bҵng hiӋu sӕÿӝng năng cӫa khu c và a, vì ÿӝng năng cӫa khu b không ÿәi:
z
1
P
2
O
1'
1
d
w
1
x
z
2
2'
2
d
w
2
y
1
P
1
1'
ds1-1'
ds2-2'
2
2'

Khoa Xáy D͹ng Thͯy lͫi - Thͯy ÿi͏n B͡ môn C˯ Sͧ KͿ Thu̵t Thͯy Lͫi
Bài gi̫ng thͯy l͹c 1 Trang 40
)
2
(.
2

2
)(
1
2
2
2
1
2
2
2
uu
tdQ
g
u
tdQ
u
tdQdn

' '' '
J
UU
-Ta tính ÿӃn công cӫa các lӵc ngoài tác dөng lên khӕi lѭӧng cӫa ÿoҥn dòng nguyên
tӕÿang xét. Các lӵc ngoài gӗm trӑng lӵc và áp lӵc thӫy ÿӝng.

- Công sinh ra bӣi trӑng lӵc C
TR-L
cӫa ÿoҥn dòng nguyên tӕÿang xét bҵng công cӫa
trӑng lӵc khӕi chҩt lӓng khu a di chuyӇn mӝt ÿӝ cao bҵng z
1
-z
2
ÿӇ ÿi tӟi khu c, tӭc là:
C
TR-L
= JdQ't (z
1
-z
2
)
- Áp lӵc thӫy ÿӝng tác dөng lên ÿoҥn dòng nguyên tӕÿang xét gӗm lӵc:
P
1
= p
1
.dZ
1
, hѭӟng thҷng góc vào mһt cҳt ѭӟt 1-1
P
2
= p
2
.dZ
2
, hѭӟng thҷng góc vào mһt cҳt ѭӟt 2-2

- Công sinh ra bӣi áp lӵc P
1
và P
2
bҵng:
C
ÁP
= P
1
's
1
- P
2
's
2
= p
1
.dZ
1
.'s
1
- p
2
.dZ
2
.'s
2
C
AP

= p
1
dZ
1
u
1
't - p
2
dZ
2
u
2
't = dQ( p
1
- p
2
) 't
Còn các lӵc bên hѭӟng thҷng góc vӟi phѭѫng chuyӇn ÿӝng nên không sinh ra công.
Theo ÿӏnh luұt ÿӝng năng ta viӃt ÿѭӧc: '(ÿn) = C
TR-L
+ C
ÁP
Do ÿó:
Ĉѫn giҧn phѭѫng trình nҫy, bҵng cách chia hai vӃ cho tdQ '
J
, ta có ÿѭӧc phѭѫng trình
ÿӝng năng viӃt cho mӝt ÿѫn vӏ trӑng lѭӧng chҩt lӓng :
J

 

21
21
1
2
2
2
22
PP
zz
g
u
g
u
Vұy:
(3.9)
Vì các mһt cҳt 1-1 và 2-2 cӫa dòng nguyên tӕ là tùy ý chӑn, nên phѭѫng trình (3.9) có thӇ
viӃt dѭӟi dҥng:
(3.10)
Phѭѫng trình (3.9) và (3.10) gӑi là phѭѫng trình Bernoulli cӫa dòng nguyên tӕ chҩt lӓng
lý tѭӣng chuyӇn ÿӝng әn ÿӏnh.
2. Phѭѫng trình Bernoulli cӫa dòng nguyên tӕ chҩt lӓng thӵc chҧy әn ÿӏnh.
-
Chҩt lӓng thӵc có tính nhӟt và khi nó chuyӇn ÿӝng thì sinh ra sӭc ma sát trong làm
cҧn trӣ chuyӇn ÿӝng. Muӕn khҳc phөc sӭc cҧn ÿó, chҩt lӓng phҧi tiêu hao mӝt phҫn cѫ
năng biӃn thành nhiӋt năng, mҩt ÿi không lҩy lҥi ÿѭӧc. Vì vұy chҩt lӓng thӵc giҧm dӑc
theo dòng chҧy nên:
Khoa Xáy D͹ng Thͯy lͫi - Thͯy ÿi͏n B͡ môn C˯ Sͧ KͿ Thu̵t Thͯy Lͫi
Bài gi̫ng thͯy l͹c 1 Trang 41
- NӃu chҩt lӓng chuyӇn ÿӝng tӯ mһt cҳt 1-1 ÿӃn 2-2 thì:
- Ký hiӋu h

’
W
là phҫn năng lѭӧng bӏ tiêu hao khi mӝt ÿѫn vӏ trӑng lѭӧng chҩt lӓng
chuyӇn ÿӝng tӯ mһt cҳt 1-1 ÿӃn 2-2 thì phѭѫng trình Becnoulli cӫa dòng nguyên tӕ chҩt
lӓng thӵc viӃt cho mһt cҳt 1-1 và 2-2, vӟi mһt chuҭn nҵm ngang 0-0 sӁ là:
+h
’
W
(3.11)
h
’
W
gӑi là tәn thҩt năng lѭӧng ÿѫn vӏ cӫa dòng nguyên tӕ hay còn gӑi là tәn thҩt cӝt nѭӟc
cӫa dòng nguyên tӕ.
3. Ý nghƭa vұt lý (năng lѭӧng) và ý nghƭa thӫy lӵc (hình hӑc) cӫa phѭѫng trình
Becnoulli viӃt cho dòng nguyên tӕ chҧy әn ÿӏnh.
a. Ý nghƭa năng lѭӧng (vұt lý).
Z : vӏ năng
P / Ȗ : áp năng ; (Z + P / Ȗ) : ThӃ năng
U
2
/ 2g : Ĉӝng năng
Tәng sӕ cӫa ba sӕ hҥng
E
g.2
u
p
z
2


