Tài liệu Giáo trình cơ sở kỹ thuật điện II - Chương 18 pptx

Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang

103

CHỈÅNG 18
QUẠ TRÇNH QUẠ ÂÄÜ ÅÍ MẢCH PHI TUÚN

§1. Âàûc âiãøm ca quạ trçnh quạ âäü trong mảch phi tuún.
- Viãûc âọng ngưn hçnh sin vo mảch tuún tênh cọ chỉïa dung, cm v tråí cọ
thãø tảo dng, ạp quạ âäü cỉûc âải khäng vỉåüt quạ 2 láưn biãn âäü åí trảng thại xạc láûp.
Nhỉng khi âọng vo mảch khạng phi tuún thç cọ thãø xút hiãûn âiãûn ạp hay dng âiãûn
quạ âäü låïn hån trë säú xạc láûp nhiãưu láưn, trảng thại ny ráút dãù âỉa âãún sỉû cäú.
- Quạ trçnh quạ âäü åí mảch phi tuún ngoi sỉû thay âäøi âàûc biãût vãư
lỉåüng nhỉ
trãn nọ cn thay âäøi vãư cháút : QTQÂ trong mảch phi tuún cọ thãø phạt sinh nhỉỵng hiãûn
tỉåüng måïi nhỉ quạ trçnh tỉû dao âäüng cọ táưn säú ω ≠ ω
ngưn

- Quạ trçnh quạ âäü mảch phi tuún âỉåüc miãu t bàòng nhỉỵng phỉång trçnh vi
phán phi tuún viãút theo lût K1, K2. Bi toạn quạ trçnh quạ âäü l bi toạn gii hãû
phỉång trçnh vi phán phi tuún cho tha mn så kiãûn nãn khäng cọ phỉång phạp no
chung m chè cọ nhỉỵng phỉång phạp gáưn âụng dng cho nhỉỵng mảch củ thãø.
Ta xẹt mäüt säú phỉång phạp gáưn âụng gii quạ trçnh quạ âäü mảch phi tuún.
§2. Phỉång phạp tuún tênh họa säú hảng phi tuún nh.
I. Tinh tháưn phỉång phạp :
1. Trong trỉåìng håüp quạ trçnh ca mảch âi âãún äøn âënh thç nãúu cọ thay âäøi êt
no âọ cạc säú hảng hay hãû säú ca phỉång trçnh thç nghiãû
m cng thay âäøi nh tỉång
ỉïng, lục âọ ta cọ thãø coi säú hảng phi tuún l nh trong hãû phỉång trçnh mảch nãn cọ
thãø gáưn âụng cho nọ bàòng 0 m khäng nh hỉåíng nhiãưu âãún nghiãûm ca quạ trçnh.
Vê dủ : Khi phi tuún nh cọ thãø coi gáưn âụng nhỉ sau :

'i.a'i...).i.ba('i).i(LU
i.
Ri...)i.R(i).i(RU
L
00R
≈++==
≈+α+==

2. Ạp dủng tinh tháưn áúy âãø gii nhỉỵng bi toạn m phỉång trçnh mảch l
phỉång trçnh vi phán cáúp 1 liãn hãû hai biãún, nhỉng giỉỵa hai biãún âọ lải cọ quan hãû hm
phi tuún (âọ chênh l hm âàûc tênh)
Vê dủ : Xẹt cün dáy li thẹp cọ âiãûn tråí r âỉåüc âọng vo ngưn cọ Sââ e(t)
hçnh sin hçnh (h.18-1). ta biãút sau khi âọng mäüt thåìi gian thç quạ trçnh trong mảch s
âãún xạc láûp, äøn âënh nãn cọ thãø ạp dủng phỉång phạp tuún tênh họa âãø chuøn hãû
phỉång trçnh vi phán phi tuún thnh phỉång trçnh vi phán tuún tênh gáưn âụng âãø gii
mảch.
Âiãûn cm phi tuún âỉåüc cho dảng hm xáúp xè :
r
ψ
(i)
K
e(t)


