ON TAP TOT NGHIEP CO BAN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (660.28 KB, 59 trang )

CẤU TRÚC ĐỀ THI TN MÔN TOÁN
I. Phần chung cho tất cả thí sinh (7 điểm)
Câu I (3 điểm):
- Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.
- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số, cực
trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số. Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho
trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)
Câu II (3 điểm):
- Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
- Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
- Bài toán tổng hợp.
Câu III (1 điểm):
- Hình học không gian (tổng hợp): tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn
xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích
mặt cầu và thể tích khối cầu.
II. Phần riêng (3 điểm):
(Thí sinh học chương trình nào chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó).
1. Theo chương trình chuẩn:
Câu IV.a (2 điểm):
Nội dung kiến thức:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Mặt cầu.
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và
mặt cầu.
Câu V.a (1 điểm):
Nội dung kiến thức:
- Số phức: môđun của số phức, các phép toán trên số phức. Căn bậc hai của số thực âm. Phương trình
bậc hai hệ số thực có biệt thức D âm.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
2. Theo chương trình nâng cao:

………………………………………………………………………………………………….
Trường THPT BC Bố Trạch Tài liệu ôn thi tốt nghiệp môn Toán1
PHẦN I
KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN – CÁC DẠNG BÀI
TẬP CƠ BẢN


I. Khảo sát hàm số: Chương trình cơ bản xét 3 loại hàm số
1. Hàm bậc ba:
)0(
23
≠+++= adcxbxaxy
•
Tập xác định: R
•
Đạo hàm:
cbxaxy ++= 23'
2
a) Trường hợp y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt:
Hàm số có một cực đại và một cực tiểu, xét dấu y’ theo qui tắc: “ngoài đồng, trong
khác”
VD. Khảo sát các hàm số:
3 3 2
3 2 3 2
1
) 3 2; ) 2 3 1;
3
1
) 6 9 ( 2006); ) ( 2004)
3

a y x x b y x x x
c y x x x TN d y x x TN
= − + = − + − +
= − + = −
b) Trường hợp y’ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép:
- Nếu
0a >
: Hàm số đồng biến trên R, không có cực trị
- Nếu
0a <
: Hàm số nghịch biến trên R, không có cực trị
VD. Khảo sát các hàm số:
3 2 3 2
1 1
) 3 3 2; ) 1
3 2
a y x x x b y x x x= − + − + = + + +
2. Hàm bậc bốn:
4 2
( 0)y ax bx c a= + + ≠
•
Tập xác định: R
•
Đạo hàm:
3
' 4 2y ax bx= +

a) Trường hợp y’ =0 có ba nghiệm phân biệt
0
0,x x x= = ±

(a và b trái dấu):
- Xét dấu y’ trên 4 khoảng:
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
; , ;0 , 0; , ;x x x x−∞ − − +∞
; y’ có dấu xen kẻ trên các
khoảng đó
- Hàm số có 3 cực trị
- VD. Khảo sát các hàm số:
4 2 4 2 4 2
1 3
2 ( 2008); ; 2 1
4 4
y x x TN y x x y x x+ = − + = − + − + = − + +
b) Trường hợp y’ =0 có nghiệm duy nhất x = 0 (a và b cùng dấu):
- Xét dấu y’ trên 2 khoảng:
( ) ( )
;0 , 0;−∞ +∞
; y’ có dấu xen kẻ trên 2 khoảng đó
- Hàm số có một cực trị
- VD. Khảo sát các hàm số:
4 2 4 2
1 1
2 3; 1
4 2
y x x y x x+ = + − + = − − −
3. Hàm nhất biến:
( , 0)
ax b
y ad bc c

cx d
+
= ≠ ≠
+
Trường THPT BC Bố Trạch Tài liệu ôn thi tốt nghiệp môn Toán2
•
Tập xác định:
\ -
d
R
c
 
 
 
•
Đạo hàm:
( )
2
'
ad bc
y
cx d
−
=
+
( Đạo hàm có dấu không đổi)
a) Nếu y’ >0: Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó
b) Nếu y’ <0: Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó
- Hàm số không có cực trị
- Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận:

