ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - HỆ VỪA LÀM VỪA HỌC MÔN TOÁN docx

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - HỆ VỪA LÀM VỪA HỌC
Môn thi: TOÁN (ĐỀ SỐ 1)
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể
thời gian phát đề

Câu I (2 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau đây:
1. y = (x+2)lnx .
2. y =
sin cosx x x
e
+ −
.
Câu II (2 điểm) Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ m
2
x + m; m là tham số.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m = 0.
2. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực trị.
Câu III (2 điểm) Tính các tích phân sau đây :
1.
( 1)sin 2x x
dx
−
∫
.
2.
5
4

0
xdxtg
π
∫
.
Câu IV (2 điểm) Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Đề các Oxy cho các điểm
A(1;2), B(– 1;– 1), C(3; – 1).
1. Chứng minh rằng ∆ABC cân tại A. Tính diện tích ∆ABC.
2. Lập phương trình các đường thẳng (AB), (CA).
Câu V (2điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxyz cho
các điểm A(0; – 1; 1), B(– 1; 2; 4) và đường thẳng
d:
1 1
1 2 3
x y z− +
= =
.
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d.
2. Tìm hình chiếu vuông góc của B trên (P).
Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……………………………………số báo danh:………………
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1
Câu I (2 điểm = 1 + 1) Tính đạo hàm của các hàm số sau đây:
1. y = (x+2)lnx .
2. y =
sin cosx x x
e
+ −
.

Giải
1. y' = lnx +
2
1
x
+
.
2. y’ =
sin cosx x x
e
+ −
(1 + cosx + sinx).
Câu II (2 điểm = 1 + 1) Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ m
2
x + m (C
m
).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m = 0.
2. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực trị.
Giải
1. Khảo sát hàm số khi m = 0 : y = x
3
– 3x
2
(C)
• Tập xác định : D = R.

• y' = 3x
2
– 6x = 3x(x – 2).
y’ = 0 ⇔
0 0;
2 4.
x y
x y



= ⇒ =
= ⇒ = −
• y’’ = 6x – 6 = 6(x – 1).
y’’ = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = – 2.
• Bảng biến thiên
x
–∞ 0 2 + ∞
y' + 0 – 0 +
y
+ ∞

(CĐ)
0
– 4
(CT)
–∞
• Tính lồi lõm
y’’ = 6x – 6 = 6(x – 1).
y’’ = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = – 2.

• Điểm đặc biệt: CĐ(0; 0), CT(2; – 4), ĐU(1; – 2).
• Đồ thị (C):
2. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực trị.
y' = 3x
2
– 6x + m
2
; ∆’ = 3( 3 – m
2
).
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu
hai lần khi x đi qua các nghiệm. Tức là
∆’ = 3( 3 – m
2
) > 0 ⇔
3 3m
− < <
.
x
y''
– ∞
+ ∞
─
+
0
(C)
1
(Điểm uốn)
(;)
lồi lõm

0
-2
-4
1 2
Câu III (2 điểm = 1 + 1) Tính các tích phân sau đây :
1.
( 1)sin 2x xdx−
∫
.
2.
5
4
0
xdxtg
π
∫
.
Giải
1. Tính I =
( 1)sin 2x xdx−
∫
.
Đặt u = x – 1; dv = sin2xdx ⇒ du = dx; v = –
1
2
cos2x.
I =
udv uv vdu= −
∫ ∫
=

1
2
(1 – x)cos2x +
1
2
cos2xdx
∫
=
1
4
[ 2(1 – x)cos2x + sin2x ] + C.
2. Tính J =
5
4
0
xdxtg
π
∫
=
5 3 3
4
0
) ( ) ][( x tg x tg x tgx tgx dxtg
π
+ − + +
∫
=
3 2
4 4
0 0

sin
)( 1)
cos
(
x
x tgx tg x dx dx
x
tg
π π
− + +
∫ ∫
=
3
4 4
0 0
(cos )
) ( )
cos
(
d x
x tgx d tgx
x
tg
π π
− −
∫ ∫
=
4 2
4
0

ln cos
4 2
tg x tg x
x
π
 
 
 