J

trong phѭѫng trình Becnoulli biӇu thӏ tәng cѫ
năng cӫa mӝt ÿѫn vӏ trӑng lѭӧng, tӭc là tәng sӕ cӫa thӃ năng ÿѫn vӏ và ÿӝng năng ÿѫn vӏ.
¾
KӃt luұn:
Vұy cѫ năng cӫa dòng nguyên tӕ chҩt lӓng lý tѭӣng là hҵng sӕ. Còn cѫ năng dòng
nguyên tӕ chҩt lӓng thӵc, do có tәn thҩt nên giҧm dӑc theo dòng chҧy.
b. Ý nghƭa thӫy lӵc (hình hӑc)
z : Ĉӝ cao hình hӑc hay cӝt nѭӟc vӏ trí.
J
p
: Ĉӝ cao áp suҩt cӫa mһt cҳt ѭӟt nguyên tӕ hay cӝt nѭӟc áp suҩt;
w
h
c
J
2
p
g.2
u
2
2
Ĉ˱ͥng năng (ÿg t͝ng c͡t n˱ͣc)
J
2
p
J
1
p

g.2
u
2
1
g.2
u
2
1
Ĉg th͇ năng
(ÿg c͡t n˱ͣc ÿo áp)
Ĉ˱ͥng năng (ÿg t͝ng c͡t n˱ͣc)
Ĉg th͇ năng
(ÿg c͡t n˱ͣc ÿo áp)
J
1
p
z
1
z
1
z
2
z
2
0 0 0 0
M̿t chu̱n.M̿t chu̱n.
1
1
2
2

1
1
2
2
E
1
E
1
E
2
E
2
(CH̬T L͖NG TH͸C) (CH̬T L͖NG LÝ T˰ͦNG)
g.2
u
2
2
Khoa Xáy D͹ng Thͯy lͫi - Thͯy ÿi͏n B͡ môn C˯ Sͧ KͿ Thu̵t Thͯy Lͫi
Bài gi̫ng thͯy l͹c 1 Trang 42

g.
u
2
2
: Gӑi là cӝt nѭӟc lѭu tӕc
.
- Nhѭ vұy các sӕ hҥng cӫa phѭѫng trình Becnoulli viӃt cho dòng nguyên tӕ chҩt
lӓng lý tѭӣng, ÿӅu có thӭ nguyên là ÿӝ dài và tәng cӝt nѭӟc là hҵng sӕ.
- Ĉӕi vӟi phѭѫng trình Becnoulli viӃt cho dòng nguyên tӕ chҩt lӓng thӵc, vì cѫ
năng ÿѫn vӏ cӫa dòng nguyên tӕ giҧm ÿi theo chiӅu chҧy nên ÿѭӡng tәng cӝt nѭӟc không

thӇ nҵm ngang ÿѭӧc, chӍ có thӇ thҩp dҫn mà thôi. Nó có thӇ là mӝt ÿѭӡng thҷng hoһc
cong vì trӏ sӕ h
W
có thӇ tăng ÿӅu hoһc không ÿӅu dӑc theo chiӅu chҧy.
4.Ĉӝ dӕc thӫy lӵc và ÿӝ dӕc ÿo áp cӫa dòng nguyên tӕ.
a. Ĉӝ dӕc thӫy lӵc cӫa dòng nguyên tӕ.
- Ĉӏnh nghƭa:
Ĉӝ dӕc thӫy lӵc là tӍ sӕ hҥ thҩp cӫa ÿѭӡng tәng cӝt nѭӟc (ÿѭӡng
năng) ÿӕi vӟi ÿӝ dài cӫa ÿӑan dòng nguyên tӕ trên ÿó thӵc hiӋn ÿӝ hҥ thҩp.
dl
hd
dl
g.2
u
p
zd
dl
dH
J
w
2
c

¸
¸
¹
·
¨
¨
©

§

J

 
c
Trong ÿó H : tәng cӝt nѭӟc
L : ÿӝ dài cӫa ÿoҥn dòng nguyên tӕ
- Khi ÿѭӡng tәng cӝt nѭӟc là mӝt ÿѭӡng thҷng thì
l
h
J
w
c

c
- Ta cNJng có thӇ hiӇu ÿӝ dӕc thӫy lӵc J’ là tәn thҩt thӫy lӵc trên mӝt ÿѫn vӏ chiӅu
dài cӫa dòng nguyên tӕ tҥi ÿiӇm ÿang xét.
b. Ĉӝ dӕc ÿo áp cӫa dòng nguyên tӕ.
- Ĉӏnh nghƭa:
Ĉӝ dӕc ÿѭӡng ÿo áp (ÿӝ dӕc ÿѭӡng thӃ năng) là tӍ sӕÿӝ hҥ thҩp
xuӕng hoһc lên cao cӫa ÿѭӡng ÿo áp ÿӕi vӟi ÿӝ dài cӫa dòng nguyên tӕ trên ÿó thӵc hiӋn
sӵ hҥ thҩp hoһc dâng cao.
dl
p
zd
J
p
¸
¸

¹
·
¨
¨
©
§
J

r
c
- Dҩu r chӍ sӵ tăng hoһc giҧm do dZ khác nhau dүn ÿӃn
g.2
u
2
khác nhau.
- Trong trѭӡng hӧp dZ = const,
g.2
u
2
giӕng nhau thì J
’
= J
’
p .
Khoa Xáy D͹ng Thͯy lͫi - Thͯy ÿi͏n B͡ môn C˯ Sͧ KͿ Thu̵t Thͯy Lͫi
Bài gi̫ng thͯy l͹c 1 Trang 43
5. Phѭѫng trình Bernoulli cӫa toàn dòng chҧy chҩt lӓng thӵc, chҧy әn ÿӏnh
a. Ĉһt vҩn ÿӅ:
ĈӇ có thӇ áp dөng phѭѫng trình Bernoulli trong thӵc tӃ cҫn phái suy rӝng phѭѫng
trình Bernoulli cӫa dòng nguyên tӕ cho toàn dòng chҧy có kích thѭӟc hӳu hҥn.

