Co Ly Thuyet - Phan 3

Ví dụ 2. Để nâng vật nặng A người ta sử dụng cơ cấu tời như hình vẽ. Cho biết vật
nặng A chuyển động theo luật
2
702 ts +=
, (s tính bằng cm, t - giây);
cmR 50
2
=
;
cmr 30
2
=
;
cmR 60
3
=
. Tính vận tốc góc, gia tốc góc của bánh 3 và vận tốc, gia tốc
điểm M cách trục quay một khoảng bằng
cmr 40
3
=
ở thời điểm khi vật nặng A di
chuyển được một đoạn s
1
= 40 cm.
Cơ cấu được khảo sát trong ví dụ này là cơ cấu truyền động bằng dây đai. Sợi dây
(hay gọi là dây đai) nối phải đảm bảo đủ nhám để không xảy ra sự trượt của dây trên bề mặt
tiếp xúc với các đĩa (còn gọi là các bánh xe) và dây đai luôn được coi là không dãn. Với các
giả thiết đó vận tốc các điểm biên của các đĩa tiếp xúc với dây đai bằng vận tốc của các điểm
của dây.
Bài giải

Hình 3.12
Thoạt tiên ta xét vật A. Vận tốc và gia tốc của
A
là:
scmtsv
A
/140==

;
2
/140 scmsw
A
==

;
và thời gian di chuyển được đoạn đường 40
cm
tìm được từ phương trình

40702
2
=+ t
.
Suy ra
=
−
=
70
240
t

s
35
19
.
Như thế,
EA
vv =
;
22
.rv
E
ω
=
, ta suy ra
stt /
3
14
30/140
2
==
ω
và có chiều
quay dương (ngược chiều kim đồng hồ).
scmttRvv
IK
/
3
700
3
14

50
22
====
ω
.
33
Rv
K
ω
=
, nên
stt /
9
35
60/
3
700
3
==
ω
.
Vận tốc góc của bánh 3 có chiều âm (cùng chiều kim đồng hồ).
Tại thời điểm khi vật A đi được 40 cm vận tốc góc bánh 3 là
==
=
35
19
9
35
35

19
3
t
ω
2,87/s
Gia tốc góc của bánh 3 là
A
O
2
O
3
3
ω
M
v

A
v

E
I
1
M
3
2
1
2
ω
K
2

33
/
9
35
s==
ωε

=3,89 /s
2
.
và có chiều âm (cùng chiều kim đồng hồ).
Vận tốc và gia tốc điểm
M
nằm trên bánh 3 cách trục quay một khoảng bằng
scmrv
M
/96,8510.
35
19
3
35
30.
35
19
9
35
.
33
====
ω

n
MMM
www

+=
τ
;
2
33
/67,11030.
9
35
scmrw
M
===
ε
τ
;
2
2
2
3
2
3
/63,24030.
35
19
9
35
scmrw

n
M
===
ω
Các vectơ vận tốc và gia tốc của điểm
M
có chiều chỉ ra trên hình vẽ.
Bài tập.
1. Một vật quay nhanh dần đều từ trạng thái nghỉ. Lúc
st 1=
, điểm
M
cách trục
quay một khoảng
mr 2=
có gia tốc
2
/22 smaw
M
==
. Tìm gia tốc của
điểm cách trục quay một khoảng
mR 4
=
tại thời điểm
st 2
=
.
2. Gia tốc một điểm trên vành vô lăng làm với bán kính góc
0

60
. Gia tốc tiếp
của nó cũng tại thời điểm đó là
2
/310 smw =
τ
(hình vẽ). Tìm gia tốc pháp
của điểm cách trục quay một khoảng
mr 5,0=
. Cho biết bán kính vô lăng là
m1
.
3. Cơ cấu cam gồm bánh quay lệch tâm có bán kính
r
. Trục quay cách tâm cam
một khoảng là
dOC
=
. Cam quay đều với vận tốc góc
const=
ω
. Tìm
phương trình chuyển động, vận tốc và gia tốc của cần
AB
của cam.
4. Cơ cấu tay quay thanh truyền gồm tay quay
OA
độ dài r quay đều với vận tốc
góc
0

ω
xung quanh trục
O
. Thanh truyền AB có độ dài l được gắn bản lề với
tay quay tại A và với con trượt tại B. Giả thiết rằng tỷ số độ dài tay quay và
thanh truyền rất nhỏ, t.l.
1<<==
l
r
AB
OA
λ
. Hãy xác định.
H. bài 3 H. bài 4
a) Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc điểm B;
b) Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc của trung điểm M của thanh AB.
C
O
A
B
O
A
B
ω
0
ω
2
5. Hộp biến tốc có các bánh răng với số răng tương ứng là
10
1

=z
,
60
2
=z
,
70,12
43
== zz
. Tìm tỷ số truyền động của hai trục
I
và II.
w

O
I 1
2 3
4
II
M
N
Hình bài tập 2
Hình bài tập 5
3
CHƯƠNG IV
TRƯỜNG HỢP RIÊNG:
CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG CỦA VẬT RẮN
Chương này sẽ áp dụng lý thuyết chung vào một trường hợp riêng chuyển động của
vật rắn phổ biến nhất trong kỹ thuật. Do đó, ngoài lý thuyết tổng quát, trong chương
này sẽ tập trung trình bày các đặc trưng của các vật chuyển động song phẳng và các

công thức tính toán để áp dụng vào thực tiễn cho sinh viên các khối ngành kỹ thuật.
§ 1. Định nghĩa chuyển động song phẳng và các đại lượng động học
của nó.
1. Định nghĩa và ví dụ.
Định nghĩa. Chuyển động song phẳng của vật rắn là chuyển động trong
đó mỗi điểm của nó luôn luôn nằm trong một mặt phẳng.
Như thế, tất cả các mặt phẳng chuyển động của các điểm song song với
nhau và do đó, song song với một mặt phẳng cố định. Ta gọi mặt phẳng
cố định này là mặt phẳng cơ bản, ký hiệu là Π.
Trong thực tiễn có rất nhiều vật chuyển động song phẳng, chẳng
hạn bánh xe lửa chuyển động trên đoạn đường ray thẳng; các bánh răng
trong các hộp số của các máy công tác; thanh truyền trong cơ cấu tay
quay – con trượt … là những vật chuyển động song phẳng.
2. Xác định vị trí. Phương trình chuyển động của vật.
Giả sử mặt phẳng cố định
Π
cắt vật theo thiết diện S. Như vậy trong quá
trình chuyển động thiết diện S sẽ trượt trên mặt phẳng cố định
Π
. Với chú
ý đó, ta chọn hệ toạ độ
0000
zyxO
(hệ quy chiếu R
0
) sao cho mặt phẳng
Hình 4.1
4
z
o

y
o
x
o
(S)
x
y
z
O
o
O
φ
φ
000
yxO
trùng với mặt phẳng
Π
, trục
00
zO
vuông góc với mặt phẳng
000
yxO
sao cho hệ trục toạ độ
0000
zyxO
là hệ toạ độ thuận. Ta chọn hệ toạ độ
Oxyz (hệ quy chiếu R) gắn chặt với vật có các trục Ox, Oy gắn với S còn
Oz song song cùng chiều với
00

zO
. Góc giữa
00
xO
và Ox cũng như giữa
00
yO
và Oy bằng nhau, do đó ta ký hiệu các góc này là
ϕ
. Dấu của
ϕ
là
dương nếu nhìn từ hướng dương của
00
zO
lại thấy
00
xO
quay đến Ox
ngược chiều kim đồng hồ và là âm trong trường hợp trái lại. Ma trận cô
sin chỉ phương của vật chuyển động song phẳng sẽ nhận dạng











