ÁP DỤNG LÝ THUYẾT PHÂN TÍCH KHOẢNG XÁC ĐỊNH PHẢN ỨNG ĐỘNG CỦA HỆ KẾT CẤU CÓ MỘT BẬC TỰ DO

i
f






BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG
2011
ÁP DỤNG LÝ THUYẾT
PHÂN TÍCH KHOẢNG
XÁC ĐỊNH PHẢN ỨNG ĐỘNG
CỦA HỆ KẾT CẤU
CÓ MỘT BẬC TỰ DO

Ths. PHÙNG QUYẾT THẮNG


KHOA XÂY DỰNG DÂN DỤNG & CÔNG NGHIỆP

B
B
Ộ
Ộ


G
G
I

I
Á
Á
O
O


D
D
Ụ
Ụ
C
C


V
V
À
À


Đ
Đ
À
À
O
O


T

T
Ạ
Ạ
O
O


T
T
R
R
Ư
Ư
Ờ
Ờ
N
N
G
G


Đ
Đ
Ạ
Ạ
I
I


H

H
Ọ
Ọ
C
C


X
X
Â
Â
Y
Y


D
D
Ự
Ự
N
N
G
G


------------------------------------------

K
K
S
S
.
.


P
P
H
H
Ù
Ù
N
N
G
G


Q
Q
U
U
Y
Y
Ế
Ế

T
T


T
T
H
H
Ắ
Ắ
N
N
G
G




Á
Á
P
P


D
D
Ụ
Ụ
N
N

G
G




L
L
Ý
Ý


T
T
H
H
U
U
Y
Y
Ế
Ế
T
T


P
P
H
H

Â
Â
N
N


T
T
Í
Í
C
C
H
H


K
K
H
H
O
O
Ả
Ả
N
N
G
G

X
X
Á
Á
C
C


Đ
Đ
Ị
Ị
N
N
H
H


P
P
H
H
Ả
Ả
N
N


Ứ
Ứ

N
N
G
G


Đ
Đ
Ộ
Ộ
N
N
G
G




C
C
Ủ
Ủ
A
A


H
H
Ệ
Ệ

K
K
Ế
Ế
T
T


C
C
Ấ
Ấ
U
U


C
C
Ó
Ó


M
M
Ộ
Ộ
T
T

B
B
Ậ
Ậ
C
C


T
T
Ự
Ự


D
D
O
O








L
L

U
U
Ậ
Ậ
N
N


V
V
Ă
Ă
N
N


T
T
H
H
Ạ
Ạ
C
C


S
S
Ỹ
Ỹ

K
K
Ỹ
Ỹ


T
T
H
H
U
U
Ậ
Ậ
T
T




C
C
h
h
u
u
y
y

ê
ê
n
n


n
n
g
g
à
à
n
n
h
h
:
:


X
X
â
â
y
y


d
d

ự
ự
n
n
g
g


c
c
ô
ô
n
n
g
g


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h

D
D
â
â
n
n


d
d
ụ
ụ
n
n
g
g


v
v
à
à


C
C
ô
ô
n
n

g
g


n
n
g
g
h
h
i
i
ệ
ệ
p
p


M
M
ã
ã


s
s
ố
ố
:
:

6
6
0
0
.
.
5
5
8
8
.
.
2
2
0
0




N
N
G
G
Ư
Ư
Ờ
Ờ

I
I


H
H
Ư
Ư
Ớ
Ớ
N
N
G
G


D
D
Ẫ
Ẫ
N
N


K
K
H
H
O
O

A
A


H
H
Ọ
Ọ
C
C


T
T
S
S
.
.


N
N
G
G
U
U
Y
Y
Ễ
Ễ

N
N


X
X
U
U
Â
Â
N
N


T
T
H
H
À
À
N
N
H
H

H
H
À
À


N
N
Ộ
Ộ
I
I


1
1
0
0
/
/
2
2
0
0
1
1

1
1



LỜI CẢM ƠN

Với tên đề tài luận văn là “Áp dụng lý thuyết phân tích khoảng xác định phản
ứng động của hệ kết cấu có một bậc tự do”. Ý tưởng ban đầu của đề tài là khá rõ
ràng nhưng trong quá trình triển khai thực hiện, chúng tôi thấy rằng vấn đề đặt ra
không đơn giản như ý tưởng ban đầu bởi đề tài liên quan nhiều đến kiến thức toán
và kỹ năng lập trình. Đây có thể xem là một dạng kiến thức tổng hợp liên quan đến
nhiều lĩnh vực của toán học, tin học và động lực học kết cấu công trình. Ngoài ra,
các tài liệu liên quan hầu hết bằng tiếng Anh cũng gây trở ngại không nhỏ và đôi
chỗ nhầm lẫn khiến chúng tôi mất khá nhiều công sức và thời gian trong suốt thời
gian qua.
Nhìn lại cả quá trình thực hiện đề tài, nhiều thời điểm tác giả cảm thấy khá bế
tắc bởi nội dung nghiên cứu tương đối trừu tượng, không biết đâu là con đường
cuối cùng để hướng tới. Dù kết quả trong luận văn chưa đạt được kỳ vọng như ban
đầu (tất cả nghiệm của mô hình Taylor bao sát bên ngoài nghiệm của Monte-Carlo)
nhưng đây là sự cố gắng nỗ lực không biết mệt mỏi của chúng tôi trong suốt thời
gian qua.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình tới các thầy cô Khoa
Xây dựng và Khoa Đào tạo Sau đại học. Chúc các thầy, các cô luôn giữ vững niềm
đam mê và nhiệt huyết để tiếp thêm sức mạnh cho thế hệ trẻ ngày càng trưởng
thành hơn trong nghề nghiệp và chuyên môn.
Cuối cùng, tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc của mình
tới gia đình, thầy Thành, anh Toan, các bạn thân cùng bạn bè ở lớp cao học khóa 2-
2009, công ty TNHH Tư vấn thiết kế Cimas và diễn đàn Ketcau.com đã luôn động
viên, ủng hộ tác giả trong suốt chặng đường cao học đã qua, một chặng đường đầy

gian nan và thử thách!