b. ViӃt phѭѫng trình:
-
Dӵa vào khái niӋm ÿәi dҫn và khái niӋm vӅ lѭu tӕc trung bình mһt cҳt ѭӟt v, ta
có thӇÿi tӯ phѭѫng trình Bernoulli cӫa dòng nguyên tӕ suy diӉn phѭѫng trình Bernoulli
cӫa toàn dòng chҧy.
- Vì phѭѫng trình Bernoulli cho dòng nguyên tӕ ta ÿã viӃt cho mӝt ÿѫn vӏ trӑng
lѭӧng chҩt lӓng. Khi viӃt phѭѫng trình Bernoulli cho toàn dòng, phҧi nhân vӟi trӑng
lѭӧng ÿi qua mһt cҳt cӫa dòng nguyên tӕ là
J.dQ (=J.u.d), sau ÿó tích phân vӟi toàn bӝ
mһt cҳt
Z
1
và Z
2
:
³³
ZZ
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
c

J
J
¸

¸
¹
·
¨
¨
©
§

J
J
21
22
2
22
2
2
11
1 w
h
g.
u
p
zdQ.
g.
u
p
zdQ.
³³³³³
ZZZZZ
J

c
JJ
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
J
 JJ
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
J

22211
22
2
22
2
2
11
1

dQ hdQ.
g.
u
dQ.
p
zdQ
g.
u
dQ.
p
z
w
Ta cҫn giҧi quyӃt 3 loҥi tích phân sau :
³³³
ZZZ
J
c
JJ
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
J
 dQ h;dQ
g.
u

;dQ
p
z
w
2
2
¾
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
J
J J
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
J

³
Z
p

z.Q.dQ
p
z
, (chӍ vӟi dòng chҧy biӃn ÿәi dҫn; vì có nhѭ vұy thì
const
p
z
J
 , QdQ
³
Z
).
¾ DJ J
³
Z
.
g.
v
Q.dQ
g.
u
22
2
2

- ͦÿây ta xét khái ni͏m l˱u t͙c trung bình v ÿ͋ tính tích phân này. L˱u t͙c ÿi͋m u
cͯa m͟i ph̯n t͵ ch̭t l͗ng trên m̿t c̷t ˱ͣt, so vͣi l˱u t͙c trung bình khác nhau m͡t tr͓
s͙
'
u. V̵y: u = v

'
u. Do dQ = ud
Z
nên
D
H͏ s͙ hi͏u ch͑nh khi thay th͇ u
b̹ng v̵n t͙c trung bình v
Khoa Xáy D͹ng Thͯy lͫi - Thͯy ÿi͏n B͡ môn C˯ Sͧ KͿ Thu̵t Thͯy Lͫi
Bài gi̫ng thͯy l͹c 1 Trang 44

Vì
³
Z
Z' d)u(
3
là m͡t ÿ̩i l˱ͫng vô cùng bé b̵c cao bên c̩nh nhͷng ÿ̩i l˱ͫng vô cùng bé
b̵c th̭p h˯n nên có th͋ b͗ÿi không tính.
Ngoài ra ta có:
.
Rõ ràng ta th̭y :
Do ÿó:

Ĉ̿t Ta có:
(3.12)
Ta cNJng có thӇ tính:
Z
Z

J
J

D
³³
ZZ
.v
d.u
g.
v
.Q.
dQ
g.
u
3
3
2
2
2
2
D:gӑi là hӋ sӕ sӱa chӳa ÿӝng năng. Vì mӛi mһt cҳt có u khác nhau và v trung bình khác
nhau nên
D
1
zD
2
. Khi sӵ sai khác giӳa u và v càng lӟn thì D sӁ càng lӟn, ÿӕi vӟi dòng
chҧy rӕi:
D= 1,05 y 1,1.
¾
³
Z
J

c
dQ h
w
: Tәng tәn thҩt năng lѭӧng (tәn thҩt cӝt nѭӟc) cӫa toàn bӝ dòng chҧy tӯ mһt
cҳt 1-1 ÿӃn mһt cҳt 2-2.
Gӑi h
w
là tәn thҩt năng lѭӧng trung bình cӫa mӝt ÿѫn vӏ trӑng lѭӧng chҩt lӓng tӯ
mһt cҳt 1-1 ÿӃn mһt cҳt 2-2 ta sӁ có
ww
h.Q.dQ h J J
c
³
Z
Cuӕi cùng cân bҵng phѭѫng trinh ta có:
w
2
222
2
2
111
1
h.Q.
g.2
v.
.Q.
p
z.Q.
g.2
v.

.Q.
p
z.Q. J
D
J
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
J
J
D
J
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
J
J
ViӃt cho mӝt ÿѫn vӏ trӑng lѭӧng chҩt lӓng bҵng cách chia hai vӃ cho
JQ ta có:
Khoa Xáy D͹ng Thͯy lͫi - Thͯy ÿi͏n B͡ môn C˯ Sͧ KͿ Thu̵t Thͯy Lͫi

Bài gi̫ng thͯy l͹c 1 Trang 45
w
h
g.
v.p
z
g.
v.p
z 
D

J

D

J

22
2
222
2
2
111
1
Ta có phѭѫng trình Becnoulli viӃt cho toàn dòng:
w
2
222
2
2

111
1
h
g.2
v.p
z
g.2
v.p
z 
D

J

D

J
 (3.13)
c. Mӝt sӕ lѭu ý khi viӃt phѭѫng trình Bernoulli.
Trên ÿây là phѭѫng trình Bernoulli cӫa toàn dòng chҧy әn ÿӏnh cӫa chҩt lӓng thӵc,
mӝt trong nhӳng phѭѫng trình cѫ bҧn và quan trӑng nhҩt cӫa thӫy lӵc hӑc. Muӕn áp
dөng ÿѭӧc phѭѫng trình này, cҫn chú ý các ÿiӇm sau:
a. Phѭѫng trình Bernoulli cӫa toàn dòng chҧy phҧi thӓa mãn 5 ÿiӅu kiӋn sau:
9 Dòng chҧy phҧi әn ÿӏnh.
9 Lӵc khӕi lѭӧng chӍ là trӑng lӵc.
9 Chҩt lӓng không nén ÿѭӧc.
9 Lѭu lѭӧng là mӝt hҵng sӕ.
9 Tҥi mһt cҳt chӑn dòng phҧi ÿәi dҫn, còn dòng chҧy giӳa hai mһt cҳt ÿó không
nhҩt thiӃt phҧi là chҧy ÿәi dҫn.
b. Vì trӏ sӕ )
g.