−
=
100
0cossin
0sincos
ϕϕ
ϕϕ
A
. (1.1)
Theo cách xác định vị trí của vật rắn ta suy ra vị trí của vật trong trường
hợp này được xác định bởi các toạ độ điểm gốc O và góc
ϕ
(vì ma trận cô
sin chỉ phương chỉ phụ thuộc vào
ϕ
):
),(
00
tXX =

),(
00
tYY =

0
0
=Z
;
)(t

ϕϕ
=
.
Như thế vị trí của vật chuyển động song phẳng được xác định bởi ba tham
số
00
,YX
và
ϕ
. Do đó phương trình chuyển động của vật chuyển động
song phẳng là:
),(
00
tXX =

),(
00
tYY =

)(t
ϕϕ
=
. (1.2)
Chú ý Từ phương trình chuyển động của vật chuyển động song phẳng ta
thấy ngay vị trí của vật được xác định hoàn toàn bởi vị trí của thiết diện S
trong mặt phẳng
000
yxO
, do đó khi lập phương trình chuyển động của vật
chuyển động song phẳng ta chỉ

cần xét một thiết diện bất kỳ của
vật song song với các mặt phẳng
chuyển động của các điểm. Thiết
diện này gọi là thiết diện phẳng
của vật.
Ví dụ 3.1.Lập phương trình chuyển
động của bánh xe động trong cơ cấu
hành tinh biểu diễn trên hình vẽ. Bánh
xe cố định có bán kính
cmR 20
=
,
bánh xe động lăn không trượt trên
vành bánh xe cố định và có bán kính
cmr 15=
. Tay quay OA quay theo quy luật
)(t
ϕϕ
=
cho trước
Bài giải
Giả sử thời điểm đầu bánh xe động nằm ở vị trí nằm ngang như hình vẽ. Ta
chọn hệ toạ độ cố định
00
yOx
còn hệ động (gắn chặt vào vật) là Axy. Tại thời điểm t
5
O
0
y

0
(S)
x
0
x
y
O
Thiết diện phẳng của vật
bánh xe động đến vị trí biểu diễn bằng đường đậm, trục Ax đến vị trí mới là
xA
1
. Ta
cần xác định các tham số
AA
YX ,
và góc
),(
01
OxxA∠=
ψ
. Ta có
ϕϕ
cos)(cos rROAX
A
+=×=

ϕ
cos35=
, (a)
ϕϕ

sin)(sin rROAY
A
+=×=

ϕ
sin35=
, (b)
),(),(),(
110101
xAOAOxOAOxxA ∠+∠=∠=
ψ
,
Nhưng
ϕ
=∠ ),(
01
OxOA
,
r
R
r
MMddc
r
MMddc
xAOA
ϕ
==
′
=∠
)()(

),(
1001
11
. Vậy
ϕϕϕϕψ
3
7
=
+
=+=
r
rR
r
R
(c)
Hệ phương trình (a), (b), (c) là hệ phương trình vi phân chuyển động của bánh xe
động.
Ví dụ 3.2. Sơ đồ tay máy phẳng hai khâu nối với nhau bằng các khớp quay có thể
xem như hai thanh
OA
và
AB
có độ dài tương ứng là
1
l
và
2
l
. Người ta cho các
thanh chuyển động theo các quy luật:

Hình 4.3
ψ
ϕ
O
A
1
M
0
M
0
x
x
6
φ
1
φ
2
(t)
x
y
O
A
B
)(),(
2211
tt
ϕϕϕϕ
==
.
Viết phương trình chuyển động của thanh

AB
.
Bài giải.
Ta chọn các trục toạ độ: Hệ
0
R
cố định, hệ
1
R
gắn vào
AB
. Ta có phươmng
trình chuyển động của thanh
AB
là
111
coscos.
ϕϕ
lOAX
A
==
,
111
sinsin
ϕϕ
lOAY
A
==
,
πϕϕψ

−+=
12
.
3. Vận tốc góc của vật chuyển động song phẳng.
Theo định nghĩa, các thành
phần của vectơ vận tốc góc được
tính
theo công thức (1.10), (1.7), § 1,
chương II. Áp dụng các công thức
này, ta có
00
sincos
yxx
eee

ϕϕ
+=
,
00
cossin
yxy
eee

ϕϕ
+−=
.
0
zz
ee


=
.
Đạo hàm các đẳng thức này theo
thời gian, ta được
)cos(sin
00
yxx
eee




ϕϕϕ
−−=
=
( ) ( )
[ ]
yyxyx
eeeee




ϕϕϕϕϕϕϕϕ
=+−−−= cossincossincossin
=
zxzyxy
ee

ϖϖ

+
;
)sin(cos
00
yxy
eee




ϕϕϕ
−−=
=
( ) ( )
[ ]
yyxyx
eeeee




ϕϕϕϕϕϕϕϕ
−=+−−−= cossinsinsincoscos
xzxzyz
ee

ϖϖ
+=
0=
z

e


.
So sánh với các công thức (1.7), § 1, chương II, ta được
0==
yzx
ϖω
;
0==
zxy
ϖω
;
ϕϖω

==
xyz
.
Vậy, vận tốc góc của vật quay xung quanh một trục cố định là
z
e



ϕω
=
(1.3)
Nhưng
0
zz

ee

≡
, nên vectơ vận tốc góc của vật chuyển động song phẳng
luôn luôn nằm trên trục Oz, có trị số bằng giá trị tuyệt đối của đạo hàm
góc
ϕ
của theo thời gian. Do vậy, trong các tính toán thực hành, để đơn
giản ta thường hiểu vận tốc góc của vật chuyển động song phẳng là một
đại lượng đại số, ký hiệu
ω
bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của góc
quay
ϕ
, t.l.
ϕω

=
(1.4)
7
0
x
e

0
y
e

x
e


y
e

ϕ
và được biểu diễn bằng mũi tên vòng (Hình 4.4).
4. Gia tốc góc của vật chuyển động
song phẳng.
Theo định nghĩa gia tốc góc
của vật bằng đạo hàm của vận tốc
góc, nên ta có ngay