Hà Nội, mùa thu 2011


Phùng Quyết Thắng
i
MỤC LỤC
DANH MỤC HÌNH VẼ............................................................................... iv
DANH MỤC BẢNG BIỂU .......................................................................... v
DANH MỤC BIỂU ĐỒ ............................................................................... vi
MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 1
CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU ............................................................................. 5
1.1 TỔNG QUAN......................................................................................... 5
1.2 ĐẶT VẤN ĐỀ ........................................................................................ 7
1.2.1 Bài toán tĩnh học ............................................................................ 7
1.2.2 Bài toán động lực học ..................................................................... 7
1.3 SỰ CẦN THIẾT CỦA ĐỀ TÀI ............................................................ 11
1.4 PHƯƠNG HƯỚNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ ....................................... 12
1.4.1 Phương pháp Monte-Carlo ........................................................... 13
1.4.2 Phương pháp Mô hình Taylor ....................................................... 14
1.4.3 Nhận xét ....................................................................................... 15
1.5 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 ...................................................................... 16
CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT .............................................................. 17
2.1 ĐẠI SỐ KHOẢNG ............................................................................... 17
2.1.1 Số học khoảng .............................................................................. 17
2.1.2 Các phép toán của số học khoảng ................................................. 18
2.1.3 Hàm số khoảng ............................................................................. 21
2.1.4 Véc tơ khoảng, ma trận khoảng .................................................... 22
2.1.5 Đặc trưng cơ bản của lý thuyết phân tích khoảng .......................... 23

2.2 MÔ HÌNH TAYLOR ............................................................................ 30
2.2.1 Khái niệm ..................................................................................... 30
2.2.2 Xây dựng mô hình Taylor ............................................................. 30
2.2.3 Phép toán số học trong mô hình Taylor ........................................ 31

ii
2.3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG ĐỐI VỚI CÁC BÀI
TOÁN ĐIỀU KIỆN ĐẦU (ODEs IVP) ................................................ 32
2.3.1 Dạng phương trình ....................................................................... 32
2.3.2 Phương pháp giải chung ............................................................... 33
2.3.3 Thuật toán VSPODE giải ODEs IVP ............................................ 34
2.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 ...................................................................... 43
CHƯƠNG 3: BÀI TOÁN GIẢI QUYẾT ...................................................... 44
3.1 QUY TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH
TAYLOR ............................................................................................. 44
3.1.1 Quy đổi phương trình động lực học về ODEs IVP ........................ 44
3.1.2 Thuật toán VSPODE giải ODEs IVP ............................................ 44
3.2 QUY TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP MONTE-CARLO .......... 48
3.2.1 Nghiệm giải tích của phương trình vi phân ................................... 48
3.2.2 Các bước thực hiện ....................................................................... 48
3.3. PHẦN MỀM THỰC HIỆN TÍNH TOÁN ............................................ 49
3.4 THỰC HIỆN MÔ PHỎNG SỐ ............................................................. 53
3.4.1 Kết quả tính toán của chương trình tại ω = 0.8ω’
D
........................ 54
3.4.2 Kết quả tính toán của chương trình tại ω = 0.5ω’
D
........................ 75
3.4.3 Kết quả tính toán của chương trình tại ω = 0.3ω’
D

........................ 79
3.4.4 Đánh giá kết quả của hai phương pháp theo tỷ số tần số ω/ω’
D
..... 82
3.3.4 Kết luận ........................................................................................ 83
3.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 ...................................................................... 84
KẾT LUẬN .................................................................................................. 85
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 87
PHỤ LỤC ....................................................................................................... 1
1. SỐ LIỆU TÍNH TOÁN THEO TỶ SỐ TẦN SỐ ω/ω’
D
= 0.3 ................... 1
1.1 Chuyển vị .......................................................................................... 1
1.2 Vận tốc .............................................................................................. 5
2. SỐ LIỆU TÍNH TOÁN THEO TỶ SỐ TẦN SỐ ω/ω’
D
= 0.5 ................... 9

iii
2.1 Chuyển vị .......................................................................................... 9
2.2 Vận tốc ............................................................................................ 13
3. SỐ LIỆU TÍNH TOÁN THEO TỶ SỐ TẦN SỐ ω/ω’
D
= 0.8 ................. 17
3.1 Chuyển vị ........................................................................................ 17
3.2 Vận tốc ............................................................................................ 21
4. TỶ SỐ ĐỘ RỘNG CHUYỂN VỊ VÀ VẬN TỐC CỦA MÔ HÌNH
TAYLOR SO VỚI MONTE-CARLO .................................................. 25
4.1 Chuyển vị ........................................................................................ 25
4.2 Vận tốc ............................................................................................ 26

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20]
[21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31]

iv
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1: Sơ đồ thực hiện và triển khai luận văn ........................................................ 4
Hình 2: Hệ kết cấu dao động một bậc tự do có cản nhớt .......................................... 8
Hình 3: Hình ảnh minh họa phương pháp Monte-Carlo ......................................... 13
Hình 4: Biểu đồ tọa độ (x,y) với R=50 (lần thử) .................................................... 14
Hình 5: Mối quan hệ giữa các phương pháp tính toán ............................................ 16
Hình 6: Biểu diễn số học khoảng X hai chiều ......................................................... 17
Hình 7: Độ rộng, giá trị tuyệt đối và điểm giữa của số khoảng X ........................... 17
Hình 8: Chương trình MATLAB tính toán VD 9 ................................................... 25
Hình 9: Ảnh các miền bao của hàm f(x,y) .............................................................. 27
Hình 10: Biểu đồ tọa độ f(x+y,y-x) bằng phương pháp Mote-Carlo ....................... 27
Hình 11: Hiệu ứng bao phủ với dao động điều hòa ................................................ 28
Hình 12: Giảm hiệu ứng bao bằng cách chuyển hệ trục tọa độ ............................... 29
Hình 13: Hình ảnh nghiệm của bài toán ODEs - IVP ............................................. 33
Hình 14: Hình ảnh nghiệm sơ bộ của bài toán ODEs IVP ...................................... 37
Hình 15: Hình ảnh minh họa giai đoạn 2 của thuật toán ......................................... 40
Hình 16: Hình ảnh chương trình chính Taylormodel_OK1.m .............................. 50
Hình 17: Hình ảnh lập trình tính mô hình Taylor trong Taylormodel_OK1.m ...... 50
Hình 18: Hình ảnh lập trình tính Monte-Carlo trong Taylormodel_OK1.m .......... 50
Hình 19: Hình ảnh thân chương trình con Giaidoan01.m ...................................... 51
Hình 20: Hình ảnh thân chương trình con Giaidoan02.m ...................................... 51
Hình 21: Hình ảnh thân chương trình con (DH_bac_3.m) tính đạo hàm riêng ....... 51
Hình 22: Hình ảnh xuất kết quả ra màn hình của Taylormodel_OK1.m ............... 52
Hình 23: Các chỉ tiêu đánh giá ............................................................................... 68