...ba)(ihay
...biiL)i(
3
3
0
+ψ+ψ=ψ

++=ψ
Phỉång trçnh vi phán mä t QTQÂ ca mảch l :

)t(e
d
t
d
i.r =
ψ
+

h.18-1
Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn

Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang

104
Âáy l phỉång trçnh vi phán cáúp 1 liãn hãû hai biãún trảng thại ψ, I nãn r rng
mún gii phỉång trçnh ta phi chuøn tỉì biãún ny sang biãún kia âãø âỉåüc phỉång trçnh
vi phán cáúp 1 theo mäüt biãún. Hai biãún ψ, I liãn hãû våïi nhau trong hm âàûc tênh phi
tuún nãn nãúu dng quan hãû ny âỉa vo phỉång trçnh thç hãû phỉång trçnh s phỉïc tảp
khọ gii. Khi mảch cọ tênh phi tuún nh b qua säú hảng phi tuún trong quan hãû hm
ψ(i) thay vo hãû phỉång trçnh s âỉåüc phỉång trçnh vi phán cáúp mäüt tuún tênh theo
mäüt biãún thç gii âỉåüc dãù dng. Ta chuøn âäøi cạc biãún trong trỉåìng håüp củ thãø nhỉ
sau :
a. Khi quạ trçnh trong mảch cọ tiãu tạn êt nãn cọ
dt
d
i.r
ψ

<<
thç âäøi biãún i theo
biãún ψ âỉåüc gáưn âụng : i(ψ) ≈ a.ψ
Lục ny phỉång trçnh vi phán theo biãún ψ l :
)t(e.a.r
d
t
d
=ψ+
ψ

Gii phỉång trçnh vi phán tuún tênh gáưn âụng
)t(e.a.r
dt
d
=ψ+
ψ
(bàòng phỉång
phạp têch phán phỉång trçnh vi phán, hay phỉång phạp toạn tỉí) cho tha mn så kiãûn
ψ(0) s âỉåüc nghiãûm ψ(t), sau khi cọ ψ(t) dỉûa vo quan hãû ψ(i) xạc âënh âỉåüc dng
âiãûn quạ âäü i(t).
b. Khi tiãu tạn trong mảch låïn, nãn cọ
dt
d
i.r
ψ
>>
lục âọ tênh biãún ψ theo biãún i
âỉåüc gáưn âụng : ψ(i) ≈ L
0

.i nãn cọ :
'i.L
d
t
di
.
id
t
d
0
≈
∂
ψ∂
=
ψ
v phỉång trçnh mä t QTQÂ
l :
)t(e
d
t
di
Li.r
0
=+
l phỉång trçnh tuún tênh. Gii phỉång trçnh cho tha mn så
kiãûn i(0) âỉåüc dng âiãûn quạ âäü i(t) v dỉûa vo quan hãû ψ(i) xạc âënh âỉåüc ψ(t).
II. Cạc bỉåïc ca phỉång phạp tuún tênh họa säú hảng phi tuún nh :
Tỉì vê dủ trãn ta rụt ra cạc bỉåïc thỉûc hiãûn nhỉ sau :
1. Viãút phỉång trçnh ca mảch dỉåïi dảng phỉång trçnh vi phán cáúp 1 theo hai
biãún trảng thại - Ty theo âàûc âiãøm ca mảch âãø qua hm âàûc tênh, tênh gáưn âụng biãún