+ Tiệm cận đứng:
d
x
c
= −
; + Tiệm cận ngang:
a
y
c
=
2 1 2 1
( 2005); ( 2009);
1 2
1 2 3
;
2 2
x x
y TN y TN
x x
x x
y y
x x
+ +
+ = + =
+ −
+ +
+ = + =
− −
II. Các bài toán liên quan khảo sát hàm số(Theo cấu trúc đề thi TN)
1. Tương giao giữa các đồ thị:

1.1. Tìm giao điểm, biện luận số giao điểm:
•
Phương pháp:
- Toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số
( ) ( )
,y f x y g x= =
là nghiệm của hệ pt:
( )
( )
y f x
y g x

=


=


- Số giao điểm của đồ thị hai hàm số
( ) ( )
,y f x y g x= =
bằng số nghiệm của pt:
( ) ( )
f x g x=
•
Một số dạng bài tập cơ bản:
BT1. Tìm giao điểm của hai đường
3 2
, 2
1

x
y y
x
−
= =
+
HD:
Xét pt:
3 2
2 3 2 2( 1) 4
1
x
x x x
x
−
= ⇔ − = + ⇔ =
+
.
Suy ra: Toạ độ giao điểm của 2 đường là (4 ; 2)
BT2. Tìm giao điểm của đồ thị các hàm số sau với các trục toạ độ:
4 2 4 2
1 1
2 3; 1
4 2
y x x y x x+ = + − + = − − −
4 2 4 2 4 2
1 3
2 ( 2008); ; 2 1
4 4
y x x TN y x x y x x+ = − + = − + − + = − + +

2 2 3 3 1 2 3
; ; ;
1 2 1 2 1
x x x
y y y y
x x x x
− + −
+ = + = + = + =
+ − − +
HD
* Tìm giao điểm với Ox: Cho y = 0
* Tìm giao điểm với Oy: Cho x = 0
BT3. Cho hàm số:
2 1
2
x
y
x
+
=
−
Trường THPT BC Bố Trạch Tài liệu ôn thi tốt nghiệp môn Toán3
a) Khảo sát SBT và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng
2y x m= +
luôn cắt (C) tại hai điểm phân
biệt
c) Tìm a để đường thẳng
2y ax= +
không cắt (C)

HD:
b) Xét pt:
( ) ( )
2
(2 )( 2) 2 1
2 6 2 1 *
2 1
2
2
2
2
x m x x
x m x m
x
x m
x
x
x

+ − = +
+ − − −

+

= + ⇔ ⇔
 
≠
−
≠




Phương trình (*) có
( ) ( )
2 2
2
6 8( 2 1) 4 4 40 2 40 0,m m m m m m R∆ = − − − − = + + + = + + > ∀ ∈
Suy ra (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m và hai nghiệm đó khác 2 (Vì thay x
= 2 vào (*) thấy không thoả mãn)
Vậy phương trình hoành độ giao điểm luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Do đó
với mọi m, đường thẳng
2y x m= +
luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt
c) Đường thẳng
2y ax= +
không cắt (C) khi và chỉ khi phương trình
2 1
2
2
x
ax
x
+
= +
−
vô
nghiệm……
1.2. Dựa vào đồ thị của hàm số, biện luận số nghiệm phương trình:
•
Phương pháp:

- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x)
- Biến đổi phương trình đã cho về dạng: f(x) = g(m). Khi đó số nghiệm pt đã cho bằng
số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = g(m)
- Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x) và biện luận
4
2
-2
-4
y
-5
5
x
y = g(m)
-4/3
-1
2
O
3
•
Một số bài tập cơ bản:
BT1.Cho hàm số
3 2
1
y = x - 2x +3x
3
có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
Trường THPT BC Bố Trạch Tài liệu ôn thi tốt nghiệp môn Toán4
2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình
3 2