Hình 24: Các trường hợp biểu đồ bao của hai phương pháp ................................... 70



v
DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 1: Phép nhân khoảng hai số thực .................................................................. 19
Bảng 2: Lịch sử phát triển các thuật toán giải ODEs IVP ....................................... 35
Bảng 3: Chuyển vị ở giai đoạn 1 của mô hình Taylor sau chu kỳ đầu tiên ............. 55
Bảng 4: Vận tốc ở giai đoạn 1 của mô hình Taylor sau chu kỳ đầu tiên ................. 56
Bảng 5: Chuyển vị ở giai đoạn 2 của mô hình Taylor sau chu kỳ đầu tiên ............. 57
Bảng 6: Vận tốc ở giai đoạn 2 của mô hình Taylor sau chu kỳ đầu tiên ................. 58
Bảng 7: Chuyển vị của mô hình Taylor và Monte-Carlo sau chu kỳ đầu tiên ......... 59
Bảng 8: Vận tốc của mô hình Taylor và Monte-Carlo sau chu kỳ đầu tiên ............. 60
Bảng 9: Chuyển vị quy đổi của mô hình Taylor và Monte-Carlo ........................... 64
Bảng 10: Vận tốc quy đổi của mô hình Taylor và Monte-Carlo ............................. 65
Bảng 11: Tiêu chí đánh giá thứ nhất “so sánh với lý thuyết” .................................. 69
Bảng 12: Tiêu chí đánh giá thứ hai “vị trí tương đối” ............................................ 70
Bảng 13: Đánh giá kết quả chuyển vị của hai phương pháp ................................... 71
Bảng 14: Đánh giá kết quả vận tốc của hai phương pháp ....................................... 72
Bảng 15: Tổng hợp các kết quả chuyển vị ứng với ω/ω’
D
=0.8 .............................. 73
Bảng 16: Tổng hợp các kết quả vận tốc ứng với ω/ω’
D
=0.8 .................................. 73
Bảng 17: Tổng hợp các kết quả chuyển vị ứng với ω/ω’
D
=0.5 .............................. 75
Bảng 18: Tổng hợp các kết quả vận tốc ứng với ω/ω’

D
=0.5 .................................. 76
Bảng 19: Tổng hợp các kết quả chuyển vị ứng với ω/ω’
D
=0.3 .............................. 79
Bảng 20: Tổng hợp các kết quả vận tốc ứng với ω/ω’
D
=0.3 .................................. 79



vi
DANH MỤC BIỂU ĐỒ
Biểu đồ 1: Chuyển vị và độ rộng tuyệt đối của mô hình Taylor và phương
pháp Monte-Carlo ở tần số ω/ω’
D
=0.8 ....................................................... 61
Biểu đồ 2: Chuyển vị và độ rộng quy đổi của mô hình Taylor và phương pháp
Monte-Carlo ở tần số ω/ω’
D
=0.8................................................................ 66
Biểu đồ 3: Chuyển vị và độ rộng tuyệt đối của mô hình Taylor và phương
pháp Monte-Carlo ở tần số ω/ω’
D
=0.5 ....................................................... 77
Biểu đồ 4: Chuyển vị và độ rộng quy đổi của mô hình Taylor và phương pháp
Monte-Carlo ở tần số ω/ω’
D
=0.5................................................................ 78
Biểu đồ 5: Chuyển vị và độ rộng tuyệt đối của mô hình Taylor và phương

pháp Monte-Carlo ở tần số ω/ω’
D
=0.3 ....................................................... 80
Biểu đồ 6: Chuyển vị và độ rộng quy đổi của mô hình Taylor và phương pháp
Monte-Carlo ở tần số ω/ω’
D
=0.3................................................................ 81
Biểu đồ 7: Biểu đồ so sánh tỷ lệ độ rộng của mô hình Taylor so với Monte-
Carlo ......................................................................................................... 82
Biểu đồ 8: Biểu đồ so sánh tỷ lệ độ rộng của mô hình Taylor so với Monte-
Carlo ......................................................................................................... 82

DANH MỤC VÍ DỤ
VD1: Giải bài toán tĩnh học trong hai trường hợp .................................................... 7
VD2: Bài toán vi phân cấp hai ................................................................................. 9
VD 3: Ví dụ minh họa sự cần thiết của đề tài ......................................................... 11
VD 4: Giải lại VD 3 theo phương pháp Monte-Carlo. ............................................ 13
VD5: Giải lại VD 3 theo phương pháp mô hình Taylor ......................................... 14
VD6: Minh họa cách tính trong số học khoảng ...................................................... 20
VD7: Minh họa khái niệm miền bao  .................................................................. 21
VD 8: Luật liên kết trong ma trận số học khoảng ................................................... 23
VD9: Minh họa cách tính dạng trung tâm để giảm vấn đề phụ thuộc ..................... 24
VD10: Minh họa hiệu ứng bao phủ ........................................................................ 26
VD11: Biểu diễn đại lượng khoảng  =[1.4,1.6] theo đại lượng ngẫu nhiên
Monte-Carlo với số lần thử  = 1000....................................................... 48
1
MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Động lực học là một môn quan trọng của ngành Cơ học Kết cấu bởi tính phức
tạp so với tĩnh lực học khi có sự tham gia của thành phần “động” (vận tốc, gia tốc,

...) trong tính toán. Tuy vậy, do nó có nhiều ứng dụng quan trọng trong các ngành
công trình đặc biệt là ngành xây dựng nên ngày càng được quan tâm nghiên cứu.
Thực tế phân tích kết cấu của một công trình, ta hay gặp các số liệu về vật
liệu, hình học, liên kết, tải trọng... là những đại lượng không chắc chắn. Những số
liệu này ảnh hưởng trực tiếp đến các thông số tính toán của hệ kết cấu trong bài toán
động lực học bao gồm các tham số đặc trưng (độ cứng, độ cản, khối lượng) và điều
kiện ban đầu cho trước. Vì vậy, kết quả thu được của hệ sau phản ứng (chuyển vị,
vận tốc, gia tốc, ...) cũng là kết quả không chắc chắn.
Mô hình xác suất, thống kê được xây dựng phần nào đã giải quyết khá đầy đủ
và rõ ràng vấn đề không chắc chắn nêu trên. Nhưng trong những trường hợp số liệu
không đủ, không rõ ràng, không được phân loại... thì người ta phải chuyển sang sử
dụng các mô hình phi xác suất như lý thuyết tập mờ, phương pháp phân tích
khoảng, mô hình lồi, lý thuyết nhân chứng... được xem là phù hợp hơn [1], [2].
Bên cạnh đó, nếu chỉ biết miền giá trị của tham số bất định mà không có thông
tin nào thêm thì người ta thường sử dụng hàm phân bố đều trong lý thuyết xác suất.
Như vậy, sự thiếu hụt thông tin đã được bù đắp bởi ý kiến chủ quan của người phân
tích. Ferson và Ginzburg đã chứng minh rằng phương pháp xác suất có thể mang lại
những kết quả không chính xác [2]. Để khắc phục điều này, lý thuyết khoảng được
đề xuất áp dụng. Trong lý thuyết này, yếu tố không chắc chắn sẽ được biểu diễn tốt
nhất dưới dạng khoảng giá trị của nó với giá trị bị chặn dưới là  và giá trị chặn trên
là . Cách biểu diễn này là phù hợp trong thực tế giải các bài toán động lực học
công trình vì nó tránh được việc phải tốn kém xây dựng mô hình xác suất (dựa trên
rất nhiều số liệu thống kê) đối với các tham số bất định của bài toán. Đây là lý do
cho việc chọn đề tài theo hướng áp dụng lý thuyết phân tích khoảng xác định phản
ứng động của hệ kết cấu có một bậc tự do.
2. MỤC ĐÍCH CỦA NGHIÊN CỨU
Lý thuyết phân tích khoảng và đặc biệt là mô hình Taylor hiện được rất nhiều
nhà khoa học trên thế giới quan tâm. Mục đích của tác giả trong luận văn là tìm
hiểu, học tập và áp dụng kiến thức này vào lĩnh vực của ngành xây dựng trong đó
có lĩnh vực động lực học.