0
zz
ee





ϕϕε
==
z
e


ω
=
(1.5)
Ví dụ 3.3. Tìm vận tốc góc và gia tốc góc

của bánh xe động trong ví dụ 3.1. Cho
rằng góc
ϕ
biến đổi theo luật
2
12t=
ϕ
,
ϕ
. tính bằng rad, t – giây.
Bài giải. Ta có vận tốc góc của bánh xe động là
tt
r
rR
2812
3
7
==
+
==
ϕψω


srad /
.
Gia tốc góc của bánh xe động là
2
/28 srad==
ωε


.
§ 2. Các đặc trưng động học của các điểm thuộc vật.
1. Phương trình chuyển động của điểm.
Xét điểm
M
bất kỳ thuộc vật. Gọi các toạ độ của nó trong hệ R là
zyx ,,
.
Ta sẽ tìm toạ độ của điểm trong
hệ cố định R
0
. Ta có, theo (1.17),
§ 2, chương II:
x
0
= X
0
+
A
x
ta tìm được





















−
+










=











z
y
x
Y
X
z
y
x
100
0cossin
0sincos
0
0
0
0
0
0
ϕϕ
ϕϕ
,
(2.1)
hay dưới dạng thành phần
ϕϕ
sincos
00
yxXx −+=

, (2.2a)
ϕϕ
cossin
00
yxYy ++=
, (2.2b)
zz =
0
. (2.2c)
Từ các phương trình này ta suy ra chuyển động của các điểm thuộc vật
nằm trên đường thẳng song song với trục Oz sẽ giống hệt nhau. Do vậy,
8
Hình 4.4 Biểu diễn vận tốc góc
bằng mũi tên vòng
ω
M
0
O
x
y
y
x
X
0
Y
0
x
0
y
0

ϕ
từ nay về sau ta chỉ cần xét các điểm trên một thiết diện phẳng của vật và
phương trình chuyển động của điểm trên thiết diện phẳng là
ϕϕ
sincos
00
yxXx −+=
, (2.3a)
ϕϕ
cossin
00
yxYy ++=
, (2.3b)
2. Vận tốc của các điểm của vật chuyển động song phẳng.
Ta nhắc lại rằng, các điểm của vật chuyển động song phẳng được hiểu là
các điểm nằm trên cùng một hình phẳng.
2.1. Biểu thức vận tốc của điểm.
2.1.1. Đạo hàm ma trận cô sin chỉ phương
Các phương trình (1.8) có thể viết dưới dạng ma trận














−
+






=






y
x
Y
X
y
x
ϕϕ
ϕϕ
cossin
sincos
0
0
0

0
(2.4)
Ở đây, để khỏi phức tạp ta sẽ coi ma trận
A
ở (1.1) là ma trận 2
×
2






−
=
ϕϕ
ϕϕ
cossin
sincos
A
và gọi là ma trận cô sin chỉ phương trong chuyển động song phẳng. Theo
quy tắc đạo hàm, ta có






−
−−

=










−
=
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
sincos
cossin
cossin
sincos


dt
d
dt
d
dt
d
dt

d
dt
dA
,
Đặt:






−
=
∗
01
10
I
, (2.5)
Đạo hàm của ma trận
A
là
AI
dt
dA
∗
=
ϕ

(2.6)
Tương tự, ta tính được đạo hàm bậc hai của

A
theo thời gian
( )
AIAI
dt
dA
IAI
dt
AId
dt
Ad
22
2
2
)(
∗∗∗∗
∗
+=+==
ϕϕϕϕ
ϕ


=
EAAI
2
ϕϕ

+
∗
trong đó

E
là ma trận đơn vị






=






−






−
−=−=
∗
10
01
01
10
01

10
)(
2
IE
.
Vậy
EAAI
dt
Ad
2
2
2
ϕϕ

+=
∗
. (2.7)
2.1.2. Biểu thức vận tốc của điểm
Ta đạo hàm theo thời gian (2.4) theo (2.6)
9
=






+









=






y
x
dt
dA
Y
X
y
x
0
0
0
0




=













−






−
+








=







y
x
Y
X
y
x
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
cossin
sincos
01
10
0
0
0
0





v =
=







y
x
v
v













−
−−
+









=






y
x
Y
X
y
x
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
sincos
cossin
0
0
0
0






(2.8)
hay là
( )
[ ]
( )
[ ]
yx
eyxYeyxXv







ϕϕϕϕϕϕ
sincoscossin
00
−+++−=
(2.9)
Ví dụ 3.4. Viết phương trình chuyển động, vận tốc của điểm
M
nằm trên biên của
bánh xe động trong ví dụ 3.1.
Bài giải
Nhắc lại rằng ta chọn các hệ toạ độ R
0
và R như trong các ví dụ 3.1 và 3.2. Khi đó
điểm M trong hệ R sẽ có toạ độ

αα
sin,cos ryrx ==
, trong đó
r
là bán kính bánh
xe động,
α
là góc xác định điểm
M
. Do đó
( )
ψψϕ
sincoscos
0
yxrRx −++=
,
ψψϕ
cossinsin)(
0
yxrRy +++=
.
Thay các giá trị của
yx,
và
ψ
vào ta nhận được phương trình chuyển động của điểm
M
ở dạng
( )
=

+
−
+
++=
ϕαϕαϕ
r
rR
r
r
rR
rrRx sinsincoscoscos
0







+
+
++=
αϕϕ
r
rR
rrR coscos)(
,
( )
=
+

+
+
++=
ϕαϕαϕ
r
rR
r
r
rR
rrRy cossinsincossin
0






+
+
++=
αϕϕ
r
rR
rrR sinsin)(
.
Khoảng cách từ điểm
M
đến gốc
O
là

=












+
+
+






+
+
++++=+
αϕϕαϕϕ
r
rR
r
rR

rrRrrRyx sinsincoscos)(2)(
222
0
2
0
=






+++++=+
αϕ
r
R
rrRrrRyx cos)(2)(
222
0
2
0
.
Khi
1cos =







+
αϕ
r
R
điểm
M
xa điểm
O
nhất
rRD 2+=
;
và khi
1cos =






+
αϕ
r
R
điểm
M
gần điểm
O
nhất
rRd
+=

.
10
Vận tốc của điểm tính trực tiếp bằng cách đạo hàm theo thời gian các toạ độ
00
, yx
:






+
+
+−+−=
αϕϕϕϕ
r
rR
rRrRv
x
sin)(sin)(















+
+
++−=
αϕϕϕ
r
rR
sinsin)( rR

,






+
+
+++=
αϕϕϕϕ
r
rR
rRrRv
y
cos)(cos)(


( )












+
+
++=
αϕϕϕ
r
rR
rR coscos

.
Ví dụ 3.5. Lập phương trình chuyển động, vận tốc của điểm đầu
B
của thanh
AB
.
Khảo sát trường hợp đặc biệt khi:
lll ==

21
,
t
11
ωϕ
=
,
t
22
ωϕ
=
.
Bài giải
a) Phương trình chuyển động của điểm B. Ta có (xem ví dụ 3.2)












−
+







=






0
cossin
sincos
2
l
Y
X
y
x
A
A
B
B
ψψ
ψψ
hay là
ψϕ
coscos
211

llx
B
+=
ψϕ
sinsin
211
lly
B
+=
,
πϕϕψ
−+=
21
Vậy, phương trình chuyển động của điểm
B
( )
21211
coscos
ϕϕϕ
+−= llx
B
, (a)
)sin(sin
21211
ϕϕϕ
+−= lly
B
, (b)
πϕϕψ
−+=