v
p
z(
2
2

J
 giӕng nhau cho mӑi ÿiӇm trên cùng mһt cҳt ѭӟt nên khi
viӃt phѭѫng trình Bernoulli có thӇ tùy ý chӑn ÿiӇm nào trên mһt cҳt ѭӟt cNJng ÿѭӧc. Nhѭ
vұy không yêu cҫu 2 ÿiӇm tҥi hai mһt cҳt khác nhau dùng ÿӇ viӃt phѭѫng trình Bernoulli
phҧi cùng ӣ trên mӝt dòng nguyên tӕ. Khi ta chӑn ÿiӇm, nên chӑn sao cho ÿӇ viӃt phѭѫng
trình Bernoulli ÿѭӧc ÿѫn giҧn.
c. Trong tính toán ÿӇ ÿѫn giҧn, thѭӡng ta lҩy D
1
= D
2
=1, nhѭng thӵc tӃ hai trӏ sӕ
này có khác nhau.
d. Ĉӝ dӕc thuӹ lӵc J và ÿӝ dӕc ÿo áp J
p
cӫa toàn dòng chҧy
Có ý nghƭa hoàn toàn giӕng ý nghƭa cӫa ÿӝ dӕc thuӹ lӵc và ÿӝ dӕc ÿo áp cӫa dòng
nguyên tӕ chҩt lӓng thӵc. Nó ÿѭӧc tính nhѭ sau :
9 Ĉӝ dӕc thuӹ lӵc:
dl
dh
dl
dH
dl
g.2

vp
zd
J
w
2

¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§

J


Khi ÿѭӡng năng là ÿѭӡng thҷng thì :
J =
h
W
l
=
l
)
g.
v.
p
z()

g.
v.p
z(
22
2
222
2
2
111
1
D

J

D

J

9 Ĉӝ dӕc ÿo áp :
J
p
= r )
p
z(
dl
d
J

Khi ÿѭӡng ÿo áp là ÿѭӡng thҷng thì :
Khoa Xáy D͹ng Thͯy lͫi - Thͯy ÿi͏n B͡ môn C˯ Sͧ KͿ Thu̵t Thͯy Lͫi

Bài gi̫ng thͯy l͹c 1 Trang 46
J
p
= r
l
)
p
z()
p
z(
J

J

2
2
1
1
6. Ӭng dөng cӫa phѭѫng trình Bernoulli trong viӋc ÿo lѭu tӕc và lѭu lѭӧng
a. Ӕng Pitot:
- Là mӝt dөng cөÿo lѭu tӕc ÿiӇm. Gӗm hai ӕng nhӓ
ÿѭӡng kính chӯng vài mm: mӝt ӕng thҷng
c
và mӝt ӕng
ÿҫu uӕn cong 90
0
d
, hai miӋng ӕng ÿһt sát nhau. Sau khi
ta ÿһt vào vӏ trí muӕn ÿo lѭu tӕc, ÿӑc ÿӝ chênh mӵc nѭӟc,
sӁ tính ra ÿѭӧc lѭu tӕc ÿiӇm.

- Thұt vұy, viӃt phѭѫng trình Becnoulli cho hai mһt
cҳt 1-1 và 2-2, vӟi mһt chuҭn qua ÿiӇm ÿo.
Vì ӕng 1 có vұn tӕc u chҧy lѭӟt trên miӋng nên có
cӝt nѭӟc lѭu tӕc. Ӕng 2 hѭӟng ngѭӧc dòng chҧy nên
không có cӝt nѭӟ
c lѭu tӕc.
Vұy ta có phѭѫng trình :
J

J
2
2
11
2
p
g
u
p
Vӟi z
1
= z
2
= 0 ; u
2
= 0, bӓ qua h
w
vì 1-1 và 2-2 rҩt gҫn nhau.
gh
pp
.gu 22

12
1

J


- ĈӇ tính ÿӃn ҧnh hѭӣng cӫa ÿӝ nhӟt chҩt lӓng và sӵ phá hoҥi cҩu tҥo dòng chҧy khi
ÿһt ӕng Pitot, cҫn thêm vào công thӭc trên hӋ sӕ sӱa chӳa
M xác ÿӏnh bҵng thí nghiӋm.
Khi ÿó lѭu tӕc ÿѭӧc xác ÿӏnh theo:
ghu 2
1
M , trong ÿó: M = 1,00 y1,04.
b. Ӕng Venturi
- Là dөng cөÿo lѭu lѭӧng gӗm hai ÿoҥn ӕng ngҳn có ÿѭӡng kính khác nhau, ӣ mӛi ÿoҥn
có lҳp ӕng ÿo áp.
- ViӃt phѭѫng trình Bernoulli cho mһt cҳt 1-1 và 2-2, mһt chuҭn trùng vӟi trөc ӕng.
NӃu bӓ qua h
W
, ta có:
g
vp
g
vp
22
2
222
2
111
D


J

D

J
Lҩy
D
1
= D
2
= 1, ta ÿѭӧc:
h
u
z
1
2
c
d
Khoa Xáy D͹ng Thͯy lͫi - Thͯy ÿi͏n B͡ môn C˯ Sͧ KͿ Thu̵t Thͯy Lͫi
Bài gi̫ng thͯy l͹c 1 Trang 47
22
H
11
0 0
Q
d
h
pp
g

vv

J



21
2
1
2
2
2
(*)
Theo phѭѫng trình liên tөc: v
1
.
1
= v
2
.
2
, ta viӃt lҥi:
Thay vào phѭѫng trình (*), ta ÿѭӧc:
g
d
D
v
h
2
1

4
2
1
»
»
¼
º
«
«
¬
ª

¸
¹
·
¨
©
§

, hay là:
Tính lѭu lѭӧng: (3.14)
Trong ÿó:
(3-34)
Thӵc tӃ có tәn thҩt giӳa hai mһt cҳt 1-1 và 2-2, do ÿó có hӋ sӕ hiӋu chӍnh k< 1. Vì vұy ta
sӁ có công thӭc tính Q nhѭ sau:
(3.15)
9 Ví dө:
Cho H=5 m, d=2cm. Hӓi Q?. Giҧ thiӃt h
w
=0.

