BT the tich khoi da dien

Một số bài toán về tỷ số thể tích
I. Công thức cần nhớ:
1. Thể tích khối chóp:
V=
1
3
B.h
B: Diện tích đa giác đáy.
h: Độ dài đờng cao.
2. Thể tích khối lăng trụ:
V=B.h
B: Diện tích đa giác đáy.
h: Độ dài đờng cao.
3. Tỷ số thể tích:
Cho khối chóp S.ABC.
A'SA, B'SB, C'SC
.
. ' ' '
. .
'. '. '
S ABC
S A B C
V
SA SB SC
V SA SB SC
=
* MSC, ta có:
.
.
. .
. .

S ABM
S ABC
V
SA SB SM SM
V SA SB SC SC
= =
II. Bài tập:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a; AD=b.
Cạnh SA=2a của hình chóp vuông góc với đáy. M là một điểm nằm trên cạnh SA với
AM=x (0x2a).
1. Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết
diện ấy. Tìm x để thiết diện ấy có diện tích lớn nhất.
2. Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp trên ra hai phần có thể tích bằng
nhau.
Hd:
1. Thiết diện là hình thang vuông
MNCB, vuông tại B và M.
1
( )
2
MNCB
S MN CB MB= +
* BM
2
=BA
2
+AM
2
BM=
2 2

a x+
* SMN đồng dạng SAD,
1
A
B
C
D
A
'
B'
C'
D'
H
'
C
B
A
S
A'
B'
C'
A
C
B
S
M
S
A
M N
D

C
B
⇒
. (2 ).
2
SM AD a x b
MN
SA a
−
= =
VËy
2 2 2 2
1 2
. (4 )
2 2 4
MNCB
ab bx b
S b a x a x a x
a a
−
 
= + + = − +
 
 
2. XÐt hµm sè
2 2
( ) (4 )
4
b
f x a x a x

a
= − +
(0≤x≤2a)
2 2
2 2
2 4
'( )
4
b x ax a
f x
a
a x
 
− + −
=
 
+
 
f'(x)=0 ⇔
1
(1 )
2
1
(1 )
2
x a
x a

= +




= −


Ta cã: f(0)=ab.
f(2a)=
5
1,118
2
ab ab≈
f(
1
(1 )
2
a +
)=
2
1 1 1
.(3 ) 1 (1 ) 1,134
4
2 2
ab ab− + + ≈
f(
1
(1 )
2
a −
)=
2

1 1 1
.(3 ) 1 (1 ) 0,96
4
2 2
ab ab+ + − ≈
⇒
[ ]
2
0;2
1 1 1
( ) . .(3 ) 1 (1 )
4
2 2
a
Max f x ab= − + +
khi
1
(1 )
2
x a= +
KÕt luËn: VËy víi
1
(1 )
2
x a= +
th× diÖn tÝch cña thiÕt diÖn lín nhÊt.
3. Gäi V lµ thÓ tÝch khèi chãp S.ABCD ⇒
2
.
1 2

. .
3 3
S ABCD
ABCD
a b
V SA V
S
= = =
Gäi V1 lµ thÓ tÝch khèi S.MNCB
V1=V
(SMBC)
+V
(SMNC)
Ta cã
. . 2
. . 2
SMBC
SABC
V
SM SB SC SM a x
V SA SB SC SA a
−
= = =
V
SABC
=
2
1 1
. ( ) .2
3 6 2

V
SA dt ABC a b= =
⇒
2
2 2 (2 )
. .
2 2 2 3 6
SMBC
a x V a x a b a x ab
V
a a
− − −
= = =
* Ta cã:
2
2
2
. . (2 )
.
. . 4
SMNC
SACD
V
SM SN SC SM SN MN a x
V SA SC SD SA SD AD a
−
 
= = = =
 ÷
 

⇒ V
SACD
=
2
2 3
V a b
=
⇒ V
SMNC
=
2 2 2
2
(2 ) (2 ) .
.
4 3 12
a x a b a x b
a
− −
=
V
1
= V
SMNCB
=
2
(2 ) (2 )
6 12
a x ab a x b− −
+
Ycbt ⇔ V

1
=
2
2 3
V a b
=
⇔
2 2
(2 ) (2 )
6 12 3
a x ab a x b a b− −
+ =
⇔ x
2
-6ax+4a
2
=0
2

(3 5) 2 ( )
(3 5) ( / )
x a a loai
x a t m

= + >

=


Kết luận: Vậy x=

(3 5)x a=
thì (MBC) chia khối chóp thành 2 phần tơng đơng.
Bài 2: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A
1
B
1
C
1
. Các mặt phẳng (ABC
1
) và
(A
1
B
1
C) chia lăng trụ thành 4 phần. Tính tỷ số thể tích của 4 phần đó.
Hd:
Gọi V
1
=
1
.C MNC
V
; V
1
=
1 1 1
.C MNB A
V
V

3
=
.C MNBA
V
; V
4
=
1 1
MNABB A
V
Gọi V là thể tích của lăng trụ.
1 1 1
. 1 2C A B C
V V V= +
Mặt khác:
1 1 1
1 1
. 1 1 1
. . 1
. . 4
C A B C
V CM CN CC
V CA CB CC
= =