1
x - 2x + 3x = m
3
(*).
HD. Số nghiệm của pt (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
3 2
1
y = x - 2x +3x
3
và
đường thẳng y = m
BT2. Cho hàm số
3 2
y = x - 3x +5
có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Xác định m để phương trình
3 2
x -3x +5+m = 0
có 3 nghiệm phân biệt
HD. Biến đổi pt
⇔
3 2 3 2
x -3x +5 +m = 0 x - 3x +5 = -m
. Suy ra số nghiệm pt đã cho bằng số
giao điểm của đồ thị hàm số
3 2
y = x - 3x +5
với đường thẳng y = - m
Dựa vào đồ thị hàm số ta sẽ có kết luận

BT3.
Cho hàm số
4 2
y = -x +2x +3
có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình
4 2
x - 2x - 3+m = 0
(*)
HD. Ta có:
4 2
(*) 2 3x x m⇔ − + + =
. Suy ra số nghiệm pt đã cho bằng số giao điểm
của đồ thị hàm số
4 2
y = -x + 2x +3
với đường thẳng y = m
BT4. Cho hàm số
4 2
1 3
y = x - 3x +
2 2
có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình
4 2
x - 6x +3 = 2m
(*)
HD. Ta có:

4 2
3
3
2
x x m⇔ − + =
4 2
1
x - 6x + 3 = 2m
2
BT5. Cho hàm số
4 2
y = 2x - 4x + 2
có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình
4 2
2x - 4x + 2 -m = 0
.
BT6. Cho hàm số
4 2
y = x + x
có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình
4 2
x + x = 2m
BT7. Cho hàm số
2 2
y = x (x - 2)
có đồ thị (C).

1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Xác định m để phương trình
4 2
x - 2x = m
có 4 nghiệm phân biệt.
HD. Nếu hs nào chưa quen thì có thể biến đổi hàm số trên thành
4 2
2y x x= −
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x): Có 3 dạng chính
2.1. Dạng viết tiếp tuyến tại điểm M(x
0
; f(x
0
):
•
Phương pháp:
Áp dụng công thức:
( )
0 0 0
'( )y y f x x x− = −
và lưu ý khi gặp dạng này ta phải xác
định được:
( )
0 0, 0
, 'x y f x
sau đó thay vào pt trên
•
Một số bài tập cơ bản:
Bài 1. Cho hàm số
-3x -1

y =
x -1
có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại điểm có hoành độ bằng 3.
Trường THPT BC Bố Trạch Tài liệu ôn thi tốt nghiệp môn Toán5
3. Viết pttt của (C) tại điểm M(0;1)
4. Viết pttt của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành
5. Viết pttt của (C) tại điểm có tung độ bằng – 4
HD
2. Phương trình tt có dạng:
( )
0 0 0
'( )y y y x x x− = −
. Theo bài ra ta có:
0 0
( 3).3 1
3 5
3 1
x y
− −
= ⇒ = = −
−
và
( )
( )
0
2
4
' ; ' '(3) 1

1
y y x y
x
= = =
−
3.
( ) ( )
0 0 0
0, 1, ' ' 0 4x y y x y= = = =
4.
0 0 0
1 1
, 0, '( ) '
3 3
x y y x y
 
= − = = − =
 ÷
 
5. Ta có:
0
0 0
0
3 1
4 4 5
1
x
y x
x
− −

= − ⇒ = − ⇒ =
−
…
CÁC BÀI TẬP SAU GIẢI THEO PP TRÊN:
Bài 2. Cho hàm số
3 2
y = -x + 3x
có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại điểm có hoành độ bằng -1.
Bài 3. Cho hàm số
3 2
1
y = x - 2x +3x
3
có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
Bài 4. Cho hàm số
3 2
y = x - 3x +5
có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
Bài 5. Cho hàm số
3
y = (x +1)
có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại tâm đối xứng.