− −
=
1
4
(2ln2 – 1).
Câu IV (2 điểm = 1 + 1) Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Đề các Oxy cho
các điểm A(1; 2), B(– 1;– 1), C(3; – 1).
1. Chứng minh rằng ∆ABC cân tại A. Tính diện tích ∆ABC.
2. Lập phương trình chính tắc các đường thẳng (AB), (CA).
Giải
1. Chứng minh rằng
∆
ABC cân tại A. Tính diện tích
∆
ABC.
• AB =
13
= AC ⇒ (∆ABC cân tại A).
•
2 3
12
2 3

B B
A A
C A C A
x x y y
x x y y
=
− −
− −
=
− −
−
; dt(∆ABC) =
12
= 12 (dvdt).
2. Lập phương trình chính tắc các đường (AB), (CA).
(AB):
B B
B B
A A
x x y y
x x y y
− −
=
− −
⇔
1 1
2 3
x y
+ +
=

.
(CA):
A A
C A C A
x x y y
x x y y
− −
=
− −
⇔
1 2
2 3
x y
− −
=
−
.
Câu V (2điểm = 1 + 1) Trong không gian với hệ tọa độ Đề các vuông góc
Oxyz cho các điểm A(0; – 1; 1), B(– 1; 2; 4) và đường thẳng
d:
1 1
1 2 3
x y z− +
= =
.
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d.
2. Tìm hình chiếu vuông góc của B trên (P).
Giải
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d.
• (P) có vectơ pháp tuyến chính là vectơ chỉ phương của d:

P
d
n v=
uuur uur
= (1; 2; 3)
• Phương trình của (P) là:
(x – 0) + 2(y + 1) + 3(z – 1) = 0 ⇔ x + 2y + 3z – 1 = 0.
2. Tìm hình chiếu vuông góc của B trên (P).
• Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên (P). Đường thẳng
(BH) nhận
d
v
uur
làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham
số như sau: x = – 1+ t, y = 2 + 2t, z = 4 + 3t.
• H là giao điểm của (BH) với (P). Tọa độ của H xác định bởi hệ
1 ;
2 2 ;
4 3 ;
2 3 1 0.
x t
y t
z t
x y z








= − +
= +
= +
+ + − =
• Giải hệ ta được H( 0 – 2; 0; 1).
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - HỆ VỪA LÀM VỪA HỌC
TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ TP. HCM Môn thi: TOÁN (ĐỀ SỐ 2)
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể
thời gian phát đề

Câu I (2 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau đây:
1. y = xsin(2x+3) .
2. y = ln(sinx – cosx) .
Câu II (2 điểm) Cho hàm số y =
2
2
2
x x
x
− + −
−
.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
2. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình
2
2
2
m
x x

x
=
− + −
−
.
Câu III (2 điểm) Tính các tích phân sau đây :
1.
(2 3)
x
x e dx+
∫
.
2.
4 3
2
0
sin cosx x dx
π
∫
.
Câu IV (2 điểm) Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Đề các Oxy cho các điểm
A(– 1;– 1), B(– 1; 2), C(2; – 1).
1. Chứng minh rằng ∆ABC vuông tại A. Tính diện tích ∆ABC.
2. Lập phương trình trung tuyến AM của ∆ABC.
Câu V (2điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxyz cho
điểm M(7;– 3; 9) và mặt phẳng (P): 3x – 2y + 4z – 5 = 0.
1. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và vuông góc
với (P).
2. Tìm điểm M’ đối xứng với M qua (P).
Hết

