BÀI TOÁN VỀ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán!
/>






DẠNG 1. KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với
3 ; ; 2
AD a BC a AB a
= = =
. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD biết
a) Góc giữa SC và đáy bằng 60
0
.
b) Góc giữa SB và đáy bằng 30
0
.
c) khoảng cách từ B tới mặt phẳng (SCD) bằng
.

2
a

d)
kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng AB và SD b
ằ
ng 2a.
Ví dụ 2:
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình bình hành v
ớ
i

0
; 2 ; 60
AB a AD a BAD= = =
. C
ạ
nh
bên SC vuông góc v
ớ

i
đ
áy, góc gi
ữ
a SA và
đ
áy b
ằ
ng 45
0
. Tính th
ể
tích c
ủ
a kh
ố
i chóp S.ABCD và kho
ả
ng
cách gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng SA và BD.
Ví dụ 3:
Cho hình chóp S.ABC có
đ
áy ABC là tam giác

đề
u c
ạ
nh a, I là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BC. G
ọ
i D là
đ
i
ể
m
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a A qua I, SD vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD). G
ọ
i K là hình chi

ế
u vuông góc c
ủ
a I lên SA, bi
ế
t
.
2
a
IK
=
Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.ABCD và kho
ả
ng cách t
ừ
D
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (SBC) theo a.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân t
ạ

i A,

0
2 3; 120
BC a BAC= =
, c
ạ
nh bên SA vuông góc
v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
áy và SA = 2a. Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.ABC và d(A, (SBC))
Bài 2:

(Trích đề thi Tốt nghiệp THPT 2009)
Cho hình chóp S.ABC có m
ặ
t bên SBC là tam giác
đề
u c
ạ

nh a, c
ạ
nh bên SA vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
áy.
Bi
ế
t góc

0
120
BAC
=
, tính th
ể
tích c
ủ
a kh
ố
i chóp S.ABC theo a và d(A,(SBC))
Bài 3:

(Trích đề thi Tốt nghiệp THPT 2010)
Cho hình chóp S.ABCD có c

ạ
nh
đ
áy a, c
ạ
nh bên SA vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
áy, góc gi
ữ
a mp(SBD) và m
ặ
t
ph
ẳ
ng
đ
áy b
ằ
ng
0
60
.Tính th
ể
tích kh

ố
i chóp S.ABCD theo a.

Bài 4:

(Trích đề thi Tốt nghiệp THPT 2011)
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình thang vuông t
ạ
i A và D v
ớ
i
; 3
AD CD a AB a
= = =
. C
ạ
nh
bên SA vuông góc v
ớ
i
đ
áy và c
ạ
nh bên SC t
ạ
o v
ớ
i m

ặ
t
đ
áy m
ộ
t góc b
ằ
ng
0
45
. Tính th
ể
tích c
ủ
a kh
ố
i chóp
S.ABCD theo a.
Bài 4:
Cho hình chóp S.ABC có
đ
áy ABC là tam giác vuông cân t
ạ
i B v
ớ
i BA = BC = a, SA
⊥
(ABC) và SB
h
ợ

p v
ớ
i (SAB) m
ộ
t góc 30
0
. Tính th
ể
tích hình chóp
đ
ã cho.
Tài li
ệ
u bài gi
ả
ng:

07. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – P1

Thầy Đặng Việt Hùng







LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán!

/>
Đ/s:
3
2
.
6
a
V =

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a, biết SA ⊥ (ABC) và SB hợp
với đáy một góc 60
0
.
a) Chứng minh các mặt bên của khối chóp là tam giác vuông.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Đ/s:
3
6
.
24
a
V =
Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA ⊥ (ABC) và (SBC) hợp với (ABC)
một góc 60
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Đ/s:
3
3
8

a
V =
Bài 7: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Biết AD = AB = a, CD
= 2a, cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng đáy và SD = a. Tính thể tứ diện SABC theo a.
Đ/s:
3
.
6
SABC
a
V =
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình thang cân đáy
lớn AD = 2a, AB = BC = CD = a, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng
2
a
. Tính thể tích của khối
chóp đã cho.
Đ/s:
3
3 2
.
4
ABCD
a
V =
Bài 9: Cho hình tứ diên ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a. Gọi O là trung điểm của BD, E là điểm đối
xứng của C qua O. Biết AE vuông góc với mặt phẳng (ABD) và khoảng cách từ AE đến BD bằng
4
3a
. Tính

th
ể
tích c
ủ
a kh
ố
i t
ứ
di
ệ
n ABCD.