* Lưu ý: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc 3 là điểm uốn I(a;b), trong đó a là
nghiệm pt: y’’ = 0
Bài 6. Cho hàm số
3 2
y = -x + 3x - 4x +2
có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại giao điểm cùa (C) với trục tung
Bài 7. Cho hàm số
4 2
y = 2x - 4x + 2
có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C ) tại điểm có hoành độ bằng -2.
Bài 8. Cho hàm số
2x -1
y =
x -1
có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại giao điểm cùa (C) với trục hoành.
Bài 9. Cho hàm số
x +1
y =
x -1
có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
Trường THPT BC Bố Trạch Tài liệu ôn thi tốt nghiệp môn Toán6
2. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại điểm có tung độ bằng -2
Bài 10. (TN 2006) Cho hàm số

3 2
6 9y x x x= − +
. Viết pttt của đồ thị hàm số tại điểm uốn
của đồ thị
Bài 11. (TN 2007) Cho hàm số
2
1
2 1
y x
x
= + −
−
. Viết pttt của đồ thị hàm số tại điểm A(0;3)
Bài 12. (TN 2007 K2) Viết pttt với đồ thị hàm số
3 2
3 2y x x= − + −
tại điểm uốn
Bài 13. (TN 2008) Viết pttt với đồ thị hàm số
4 2
2y x x= −
tại điểm có hoành độ bằng -2
2.2. Dạng viết pttt của đồ thị hàm số biết tt đi qua điểm A(x
0
;y
0
):
•
Phương pháp:
Gọi k là hệ số góc của tt thì pttt có dạng:
0 0

( )y k x x y= − +
với k là số thoả mãn hệ
pt:
( )
( )
0 0
( )
'
f x k x x y
f x k

= − +


=


Giải hệ trên ta tìm k. Từ đó suy ra pttt cần tìm
•
Một số vd cơ bản:
Bài 1. Cho hàm số
3 2
y = x - 3x +5
có đồ thị (C).
a) Viết pttt của (C) biết tt đi qua điểm
(0;5)A
b) Viết pttt của (C) biết tt đi qua điểm
(1;3)B
HD
a) pttt có dạng:

5y kx= +
(*). Với k thoả mãn hệ pt:
3 2
2
3 5 5 (1)
3 6 (2)
x x kx
x x k

− + = +


− =


Giải hệ trên tìm k (pp thế). Thay k tìm được vào (*) ta có tt cần tìm
b) pttt có dạng
( )
1 3y k x= − +
. Với k thoả mãn hệ:
3 2
2
3 5 ( 1) 3 (1)
3 6 (2)
x x k x
x x k

− + = − +



− =


BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 2. Cho hàm số
4 2
1 3
3
2 2
y x x= − +
.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Tìm các tiếp tuyến của (C) đi qua
3
0;
2
A
 
 ÷
 
.
Bài 3. Cho hàm số
2x -1
y =
x -1
có đồ thị (C).
a) Viết pttt của (C) biết tt đi qua điểm
(1;3)M
b) Viết pttt của (C) biết tt đi qua điểm
(2;1)N

Bài 4. (TN 2004)Cho hàm số
3 2
1
3
y x x= −
. Viết pttt của đồ thị hàm số biết tt đi qua điểm
A(3;0)
Bài 5. (TN 2005) Viết pttt của đồ thị hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
biết tt đi qua điểm A(-1;3)
Trường THPT BC Bố Trạch Tài liệu ôn thi tốt nghiệp môn Toán7
2.3. Dạng viết pttt của đồ thị hàm số biết tt có hệ số góc k:
•
Phương pháp:
Với dạng này ta cũng áp dụng công thức:
( )
0 0 0
'( )y y f x x x− = −
(*)
Trong đó
( )
0
'f x k=