2
Luận văn còn là sự tổng hợp, đúc kết lại các kiến thức mà tác giả được giảng
dạy trong chương trình đào tạo thạc sỹ đồng thời đây cũng là cơ hội tốt để tác giả
học thêm nhiều kỹ năng khác như: dịch tài liệu, lập trình tin học, soạn thảo văn bản
chuyên nghiệp, ... từ đó phục vụ cho các công việc chuyên môn sau này.
Luận văn cũng là bước thực tập làm khoa học để tác giả vững tin thực hiện các
đề tài tiếp theo trong tương lai.
3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Đối tượng nghiên cứu mà luận văn đề cập là phương pháp mô hình Taylor dựa
trên lý thuyết phân tích khoảng. Phương pháp này sẽ được so sánh với phương pháp
xác suất thống kê Monte-Carlo để kiểm tra, đánh giá kết quả tính toán của nó.
Phạm vi nghiên cứu của luận văn ở đây chỉ xét bài toán với hệ kết cấu đàn hồi
tuyến tính có một bậc tự do chịu tác động của ngoại lực tác động điều hòa. Trong
đó, ngoại lực có độ lớn và tần số tất định, hệ có điều kiện đầu và các tham số đặc
trưng là đại lượng khoảng. Với hệ kết cấu nhiều bậc tự do, nội dung trình bày trong
luận văn vẫn áp dụng được nhưng khối lượng tính toán tương đối lớn.
4. CƠ SỞ KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU
Lý thuyết phân tích khoảng là một trong nhiều phương pháp tiếp cận vấn đề
theo hướng phi xác suất bên cạnh các phương pháp như: lý thuyết tập mờ, mô hình
lồi, lý thuyết nhân chứng, ... Trong nhiều năm qua, rất nhiều nhà khoa học trên thế
giới đã nghiên cứu lý thuyết này ứng dụng vào vật lý, toán học và bước đầu được áp
dụng vào ngành xây dựng khi gặp các vấn đề mà lý thuyết xác suất bị hạn chế.
Một trong những hướng phát triển quan trọng trong những năm qua của lý
thuyết phân tích khoảng là phương pháp mô hình Taylor. Đây là phương pháp dựa
trên chuỗi khai triển Taylor kết hợp với miền dư được Berz và các cộng sự của ông
nghiên cứu trong nhiều năm qua bên cạnh các tên tuổi khác như Neher, Corliss,
Nedialkov, ...
Chuỗi Taylor kết hợp với miền dư ở đây là các phép toán có độ chính xác cao
(high precision operation) nằm trong nhóm các phương pháp như: phương pháp

Newton, phương pháp Newton khoảng, phương pháp theo tiêu chuẩn Leibniz và
phương pháp tổng Kahan [31].
Phương pháp mô hình Taylor cũng là một trong những hướng nghiên cứu của
lĩnh vực toán tối ưu toàn cục (global optimization) mà một trong những người khai
sinh ra nó là Hoàng Tụy [8].
Hiện nay trên thế giới một vài nhóm tác giả nghiên cứu phương pháp mô hình
Taylor áp dụng vào lĩnh vực cơ học kết cấu như Thouverez, Elishakoff... [7] nhưng

3
mới chỉ dừng lại ở các nghiên cứu cơ sở. Ở Việt Nam, lý thuyết phân tích khoảng
mới bước đầu được nghiên cứu trong ngành xây dựng với các bài báo của Trần Văn
Liên về phương pháp đại số khoảng ứng dụng phân tích kết cấu thanh theo phương
pháp phần tử hữu hạn (2009) [1], [2] nhưng chưa đưa ra hướng nghiên cứu để giải
quyết các vấn đề đặc trưng của lý thuyết phân tích khoảng. Hiện nay, phương pháp
mô hình Taylor hiện chưa có bài báo hoặc đề tài nào công bố chính thức ở Việt
Nam. Theo tác giả, đây là hướng nghiên cứu còn khá mới ở nước ta, có thể áp dụng
phương pháp này vào nhiều lĩnh vực của ngành xây dựng như: cơ học đất, động lực
học và chế ngự dao động, độ tin cậy và tuổi thọ công trình, dự báo động đất, ...
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp nghiên cứu trong luận văn là tiếp cận lý thuyết phân tích khoảng
và phương pháp mô hình Taylor trên cơ sở lý thuyết. Sau đó, lập trình một chương
trình trên MATLAB để tính toán cho bài toán cụ thể; từ đó kiểm tra, đánh giá kết
quả của phương pháp theo chương trình đã lập.
Hình 1 dưới đây là sơ đồ tóm tắt các bước thực hiện trong luận văn:


4

Hình 1: Sơ đồ thực hiện và triển khai luận văn

KẾT QUẢ 1
KẾT QUẢ 2
Bài toán ĐỘNG LỰC HỌC
tham số là đại lượng Khoảng
Phương pháp
Monte – Carlo
Phương pháp
Mô hình Taylor
Biểu diễn dữ liệu
đầu vào dưới dạng
đại lượng ngẫu nhiên
Phương pháp
Taylor model
thông thường
Phương pháp
Taylor model chứa
tham số
Thay thế đại lượng
ngẫu nhiên vào
nghiệm giải tích

Giai đoạn 1
Tìm nghiệm sơ bộ
duy nhất
Giai đoạn 2
Tìm nghiệm chặt từ
giai đoạn 1
SO SÁNH

KẾT LUẬN

5
CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU
1.1 TỔNG QUAN
Khái niệm khoảng thực chất không phải là mới. Khoảng số học được biết đến
từ lâu với số  của nhà bác học Archimedes khi ông thực hiện nội tiếp và ngoại tiếp
đường tròn một đa giác 96 cạnh để thu được kết quả xấp xỉ của số  [10].