ny theo biãún kia. Thay vo phỉång trçnh vi phán âãø âỉåüc phỉång trçnh vi phán theo
mäüt biãún.
2. Gii phỉång trçnh vi phán cáúp 1 theo mäüt biãún cho tha mn så kiãûn ta âỉåüc
nghiãûm phán bäú thåìi gian ca mäüt biãún. Dỉûa vo nghiãûm â cọ v
hm âàûc tênh ca
pháưn tỉí phi tuún â cho ta xạc âënh âỉåüc nghiãûm cn lải (cọ thãø dng phỉång phạp
toạn tỉí Laplace hồûc phỉång phạp têch phán kinh âiãøn âãø gii phỉång trçnh vi phán cáúp
mäüt theo mäüt biãún). Chụ ràòng cün dáy li thẹp cọ bo ha thç chn L l giạ trë trung
bçnh
m
m
i
L
ψ
=
.
§3. Phỉång phạp nhiãùu loản ( phỉång phạp tham säú nh) :
I. Tinh tháưn ca phỉång phạp tham säú nh :
Phỉång phạp tham säú nh l th thût âãø gii phỉång trçnh vi phán nọ âàûc biãût
tiãûn låüi khi nghiãn cỉïu cạc hãû dao âäüng phi tuún nh phủ thüc mäüt tham säú.
Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn

Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang

105
Phỉång trçnh vi phán phi tuún thãø hiãûn tênh phi tuún åí säú hảng báûc cao. Säú
hảng ny tham gia quút âënh nghiãûm quạ trçnh. Coi nọ l mäüt tham säú tham gia vo
phỉång trçnh mảch. Kê hiãûu tham säú âọ l : µ.
Váûy phỉång trçnh vi phán ca mảch l : H(x, µ, t) = 0.
Ta phán têch v gäüp cạc säú hảng ca phỉång trçnh thnh hai nhọm säú hảng :

H(x, µ, t) = H
1
(x, t) + µ.H
2
(x, µ, t) = 0 (18-1)
Trong âọ : H
1
(x, t) l táûp håüp táút c cạc säú hảng tuún tênh trong hãû, cn H
2
(x,
µ, t) l táûp håüp táút c cạc säú hảng phi tuún trong hãû. Trong âọ tham säú µ quút âënh
tênh cháút, mỉïc âäü phi tuún ca quạ trçnh phi tuún trong mảch. Khi µ = 0 säú hảng phi
tuún khäng cn.
Lục ny phỉång trçnh mảch chè cn H
1
(x, t) = 0 gi l phỉång trçnh tuún tênh
suy biãún. Nghiãûm ca H
1
(x, t) = 0 kê hiãûu l x
0
(t) gi l nghiãûm tuún tênh suy biãún.
Nghiãûm ca H(x, µ , t) = 0 kê hiãûu l x(t), nọi chung x(t) ≠ x
0
(t) såí dé cọ sai khạc âọ l
do cọ sỉû tham gia ca säú hảng phi tuún. Tỉïc l mỉïc sai khạc ty thüc µ.
Âäúi våïi cạc quạ trçnh âi âãún äøn âënh, khi µ bẹ cọ thãø coi nghiãûm x(t) cọ quan hãû
gii têch våïi tham säú µ, nãn cọ thãø khai triãøn x(t, µ) theo chùi ly thỉìa våïi tham säú µ .
Ta cọ nghiãûm dỉåïi dảng khai triãøn l :
k
kk

2
22
0
x
!k
...
x
!2
x
)t(x)t,(x
µ∂
∂µ
++
µ∂
∂µ
+
µ∂
∂
µ+=µ
(18-2a)
Viãút gn lải :
)t(x....)t(x.)t(x.)t(x)t,(x
k
k
2
2
10
µ++µ+µ+=µ
(18-2b)
Trong âọ x

1
(t), x
2
(t),..., x
k
(t) gi l cạc hm hiãûu chènh sỉû sai khạc giỉỵa x(t) v
x
0
(t) âãø x
0
(t) tiãún dáưn âãún x(t). Nãn ta cn gi âáy l phỉång phạp nhiãùu loản.
Tỉì âọ dáùn âãún tinh tháưn ca phỉång phạp l :
Tçm âỉåüc nghiãûm quạ trçnh phi tuún x(t) bàòng cạch gii tçm nghiãûm phỉång
trçnh tuún tênh suy biãún x
0
(t), sau âọ tçm cạc hm hiãûu chènh âãø x
0
(t) tiãún âãún x(t), ta
tháúy cng nhiãưu hm hiãûu chènh thç x
0
(t) cng tiãûm cáûn âãún nghiãûm phi tuún x(t).
II. Vê dủ :
Nảp tủ âiãûn C âãún u
C
(-0) = U
0
räưi cho phọng âiãûn qua âiãûn tråí phi tuún r(i) cọ
hm âàûc tênh i(u) = a.u + b.u
2
nhỉ hçnh (h.18-2). Xạc âënh âiãûn ạp trãn tủ âiãûn sau khi