21
. (c)
Trường hợp đặc biệt
lll ==
21
,
t
11
ωϕ
=
,
t
22
ωϕ
=
, các phương trình này trở thành
( )( )
ttlx
B 211
coscos
ωωω
+−=
(a’)
( )( )
ttly
B 211
sinsin
ωωω
+−=
. (b’)

b) Vận tốc của điểm B. Đạo hàm theo thời gian (a) và (b), ta được
)sin()(sin
21212111
ϕϕϕϕϕϕ
+++−=

llv
Bx
, (d)
)cos()(cos
21212111
ϕϕϕϕϕϕ
++−=

llv
By
. (e)
Trong trường hợp riêng, vận tốc điểm B được tính theo công thức
( )
ttlv
Bx
)sin()(sin
212111
ωωωωωω
++−−=
, (d’)
( )
ttlv
By
)cos()(cos

11111
ωωωωωω
++−=
. (e’)
Từ các biểu thức cụ thể này của vận tốc ta có mấy nhận xét sau
- Nếu
0=
Bx
v
, thì phương vận tốc điểm B luôn luôn song song với trục Oy. t.l. điểm B
chuyển động thẳng theo phương y. Điều này xảy ra khi:
0)sin()(sin
212111
=++− tt
ωωωωωω
Suy ra
12
2
ωω
−=
, (f’)
t.l. thanh AB có vận tốc góc
121
ωωωψω
−=+==

AB
, nói khác đi thanh AB chuyển
động sao cho vận tốc góc của nó ngược chiều với vận tốc góc của OA với cùng trị số.
11

- Nếu tại thời điểm đầu điểm B nằm trên trục Oy,
2.2. Liên hệ vận tốc giữa hai điểm
Áp dụng các định lý 2.1, 2.2 mục 2, § 2, Ch. II, vào vật chụyển
động song phẳng ta có các định lý liên hệ vận tốc giữa hai điểm của vật
chuyển động song phẳng dưới đây
Định lý 2.1. Tại mỗi thời điểm vận tốc của hai điểm A và B bất kỳ thuộc
vật rắn chuyển động song phẳng liên hệ với nhau qua công thức
ABBA
vvv

+=
(2.10)
trong đó
BAv
AB
×=
ω


. (2.11)
Ở đây ta chỉ cần chú ý rằng các điểm A và B cùng nằm trong thiết diện
phẳng S, vectơ vận tốc góc vuông góc với thiết diện đó, nên các vectơ vận
tốc
A
v

và
B
v


cùng nằm trong mặt phẳng thiết diện này. Do đó,
AB
v

sẽ
vuông góc với
BA
theo chiều phù hợp với chiều quay của vectơ vận tốc
góc. Về trị số ta có
ABv
AB
.
ω
=
. (2.12)
Ví dụ 3.6. Tay quay
OA
của cơ cấu tay quay con trượt quay đều với vận tốc góc
0
ω

làm cho con chạy
B
chuyển động khứ hồi dọc theo rãnh
B
. Cho biết
rOA
=
,
lAB

=
. Hãy xác định vận tốc góc
1
ω
của thanh truyền
AB
và vận tốc con trượt
B
tại các
thời điểm: a)
OAB
thẳng hang; b)
⊥OA
OB
Bài giải Trong các trường hợp a) và b) cơ cấu ở các vị trí như hình vẽ.
B
A
AB
v

B
B
v

A
v

A
B
v


B
v

A
v

Hình 4.5
Hình 4.6.
12
A
Xét thanh
AB
. Ta nhận thấy có thể xác định vận tốc các điểm
A
và
B
do
điểm
A
còn thuộc tay quay
OA
và điểm
B
trượt dọc theo
OB
. Phương vận tốc các
điểm này biểu diễn trên hình vẽ. Về trị số
rOAv
A

00
ωω
==
;
Theo công thức (1.15), (1.16)
ABBA
vvv

+=
(a)
a) Chiếu công thức (a) lên phương
Ax
ta có ngay
00 +=
B
v
,
Suy ra,
0=
B
v
.
Bây giờ chiếu công thức (a) lên phương
Ay
ta được
ABA
vv += 0
.
Từ đây suy ra

rvv
AAB
.
0
ω
==
.
Mặt khác
lv
AB
.
1
ω
=
,
từ đây ta nhận được
l
r
l
v
AB
0
1
ω
ω
==
.
b) Ta chú ý đến hình vẽ b). Trong trường hợp này
BA
vv


//
,
ABv
AB
⊥

. Do đó,
chiếu công thức này lên phương
AB
ta có
αα
coscos
BA
vv =
,
hay là
rvv
BA
.
0
ω
==
.
Chiếu công thức (a) lên phương vuông góc với
AB
ta có
ABAA
vvv +=
αα

sinsin
.
Nhưng
BA
vv =
, nên
0=
AB
v
. Do vậy,
0
1
=
ω
.
.
Ví dụ 3.7. Tính vận tốc góc của bánh xe động trong cơ cấu vi sai ăn khớp trong. Cho
biết bánh răng I có bán kính
R
quay quanh trục cố định
O
với vận tốc góc
I
ω
còn
bánh xe II có bán kính
r
chuyển động lăn không trượt bên trong bánh răng I . Tay
quay
OA

quay xung quanh trục
O
với vận tốc góc
0
ω
. Tính vận tốc góc bánh xe II và
vận tốc các điểm K và
N
nằm trên vành bánh xe II như chỉ ra trên hình 4.9. Cho rằng
bánh răng I và tay quay OA đều quay theo chiều dương.
Bài giải.
O
A

B
B
A
v

B
v

O
B
A
v

B
v


Hình 4.7. Trường hợp a) Hình 4.8. Trường hợp b)
13
Tính vận tốc góc bánh xe II. Ta áp dụng công thức
AIIA
vvv

+=
.
Ở đây,
OAv
A
⊥

,
)(.
00
rROAv
A
−==
ωω
,
I
v

tiếp xúc với các vòng tròn tại
I
, do đó
cũng vuông góc với
OA
,

ROIv
III

ωω
==
, còn
AI
v

ta sẽ giả thiết có cùng chiều với
A
v

và
I
v

, t.l.
II
ω
cùng chiều quay của kim đồng hồ. Từ đó suy ra
RrRvvv
IIAAI
ωω
−−=−= )(
0
,
Mặt khác,
AIv
IIAI

.