đã biết, do đó ta phải đi tìm
0 0
,x y
Để tìm
0
x
, ta giải pt:
( )
0
'f x k=
. Thay
0
x
vào hàm số ta tìm được y
0
Thay vào (*) ta được pttt cần tìm
•
Lưu ý: Có khi bài toán không cho trực tiếp hệ số góc mà cho gián tiếp:
- Nếu cho tt song song với đường thẳng có hệ số góc k thì tt cũng có hệ số góc là k
- Nếu cho tt vuông góc với đường thẳng có hệ số góc k thì tt có hệ số góc là
1
k
−
•
Một số bài tập cơ bản:
Bài 1.(TN 2009)Viết pttt với đồ thị hàm số
2 1
2
x
y

x
+
=
−
biết hệ số góc của tt bằng -5
Bài 2. Viết pttt với đồ thị hàm số
3 1
2
x
y
x
−
=
+
biết hệ số góc của tt bằng 7
HD
Hoành độ các tiếp điểm là nghiệm pt:
( )
2
1
7
' .Hay: 7
3
x+2
x
y k
x
= −

= = ⇔


= −

* Với
0 0
1 4x y= − ⇒ = −
. Ta có tt:
7( 1) 4 7 3y x y x= + − ⇔ = +
* Với
0 0
3 10x y= − ⇒ =
. Ta có tt:
7( 3) 10 7 31y x y x= + + ⇔ = +
Vậy…………….
Bài 3. Viết pttt với đồ thị hàm số
3 2
1
y = x - 2x +3x
3
biết tiếp tuyến của đồ thị song song với
đường thẳng
8 100y x= −
HD
Vì tt song song với đường thẳng
8 100y x= −
nên tt có hệ số góc k=8
Hoành độ các tiếp điểm là nghiệm của pt:
2 2
1
' . : 4 3 8 4 5 0

5
x
y k Hay x x x x
x
= −

= − + = ⇔ − − = ⇔

=

* Với
0 0
1 x y= − ⇒ =
* Với
0 0
5 x y= − ⇒ =
KL: …………………
Bài 4. Viết pttt với đồ thị hàm số
3 2
1 1 5
3 2 6
y x x= + −
biết tt vuông góc với đường thẳng
1
7
2
y x= − +
HD
Trường THPT BC Bố Trạch Tài liệu ôn thi tốt nghiệp môn Toán8
Vì tt vuông góc với đường thẳng

1
7
2
y x= − +
nên hệ số góc của tt là k phải thoả mãn:
1
1 2
2
k k− = − ⇔ =
. Hoành độ các tiếp điểm là nghiệm pt:
2
1
' . : 2
2
x
y k Hay x x
x
=

= + = ⇔

= −

* Với
0 0
1 x y= ⇒ =
* Với
0 0
2 x y= − ⇒ =
KL: ……………

Một số bài tập khác:
1) Viết pttt với đồ thị hàm số
3
3 2y x x= − + −
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
9y x= −
2) Viết pttt với đồ thị hàm số
4 2
1 7
2
4 4
y x x= − + −
biết tt vuông góc với đường thẳng
1
4
3
y x= − −
3) Viết pttt với đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
−
=
+
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
3
12
5

y x= −
* Ngoài ra, đk cần và đủ để hai đường
( ) ( )
,y f x y g x= =
tiếp xúc nhau đó là hệ:
( ) ( )
( ) ( )
' '
f x g x
f x g x

=


=


có nghiệm
3. Một số bài toán cơ bản về chiều biến thiên:
•
Mối liên hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm:
Trên K: + f’(x)>0 suy ra f(x) đồng biến trên K
+ f’(x)<0 suy ra f(x) nghịch biến trên K
(Ngoài ra cần lưu ý định lý mở rộng)
•
BT ví dụ:
BT1. Chứng minh rằng với mọi m, hàm số
1
2
mx

y
x m
−
=
+
đồng biến trên mỗi khoảng xác định
của nó.
HD
* TXĐ:
\
2
m
D R
 
= −
 
 
* Đạo hàm:
( )
2
2
2
' 0,
2
m
y x D
x m
+
= > ∀ ∈
+

. Vậy với mọi m, hàm số
1
2
mx
y
x m
−
=
+
đồng biến trên mỗi
khoảng xác định của nó.
BT2. Xác định m để hàm số
3 2
3 3(2 1) 1y x mx m x= − + − −
đồng biến trên tập xác định
HD
* TXĐ: D = R
Trường THPT BC Bố Trạch Tài liệu ôn thi tốt nghiệp môn Toán9
* Đạo hàm:
2
' 3 6 3(2 1)y x mx m= − + −
Hàm số đã cho đồng biến trên R khi và chỉ khi
2
' 0, 3 6 3(2 1) 0,y x R x mx m x≥ ∀ ∈ ⇔ − + − ≥ ∀
BT3. Xác định m để hàm số
2 3
x m
y
x
−