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……………………………………số báo danh:………………
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 2
Câu I (2 điểm = 1 + 1) Tính đạo hàm của các hàm số sau đây:
1. y = xsin(2x + 3) .
2. y = ln(sinx – cosx) .
Giải
1. y' = sin(2x +3) + 2xcos(2x + 3).
2. y’ =
cos sin
sin cos
x x
x x
+
−
.
Câu II (2 điểm = 1 + 1) Cho hàm số y =
2
2
2
x x
x
− + −
−
.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
2
2
2

m
x x
x
=
− + −
−
.
Giải
1. Khảo sát hàm số: y =
2
2
2
x x
x
− + −
−
= – (x + 1) –
4
2x −
C)
• Tập xác định : D = R\{2}.
• y' =
2
2
4
( 2)
x x
x
− +
−

.
y’ = 0 ⇔
0 1;
4 7.
x y
x y



= ⇒ =
= ⇒ = −

• Tiệm cận đứng : x = 2; Tiệm cận xiên: y = – x – 1.
• Bảng biến thiên
CĐ
CT
• Đồ thị (C):
x
y'
- ∞
0
2
+ ∞
─
+
0
y
+ ∞
∞∞
∞

-7
- ∞
1
─
+
+ ∞
4
0
- ∞
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
2
2
2
m
x x
x
=
− + −
−
• m < – 7 hoặc m > 1: phương trình có 2 nghiệm phân biệt;
• m = – 7 hoặc m = 1: phương trình có 1 nghiệm;
• – 7 < m < 1: phương trình vô nghiệm.
Câu III (2 điểm = 1 + 1) Tính các tích phân sau đây :
1.
(2 3)
x
x e dx+
∫
.
2.

4 3
2
0
sin cosx x dx
π
∫
.
Giải
1
4
y
x
0
-1
y = - x - 1
-7
2
-1
x = 2
1. Tính I =
(2 3)
x
x e dx+
∫
.
Đặt u = 2x + 3; dv =
x
e dx
⇒ du = 2dx; v =
x

e
.
I =
udv uv vdu= −
∫ ∫
= (2x + 3)
x
e
–
2
x
e dx
∫
= (2x + 1)
x
e
+ C.
2. Tính J =
4 3
2
0

sin cos
x x dx
π
∫
=
4 2
2
0

sin (1 sin ) (sin )x x d x
π
−
∫
=
4 6
2
0
sin ) (sin )(sin x x d x
π
−
∫
=
5 7
2
0
sin sin
5 7
x x
π
 
 
 
−
=
2
35
.
Câu IV (2 điểm = 1 + 1) Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Đề các Oxy cho các
điểm A(– 1; – 1), B(– 1; 2), C(2; – 1).

1. Chứng minh rằng ∆ABC vuông tại A. Tính diện tích ∆ABC.
2. Lập phương trình trung tuyến AM của ∆ABC.
Giải
1.
(0;3), (3;0)AB AC= =
uuur uuuur
;
. 0AB AC =
uuuruuuur
. Do đó ∆ABC vuông
tại A.
Dt(∆ABC) =
1
2
AB.AC =
9
2
(dvdt).
2. M
1 1
;
2 2
 
 ÷
 
; (AM): x – y = 0.
Câu V (2điểm = 1 + 1) Trong không gian với hệ tọa độ Đề các vuông góc
Oxyz cho điểm M(7;– 3; 9) và mặt phẳng (P): 3x – 2y + 4z – 5 = 0.
1. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và vuông góc
với (P).

2. Tìm điểm M’ đối xứng với M qua (P).
Giải
1. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và vuông góc
với (P).
• vectơ chỉ phương của d chính là vectơ pháp tuyến của (P):
P
d
v n=
uuur uuur
= (3;– 2; 4)
• Phương trình tham số của d là:
7 3 ;
3 2 ;
9 4 .
x t
y t
z t





= +
= − −
= +
3. Tìm điểm M’ đối xứng với M qua (P).
• Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P). H chính là giao
điểm của d với (P). Tọa độ của H xác định bởi hệ
7 3 ;
3 2 ;

9 4 ;
3 2 4 5 0.
x t
y t
z t
x y z







= +
= − −
= +
− + − =
• Giải hệ ta được H( 1; 1; 1).
• H chính là trung điểm của MM’ nên M’(– 5; 5;– 7).