Đ/s:
3
3
.
32
ABCD
a
V
=
Bài 10:
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình ch
ữ
nh
ậ
t; SA
⊥

(ABCD); AB = SA = 1;
2
AD =
.
G
ọ
i
M, N l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AD và SC; I là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a BM và AC. Tính th
ể
tích kh
ố
i t
ứ
di

ệ
n ANIB.
Đ/s:
2
36
AINB
V
=











LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán!
/>

DẠNG 1. KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY (tiếp theo)
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Gọi M là trung điểm của SC. Tính thể tích
khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM biết
2 2; 4 ; 5 .
SO a AC a AB a
= = =
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều cạnh a, đáy lớn là AD = 2a và SA vuông
góc với đáy. Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng
2.
a
Gọi I là trung điểm của AD. Tính thể
tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BI và SC theo a.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AB = a, BC = a,

0
90
BAD = , cạnh
2
SA a
=

và SA vuông góc với đáy, tam giác SCD vuông tại C. Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Tính thể tích của tứ
diện SBCD và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD).
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,

0
60
BAD = , SA vuông góc mặt phẳng
(ABCD), SA = a. Gọi C′ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC′ và song với BD, cắt các cạnh SB,
SD của hình chóp lần lượt tại B′, D′. Tính thể tích của khối chóp S.AB′C′D′.

Hướng dẫn giải:
Ta có ∆SAC vuông tại A ⇒
2 2
2
= + =
SC SA AC a

⇒
AC′ =
2
SC
= a
⇒
∆SAC′
đề
u Vì (P) ch
ứ
a AC′ và (P) // BD
⇒

B′D′ // BD. G
ọ
i O là tâm hình thoi ABCD và I là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a AC′ và B′D′
⇒

I là tr
ọ
ng tâm c
ủ
a ∆SBD. Do
đ
ó:
2 2
3 3
′ ′
= =
B D BD a
.
Mặt khác, BD ⊥ (SAC) ⇒ D′B′ ⊥ (SAC) ⇒ B′D′ ⊥ AC′
Do đó: S
AB'C'D'
=
2
1
.
2 3
′ ′ ′
=
a
AC B D .
Đườ
ng cao h c
ủ
a kh
ố

i chóp S.AB′C′D′ chính là
đườ
ng cao c
ủ
a tam giác
đề
u SAC′
⇒

3
2
=
a
h . V
ậ
y th
ể
tích c
ủ
a kh
ố
i
chóp S. AB′C′D′ là
3
' ' '
1 3
.
3 18
AB C D
a

V h S= = .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: (Khối A – 2010)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạch a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB
và AD, H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc (ABCD) và
3.
SH a= Tính thể tích của khối
chóp SCDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
Đ/s:
3
5 3 2 3
; .
14
19
a a
V d= =
Bài 2:
Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a,
3
BC a
= , SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC), SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB và SC. Tính
thể tích của khối chóp A.BCNM.
Tài liệu bài giảng:

07. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – P2

Thầy Đặng Việt Hùng

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán!
/>
Đ/s:
3
3
5
a
V =

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông tâm O. Các mặt bên (SAB) và (SAD) vuông
góc với đáy (ABCD). Cho AB = a,
2.
SA a=
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Tính thể
tích khối chóp O.AHK theo a.
Đ/s:
3
2
27
a
V
=

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA
⊥
(ABCD) và SA = a. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm AD và SC. Tính thể tích tứ diện BDMN và khoảng cách từ D đến mp(BMN).
Đ/s:
3
6
; .
24 6
BMND
a a
V d
= =

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = a. Gọi M, N lần lượt
là trung điểm của SB, SD, I là giao điểm của SC và (AMN). Chứng minh rằng SC vuông góc với AI và tính
thể tích khối tứ diện MBAI.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang,


0
90
BAD ABC= = , AB = BC = a, AD = 2a, SA
vuông góc v
ớ
i
đ
áy ABCD, SA = 2a. G
ọ
i M, N l

ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m các c
ạ
nh SA, SD. Ch
ứ
ng minh BCNM là
hình ch
ữ
nh
ậ
t. Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.BCNM theo a.
Đ/s:
3
3
BMND
a
V
=

Bài 7:

Cho hình chóp S.ABC có m
ặ
t
đ
áy (ABC) là tam giác
đề
u c
ạ
nh a. Chân
đườ
ng vuông góc h
ạ
t
ừ
S
xu
ố
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC) là m
ộ
t
đ
i
ể
m thu
ộ
c BC. Tính kho

ả
ng cách gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng BC và SA bi
ế
t
SA=a và SA t
ạ
o v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
áy m
ộ
t góc b
ằ
ng 30
0
.
Đ/s:
3
.