=
+
nghịch biến trên mỗi khoảng xác định
HD
ĐK:
' 0,y x D> ∀ ∈
4. Một số bài toán về cực trị:
•
Cần nhớ các đk cần, đk đủ để hàm số đạt cực trị tại x
0
•
Cần nhớ các qui tắc tìm cực trị của hàm số
•
BT ví dụ:
BT1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hàm số
3 2
2 3y x mx x= − + + −
luôn luôn có một
điểm cực đại và một điểm cực tiểu
HD
Cần chứng minh: phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt với mọi m
BT2. Xác định tất cả các giá trị của m để hàm số
2
1x mx
y
x m
+ +
=
+
đạt cực đại tại x=2

HD
* Cho
'(2) 0y =
để tìm m =… Sau đó thay m vào hàm số đã cho để thử lại. Giá trị nào của
m thoả mãn thì nhận, không thoả mãn thì loại
BT3. Xác định tất cả các giá trị của m để hàm số
3 2
3y x mx mx= − + −
đạt cực tiểu tại x=2
HD
* Cách 1: Như bài tập 2
* Cách 2: Tính y’, y’’. Sử dụng đk cần và đủ là
'(2) 0
''(2) 0
y
y
=


>

Giải chi tiết theo cách 2:Ta có:

2
' 3 2
'' 6 2
y x mx m
y x m
= − +
= −

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2 khi và chỉ khi:
2
'(2) 0 4
3.2 2 .2 0
4
''(2) 0 6
6.2 2 0
y m
m m
m
y m
m
= =

− + =
 
⇔ ⇔ ⇔ =
  
> <
− >
 

Vậy m cần tìm là m = 4
BT4. Biện luận theo m số cực trị của hàm số:
4 2
2 2 1y x mx m= − + −
HD
Số cực trị của hàm số này bằng số nghiệm của phương trình y’ = 0
BT5. Xác định tất cả các giá trị của m để hàm số
3 2

3 3(2 1) 1y x mx m x= − + − − −
có một cực
đại và một cực tiểu
HD
ĐK: phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
BT6. Tìm a và b để hàm số
4 2
3y x ax b= − + +
có cực trị bằng -3 khi x = -1
HD
Trường THPT BC Bố Trạch Tài liệu ôn thi tốt nghiệp môn Toán10
ĐK:
'( 1) 0
( 1) 3
y
y
− =


− =

5. Một số bài toán về tiệm cận :
•
Cần nhớ cách xác định tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
•
BT ví dụ:
BT1. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số:
2 2 3 3 1 2 3
) ; ) ; ) ; )
1 2 1 2 1

x x x
a y b y c y d y
x x x x
− + −
= = = =
+ − − +
BT2. Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2 1
3
x
y
x m
−
=
+
đi qua điểm
( )
( )
( )
( )
) 1; 3 ; ) 0;10 ; ) 2; 19 ; ) 7;0a A b B c M d N− − −
6. Một số bài toán về tính chất của điểm trên đồ thị :
•
Lưu ý: Đồ thị hàm số
( )
y f x=
đi qua điểm
( )
0 0
;M x y

khi và chỉ khi:
( )
0 0
y f x=
•
BT ví dụ:
BT1. Xác định m để đồ thị hàm số
4 2
1 1
4 2
y x x m= + +
đi qua điểm (-1;1)
HD
Đồ thị hàm số
4 2
1 1
4 2
y x x m= + +
đi qua điểm (-1;1) khi và chỉ khi:
4 2
1 1
( 1) ( 1) 1
4 2
m m− + − + = ⇒ =
BT2. Xác định m để đồ thị hàm số
( 1) 3 2
2 2
m x m
y
x