Giҧi:
ViӃt phѭѫng trình Bernoulli cho ÿoҥn dòng chҧy 1-1 và 2-2:
,
,
,
,
,
0
w
2
22
0
2
H
2
0
2
11
0
1
0
1
h
g.2
v.p
z
g.2
v.p
z 
D


J

D

J


|

Hay
g.2
v.
H0
2
22
D

sm9,95.81,9.2gh2v
2

Lѭu lѭӧng )s/m(
4
02,0
.9,9.vQ
3
2
222
S Z
Khoa Xáy D͹ng Thͯy lͫi - Thͯy ÿi͏n B͡ môn C˯ Sͧ KͿ Thu̵t Thͯy Lͫi

Bài gi̫ng thͯy l͹c 1 Trang 48

3.5 PHѬѪNG TRÌNH ĈӜNG LѬӦNG CӪA TOÀN DÒNG CHҦY ӘN ĈӎNH
1. Ĉһt vҩn ÿӅ:
- Trong mӝt sӕ bài toán khi cҫn tìm lӵc tác dөng cӫa chҩt lӓng tác dөng lên thành
rҳn hoһc vӟi nhӳng bài toán ngѭӡi ta không biӃt ÿѭӧc tәn thҩt năng lѭӧng, ta
không thӇ áp dөng phѭѫng trình Becnoulli, mà phҧi dùng phѭѫng trình khác; ÿó
là phѭѫng trình ÿӝng lѭӧng.
-
ĈiӅu kiӋn áp dөng:
9 Môi trѭӡng liên tөc và dòng chҧy әn ÿӏnh,
9 Chҩt lӓng không nén ÿѭӧc.
- ĈӇ chӭng minh, áp dөng ÿӏnh luұt ÿӝng lѭӧng:
“Ĉ̩o hàm cͯa ÿ͡ng l˱ͫng cͯa m͡t v̵t th͋ÿ͙i vͣi thͥi gian b̹ng hͫp l͹c nhͷng
ngo̩i l͹c tác dͭng vào v̵t th͋ÿó”.
o

o

o
F
dt
)ud(m
dt
Kd
(3.16)
Hay ӣ dҥng sai phân:
tF)vm( '
o

o
' (BiӃn thiên ÿӝng lѭӧng bҵng xung lѭӧng)
Trong ÿó:
o
K
: Véc tѫÿӝng lѭӧng,
o
K
= m.
o
u
m : Khӕi lѭӧng vұt thӇ,
o
u
: Vұn tӕc vұt thӇ
t : Thӡi gian
- Phѭѫng trình Becnoulli xét ngoҥi lӵc (lӵc thӇ tích) và nӝi lӵc (ma sát trong - h
w
).
- Phѭѫng trình ÿӝng lѭӧng chӍ xét ÿӃn ngoҥi lӵc tác dөng mà không có nӝi lӵc. Do
ÿó khi nghiên cӭu phѭѫng trình ÿӝng lѭӧng ta chӍ cҫn tìm hiӇu tình hình dòng chҧy ӣ mһt
biên giӟi mà không cҫn tìm hiӇu tình hình nӝi bӝ dòng chҧy.
2. ViӃt phѭѫng trình:
a. Ĉӕi vӟi dòng nguyên tӕ:
- Trong dòng chҧy әn ÿӏnh lҩy mӝt ÿoҥn dòng nguyên tӕ giӟi hҥn bӣi mһt biên và
mһt 1-1 và 2-2.
-Tҥi mһt cҳt 1-1 cӫa dòng nguyên tӕ có u
1
, d
1

,
1
U
-Tҥi mһt cҳt 2-2 cӫa dòng nguyên tӕ có u
2
, d
2
,
2
U
(vӟi
1
U
=
2
U
)
9 Ѫ thӡi gian t: Ĉoҥn dòng 11-22
Sau khoҧng thӡi gian dt , tӭc tҥi thӡi ÿiӇm t
’
= t + dt, ÿoҥn dòng dӏch chuyӇn ÿӃn vӏ
trí 1’1’-2’2’
d
2
s
d
s
v
1
1

1
1'
1'
d
1
v
2
2
2
2'
2'
Khoa Xáy D͹ng Thͯy lͫi - Thͯy ÿi͏n B͡ môn C˯ Sͧ KͿ Thu̵t Thͯy Lͫi
Bài gi̫ng thͯy l͹c 1 Trang 49
9 Ĉoҥn 1’1’-22 là chung cӫa hai ÿoҥn dòng 11-22 và 1’1’-2’2’, nên ta chӍ xét
ÿӝng lѭӧng cӫa hai ÿoҥn 11-1
’
1
’
và 22-2
’
2
’
9 Ĉӝng lѭӧng ÿoҥn 11-1
’
1
’
là
1
udQdt
o

U
9 Ĉӝng lѭӧng ÿoҥn 22-2
’
2
’
là
2
udQdt
o
U
9 BiӃn thiên ÿӝng lѭӧng trong thӡi gian dt )um(
o
' chính là ÿӝng lѭӧng khu 22-2
’
2
’
trӯ cho ÿӝng lѭӧng khu 11-1
’
1
’
9 Vұy: )um(
o
' =
)(
1
2
oo
 uudtdQ
U
- Ta có phѭѫng trình:

'
F
o
= )(.
1
2
oo
 uudQ
U
(3-17)
b. Phѭѫng trình ÿӝng lѭӧng viӃt cho toàn dòng
Ta thҩy
³
Z
U dQ.u. là ÿӝng lѭӧng cӫa dòng chҧy:
v.Q dQ.u.
0
UD U
³
Z
(3-18)
Vӟi
D
0
:là hӋ sӕ sӱa chӳa ÿӝng lѭӧng do sӵ sai khác ÿӝng lѭӧng khi ta tính ÿӝng lѭӧng
theo lѭu tӕc thӵc u và lѭu tӕc trung bình v.
Z
Z
ZU
U

D
ZZ
.
.