3+
10
71
< < 3+
1
7

(1.1)
Mãi sau này (1951), người ta mới tìm thấy một ấn phẩm xuất bản ở Nga [10]
về số học khoảng được trình bày khá chi tiết và rõ ràng về quy tắc tính cũng như
xem nó như một công cụ của phương pháp số. Và nó chỉ thực sự trở thành một
phương pháp và biết đến rộng rãi khi Moore bảo vệ luận án tiến sỹ năm 1966 [10].
Đến những năm 1990, phương pháp phân tích khoảng đã được ứng dụng vào
các hệ kỹ thuật để biểu diễn các tham số không chắc chắn một cách đơn giản, gọn
nhẹ và cho hiệu quả tính toán cao khi các tham số đó chỉ chứa thông tin về miền giá
trị. Lý thuyết phân tích khoảng có thể hỗ trợ cho các chứng minh, các phỏng đoán
của con người trong đó phải kể đến phỏng đoán về quỹ đạo các hành tinh của
Kepler từng tồn tại gần 400 năm qua [19].
Ngoài ra, phương pháp phân tích khoảng có liên quan chặt chẽ đến các
phương pháp đánh giá các yếu tố không chắc chắn khác như lý thuyết tập mờ, lý
thuyết tập ngẫu nhiên, mô hình lồi, mô hình Dempster-Shafer, phương pháp biên

xác suất,... Ví dụ, một số mờ là một tập không đếm được của các khoảng tương ứng
với mức độ thuộc . Do đó phân tích mờ có thể được biểu diễn như là phân tích
khoảng với những mức độ thuộc  khác nhau [2].
Tuy vậy, để xác định miền giá trị (miền bao) có giá trị sử dụng (validated
bounds) dựa trên lý thuyết phân tích khoảng là tương đối khó khăn bởi vấn đề phân
kỳ của miền bao sau mỗi bước thời gian khi thực hiện các phép tính khoảng liên
quan đến phương trình vi phân. Người ta chỉ ra rằng vấn đề phụ thuộc (dependency
problems) và hiệu ứng bao phủ (wrapping effects) là nguyên nhân chính gây ra hiện
tượng phân kỳ nói trên [1], [16], [17], [19]. Đây được xem là đặc trưng rất riêng
của toán học khoảng so với toán học thông thường.
Để giải quyết vấn đề trên, một trong những hướng phát triển quan trọng trong
những năm qua của lý thuyết phân tích khoảng là phương pháp mô hình Taylor.
Đây là phương pháp dựa trên chuỗi khai triển Taylor kết hợp với miền dư (Taylor
expansion with remainder) được Berz và các cộng sự của ông nghiên cứu trong

6
nhiều năm qua bên cạnh các tên tuổi khác như Neher, Corliss, Nedialkov, ...
Chuỗi Taylor kết hợp với miền dư (mô hình Taylor) ở đây là các phép toán
chính xác bậc cao nằm trong nhóm các phương pháp như: phương pháp Newton,
phương pháp Newton khoảng, phương pháp theo tiêu chuẩn Leibniz và phương
pháp tổng Kahan [31].
Với tên gọi ban đầu “Số học Taylor nhiều chiều bao chặt với miền dư” được
đề xuất lần đầu tiên bởi nhà khoa học Lanford (1980) thì phải sau đó bốn năm
(1984), nó mới được nhóm tác giả Eckmann, Kock, Wittwer chứng minh chi tiết.
Đến năm 1996, phương pháp này mới được biết đến nhiều hơn với những nghiên
cứu độc lập của tập thể nhóm tác giả Berz, Makino, Hoefkens và mang tên gọi
“phương pháp mô hình Taylor” đến bây giờ [27].
Từ đó đến nay, rất nhiều thuật toán được đề xuất nhằm làm giảm ảnh hưởng
của vấn đề phụ thuộc dựa trên mô hình Taylor như AWA của Lohner (1988),
COSY của Berz (1997) ... [26]. Một trong những ứng dụng nổi bật của mô hình

Taylor là sử dụng tích phân xác định để tính phản ứng động lực học của các hành
tinh trong hệ mặt trời năm 2001 [27]. Ngoài ra có thể kể đến một vài ứng dụng khác
như: ổn định của hạt gia tốc của Berz (1998), tính toán miền bao giá trị riêng của
ma trận của Brown (2003), độ tin cậy của mặt tương giao (2004),...
Phương pháp mô hình Taylor cũng là một trong những hướng nghiên cứu của
lĩnh vực toán tối ưu toàn cục mà một trong những người khai sinh ra nó là Hoàng
Tụy [8].
Hiện nay trên thế giới một vài nhóm tác giả nghiên cứu phương pháp mô hình
Taylor áp dụng vào lĩnh vực cơ học kết cấu như Thouverez, Elishakoff... [7] nhưng
mới chỉ dừng lại ở các nghiên cứu cơ sở. Ở Việt Nam, lý thuyết phân tích khoảng
mới bước đầu được nghiên cứu trong ngành xây dựng với các bài báo của Trần Văn
Liên về phương pháp đại số khoảng ứng dụng phân tích kết cấu thanh theo phương
pháp phần tử hữu hạn (2009) [1], [2] nhưng chưa đưa ra hướng nghiên cứu để giải
quyết các vấn đề đặc trưng của lý thuyết phân tích khoảng. Hiện nay, phương pháp
mô hình Taylor hiện chưa có bài báo hoặc đề tài nào công bố chính thức ở Việt
Nam. Theo tác giả, đây là hướng nghiên cứu còn khá mới ở nước ta, có thể áp dụng
phương pháp này vào nhiều lĩnh vực của ngành xây dựng như: cơ học đất, động lực
học và chế ngự dao động, độ tin cậy và tuổi thọ công trình, dự báo động đất, ...
Với mục đích nêu trên, tác giả mạnh dạn chọn đề tài “Áp dụng lý thuyết phân
tích khoảng xác định phản ứng động của hệ kết cấu có một bậc tự do” làm đề tài
luận văn thạc sỹ của mình với sự hướng dẫn của thầy Nguyễn Xuân Thành. Thuật
toán đưa ra trong luận văn cho kết quả tốt so với kết quả thu được từ phương pháp
Monte-Carlo và có thể ứng dụng vào thực tế tìm khoảng phản ứng động của hệ kết

7
cấu có một bậc tự do.
1.2 ĐẶT VẤN ĐỀ
1.2.1 Bài toán tĩnh học
Đối bài toán tĩnh học, phương trình cân bằng là dạng đại số nên việc tìm
nghiệm là không mấy khó khăn. Đây là dạng phương trình quen thuộc khi giải một

bài toán cơ học.