1 2
1 1
. ; .
4 3 12 3 12 4
V V V V

V V V= = = =
1 1 1 1 1 1
3 2
3
4 1 2 3
4
5
12
C ABC CMNC CA B C CMNC
V V V V V V
V
V
V
V V V V V
= = =
=
= =
Vậy V
1
: V
2
: V
3
: V
4
= 1:3:3:5
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Đờng cao của
hình chóp là SA=a. M là một điểm di động trên SB, đặt BM=x
2
(0<x<a). () là mặt

phẳng qua OM và vuông góc với (ABCD).
1. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (). Tính diện tích thiết
diện theo a và x.
2. Xác định x để thiết diện trên là hình thang vuông. Trong trờng hợp đó tính tỷ
số thể tích của hai phần của S.ABCD chia bởi thiết diện.
Hd:
1. Ta có
SA(ABCD)
() (ABCD)
SA // ()
3
A B
C
M
N
A'
B'
C'
S
A
D
C
B
M
K
N
O
H
()(SAB)=MN // SA
()(SAC)=OK // SA

()(SABCD)=NH qua O
()(SCD)=KH
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNHK.
Ta có MN// OK // SA MN (ABCD); OK (ABCD)
S
td
=S
ht MKON
+ S
KOH
=
1 1
( ). . .
2 2
MN KO ON OK OH+ +
MN=BN=x; KO=SA/2; NH=
2
2 2 2 2 2
(2 )
2
a
IN IH x a a x ax+ = + = +
Std=
2
2
1
( ).
2 2
a
a x x ax+ +

2. Để thiết diện là hình thang vuông MK// MO// BC N là trung điểm AB
x=a/2.
V=
3
1
. . ( )
3 3
a
SA dt ABCD =
V1=V
SOECH
+V
KOE.MNB
3
3
.
1 1
. . ( )
3 3 2 24
S OECH
a a
V OK dt OECH

= = =
ữ

2
3
.
1

. ( ) .
2 2 2 16
KOE MNB
a a a
V ON dt MNB

= = =
ữ

3 3 3 3
1 2 1
5 11
24 16 48 48
a a a a
V V V V= + = = =
Vậy
2
1
11
5
V
V
=
Bài 4: Cho khối chóp S.ABCD, trong đó ABCD là hình thang có các cạnh đáy
AB, CD sao cho CD=4.AB, một mặt phẳng qua CD cắt SA, SB tại các điểm tơng ứng
M, N.
Hãy xác định vị trí điểm M trên SA sao cho thiết diện MNCD chia khối chóp đã
cho thành hai phần tơng đơng (có thể tích bằng nhau).
Hd:
Đặt

(0 1)
SM
x x
SA
= < <
Gọi thể tích của hình chóp S.ABCD là V
4
S
A
D
C
B
M
K
N
O
H
E
S
A
D C
B
N
M
2
.
.
.
.
. .

(1)
. .
. .
(2)
. .
S MNC
S ABC
S MCD
S ACD
V
SM SN SC
x
V SA SB SC
V
SM SC SD
x
V SA SC SD
= =
= =
Ta có CD=4AB
S
ADC
=4.S
ABC
S
ADC
=
3
4
ABCD

S

. . .
3 3
. ;
4 4 4
S ADC S ABCD S ABC
V
V V V V= = =
Ta có
2
3
. ; .
4 4
SMNC SNCD
V V
V x V x= =
V
1
=V
SMNC
+V
SNCD
=
2
( 3 )
4
V
x x+
2

2
1
3 17
( / )
3 1
2
3 2 0
4 2
3 17
( )
2
x t m
V x x
x x
V
x loai

+
=

+

= = + =


=


KL: Vậy
3 17

2
x
+
=
Bài 5: Trong mặt phẳng (P) cho đờng tròn (C) đờng kính AB=2R.S là điểm nằm
trên đờng thẳng vuông góc với mp(P) tại A. Đặt SA=h. Mặt phẳng (Q) qua A và vuông
góc với SB tại K, C là điểm trên (C), SC cắt mp(Q) tại H.
Đặt
ã
0
2
BAC



= < <
ữ

1. Tính thể tích của tứ diện SAHK theo R, h và .
2. Chứng minh rằng thể tích đó đạt giá trị lớn nhất tại giá trị
0
của sao cho
0
>
4

. Tính
0
.
Hd:

1. * Ta chứng minh đợc AH SC.
*
4
2 2 2 2
. .
. .
.
SAHK
SACB
V
SH SH SH SC SK SB SA
V SC SB SC SB SB SC
= = =
* V
ABC
=
2
2
1 1 .sin 2
( ). .cos .sin .
3 6 3
R h
dt ABC SA AB SA


= =
*
2 5
2 2 2 2 2
.sin 2

3( 4 )( 4 cos )
SAHK
R h
V
h R h R


=
+ +
2. Đặt P=
2 2 2 2
sin 2
( 2 2 cos )h R R


+ +
MaxP=
2 2 2
1
4 .h R h+
Dấu bằng xảy ra
5

B
C
H
K
S

2

2 2 2 2
2
2
2 2
cos 2
sin 2
2
1 cos ( 2 2 cos 2 )
sin 2
2 sin 2
2
cos 2 0
2
R P
h R R
R
R
h R
α
α
α α
α
α
α
=
−
+ +
= −
= − <
+

⇒ 2α tï ⇒α>
4
π
KL: VËy α
0
=
4
π
6