2
2
2
0
v
du
v
dQu
³³
(3-19)
(â
0
hӋ sӕ sӱa chӳa ÿӝng lѭӧng, trong dòng rӕi â
0
= 1,02 ÷ 1,05)
Vұy ta có phѭѫng trình ÿӝng lѭӧng viӃt cho toàn dòng chҧy:
¦
)vv(QF
ooo
DDU
101202
(3-20)
 Vұy:
Trong dòng chҧy әn ÿӏnh, sӵ biӃn thiên cӫa ÿӝng lѭӧng cӫa ÿoҥn dòng chҧy trong

ÿѫn vӏ thӡi gian bҵng hӧp lӵc các ngoҥi lӵc (lӵc khӕi và lӵc mһt) tác dөng vào ÿoҥn dòng
ҩy trong ÿѫn vӏ thӡi gian ҩy.
 Quy ѭӟc dҩu:
- Ĉӝng lѭӧng U.Q.D
0
.v
(+) dѭѫng nӃu chҩt lӓng ÿi ra khӓi mһt kiӇm tra.
(-) âm nӃu chҩt lӓng ÿi vào mһt kiӇm tra.
- Dҩu cӫa CosD : Tùy theo trӏ sӕ cӫa góc D lұp bӣi vectѫ vұn tӕc v vӟi chiӅu dѭѫng
cӫa trөc tӑa ÿô,
2
S
!D
và
2
S
D
.
- Dҩu cӫa sӕ hҥng biӇu thӏ xung lӵc tùy theo phѭѫng cӫa véctѫ lӵc là dѭѫng hay âm
ÿӕi vӟi trөc tӑa ÿӝ.
9
Ví dө 1
: NӃu gһp trѭӡng hӧp mӕ néo nҵm
ngang, ta phҧi tách ra hai trѭӡng hӧp viӃt cho hai
phѭѫng:
¦
)vv(QF
X101X202X
DDU
¦

)vv(QF
Y101Y202Y
DDU
Vұy: Lӵc tác dөng vào mӕ néo là:
¦
22
YX
FFF
¦¦

v
2
v
1
F
Y
X
D
Khoa Xáy D͹ng Thͯy lͫi - Thͯy ÿi͏n B͡ môn C˯ Sͧ KͿ Thu̵t Thͯy Lͫi
Bài gi̫ng thͯy l͹c 1 Trang 50
9
Ví dө 2: Cho kênh hình chӳ nhұt, có bұc thҷng ÿӭng BC. Xác ÿӏnh áp lӵc nѭӟc tác
dөng lên bұc này. Cho biӃt chiӅu rӝng b=5m, ÿӝ sâu h
1
=3m, h
2
=2m, Q=15m
3
/s; bӓ qua
ma sát ÿáy kênh.

Giҧi:
-
ViӃt phѭѫng trình ÿӝng lѭӧng cho ÿoҥn dòng chҧy giӟi hҥn bӣi 1-1 và 2-2, xét theo
phѭѫng x:
¦

XXX
v.v Q.F
101202
DD
U

- Ngoҥi lӵc F
X
gӗm:
+ Lӵc khӕi: Trӑng lӵc: G
X
=0
+ Lӵc mһt:- Lӵc ma sát: bӓ qua.
- Ap lӵc không khí ӣ mһt
thoáng: tӵ cân bҵng
- Ap lӵc nѭӟc tҥi mһt cҳt 1-1
và 2-2:
22
2
2
2
2
1
1

h.b.
P;
h.b.
P
J

J

- Phҧn lӵc R cӫa bұc BC.
- Vұy:

XX
vv.Q.RPP
1221
U  o

XX
vv.Q.PPR
1221
U



N115125
35
15
25
15
.15.100023.5.
2

9810
R
22

¸
¹
·
¨
©
§
u

u

(Giҧi thích
g.2
u
2
theo ÿӏnh nghƭa ÿӝng năng
2
u
.
g
P
2
v.m
22
Z
khi P = 1 ÿѫn vӏ thì
g2

u
g2
u
.1
22
Z ).
P
1
P
2
v
2
v
1
R
B
C
1
1
2
2
Khoa Xáy D͹ng Thͯy lͫi - Thͯy ÿi͏n B͡ môn C˯ Sͧ KͿ Thu̵t Thͯy Lͫi
Bài gi̫ng thͯy l͹c 1 Trang 51

3.6 MÔI TRѬӠNG CHUYӆN ĈӜNG COI NHѬ TҰP HӦP
CӪA VÔ SӔ PHҪN TӰ CHҨT LӒNG
1. Hai phѭѫng pháp nghiên cӭu sӵ chuyӇn ÿӝng cӫa chҩt lӓng
a. Phѭѫng pháp Lagrange
Theo phѭѫng pháp nҫy, ngѭӡi ta nghiên cӭu sӵ chuyӇn ÿӝng cӫa tӯng phҫn tӱ chҩt
lӓng rӗi tәng hӧp sӵ chuyӇn ÿӝng cӫa tҩt cҧ các phҫn tӱ lҥi thì có ÿѭӧc hình ҧnh cӫa toàn

bӝ môi trѭӡng chuyӇn ÿӝng, viӋc vұn dөng phѭѫng pháp Lagrange phӭc tҥp. Vì vұy chӍ
dùng trong mӝt sӕ trѭӡng hӧp ÿһt biӋt, thí dө khi nghiên cӭu sӵ truy
Ӆn sóng gián ÿoҥn,
giҧi phѭѫng trình truyӅn chҩt , .
b. Phѭѫng pháp Euler
Theo phѭѫng pháp nҫy, ngѭӡi ta nghiên cӭu nhӳng yӃu tӕ thӫy lӵc cӫa các phҫn tӱ
chҩt lӓng tҥi tӯng ÿiӇm cӕÿӏnh cӫa không gian tӭc chӍ quan tâm tӟi nhӳng chӛ quan
trӑng, chӛ tұp trung. Phѭѫng pháp Euler có nhiӅu thuұn lӧi hѫn phѭѫng pháp Lagrange;
Vì vұy ngӯѫi ta thѭӡng dùng phѭѫng pháp Euler ÿӇ nghiên cӭu.
2. Phѭѫng trình vi phân cӫa ÿѭӡng dòng, ÿѭӡng xoáy và ӕng xoáy:
a. Phѭѫng trình vi phân cӫa ÿѭӡng dòng
Nhҳc lҥi các khía cҥnh khác nhau giӳa quӻÿҥo và ÿѭӡng dòng:
Ĉѭӡng dòng là ÿѭӡng cong tӭc thӡi ӣ mӝt thӡi ÿiӇm t nào ÿó; quӻÿҥo là có yӃu tӕ thӡi
gian diӉn ra tӯ
21
t
t
o ; trong chuyӇn ÿӝng әn ÿӏnh, thì quƭÿҥo trùng vӟi ÿѭӡng dòng.
Trong không gian (x, y, z), phҫn tӱ chҩt lӓng chuyӇn ÿӝng vӟi tӕc ÿӝ
o
u
, sau mӝt
khoҧng thӡi gian dt vӁ ra mӝt ÿѭӡng cong ds. ChiӃu lên các mһt toҥÿӝ:
°
¯
°
®