ω
=
r
II
.
ω
=
. Ta rút ra
( )
00
0
)(
ωωω
ωω
ω
−−=
−−
==
I
I
AI
II
r
R
r
RrR
r
v

.
Bây giờ ta xét chiều thực sự của
II
ω
. Phụ thuộc vào giá trị cụ thể của
0
ω
và
I
ω
chiều
của
II
ω
sẽ quay cùng hay ngược chiều kim đồng hồ. Chẳng hạn, nếu
I
rR
R
ωω
−
>
0

t.l
IA
vv >
thì
0>
II
ω

, hay nói khác đi, chiều giả thiết ở trên là đúng, cũng có nghĩa
là vận tốc góc bánh xe II cùng chiều kim đồng hồ.
Tính vận tốc điểm
K
và N. Để xác định cụ thể, ta giả sử
I
rR
R
ωω
−
>
0
, Độc giả sẽ tự
khảo sát trường hợp còn lại. Để tính vận tốc điểm K ta á p dụng công thức
KAAK
vvv

+=
,
trong đó,
AKv
KA
⊥

, hay
AKA
vv

//
, cùng chiều với

A
v

,
rKAv
IIIIKA

ωω
==
.
Do đó,
RrRr
r
RrR
rRrrRvvv
I
I
IIKAAK
ωω
ωω
ωωω
−−=
−−
+−=+−=+= )(2
)(
)()(
0
0
00
.

Bây giờ ta tính vận tốc điểm N. Áp dụng công thức
NAAN
vvv

+=
ở đây,
ANv
NA
⊥

, t.l,
ANA
vv

⊥
, có chiều chỉ ra trên hình vẽ,
rNAv
IIIINA

ωω
==
.
Do đó
[ ]
=
−−
+−=+−=+=
2
2
2

0
22
0
2222
0
22
)(
)()( r
r
RrR
rRrrRvvv
I
IINAAN
ωω
ωωω

)(2)(2
0
2222
0
rRRRrR
II
−−+−=
ωωωω
.
14
O
A
I
A

v

Hình 4.9.
N
AI
v

0
ω
II
ω
I
v

Định lý 2.2. Hình chiếu vận tốc của hai điểm bất kỳ của vật rắn lên
phương nối hai điểm đó bằng nhau.
BABAAB
vhcvhc

=
. (2.13)
2.3. Tâm vận tốc tức thời.
2.3.1. Định nghĩa. Điểm P thuộc mặt phẳng chuyển động (mặt phẳng
Oxy) có vận tốc bằng không
0=
P
v

được gọi là tâm vận tốc tức thời của
vật chuyển động song phẳng.

Tâm vận tốc tức thời còn được gọi là tâm quay tức thời của vật
chuyển động song phẳng.
Nếu vật chuyển động song phẳng có tâm vận tốc tức thời thì vận
tốc của điểm M bất kỳ sẽ tính bằng công thức:
PMv
M
×=
ω


(2.14)
t.l,
MPv
M
⊥

, chiều của
M
v

phù hợp với chiều quay của
ω
và có trị số
PMv
M
.
ω
=
(2.15)
Thật vậy, theo (2.10), (2.11), (2.12), ta có

MPPM
vvv

+=
,
nhưng
0=
P
v

, còn
PMv
MP
×=
ω


, nên ta có ngay kết quả trên.
2.3.2. Trong quá trình chuyển động tâm vận tốc tức thời luôn luôn thay
đổi. Tập hợp các điểm này (quỹ tích) tạo thành đường cong
C
trên mặt
phẳng động Oxy và đường cong
0
C
mặt phẳng cố định
000
yxO
. Khi
chuyển động đường cong C lăn không trượt trên đường cong C

0
. C gọi là
đường lăn hay đường tâm tích động, còn C
0
gọi là đường căn cứ hay
đường tâm tích cố định.
Ví dụ 3.8. Tìm tâm tích động và cố định đối với thanh AB trượt theo tường thẳng
đứng ở đầu A, còn đầu B trượt theo đường thẳng nằm ngang.
Bài giải
P
M
M
v

N
N
v

P
M
M
v

M
1
1
v

Hình 4.10. Tâm vận tốc tức thời

Hình 4.11. Sự phân bố vận tốc xung
quanh tâm vận tốc tức thời
ω
15
Dễ thấy rằng P luôn luôn nhìn AB dưới góc vuông. Do đó quỹ tích của P là nửa đường
tròn có đường kính là AB. Đây là tâm tích động vì ta xét điểm P đối với AB (mặt
phẳng
động). Mặt khác, đối với tường và nền
(mặt phẳng cố định) điểm P luôn luôn
cách O một khoảng bằng AB. Vậy quỹ
tích của nó trong mặt phẳng cố định là
4/1
cung tròn tâm O bán kính là AB.
2.3.3. Điều kiện tồn tại tâm vận
tốc tức thời.
Định lý 2.3. Trong chuyển
động song phẳng:
i) Nếu vận tốc góc của vật khác
không
0
≠
ω
, sẽ tồn tại và duy
nhất tâm vận tốc tức thời, vận tốc của các điểm tuân theo công thức
(2.14), (2.15).
ii) Nếu vận tốc góc bằng không
0
=
ω
sẽ không tồn tại tâm vận tốc tức

thời. Trong trường hợp này vận tốc của các điểm bằng nhau.
Chứng minh.
i) Giả sử
0
≠
ω
và có chiều quay như hình vẽ, còn một điểm
M
nào đó của
vật có vận tốc
M
v

. Ta quay
M
v

đi 90
0
theo chiều quay của vận tốc góc
ω

ta nhận được tia
Mx
. Trên
Mx
ta lấy điểm
P
sao cho
ω

M
v
PM =
. Điểm
P

chính là tâm vận tốc tức thời của vật. Thật vậy,
0=
P
v
vì
PMMP
vvv

+=
.
Nhưng
PM
v

và
M
v

cùng vuông góc với tia
Mx
và ngược chiều nhau, cùng
trị số
0
≠

ω
M
P
M
v

M
v

N
v

x
0
=
ω
16
H ình 4.12. T âm t ích đ ộng v à c ố đ ịnh
O
x
y
A
B
P
M
M
PM
v
v
PMv ===

ω
ωω

nên
0=
P
v

.
ii) Trường hợp
0
=
ω
. Đối với hai điểm
NM,
bất kỳ thuộc vật, ta có liên
hệ
NMMN
vvv

+=
nhưng
0=
ω
nên
0=×= MNv
NM
ω



. Do đó,
MN
vv

=
. Vì N và M là hai điểm
bất kỳ nên ta suy ra tính đúng đắn của định lý.
2.3.4. Dựa vào các tính chất của tâm vận tốc tức thời, khi tính toán ta có
thể tìm ngay được nếu biết:
i) Vận tốc của một điểm M nào đó
M
v

và phương vận tốc của điểm khác
N cắt nhau (hình vẽ). Nếu hai vectơ vận tốc này không song song với
nhau, tâm vận tốc tức thời P là giao điểm của hai đường vuông góc với
M
v

và
N
v

hạ từ chính các điểm đó.
ii) Các vận tốc
NM
vv

//
. Có thể xảy ra các trường hợp sau đây:

- Cả hai vận tốc này không bằng nhau, vuông góc với đường thẳng MN.
Khi đó tâm vận tốc tức thời P là giao điểm của MN với đường thẳng nối
hai đầu mút của các vectơ vận tốc (hình vẽ)
- Vận tốc các điểm song song với nhau nhưng không thoả mãn các điều
kiện trên thì hai đường vuông góc kẻ được như đã nói trên sẽ không cắt
nhau. Ta nói rằng tâm vận tốc tức thời ở vô cùng và dễ chỉ ra rằng các
vận tốc này bằng nhau và vận tốc góc của vật bằng không
0=
ω
.
iii) Khi giải các bài toán ta thường gặp trường hợp một vật chuyển động
phẳng lăn không trượt trên một mặt cố định. Khi đó biên của vật là tâm
tích động còn biên của vật cố định là tâm tích cố định. Do vậy điểm tiếp
xúc của vật với mặt cố định là tâm vận tốc tức thời của vật.
Ví dụ 3.9. Giải bài toán trong ví dụ 3.6 bằng cách sử dụng tâm vận tốc tức thời
P
M
N
M
v

N
v

M
N
M
v

N

v

P
ω
ω
17
Bài giải.
Ta có
rOAv
A 00
ωω
==
,
Ngoài ra, theo cách tìm tâm vận tốc tức thời, trong trường hợp a) điểm P trùng
với điểm B, còn trong trường hợp b) điểm P ở vô cùng. Do đó, ta có ngay
a)
0=
B
v
,
== ABv
A
.
1
ω
r
0
ω
. Suy ra
l

r
0
1
ω
ω
=
.
b)
,
AB
vv

=
rvv
AB 0
ω
==
,
0
1
=
ω
.
Ví dụ 3.10. Giải bài toán trong ví dụ 3.7 bằng cách sử dụng tâm vận tốc tức thời
Bài giải.
Ta có
)(
0
rRv
A

−=
ω
,
Rv
II
.
ω
=
.
Coi các điểm A và I cùng thuộc bánh xe 2 (chuyển động song phẳng), các vận tốc của
chúng song song với nhau, cùng vuông góc với đường thẳng
AI
nên nối các điểm
mút của chúng ta được điểm P. Giả sử
>− )(
0
rR
ω
R
I
.
ω
như đã xét trong ví dụ 3.7,
khi đó điểm P nằm phía ngược lại với điểm A.
Thoạt tiên ta tính các khoảng cách
PKPAPI ,,
và
PN
. Do các tam giác (
A

vP

,
) và
( )
B
vP

,
đồng dạng, nên ta có các hệ thức
I
A
v
v
PI
PA
=
, hay
I
BA
v
vv
PI
PIPA
−
=
−
R
RrR
PI

r
I
I
ω
ωω
−−
=
)(
0
.
Suy ra
=PI
RrR
Rr
I
I
ωω
ω
−− )(
0
,
RrR
rrR
r
RrR
Rr
PA
II
I
ωω

ω
ωω
ω
−−
−
=+
−−
=
)(
)(
)(
0
0
0
=+= rPIPK 2
RrR
RrrrR
r
RrR
Rr
I
I
I
I
ωω
ωω
ωω
ω
−−
−−

=+
−− )(
)(2
2
)(
0
0
0
,
=+=
22
ANPAPN
( )
( )
( ) ( )
( )
2
0
0
222222
0
2
2
2
0
22
0
2
)(
22

)( RrR
RrrRrRrrR
r
RrR
rrR
I
II
I
ωω
ωωωω
ωω
ω
−−
−−+−
=+
−−
−
.
Từ đó ta tính được các yếu tố vận tốc:
r
RrR
RrR
rrR
rR
PA
v
I
I
A
II

ωω
ωω
ω
ω
ω
−−
=
−−
−
−
==
)(
)(
)(
)(
0
0
0
0
.
Chiều quay của
II
ω
phù hợp cới chiều
A
v

nên có chiều theo chiều kim đồng hồ.
18
O

A
I
P
A
v

I
v

0
ω
II
ω

== PKv
IIK
.
ω
RrR
RrR
RrrrR
r
RrR
I
I
II
ωω
ωω
ωωωω
−−=

−−
−−−−
)(2
)(
)(2)(
0
0
00
.

== PNv
IIN
ω
( )
2
0
2
0
222222
00
)(
)(2)(2)(
RrR
rRRrrRrrR
r
RrR
I
III
ωω
ωωωωωω

−−
−−+−−−
do đó,
=
N
v
)(2)(2
0
2222
0
rRRRrR
II
−−+−
ωωωω
.

3. Gia tốc các điểm của vật chuyển động song phẳng
3.1. Biểu thức gia tốc của điểm.
Nhắc lại rằng phương trình chuyển động của điểm dưới dạng ma
trận được viết bởi (2.4):













−
+






=






y
x
Y
X
y
x
ϕϕ
ϕϕ
cossin
sincos
0
0
0

0
Đạo hàm hai lần theo thời gian theo (2.7) ta được
+






=






0
0
0
0
Y
X
y
x

















−






+













−






−
y
x
y
x
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
cossin
sincos
10
01
cossin
sincos
01
10
2

Vậy
w =

=






y
x
w
w
+






=






=
0
0
0
0

Y
X
y
x
















−






+













−






−
y
x
y
x
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
cossin
sincos

10
01
cossin
sincos
01
10
2

Do đó
=
w

( ) ( )
[ ]
+−++−
x
eyxyxX



ϕϕϕϕϕϕ
sincoscossin
2
0

( ) ( )
[ ]
y
eyxyxY




ϕϕϕϕϕϕ
cossincoscos
2
0
++−++
. (2.16)
Hay dưới dạng toạ độ
( ) ( )
ϕϕϕϕϕϕ
sincoscossin
2
0
yxyxXxw
x
−++−==



, (2.17a)
( ) ( )
ϕϕϕϕϕϕ
cossincoscos
2
00
yxyxYyw
y
++−+==




. (2.17b)
Ví dụ 3.11. Tìm gia tốc của điểm M nằm trên biên của bánh xe động trong ví dụ 3.4.
Bài giải.
Nhắc lại rằng, điểm M nằm trên biên của bánh xe động có phương trình
chuyển động:
0
x






+
+
++=
αϕϕ
r
rR
rrR coscos)(
,
=
0
y







+
+
++
αϕϕ
r
rR
rrR sinsin)(
. trong đó R, r tương ứng là bán kính bánh xe cố
định và bánh xe động,
α
là tham số xác định vị trí của điểm M trên biên của bánh xe
động,
ϕ
là góc quay của tay quay
OA
. Đạo hàm theo thời gian các hệ thức này ta đã
nhận được các thành phận vận tốc của điểm (xem ví dụ 3.4)
19






+
+
+−+−=
αϕϕϕϕ

r
rR
rRrRv
x
sin)(sin)(







+
+
+++=
αϕϕϕϕ
r
rR
rRrRv
y
cos)(cos)(

.
Để tìm các thành phần gia tốc ta đạo hàm một lần nữa theo thời gian

( )













+
++
++−












+
+
++−=
αϕϕϕαϕϕϕ
r
rR
coscos)(

r
rR
sinsin
2
r
rR
rRrRw
x

,

( )