4
a
d
=

Gọi chân đường vuông góc hạ từ S xuống BC là H.
Xét ∆SHA(vuông tại H)
0
3
cos30
2
a
AH SA
= =

Mà ∆ABC đều cạnh a, mà cạnh
3
2
a
AH
=

=> H là trung điểm của cạnh BC
=> AH ⊥ BC, mà SH ⊥ BC => BC⊥(SAH)
Từ H hạ đường vuông góc xuống SA tại K
=> HK là khoảng cách giữa BC và SA
=>
0
3
AHsin30

2 4
AH a
HK
= = =

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA bằng
3
4
a

H
A
C
B
S
K







LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán!
/>

DANG 2. KHỐI CHÓP CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là một điểm trên cạnh BC sao cho
2 0
IB IC
+ =
  
. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của AI. Tính thể tích
khói chóp S.ABC biết
a) góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60
0

b) khoảng cách từ A tới (SBC) bằng
3
.
6
a

Ví dụ 2:
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình thoi c
ạ
nh tâm O, bi
ế
t
2 ; 2 3.

AC a BD a= = Hình
chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của OB. Tính thể tích khói chóp S.ABCD biết
a) góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD) bằng 60
0

b) góc giữa (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 45
0

c) khoảng cách từ A tới (SBC) bằng
2
.
4
a

d) khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SB bằng
3
.
4
a

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có hai đáy AD và BC. Mặt phẳng SAD
vuông góc với mặt đáy của hình chóp, cho biết AB = BC = CD = a, SA = SD = AD = 2a.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Lời giải
a) Kẻ SH vuông góc AD do (SAD)⊥(ABCD) nên SH⊥(ABCD) vậy SH là đường cao của
khối chóp. Mặt khác SA = SD = AD nên H là trung điểm của AD và SH = .
Nối HB, HC tứ giác ABCH là hình bình hành do AH song song và bằng BC ta lại có AB =
BC nên AHBC là hình thoi vậy AB=HC=a hay tam giác HCD đều
Vậy ABCD là nữa lục giác đều.

.
b) Khối chóp S.ABC có chiều cao SH và diện tích tam giác ABC bằng với diện tích tam giác ABH và bằng

Tài liệu bài giảng:

07. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – P3

Thầy Đặng Việt Hùng
A
B
C
D
H
S







LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán!
/>
Vậy .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD.

a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm của cạnh AB.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Đ/s:
3
3
.
6
a
V =

Bài 2:
Cho t
ứ
di
ệ
n ABCD có ABC là tam giác
đề
u, BCD là tam giác vuông cân t
ạ
i D, (ABC)
⊥
(BCD) và
AD h
ợ
p v
ớ
i (BCD) m
ộ
t góc 60
0

. Tính th
ể
tích t
ứ
di
ệ
n ABCD.
Đ
/s:
3
3
.
9
a
V
=
Bài 3:
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình ch
ữ
nh
ậ
t,
∆
SAB
đề
u c
ạ
nh a và n

ằ
m trong m
ặ
t ph
ẳ
ng
vuông góc v
ớ
i (ABCD). Bi
ế
t r
ằ
ng (SAC) h
ợ
p v
ớ
i (ABCD) m
ộ
t góc 30
0
. Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.ABCD
.
Đ
/s:
3
3

.
4
a
V
=

Bài 4:
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình ch
ữ
nh
ậ
t có AB = 2a, BC = 4a, (SAB)
⊥
(ABCD), hai m
ặ
t
bên (SBC) và (SAD) cùng h
ợ
p v
ớ
i
đ
áy ABCD m
ộ
t góc 30
0
. Tính th
ể
tích kh
ố

i chóp S.ABCD.