o
z

y
x
u
u
u
u
,
°
¯
°
®

o
dz
dy
dx
ds
Theo quan hӋ hình hӑc ta có:
ds
dx
u
u
xu
x


),cos(
ds
dy
u

u
yu
y


),cos(
ds
dz
u
u
zu
z


),cos(
Ta có vұn tӕc phҫn tӱ chҩt lӓng chiӃu trên các trөc toҥÿӝ:
u
X
=
dt
dz
u,
dt
dy
u,
dt
d
x
ZY

(3-21)
Do ÿó :
dt
u
dz
u
dy
u
d
x
zyx

: (3-22)
(3-22) là phѭѫng trình vi phân cӫa cӫa ÿѭӡng dòng.
b. Ĉѭӡng xoáy, ӕng xoáy và phѭѫng trình vi phân cӫa ÿѭӡng xoáy
Phân tӱ chҩt lӓng khi chuyӇn ÿӝng không nhӳng có thӇ di ÿӝng bҵng cách tӏnh tiӃn
mà còn có thӇÿӗng thӡi quay xung quanh mӝt trөc tӭc thӡi nào ÿó.
x
y
z
z
o
x
o
y
o
t
o
x
z

y
ds
o
ds
t
Khoa Xáy D͹ng Thͯy lͫi - Thͯy ÿi͏n B͡ môn C˯ Sͧ KͿ Thu̵t Thͯy Lͫi
Bài gi̫ng thͯy l͹c 1 Trang 52
Giҧ thӱ mӝt phҫn tӱ M có tâm ӣÿiӇm 1 ÿang xoay xung quanh trөc 1-2, trên trөc ÿó
ÿһt mӝt véctѫ quay
Z
1
.
Và cNJng trên trөc ҩy, ta lҩy mӝt ÿiӇm 2 cách tâm
cӫa phҫn tӱ M mӝt ÿoҥn vô cùng ngҳn, ngay lúc ÿó
phҫn tӱ chҩt lӓng M có ÿiӇm 2 là trung tâm cNJng xoay
xung quanh mӝt trөc 2-3 nào ÿó, trên trөc này ta ÿһt
vectѫ quay
Z
2
.
Rӗi ta lҥi lҩy mӝt ÿiӇm 3 cách tâm cӫa phҫn tӱ M
mӝt ÿoҥn vô cùng ngҳn, phҫn tӱ M có tâm là ÿiӇm 3,
cNJng quay xung quanh mӝt trөc 3-4 .v.v
Cӭ làm nhѭ vұy ta có ÿoҥn ÿѭӡng gãy 1-2, 2-3,
3-4 mang nhӳng vectѫ
Z
1
, Z
2
, Z

3
. NӃu nhӳng ÿoҥn vô cùng nhӓ này tiӃn tӟi không thì
ÿѭӡng gãy khúc tiӃn tӟi thành mӝt ÿѭӡng cong, gӑi là ÿѭӡng xoáy.
Ĉ˱ͥng xoáy là m͡t ÿ˱ͥng cong ÿi qua các ph̯n t͵ ch̭t l͗ng có vect˯ v̵n t͙c quay
là ti͇p tuy͇n cͯa ÿ˱ͥng ̭y.
CNJng nhѭÿӕi vӟi ÿѭӡng dòng, ÿѭӡng xoáy thay ÿәi theo thӡi gian; chӍ trong
chuyӇn ÿӝng әn ÿӏnh, ÿѭӡng xoáy mӟi không phө thuӝc thӡi gian.
Tҩt cҧ nhӳng phҫn tӱ cùng xoay quanh ÿѭӡng xoáy lұp thành mӝt chuӛi xoáy.
Trѭӡng hӧp ÿѫn giҧn nhҩt cӫa chuӛi xoáy là chuӛi xoáy có ÿѭӡng xoáy cӕÿӏnh, tӭc
trѭӡng hӧp chuyӇn ÿӝng әn ÿӏnh. NӃu qua các ÿiӇm trên
ÿѭӡng chu vi cӫa m
ӝt vi phân
diӋn tích d
Z, ta vӁ nhӳng ÿѭӡng xoáy thì mһt bên lұp bӣi tұp hӧp các ÿѭӡng xoáy gӑi là
ӕng xoáy.
Phҫn tӱ chҩt lӓng quay vӟi vұn tӕc quay
Z; vectѫ Z này có ba thành phҫn: Z
x
, Z
y
,
Z
z
trên trөc tӑa ÿӝ quy chiӃu.
°
¯
°
®

Z

Z
Z
Z
o
z
y
x
Trên ÿѭӡng xoáy, ta lҩy mӝt ÿoҥn dài ds có hình chiӃu là dx, dy, dz. Vì vectѫ Z tiӃp
xúc vӟi ÿѭӡng xoáy nên có thӇ viӃt
ph˱˯ng trình vi phân cͯa ÿ˱ͥng xoáy nh˱ sau:
Ĉӝ lӟn cӫa vectѫ tӕc ÿӝ quay là :
2
z
2
y
2
x
ZZZ Z (3-24)
Vӟi :

hay
oo
Z urot
2
1
(3-26)
(3-23)
(3-25)
Khoa Xáy D͹ng Thͯy lͫi - Thͯy ÿi͏n B͡ môn C˯ Sͧ KͿ Thu̵t Thͯy Lͫi
Bài gi̫ng thͯy l͹c 1 Trang 53