+
++
++−













+
+
++=
αϕϕϕαϕϕϕ
r
rR
cos
r
rR
sin)(
r
rR
coscos
2
rRrRw
y

.
Ví dụ 3.12. Tìm gia tốc của điểm đầu B của thanh AB trong ví dụ 3.5.
Bài giải
Trong ví dụ 3.5, ta đã tìm được các thàng phần vận tốc của điểm B

)sin()(sin
21212111
ϕϕϕϕϕϕ
+++−=

llv
Bx
,
(d)
)cos()(cos
21212111
ϕϕϕϕϕϕ
++−=

llv
By
.
(e)
Và trường hợp riêng khi
lll ==
21
,
t
11
ωϕ
=
,
t
22
ωϕ

=
:
( )
ttlv
Bx
)sin()(sin
212111
ωωωωωω
++−−=
,
(d’)
( )
ttlv
By
)cos()(cos
11111
ωωωωωω
++−=
.
(e’)
Để tính các thành phần gia tốc của điểm B ta đạo hàm theo thời gian các thành
phần này một lần nữa:

−=
x
w
)sin()(sin
2121211
ϕϕϕϕϕϕ
+++


ll
)cos()(cos
21
2
2121
2
11
ϕϕϕϕϕϕ
+++−

ll

=
y
w
)cos()(cos
21212111
ϕϕϕϕϕϕ
++−

ll
)sin()(sin
21
2
2121
2
11
ϕϕϕϕϕϕ
+++−


ll
Trường hợp riêng, khi
lll ==
21
,
t
11
ωϕ
=
,
t
22
ωϕ
=
:
( )
ttlw
x
)cos()(cos
21
2
211
2
1
ωωωωωω
++−−=
( )
ttlw
x

)sin()(sin
21
2
211
2
1
ωωωωωω
++−−=
3.2. Liên hệ gia tốc giữa hai điểm
Áp dụng các Định lý 2.3 của Chương II vào chuyển động song
phẳng, gia tốc của hai điểm bất kỳ thuộc hình phẳng có lien hệ với nhau
trong định lý dưới đây
Định lý 2.4. Tại mỗi thời điểm gia tốc của hai điểm thuộc hình
phẳng liện hệ với nhau theo công thức
ABBA
www

+=
(2.18)
20
Trong đó
n
ABABAB
www

+=
τ
(2.19)
BAw
AB

×=
ε
τ


(2.20)
nằm trong mặt phẳng chuyển động,
vuông góc với BA, có chiều phù hợp
với chiều quay của
ε
và có trị số
ABw
AB
.
ε
τ
=
;
BAw
n
AB
2
ω
−=

(2.21)
t.l. hướng từ A đến B, có trị số
ABw
n
AB

2
ω
=
.
Chứng minh.
Các công thức (2.18), (2.20) ta
suy ra ngay từ các công thức (1.21), (1.20a), trong đó ta đã thay các ký
hiệu
q
AB
w

,
ht
AB
w

bằng các ký hiệu mới
τ
AB
w

,
n
AB
w

. Ta chỉ cần chứng minh công
thức (2.21). Thật vậy
( ) ( )

ωωωωωω


.BABABAw
n
AB
−=××=
.
Do
BA⊥
ω

nên
0=BA
ω

. Từ đó ta nhận được công thức (2.21).
Ví dụ 3.13. Tính gia tốc góc của thanh truyền AB và gia tốc của điểm B trong ví dụ
3.6 đối với trường hợp khi OA
OB⊥
.
Bài giải. Nhắc lại rằng trong ví dụ 3.6, ta đã chỉ ra rằng vận tốc góc của thanh truyền
AB, ký hiệu là
1
ω
bằng không
0
1
=
ω

, còn vận tốc của tất cả
các điểm như nhau, do đó
AB
vv

=
,
rvv
AB 0
ω
==
.
Để tính các yếu tố gia
tốc ta áp dụng các công thức
(2.18), (2.19), (2.20), (2.21)
n
ABABBA
wwww

++=
τ
,
(a)
ở đây
n
AA
ww

=
,

rw
n
A
2
0
ω
=
,
0=
τ
A
w

vì tay quay OA quay đều;
B
w

hướng dọc theo OB ta giả sử có chiều như hình vẽ;
τ
AB
w

đặt tại A, vuông góc với AB, ta giả sử có chiều như hình vẽ. (và do đó
cũng giả sử chiều của gia tốc góc
1
ε
cùng chiều kim đồng hồ).
0=
n
AB

w

, vì
0
1
=
ω
.
Ta gắn vào thanh AB hệ toạ độ Axy, Ax hướng dọc theo AB, còn Ay vuông góc
với Ax. Chiếu phương trình (a) lên hai phương toạ độ ta nhận được
αα
cossin
B
n
A
ww −=
;
τ
αα
ABB
n
A
www +−=− sincos
,
trong đó
α
là góc nhọn lập bởi
BA
và
BO

21
A
B
B
w

τ
AB
w

n
AB
w

B
w

AB
w

A
w

O
A
B
n
A
w


n
AB
w

τ
AB
w

B
w

x
y
l
r
=
α
sin
,
l
rl
22
cos
−
=
α
.
Suy ra
=−=
α

α
cos
sin
n
AB
ww
22
2
0
rl
l
r
−
−
ω
.
.cossin
αα
τ
n
ABAB
www −=
Suy ra
==
l
w
AB
τ
ε
1

.
cossin
l
ww
n
AB
αα
−
.
Thay các giá trị của
αα
τ
cos,sin,,
ABB
ww
vào biểu thức trên ta được
2
0
22
1
ωε
rl
r
−
−=
.
Dấu trừ chỉ ra rằng chiều quay giả thiết ở trên là không đúng. Chiều của gia tốc góc là
chiều quay dương.
Ví dụ 3.14. Tính gia tốc góc
II

ε
của bánh xe II và gia tốc điểm N trong bài toán ở ví
dụ 3.7. Cho biết tay quay OA có vận tốc góc
0
ω
và gia tốc góc
0
ε
cùng có chiều quay
dương, còn bánh xe I có vận tốc góc
I
ω
và gia tốc góc
I
ε
cũng cùng có chiều quay
dương
Bài giải.
Tính gia tốc góc
II
ε
.
Nhắc lại rằng trong ví dụ 3.7,
vận tốc góc
II
ω
ta đã tính được
r
RrR
I

II
ωω
ω
−−
=
)(
0
(a)
và nếu các vận tốc góc của tay quay
và của bánh xe I đều có chiều quay
dương, đồng thời
RrR
I
ωω
>− )(
0

thì vận tốc góc của bánh xe II có
chiều quay âm. Công thức tính vận
tốc góc của bánh xe II đúng tại mọi thời điểm, ở mọi vị trí nên ta có thể đạo hàm theo
thời gian:
( )
r
R
dt
d
rR
dt
d
dt

d
I
II
ω
ω
ω
−−
=
0
Nhớ rằng
0
0
ε
ω
=
dt
d
,
I
I
dt
d
ε
ω
=
,
II
II
dt
d

ε
ω
=
, nên thay vào công thức trên ta được
=
II
ε
r
RrR
I
εε
−− )(
0
. (b)
22
O
A
N
τ
A
w

n
A
w

τ
NA
w


n
NA
w

0
ε
2
ε

Phụ thuộc vào giá trị cụ thể của các gia tốc góc
0
ε
,
I
ε
, chiều quay của gia tốc góc
của bánh xe II sẽ được xác định. Chẳng hạn, nếu ta lại giả thiết
RrR
I
εε
>− )(
0
thì
gia tốc góc của bánh II sẽ có chiều âm.
Tính gia tốc điểm N. Ta áp dụng công thức
n
NANAAN
wwww