Đ
/s:
3
8 3
.
9
a
V
=

Bài 5:
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông c
ạ
nh a, SA
⊥
(ABCD), góc gi
ữ
a (SBC) và m
ặ
t
đ
áy
là 30
0
, g
ọ
i M thu
ộ

c SA sao cho
1
.
3
SM SA
=
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng BD ⊥ (SAC).
b)
Tính th
ể
tích c
ủ
a S.ABCD theo a.
c)
Tính th
ể
tích c
ủ
a kh
ố
i chóp SMBD theo a.
Bài 6:

(Khối B – 2008)
Hình chóp S.ABCD có

đ
áy là hình vuông c
ạ
nh 2a;
; 3
SA a SB a
= = và (SAB) vuông (ABCD). Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai
đường thẳng SM, DN.
Bài 7: (Khối A – 2011)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC)
cùng vuông góc v
ới mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC,
cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.







LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán!
/>
Đ/s:
3

2 39
3; .
13
a
V a d= =
Bài 8:

(Khối A – 2009)
Cho hình chóp
S.ABCD
có
đ
áy
ABCD
là hình thang vuông t
ạ
i
A
và
D
,
AB
=
AD
= 2
a
,
CD
=
a

, góc gi
ữ
a hai
m
ặ
t ph
ẳ
ng (
SBC
) và (
ABCD
) b
ằ
ng 60
0
. G
ọ
i
I
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a c
ạ
nh
AD
. Bi

ế
t hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (
SBI
) và (
SCI
)
cùng vuông góc v
ớ
i (
ABCD
), tính th
ể
tích kh
ố
i chóp
SABCD
theo
a
.
Đ
/s:
3
3 15
.
5
a

V
=

Bài 9:
Cho hình chóp
S. ABC
có
đ
áy là tam giác
ABC

đề
u c
ạ
nh
a
, tam giác
SAC
cân t
ạ
i
S
và n
ằ
m trong m
ặ
t
ph
ẳ
ng vuông góc v

ớ
i (
ABC
). Tính
V
S.ABC
trong các tr
ườ
ng h
ợ
p:
a)
3.
SB a=

b)
SB
t
ạ
o v
ớ
i m
ặ
t
đ
áy m
ộ
t góc 30
0
.

Bài 10:
Cho hình chóp
S.ABCD
có
đ
áy
ABCD
là hình ch
ữ
nh
ậ
t,
AB
= 2
AD
= 2
a.
Tam giác
SAD
cân t
ạ
i
S
và
n
ằ
m trong m
ặ
t ph
ẳ

ng vuông góc v
ớ
i (
ABCD
). Tính
.
S ABCD
V
bi
ế
t
SB
t
ạ
o v
ơ
i
đ
áy m
ộ
t góc 30
0
.
Bài 11:

(Khối A – 2007)
Cho hình chóp
S.ABCD
có
đ

áy là hình vuông c
ạ
nh
a,
m
ặ
t bên
SAD
là tam giác
đề
u và n
ằ
m trong m
ặ
t ph
ẳ
ng
vuông góc v
ớ
i
đ
áy. G
ọ
i
M, N, P
l
ầ
n l
ượ
t là trung

đ
i
ể
m c
ủ
a các c
ạ
nh
SB, BC, CD
. Ch
ứ
ng minh
AM
vuông góc
v
ớ
i
BP
và tính th
ể
tích c
ủ
a kh
ố
i t
ứ
di
ệ
n
CMNP

.
Hướng dẫn giải:
N
M
P
H
C
A
D
B
S

Ch
ứ
ng minh
( )
( )
( ) //( )
BP SHC
BP AMN
SHC AMN
⊥

⇒ ⊥



BP AM
⇒ ⊥

T
N
M
P
H
C
A
D
B
S

T là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
HB
thì
( )
MT ABCD
⊥

3
1 3
.
3 96
CMNP CNP
a

V MT S
∆
= =
Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, 3, ,( ) ( ),
AB a AD a SAC ABCD SA a
= = ⊥ =

tam giác SAC vuông tại S. Tính
.
S ABCD
V .
Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD là hình vuông cạnh a,
( ) ( )
SAB ABCD
⊥
, tam giác SAB cân tại S, M là trung
điểm của CD, mặt phẳng (SBM) tạo với mặt đáy (ABCD) góc
0
60
. Tính
.
S ABCD
V .