Trong cѫ hӑc chҩt lӓng, hai lҫn vectѫ vұn tӕc quay ÿѫn thuҫn ÿѭӧc gӑi là vectѫ xoáy
hoһc cái xoáy. Gӑi vectѫ xoáy bҵng
o
: thì:
oo
Z : 2
Vӟi chuyӇn ÿӝng thӃ (không xoáy ), thì
o
: = 0 có nghƭa
o
urot = 0, có nghƭa là tӗn tҥi
mӝt hàm sӕ
M thoҧ mãn : M dagrU
&
&
Hay
z
w,
y
v,
x
u
w
w
M

w
w
M

w
w
M

(3-27)
Ĉӕi vӟi chҩt lӓng lý tѭӣng không có ӭng suҩt nhӟt do ÿó không có mô men quay nên
không có chuyӇn ÿӝng xoáy.
Ví dө : ViӃt phѭѫng trình ÿѭӡng dòng ÿi qua ÿiӇm A có tӑa ÿӝ x
A
=2, y
A
=4, x
A
=8; biӃt
rҵng biӇu thӭc cӫa lѭu tӕc U xác ÿӏnh bӣi các thành phҫn là : u
X
= x
2
, u
Y
= y
2
, u
z
= z
2
Giҧi :
Phѭѫng trình vi phân cӫa ÿѭӡng dòng cӫa chuyӇn ÿӝng әn ÿӏnh cho bӣi công thӭc:
u
X

.dy = u
Y
.dx
u
y
.dz = u
z
.dy
Do ÿó ta có: x
2
.dy = y
2
.dx
y
2
.dz = z
2
.dy
Phân ly biӃn sӕ và tích phân ta có :

2
22
1
22
C
z
dz
y
dy
C

y
dy
x
dx


³³
³³
KӃt quҧ tích phân cho ta:

2
1
11
11
C
zy
C
yx
 
 
Phѭѫng trình ÿѭӡng dòng ÿi qua ÿiӇm A là :
8
111
4
111


zy
yx
3. Phân tích chuyӇn ÿӝng cӫa mӝt phҫn tӱ chҩt lӓng

a. ChuyӇn ÿӝng biӃn hình - Tӕc ÿӝ dӏch chuyӇn tѭѫng ÿӕi :
Tӕc ÿӝ dӏch chuyӇn tѭѫng ÿӕi cӫa mӝt phҫn tӱ chҩt lӓng A so vӟi phҫn tӱ lӓng B
lân cұn ÿѭӧc xác ÿӏnh bҵng sӵ khác nhau vӅ thành phҫn vұn tӕc cӫa hai phҫn tӱ chҩt lӓng
này :
Khoa Xáy D͹ng Thͯy lͫi - Thͯy ÿi͏n B͡ môn C˯ Sͧ KͿ Thu̵t Thͯy Lͫi
Bài gi̫ng thͯy l͹c 1 Trang 54
i
i
j
j
dx
x
u
du .
w
w
(3-28)
dx
i
: là sӵ khác nhau vӅ toҥÿӝ
cӫa hai phҫn tӱ A, B. Ĉҥi lѭӧng
i
j
x
u
w
w
mô tҧ tӕc ÿӝ dӏch chuyӇn tѭѫng
ÿӕi cӫa phҫn tӱ chҩt lӓng trong
không gian ba chiӅu. (x, y, z).

ĈӇ dӉ hình dung bҵng trӵc
giác ta xét phҫn tӱ chҩt lӓng t có
dҥng ABCD trong mһt phҷng XOZ,
sau thӡi gian dt sӁ bӏ biӃn dҥng hình
thành AB’C’D’ nhѭ hình vӁ.
b. ChuyӇn ÿӝng xoáy - Tӕc ÿӝ biӃn hình
Có thӇ giҧi thích ý nghƭa vұt lý cӫa tenxѫ
i
j
s
u
w
w
bҵng cách phân tích thành hai thành phҫn
i
j
x
u
w
w
=
2
)ve(
ijij

(3-29)
Trong ÿó : e
ij
=
i

j
x
u
w
w
+
j
i
x
u
w
w
v
ij
=
i
j
x
u
w
w
-
j
i
x
u
w
w
NӃu i=j=1 Trùng vӟi
phѭѫng x thì

e
11
= 2.
x
u
x
w
w
e
11
: là hai lҫn tӕc ÿӝ phҫn
tӱ chҩt lӓng : là chiӅu dài theo
hѭӟng x
1
hoһc (x) trên ÿѫn vӏ
thӡi gian và ÿѫn vӏÿӝ dài dӑc
theo hѭӟng x
1
Tѭѫng tӵ vӟi e
22
, e
33
Giҧ sӱ chuyӇn ÿӝng là ÿӝc lұp ÿӕi vӟi y và phҫn tӱ ABCD chuyӇn ÿӝng biӃn dҥng,
Ta thҩy vұn tӕc tҥi ÿiӇm B theo hѭӟng (z) vѭѫt xa A mӝt lѭӧng :
dx.
x
u
z
w
w

, toҥÿӝ x
2
(theo trөc z) cӫa B” vѭӧt xa so vӟi toҥÿӝ cӫa A mӝt lѭӧng dx.
x
u
z
w
w
.dt.
Tѭѫng tӵ toҥÿӝ x
1
(theo trөc x) cӫa B” vѭӧt xa so vӟi toҥÿӝ cӫa A mӝt lѭӧng
dz.
z
u
x
w
w
.dt. ChiӅu dài cӫa AB và CD ÿã thay ÿәi trong suӕt quá trình biӃn dҥng, nhѭng
ҧnh hѭӣng nhӳng sӵ thay ÿәi này lên các góc d
D, dE là thӭ cҩp và biӃn mҩt theo giӟi
hҥn khi xét phҫn tӱ vô cùng bé.
Khi dt là vô cùng bé thì d
D, dE cNJng là vô cùng bé nên
Z