âọng khọa K.
Phỉång trçnh mä t QTQÂ ca mảch :
trong âọ bu0u.bu.a'u.C
2
C
=++
2
l säú
hảng phi tuún nãn âỉa tham säú µ vo ta âỉåüc phỉång trçnh :

0u.bu.a'u.C
2
C
=µ++
Âàût nghiãûm dỉåïi dảng khai triãøn : u = u
0
+ µ.u
1
(våïi mäüt hm hiãûu chènh u
1
) thç
u' = u'
0
+ µu'
1
v
2
110
2
0

2
uuu2uu µ+µ+=
. Vç u = u
0
+ µ.u
1
l nghiãûm nãn thay vo
phỉång trçnh mảch phi nghiãûm âụng nãn cọ :


0
0
)uu2uu(b)uu(a)'u'u(C
01
2
1
22
01010
=µ+µ+µ+µ++µ+
ubu2bubuuaau'uC'C
u
01
22
1
32
01010
=µ+µ+µ+µ++µ+
Sàõp xãúp cạc säú hảng theo báûc ca µ ta âỉåüc :
0buubu2)buau'C
u(au'Cu

2
1
3
01
22
01100
=µ+µ+++µ++
Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn

Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang

106
Ta bióỳt caùc sọỳ haỷng cuớa khai trióứn luợy thổỡa õọỹc lỏỷp tuyóỳn tờnh, nón thay nghióỷm
khai trióứn vaỡo phổồng trỗnh maỷch õóứ nghióỷm õuùng phổồng trỗnh maỷch phaới coù nhổợng
phổồng trỗnh cỏn bũng rióng reợ theo tổỡng bỏỷc cuớa à. Tổỡ õoù ta õổồỹc caùc phổồng trỗnh
cỏn bũng rióng reợ :
ặẽng vồùi à = 0 coù C.u'
0
+ a.u
0
= 0 laỡ phổồng trỗnh tuyóỳn tờnh suy bióỳn.
ặẽng vồùi à coù : 0buau'C
u
2
011
=++ .
Vỗ ta chố cỏửn mọỹt haỡm hióỷu chốnh nón khọng cỏửn nhổợng phổồng trỗnh bỏỷc cao
hồn cuớa à.
1.

Giaới phổồng trỗnh tuyóỳn tờnh suy bióỳn õóứ xaùc õởnh nghióỷm tuyóỳn tờnh suy
bióỳn u
0
(t). Tổỡ phổồng trỗnh vi phỏn theo thồỡi gian : C.u'
0
+ a.u
0
= 0 vồùi sồ kióỷn u
C
(0) =
u
C
(-0) = U
0
. Duỡng phổồng phaùp toaùn tổớ giaới phổồng trỗnh vi phỏn tuyóỳn tờnh vồùi bióỳn
u
0
(t) ta õổồỹc nghióỷm tuyóỳn tờnh suy bióỳn.
Vồùi u
0
(t) U
0
(p) chuyóứn sang phổồng trỗnh õaỷi sọỳ aớnh toaùn tổớ :
[]
0)p(aU)0(u)p(pUC
0C0
=+

[]
Cap

U
apC
CU
)p(U
CU)0(CuapC)p(U
0)
p(aU)0(u.C)p(CpU
00
0
0C0
0C0
+
=
+
=
==+
=+
giaới õổồỹc nghióỷm aớnh toaùn tổớ :
Tổỡ nghióỷm aớnh suy ra gọỳc: U
0
(p)
t
C
a2
2
0
2
0
t
C

a
00
eU)t(ueU)t(u

==
chuyóứn sang
daỷng aớnh
Ca2p
U
)t(u
2
0
2
0
+


2.