. =
(1.2)
trong đó:
 : chuyển vị của hệ kết cấu.
 : độ cứng của hệ kết cấu.
 : ngoại lực tác động lên hệ kết cấu.
Khi đại lượng , là các giá trị xác định thì nghiệm xác định dễ dàng. Nhưng
khi đại lượng , là các đại lượng dạng khoảng thì vấn đề trở nên khó khăn hơn,
liên quan nhiều đến vấn đề cực trị hoặc các vấn đề xác suất thống kê trong toán học.
Nhưng đó không phải là bản chất vấn đề của đại lượng dạng khoảng. Vì vậy,
một lý thuyết mới được xây dựng và không ngừng phát triển trong hơn 50 năm qua
được đặt tên là lý thuyết phân tích khoảng (interval analysis theory) [19].
VD1: Giải bài toán tĩnh học trong hai trường hợp
a) Khi  = 3; = 10 là dạng giá trị xác định thì nghiệm của (1.2) là  =
/ = 3/10= 0.3 dễ dàng tìm được không mấy khó khăn.
b) Khi  =
[
2.95,3.05
]
; = [49.5,50.5] là dạng giá trị khoảng thì nghiệm
của (1.2) cũng dễ dàng tìm được khi ứng dụng lý thuyết phân tích khoảng:
 =


=
[
2.95,3.05
]

[
49.5,50.5
]
=
2.95
50.5
,
3.05
49.5
 =[0.0584,0.0617]
Ở đây,  là thương của hai biến số , đều nằm trong giá trị khoảng. Cận dưới
và cận trên của  được tính toán sao cho nó đạt  (tử nhỏ, mẫu lớn) và  (tử
lớn, mẫu nhỏ). Bạn đọc có thể tham khảo mục 2.1.1 Số học khoảng Chương 2 để
hiểu rõ hơn công thức tính toán.
1.2.2 Bài toán động lực học
Xét bài toán dao động của hệ kết cấu một bậc tự do có phương trình vi phân
cấp hai tuyến tính tham số hằng:

̈
(

)
+ ̇
(

)
+ 
(

)

=
(

)

(1.3)

8
Đây là hệ kết cấu phổ biến và đơn giản nhất trong nghiên cứu động lực học
công trình nhưng rõ ràng việc tìm nghiệm của nó phức tạp hơn so với hệ tĩnh lực
học ở phương trình (1.2) bởi sự tham gia của yếu tố vi phân.
Hiện nay, lý thuyết động lực học đã cung cấp hầu hết lời giải cho việc tìm
nghiệm giải tích của hệ (1.3) khi ,,, là các đại lượng xác định [4]. Bên cạnh
đó, những phương pháp giải gần đúng phương trình (1.3) như phương pháp số kết
hợp với lý thuyết phân tích khoảng cũng có thể áp dụng được [12].

Hình 2: Hệ kết cấu dao động một bậc tự do có cản nhớt
Trường hợp ngoại lực là hàm điều hòa 
(

)
=

 thì nghiệm giải tích
của chuyển vị () trong phương trình (1.3) với  < 1 có dạng như sau:


(

)

=



(


+


)
++
(1.4)

 =



1−





1−








+2






(1.5)

 =



−2




1−







+2







(1.6)

 =

−
(1.7)
 =


+

−


(1.8)

 =

2


(1.9)

9



=



;

= 


1−


(1.10)



=
2


=
2


1−

=



1−


(1.11)
trong đó:
  : độ cứng của hệ kết cấu.
  : hệ số cản nhớt của hệ kết cấu.
  : khối lượng của hệ kết cấu.
 

: tần số riêng không cản của hệ.
 

: tần số riêng có cản của hệ.
  : tỷ lệ cản.
 

: chuyển vị ban đầu của dao động tại thời điểm  = 0
 

: vận tốc ban đầu của dao động tại thời điểm  = 0
 

: chu kỳ dao động của hệ không cản.
 

: chu kỳ dao động của hệ có cản.
  : tần số dao động cưỡng bức (rad/s)
 


: độ lớn của lực kích thích.
Trong biểu thức (1.4), số hạng đầu là nghiệm tổng quát của phương trình
thuần nhất (với vế phải của phương trình (1.3) = 0); số hạng thứ hai là nghiệm
riêng của phương trình không thuần nhất (với vế phải của phương trình (1.3) ≠ 0)
và còn được gọi là nghiệm bình ổn.
Đạo hàm chuyển vị theo thời gian biểu thức (1.4), ta có vận tốc của hệ kết cấu
có dạng như sau:

(

)
=̇
(

)
=−



(




+



+





−ω



)+−ω
(1.12)

VD2: Bài toán vi phân cấp hai
Tìm chuyển vị () của một hệ kết cấu biết:
 Điều kiện ban đầu: 
(
0
)
= 

= 0.01;
(
0
)
= 

= 0.01
 Tham số đặc trưng (,,) = (50,1.5,3)
 Lực () có dạng tuần hoàn: 
(


)
= 2sin ớ  = 1.0
Giải

10
Thay các số liệu vào phương trình (1.3) ta có:

3̈()+ 1.5̇()+ 50() = 2.
(1.13)
Tính hệ số  theo công thức (1.9) và (1.10) được:  = 0.0612 < 1.
Nghiệm của phương trình (1.13) được tính theo công thức (1.4). Tính các hệ số
theo biểu thức từ (1.5) đến (1.11), ta có:


=



=

50
3
= 4.0825


= 4.0825×√1−0.0612

= 4.0748
 =
2

50
×
1−
1
4.0825


1−
1
4.0825




+2×0.0612×
1
4.0825


= 0.0425
 =
2
50
×
−2×0.0612×
1
4.0825

1−
1

4.0825




+2×0.0612×
1
4.0825


=−0.0014
 = 0.01−(−0.0014) = 0.0114
 =
0.01+0.0612×4.0825×0.0114−0.0425×1.0
4.0748
=−0.0073
Nghiệm thuần nhất của (1.13) có dạng:


(

)
= 



(


+



)

= 
.
(
0.0114
(
4.0748
)
−0.0073sin (4.0748
)

Nghiệm riêng của (1.13) có dạng:


(

)
= + =0.0425sint−0.0014t
Nghiệm tổng quát của (1.13) theo biểu thức (1.4) tại  = 1() là:

(
1
)
=

(
1

)
+

(
1
)
= 0.074+0.0029 = 0.0102 (cm)
Phương pháp Monte-Carlo trong luận văn trình bày ở Chương 3 được tính
toán tương tự như ví dụ trên. Ta thấy rằng, việc tìm lời giải của bài toán động lực
học với các thông số xác định không đơn giản. Hơn nữa, các đại lượng ,, trong
thực tế thường không phải là những số xác định khi một trong các yếu tố kích thước
hình học của cấu kiện, vật liệu chế tạo (mác bê tông chẳng hạn) ... thay đổi trong
một miền giá trị để đạt giá trị tốt thì phương pháp Monte-Carlo cấn số lượng mẫu