++=

τ
(c)
Ở đây
n
AAA
www

+=
τ
,
)(
00
rROAw
A
−==
εε
τ
,
)(
2
0
2
0
rROAw
n
A
−==
ωω
có chiều chỉ ra trên hình vẽ
ROw

IIIINA
εε
τ
== A
r
RrR
I
εε
−−
=
)(
0
, có chiều chỉ ra trên hình vẽ

=== ROAw
IIII
n
NA
22
ωω
R
r
RrR
I
2
0
)(







−−
ωω
, có chiều chỉ ra trên hình vẽ
Ta chọn các trục toạ độ
Axy
như sau: trục
Ax
hướng từ
A
đến N, trục Ay hướng từ
A vào O. Chiếu phương trình (c) lên các trục toạ độ ta được
R
r
RrR
rRwww
I
n
NAANx
2
0
0
)(
)(







−−
−−=−=
ωω
ε
τ
,
R
r
RrR
rRwww
I
NA
n
ANy
εε
ω
τ
−−
+−=+=
)(
)(
0
2
0
.
3.3. Tâm gia tốc tức thời
3.3.1. Định nghĩa. Điểm Q thuộc mặt phẳng động Oxy có gia tốc bằng
không

0=
Q
w
(1.22)
được gọi là tâm gia tốc tức thời của thiết diện phẳng của vật chuyển
động song phẳng.
Giả sử tồn tại tâm gia tốc tức thời Q. Khi đó, gia tốc điểm M bất kỳ
thuộc hình phẳng có thể biểu thị bằng công thức
n
MQMQMQM
wwww

+==
τ
, (1.23)
M
w

lập với tia QM góc
α
:
2
tan
ω
ε
α
=
(1.24)
và có trị số
42

.
ωε
+= MQw
M
(1.25)
Thật vậy, áp dụng công thức liên hệ gia tốc giữa hai điểm M và Q
n
MQMQQMQQM
wwwwww

++=+=
τ
.
Do
0=
Q
w
nên ta có ngay (1.23).
Như thế,
M
w

được biểu diễn bằng
23
Q
M
τ
MQ
w


n
MQ
w

Q
w

ε
α
cạnh huyền của tam giác vuông lập trên hai cạnh góc vuông
τ
MQ
w

và
n
MQ
w


(hình vẽ)
Ta có
22
.
tan
ω
ε
ω
ε
α

τ
===
MQ
MQ
w
w
n
MQ
MQ
Hơn nữa
( ) ( )
( )
( )
42
2
2
2
22

ωεωε
τ
+=+=+= MQMQMQwww
n
MQMQM
.
3.3.2. Sự tồn tại tâm gia tốc tức thời
Định lý 2.5. Nếu vận tốc góc
ω
và gia tốc góc
ε

của hình phẳng không
đồng thời bằng không, tồn tại và duy nhất tâm gia tốc tức thời Q.
Chứng minh.
Giả sử gia tốc của điểm M
là
M
w

. Quay vectơ
M
w

đi góc
α

theo
chiều quay của gia tốc góc
ε
ta
được tia Mx. Trên tia Mx lấy
đoạn MQ sao cho
42
ωε
+
=
M
w
MQ
,
Gia tốc của Q bằng không. Thật

vậy,
MQMQ
www

+=
.
Vectơ
MQ
w

lập với MQ góc
α
, t.l. song song và ngược chiều với
M
w

còn
trị số
42
ωε
+= MQw
MQ
M
M
w
w
=+
+
=
42

42
ωε
ωε
,
hay là
MQ
w


M
w

−=
. Do đó
0=
Q
w

. Tính duy nhất của tâm gia tốc tức thời
là hiển nhiên. Định lý được chứng minh.
Ví dụ 3.15. Xác định gia tốc góc của thanh truyền AB và gia tốc của con chạy B trong
ví dụ 3.13 bằng phương pháp sử dụng tâm gia tốc tức thời.
Bài giải.
Ta đã biết, trong trường hợp này
0
1
=
ω
, nên
24

Q
M
M
w

α
M
w

QM
w

∞==
0
tan
ε
α
, suy ra
2
π
α
=
.
Do đó, gia tốc của tất cả các điểm của thanh truyền vuông góc với đường nối từ các
điểm đó đến tâm gia tốc tức thời. Thế thì, từ các điểm A và B ta vẽ các đường vuông
góc với
A
w

(ở đây là

n
A
w

vi
0=
τ
A
w

) và
B
w

(
B
w

hướng dọc theo BO).
Ta có
rww
n
AA
2
0
ω
==
,
22
rlAQ −=

,
rBQ =
. Do đó
1
224
1
2
1
.
εωε
rlAQw
A
−=+=
.
Suy ra
22
2
0
1
rl
r
AQ
w
A
−
==
ω
ε
.
và có chiều quay dương xung quanh Q. Từ đây suy ra gia tốc của điểm B

2
0
22
2
1
4
1
2
1
.
ωεωε
rl
r
rBQw
B
−
==+=
Và có chiều ngược lại với chiều chỉ ra trên hình vẽ.
Ví dụ 3.16. Tấm phẳng có dạng tam giác đều ABC mỗi cạnh bằng a
cm10=
chuyển
động trong mặt phẳng O
0
x
0
y
0
. Cho biết gia tốc của các đỉnh tam giác là
2
10

s
cm
w =

hướng dọc theo các cạnh của nó theo thứ tự
A
w

hướng từ A đến B,
B
w

hướng từ B
đến C và
C
w

hướng từ C đến A. Tìm vận tốc góc và gia tốc góc của tấm và gia tốc
tâm O của tam giác.
Bài giải. Do tính đối xứng ta nhận thấy rằng điểm O là điểm duy nhất có tính chất là
các vectơ gia tốc của đỉnh bất kỳ lập với đường
nối từ đỉnh đó đến O các góc như nhau. Điều đó
chứng tỏ rằng nếu vận tốc góc và gia tốc góc
của hình phẳng không đồng thời bằng không thì
tâm gia tốc tức thời phải là điểm O. Như thế
0
30=
α

Theo tính chất tam giác đều

OA = OB = OC =
cma
3
3
10
2
3
3
2
=
. (a)
Suy ra
42
ωε
+= OAw
A
,
242
/3
3
3
10
10
s
OA
w
A
===+
ωε

(b)
Mặt khác
3
1
30tantan
0
2
===
ω
ε
α
(c)
Từ (b) và (c) ta tìm ra
25
O
A
n
A
w

Q
B
B
w

A
B
C
A
w


B
w

C
w

O