Giaới phổồng trỗnh bỏỷc à õóứ xaùc õởnh haỡm hióỷu chốnh u
1
(t).
Phổồng trỗnh cỏn bũng vồùi bỏỷc cuớa à laỡ :0
tổỡ phổồng trỗnh naỡy ta
thỏỳy roợ à laỡ tham sọỳ, chuyóứn phổồng trỗnh naỡy sang daỷng aớnh toaùn tổớ õổồỹc phổồng
trỗnh :
)buau'Cu(
2
011
=++à

[]
a2pC
bCU
apC)p(U
0
a2pC
CU
b)p(aU)p(CpU
2
0
1
2
0
11
+
=+
=
+
++
ồớ õỏy lổu yù sồ kióỷn õóứ tờnh caùc haỡm hióỷu
chốnh laỡ 0, tổỡ laỡ u
1
(0) = 0,..., u
k
(0) = 0.
Giaới õổồỹc nghióỷm aớnh :
()( )
)p(F
)p(F
a2pCapC

bCU
)p(U
2
1
2
0
1
=
++
=

giaới F
2
(p) = (pC+a)(pC+2a) = 0 õổồỹc :
C
a2
p,
C
a
p
21
==
(hai nghióỷm õồn)
Coù :

aC3pC2)p('F
2
2
+=
suy ra nghióỷm gọỳc coù daỷng :

t
C
a2
2
t
C
a
11
eAeA)t(u

+=

trong õoù :
a
bU
aC
bCU
)p('F
)
p(F
A,
a
bU
aC
bCU
)p('F
)p(F
A
2
0

2
0
22
21
2
2
0
2
0
12
11
1
=

=====

Trổồỡng aỷi Hoỹc Kyợ Thuỏỷt - Khoa ióỷn - Bọỹ mọn Thióỳt bở õióỷn

Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang

107
Nón haỡm hióỷu chốnh :
t
C
a2
2
0
t
C
a

2
0
1
e
a
bU
e
a
bU
)t(u

+=

Daỷng nghióỷm quaù õọỹ laỡ : u(t) = u
0
(t) + u
1
(t).
Bióứu thổùc õióỷn aùp QTQ laỡ :
t
C
a2
2
0
t
C
a
2
0
t

C
a
010
e.U
a
b
e.U
a
b
eU)t(u)t(u)t(u

+=+=

III. Caùc bổồùc thổỷc hióỷn theo phổồng phaùp nhióựu loaỷn :
Tổỡ vờ duỷ minh hoỹa trón ta ruùt ra caùc bổồùc thổỷc hióỷn phổồng phaùp nhióựu loaỷn nhổ
sau :
1.

ỷt nghióỷm dổồùi daỷng khai trióứn vồùi sọỳ haỡm hióỷu chốnh tuỡy õọỹ chờnh xaùc cỏửn
thióỳt.
2.

Thay nghióỷm vaỡo hóỷ phổồng trỗnh cuớa maỷch, ta ruùt ra õổồỹc nhổợng phổồng
trỗnh cỏn bũng rióng reợ theo tổỡng bỏỷc cuớa tham sọỳ à.
3.

Giaới phổồng trỗnh tuyóỳn tờnh suy bióỳn cho thoớa maợn sồ kióỷn baỡi toaùn õổồỹc
nghióỷm tuyóỳn tờnh suy bióỳn x
0
(t).

4.

Giaới caùc phổồng trỗnh coỡn laỷi theo caùc bỏỷc cuớa à cho thoớa maợn sồ kióỷn 0 ta
seợ õổồỹc caùc haỡm hióỷu chốnh x
1
(t), x
2
(t),..., x
k
(t).
5.