11
thử rất lớn tỏ ra không phù hợp. Khi đó, việc áp dụng đại lượng khoảng vào công
thức giải tích (1.4) như trường hợp tĩnh học còn hợp lý không?
1.3 SỰ CẦN THIẾT CỦA ĐỀ TÀI
Theo cách thông thường, chúng ta sẽ áp dụng lý thuyết phân tích khoảng vào
phương trình (1.3) bằng cách thay trực tiếp các đại lượng khoảng vào biểu thức
(1.4) và (1.12). Khi đó, ta nhận được kết quả sau phản ứng của hệ là các giá trị
khoảng mở rộng, phân kỳ theo thời gian. Những kết quả này thường không có giá
trị sử dụng so với các phương pháp có độ tin cậy khác. Đây là vấn đề gây khó khăn
cho nhiều người từng quan tâm đến lý thuyết này. Dưới đây xét một ví dụ khá đơn
giản đối với hàm một biến áp dụng lý thuyết phân tích khoảng để từ đó tìm nguyên
nhân của hiện tượng mở rộng trên.
VD 3: Ví dụ minh họa sự cần thiết của đề tài
Tính giá trị của biểu thức 
(


)
với  = [2,3] theo lý thuyết phân tích khoảng.



(

)
=

−1
(1.14)
Giải
Cách 1: Thay trực tiếp giá trị của khoảng  vào biểu thức (1.14):

(

)
=

−1
=
[
2,3
]
[
2,3
]
−1
=

[
2,3
]
[
1,2
]
= [1,3]
Cách 2: Phân tích biểu thức (1.14) thành dạng tương đương rồi thay trực tiếp giá trị
của khoảng :

(

)
=

−1
= 1+
1
−1
= 1+
1
[
2,3
]
−1

= 1+
1
[
1,2

]
=1+
[
0.5,1
]
=[1.5,2]
Chú ý: xem thêm các tính chất về đại lượng khoảng ở mục 2.1 ĐẠI SỐ KHOẢNG,
Chương 2 để hiểu hơn về cách tính trình bày ở ví dụ 3.
Chúng ta nhận được hai kết quả khác nhau từ cùng một biểu thức. Vậy, kết
quả nào là đáng tin cậy? Bản chất của “hiện tượng” trên do đâu?
Về mặt toán học, đây là bài toán tìm miền giá trị hàm số () với 2≤≤ 3.
Lời giải của bài toán như sau:
Ta có:

12


(

)
= −
1
(
−1
)

< 0
nên () là hàm nghịch biến trong khoảng [2,3]. Khi đó, 

=

(
3
)
= 1.5;


=
(
2
)
= 2. Vì vậy, miền giá trị của () là 1.5≤()≤ 2. Đối chiếu với
hai cách đã làm thì cách 2 là lời giải chính xác của bài toán!
Với bài toán đơn giản chỉ có một biến như VD 3, việc áp dụng lý thuyết phân
tích khoảng là không hợp lý. Nhưng qua ví dụ này, tác giả muốn chỉ ra một đặc
trưng rất khác biệt của lý thuyết này so với lý thuyết toán thông thường để từ đó tìm
ra cách giải quyết vấn đề mà luận văn đặt ra. Đó là bài toán vi phân nhiều biến được
biểu diễn bởi phương trình (1.3) đã nêu ở trên.
Bản chất của “hiện tượng mở rộng” ở đây là do lý thuyết phân tích khoảng
không có khả năng nhận diện được các biến có sự lặp lại trong cùng một biểu thức
nên khi thay giá trị khoảng vào biểu thức chưa “xử lý” thì miền giá trị này bị mở
rộng so với kết quả thực tế. Đây là một trong những đặc trưng rất riêng của lý
thuyết phân tích khoảng, được đặt tên là vấn đề phụ thuộc cùng với ảnh hưởng của
hiệu ứng bao phủ.
Vấn đề phụ thuộc là khả năng không nhận diện được sự có mặt lặp lại của các
biến trong biểu thức, dẫn đến kết quả nhận được không còn hợp lý.
Hiệu ứng bao phủ chỉ xảy ra khi xét bài toán từ hai biến trở lên. Khi đó các giá
trị của bài toán không nằm toàn bộ trong hình hộp trực giao được bao mà chỉ “tập
trung” trong hình hộp bao xoay nằm bên trong hình hộp trực giao bao ngoài. Hiện
tượng này xảy ra do các biến khoảng không có khả năng nhận diện được hệ trục tọa
độ trực giao Descartes. Từ đó ảnh hưởng đến kết quả tính toán khi kết quả này được

truyền tới kết quả tính toán tiếp theo như bài toán giải phương trình vi phân bằng
phương pháp số (chi tiết xem tại mục 2.1.5 Đặc trưng cơ bản của lý thuyết phân tích
khoảng, Chương 2).
Như vậy, chúng ta không thể áp dụng lý thuyết phân tích khoảng bằng cách
“thay trực tiếp” vào biểu thức giải tích (1.4) mà không có biện pháp xử lý sai số do
các đặc tính của lý thuyết phân tích khoảng đã nêu ở trên dẫn đến sự cần thiết phải
có một phương pháp tiếp cận để giải quyết vấn đề này.
1.4 PHƯƠNG HƯỚNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Để giải quyết vấn đề đặt ra, phương pháp mới mô hình Taylor dựa trên chuỗi
đại số Taylor hiện đang được nghiên cứu và ứng dụng trong một vài năm trở lại
đây. Bên cạnh đó, phương pháp cổ điển Monte-Carlo dựa trên cơ sở lý thuyết xác
suất thống kê được áp dụng để kiểm định kết quả của bài toán.

13
1.4.1 Phương pháp Monte-Carlo
Với lịch sử ra đời cùng với sự xuất hiện của máy tính điện tử những năm 40
của thế kỷ trước, phương pháp Monte-Carlo là phương pháp giải “thô” một cách
nhanh chóng các bài toán nhiều chiều trong giải tích số cũng như được sử dụng để
tiến hành và quan sát trên máy tính điện tử các thí nghiệm theo kiểu mô phỏng của
việc xuất hiện các hiện tượng ngẫu nhiên trong nhiều bài toán quan trọng của toán
học,vật lý và của nhiều lĩnh vực khác.
Bằng cách sử dụng đại lượng ngẫu nhiên nhiều chiều, phương pháp Monte-
Carlo được sử dụng ở đây với mục đích quy đổi đại lượng giá trị khoảng thành đại
lượng số xác định bằng một số lượng lớn mẫu thử ngẫu nhiên. Từ đó cho ta một
miền kết quả cần tìm. Do đó, mẫu thử càng lớn thì độ chính xác của kết quả càng
cao, đạt tới “miền giới hạn của kết quả” tạo thành một miền biên, bao xung quanh.
Đây có thể xem là “phương pháp liệt kê phần tử”.


Hình 3: Hình ảnh minh họa phương pháp Monte-Carlo

(chấm tròn thể hiện phần tử kết quả Monte-Carlo)
VD 4: Giải lại VD 3 theo phương pháp Monte-Carlo.
Giải
Chọn ngẫu nhiên các giá trị 

trong khoảng  = [2,3] với phép thử  = 50:


= {2,2.1,2.3,2.5,…,3}.
Thay lần lượt 

vào biểu thức (1.14), ta thu được kết quả tương ứng. Một vài
ví dụ của kết quả tính toán như sau:

(
2.0
)
=
2
2−1
=
2
1
= 2.0 
(
2.5
)
=
2.5
2.5−1

=
2.5
1.5
= 1.667

(
2.1
)
=
2.1
2.1−1
=
2.1
1.1
= 1.909 
(
2.9
)
=
2.9
2.9−1
=
2.9
1.9
= 1.526

14

(
2.3

)
=
2.3
2.3−1
=
2.3
1.3
= 1.769 
(
3.0
)
=
3
3−1
=
3
2
= 1.50


Hình 4: Biểu đồ tọa độ (x,y) với R=50 (lần thử)
Từ đồ thị Hình 4, ta thấy kết quả là một dải các điểm có giá trị tung độ trong
khoảng [1.5, 2.0], trùng với kết quả của cách 2 VD 3.
Ưu điểm của phương pháp Monte-Carlo là đơn giản, dễ thực hiện khi chỉ cần
thực hiện “phép lặp lại” nhưng số lượng lặp phải đủ lớn để đạt kết quả chính xác.
Do đó, vấn đề thời gian và khả năng hỗ trợ của máy tính điện tử là vấn đề quan
trọng trong phương pháp này.
1.4.2 Phương pháp Mô hình Taylor
Nhằm giải quyết các vấn đề đặc trưng của lý thuyết phân tích khoảng, một
phương pháp mới được ra đời từ những năm 1980 đã mở ra một trang mới cho sự

phát triển của phương pháp phân tích khoảng. Phương pháp mới đó được đặt tên là
mô hình Taylor vì dựa trên chuỗi Taylor đại số khoảng kết hợp với phần dư để
chuyển các hàm toán học phức tạp (lượng giác, logarit, hàm mũ...) về hàm đa thức.
Mô hình Taylor gồm hai phần: phần đa thức  (số hạng đầu) và phần dư  (số
hạng sau), ký hiệu là (,):

(

)
=

(

)
(


)
!
(
−

)



 +

(


)
[


+(−

)
 ]
!
(
−

)


(1.15)
Áp dụng phương pháp này, phương trình (1.3) được đưa về phương trình vi
phân thường với điều kiện đầu (ODEs IVP, Ordinary Differential Equations Initial
Valued Problem) và sẽ được xem xét ở các chương tiếp theo.
VD5: Giải lại VD 3 theo phương pháp mô hình Taylor

15

(

)
=

−1
ớ  =

[
2,3
]
; =
[
0,1
]

Giải
Khai triển chuỗi Taylor khoảng tại lân cận


=
(

)
=
+
2
=
2+3
2
=2.5


=

+
(
−


)
 = 2.5+
([
2,3
]
−2.5
)
.
[
0,1
]
= [2,3]
với lũy thừa bậc q = 5, ta được:
 =
(


)
+

(

)
(


)
!
(

−

)




=
5
3
−
4
9
(
−2.5
)
+
8
27
(
−2.5
)

−
16
81
(
−2.5
)


+
32
243
(
−2.5
)


 =
(
−1
)

(


−1
)

(
−2.5
)


Thay  =
[
2,3
]
vào biểu thức  và , ta thu được:
 =

[
1.4170, 1.9987
]
;  = [−0.0313,0.0313]
Vậy, mô hình Taylor là:
 =
(
,
)
=(
[
1.4170,1.9987
]
,
[
−0.0313,0.0313
]
)

(

)
= + = [ 1.3857, 2.0299]
1.4.3 Nhận xét
Kết quả của bài toán “hội tụ” chính xác khi lũy thừa bậc  tiến đến vô cùng và
lận cận 

tiến đến “vị trí trung tâm” (vị trí nằm ở giữa miền khoảng của biến x).
Khi  = 101 & 


= 2.5 (vị trí trung tâm) thì  =
[
.,.
]
;≈


chính xác hơn với  = 5,

= 2.5 rất nhiều; khi  = 101 & 

= 2.4
(lệch 0.1 so với vị trí trung tâm) thì  =
[
.,.
]
; ≈

, độ “hội
tụ” giảm đi nhiều. Do đó, đây là một phương pháp gần đúng.
Kết quả của phương pháp mô hình Taylor luôn “bao sát bên ngoài” miền kết
quả mang tính liệt kê của phương pháp Monte-Carlo. Điều này được đề cập và
chứng minh khá đầy đủ trong luận án tiến sỹ của tác giả Wittig (2011) [31]. Do đó,
vấn đề “sót nghiệm” do phép thử không đủ lớn của phương pháp Monte-Carlo sẽ
được giải quyết.
Hình 5 dưới đây là hình ảnh minh họa kết quả của ba phương pháp: phương
pháp mô hình Taylor, phương pháp khoảng và phương pháp Monte-Carlo [31].

16

Hình 5: Mối quan hệ giữa các phương pháp tính toán
 Dấu ++ (xanh lá cây): phương pháp Monte-Carlo
 Hình chữ nhật (xanh nhạt): phương pháp phân tích khoảng
 Đường cong (xanh lam): phương pháp Mô hình Taylor
Tư Hình 5 cho ta thấy, trong hai phương pháp sử dụng lý thuyết khoảng thì
phương pháp mô hình Tayor cho kết quả phù hợp hơn với phương pháp Monte-
Carlo (kết quả bao sát bên ngoài phương pháp Monte-Carlo), hiện tượng mở rộng
miền bao bị hạn chế đáng kể. Vì vậy, luận văn này sử dụng phương pháp mô hình
Taylor để tìm lời giải cho bài toán động lực học hệ kết cấu một bậc tự do. Sau đó,
kết quả tìm được sẽ được so sánh và đánh giá với phương pháp Monte-Carlo.
1.5 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Việc ra đời phương pháp mô hình Taylor đã phần nào giải quyết được các đặc
trưng rất riêng của toán học khoảng so với toán học thông thường. Vì vậy, phương
pháp mô hình Taylor đang là hướng nghiên cứu nhận được nhiều sự quan tâm của
các nhà khoa học trên thế giới. Hiện nay, phương pháp này cũng đang bước đầu
được nghiên cứu, ứng dụng vào ngành xây dựng. Vì vậy, việc tìm hiểu, học tập và
ứng dụng phương pháp này là điều rất cần thiết đối với tác giả và những bạn quan
tâm đến lý thuyết phân tích khoảng trong thời gian.