Cọỹng nghióỷm tuyóỳn tờnh suy bióỳn vồùi caùc haỡm hióỷu chốnhta seợ õổồỹc nghióỷm
quaù trỗnh quaù õọỹ phi tuyóỳn cỏửn tỗm x(t).
Đ4. Phổồng phaùp bión, pha bióỳn thión chỏỷm (PP VanderPol)

ỏy thổỷc chỏỳt laỡ phổồng phaùp bióỳn thión hũng sọỳ tờch phỏn - laỡ mọỹt thuớ thuỏỷt õóứ
giaới hóỷ phổồng trỗnh vi phỏn phi tuyóỳn. Duỡng tờnh cho hóỷ õồn giaớn, tióỷn lồỹi õóứ khaớo saùt
maỷch dao õọỹng gọửm hai phỏửn tổớ khaùng phi tuyóỳn (hóỷ tọnọm).
I. Tinh thỏửn chung caùc phổồng phaùp bióỳn thión hóỷ sọỳ tờch phỏn.

Ta õaợ bióỳt phổồng trỗnh maỷch phi tuyóỳn coù thóứ vióỳt vaỡ sừp xóỳp dổồùi daỷng :
H(x,t) = H
1
(x,t) + H
2
(x,à,t) (18-3a)
Trong õoù : H
2
(x,à,t) laỡ nhoùm caùc sọỳ haỷng phi tuyóỳn gỏy khoù khn cho vióỷc tỗm nghióỷm

quaù trỗnh, coỡn H
1
(x,t) = 0 laỡ phổồng trỗnh tuyóỳn tờnh suy bióỳn dóự daỡng tỗm õổồỹc nghióỷm
tọứng quaùt x(t,c) vồùi c laỡ hóỷ sọỳ tờch phỏn.
Vỗ maỷch coù phỏửn tổớ phi tuyóỳn nón nghióỷm tuyóỳn tờnh suy bióỳn x(t,c) khaùc
nghióỷm quaù trỗnh phi tuyóỳn nón coù thóứ coi nghióỷm cuớa quaù trỗnh phi tuyóỳn cuợng dổồùi
daỷng x(t,c) nhổng c(t) bióỳn thión theo thồỡi gian õóứ õióửu chốnh nghióỷm tuyóỳn tờnh suy
bióỳn õóỳn nghióỷm quaù trỗnh phi tuyóỳn. Tổùc laỡ nghióỷm quaù trỗnh phi tuyóỳn coù daỷng
x[t,c(t)]. Nóỳu noù laỡ nghióỷm cuớa quaù trỗnh thỗ ta thay vaỡo phổồng trỗnh maỷch, phổồng
trỗnh maỷch phaới õổồỹc nghióỷm õuùng vaỡ tổỡ phổồng trỗnh nghióỷm õuùng õoù ta ruùt ra
phổồng trỗnh vồùi ỏứn sọỳ c(t) laỡ K(c,t) = 0.
Giaới phổồng trỗnh K(c,t) = 0 naỡy ta õổồỹc c(t). (18-3b)
Lổu yù : thuớ thuỏỷt naỡy chố coù lồỹi khi giaới K(c,t) 0 dóự hồn giaới H(x,t) = 0.
II. Phổồng phaùp bión, pha bióỳn thión chỏỷm :

Vồùi caùc baỡi toaùn QTQ coù sinh ra caùc dao õọỹng trong maỷch dỏửn tióỳn õóỳn ọứn
õởnh (dao õọỹng õióửu hoỡa). Trong quaù trỗnh naỡy thọng sọỳ cuớa maỷch phi tuyóỳn coỡn thay
õọứi nhổng bión õọỹ vaỡ goùc pha õỏửu cuớa dao õọỹng thay õọứi rỏỳt ờt so vồùi baớn thỏn dao
Trổồỡng aỷi Hoỹc Kyợ Thuỏỷt - Khoa ióỷn - Bọỹ mọn Thióỳt bở õióỷn

Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang

108
õọỹng, do õoù coù thóứ boớ qua caùc õaỷo haỡm theo bión õọỹ vaỡ goùc pha õỏửu dỏựn õóỳn coù thóứ
giaớm bỏỷc phổồng trỗnh vi phỏn cuớa maỷch vaỡ vióỷc giaới maỷch seợ dóự daỡng hồn. Ta vỏỷn
duỷng tinh thỏửn õoù phỏn tờch baỡi toaùn dao õọỹng phi tuyóỳn cỏỳp 2 nhổ sau :
Tổỡ phổồng trỗnh mọ taớ maỷch laỡ :

)x,x(fxx
2

0


à=+
Trong õoù :
.
)x,x(fHcoỡn),t,x(Hxx
21
2
0


à==+
Thổồỡng H(x,t) phi tuyóỳn ờt nón nghióỷm cuớa H(x,t) khaùc chuùt ờt so vồùi nghióỷm cuớa
phổồng trỗnh tuyóỳn tờnh suy bióỳn H
1
(x,t) = 0.
Giaớ thióỳt
coù nghióỷm õióửu hoỡa laỡ :
0xx)t,x(H
2
01
=+=

)tcos(.A)t(x
0
+=

Trong õoù : A, laỡ hai hóỷ sọỳ tờch phỏn.
Ta bióỳt trong õaùp ổùng maỷch phi tuyóỳn ngoaỡi õióửu hoỡa cồ baớn coỡn coù caùc õióửu hoỡa bỏỷc

cao nổợa song chuớ yóỳu laỡ õióửu hoỡa cồ baớn coỡn caùc õióửu hoỡa bỏỷc cao laỡ nhoớ, nón coù thóứ
õỷt vỏỳn õóử bióứu dióựn nghióỷm QTQ phi tuyóỳn dổồùi daỷng õióửu hoỡa cồ baớn nhổng coù
bión õọỹ vaỡ goùc pha thay õọứi theo thồỡi gian. Tổùc laỡ dao õọỹng coù bión õọỹ A(t), vaỡ goùc
pha (t).
Luùc naỡy nghióỷm QTQ coù daỷng :
[ ]
)t(tcos)t(A)t(x
0
+=
(18-4)
nón chố cỏửn xaùc õởnh A(t) vaỡ (t) lừp vaỡo daỷng (18-4) laỡ õổồỹc nghióỷm quaù õọỹ phi tuyóỳn.
Khi hóỷ phi tuyóỳn ờt nón theo phỏn tờch ồớ trón seợ coù A, bióỳn thión õuớ chỏỷm.
óứ cho goỹn ta õỷt :
=+ )t(t
0
thỗ coù
= cosA)t(x
nón coù :
+






+=

cosAsin)t()t(Ax
0

Vỗ A, bióỳn thión chỏỷm nón
<<

sinAsinAcosA
0

nón gỏửn õuùng coù :
(18-5)
=

sinAx
0
=+=


cosAcosAsinAcos)(AsinAx
0
2
00000

thay vaỡo phổồng trỗnh maỷch ta õổồỹc :
[]
[]
à=
à=+


sinA,cosAfcosAsinA
sinA,cosAfcosAcosAcosAsinA
000

0
2
00
2
00
(18-6)
Tổỡ phổồng trỗnh cỏn bũng chung naỡy ruùt ra phổồng trỗnh cỏn bũng cuớa caùc sọỳ haỷng õọỹc
lỏỷp tuyóỳn tờnh õổồỹ bióứu thổùc cuớa
laỡ :

vaỡA
[]
[]


à
=


à
=


sinA,cosAf
sinA,cosAfA
0
0
0
0
(18-7)

Nhổ vỏỷy thay vỗ phaới giaới mọỹt phổồng trỗnh vi phỏn bỏỷc 2 laỡ :

ta õổa ra õổồỹc 2 phổồng trỗnh vi phỏn bỏỷc 1 vồùi hai bióỳn
nhổ (18-7). Vóỳ phaới
)x,x(fxx
2
0


à=+
)t(),t(A


Trổồỡng aỷi Hoỹc Kyợ Thuỏỷt - Khoa ióỷn - Bọỹ mọn Thióỳt bở õióỷn