+ − +
=
+
đi qua điểm (0;1)
BT3. Xác định a và b để đồ thị hàm số
3 2
2y x ax bx= + + −
đi qua 2 điểm A(-1;1) và B(2;-3)
BT4. Với mỗi hàm số sau, hãy tìm các điểm trên đồ thị có toạ độ là những số nguyên:
2 2 3 3 1 2 3
) ; ) ; ) ; )
1 2 1 2 1
x x x
a y b y c y d y
x x x x
− + −
= = = =
+ − − +
HD
b) Ta có:
2 3 1
2
2 2
x
y
x x
−
= = +
− −
Suy ra:

( )
3
2 1
1 2
1
x Z
x Z x
x
x
y Z x
∈

∈ =
 

⇔ ⇔ − = ± ⇔
 

−
∈ =

 

M
Với x = 3 ta có y = 3: Điểm (3 ; 3)
Với x = 1 ta có y = 1: Điểm (1 ; 1)
Vậy trên đồ thị hàm số đã cho có hai điểm thoả mãn bài toán
   
PHẦN II
•

HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH, BPT MŨ VÀ LÔGARIT
Trường THPT BC Bố Trạch Tài liệu ôn thi tốt nghiệp môn Toán11
•
GTLN, GTNN; NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
•
BÀI TOÁN TỔNG HỢP


I. HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH, BPT MŨ VÀ LÔGARIT
HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
I
1.
Lũy thừa
+
n thua sô
a.a. . . a
n
a =
142 43
với n ∈ N
*
, n > 1 + Với a ≠ 0,
.
a
1
a 1, a thì Z n
n
n0-
==∈
• Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên:

.
b
a

b
a
5) ;ba (ab) 4) ;a )(a 3) ;a
a
a
2) ;a a.a )1
n
n
n
nnnmnnmn-m
n
m
nmnm
=






====
+
• So sánh các lũy thừa:
+ m, n ∈ Z. Khi đó
1) a > 1 thì a

m
> a
n
⇔ m > n; 2) 0 < a < 1 thì a
m
> a
n
⇔ m < n
+ 0 < a < b, m ∈ Z thì
1) a
m
< b
m
⇔ m > 0;
2) a
m
> b
m
⇔ m < 0.
+ a < b và n là số tự nhiên lẻ thì a
n
< b
n
.
+ a, b > 0 và n là số nguyên khác 0 thì a
m
= b
m
⇔ a = b.
• Một số tính chất của căn bậc n:

Với a, b ≥ 0; m, n nguyên dương; p, q ∈ Z, ta có:

( )
0); (a a a 3) 0); (b
b
a

b
a
2) ;b.a ab )1
p
n
n
p
n
n
n
nnn
>=>==
.a a ;a a thì
m
q

n
p
Khi 5) ;a a 4)
mn
m
n
m

q
n
p
mn
m
n
====
Bài tập :
1. Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau:
0) (x xxxx 0); (a a :aaaa ;
3
2
2
3
3
2
0); (ab
b
a
a
b
;2222
5
4
3
5432
16
11
3
35

3
5
4
3
>>≠
2. Rút gọn
0). (a a - aa aa a B ;3.2.5 :16: 2:5.3 A
5
1
5
2
5
4
5
2
5
2
5
1
2
1
2
1
4
1
3
1
4
7
3

5
2
3
>
















+








+=


































=
−
−
3. CMR:
(
)
. b a ba b ba a
3
3
2
3
2
3
422
3
242
+=+++
Trường THPT BC Bố Trạch Tài liệu ôn thi tốt nghiệp môn Toán12
4. Rút gọn
( )
2
2
1
-
2
1
1 -
2

1
-
2
1
1 -
3
6
a - a
3a 4 - a

3a - a2
9a - 4a
B );62 - (5)62 (5 .)62 - (5 - 64 25 A








+
+=++=
.
Bài tập thêm:
1. Tìm các số thực α sao cho:
( )
27. 3 b) 0); (a 1 a a
2
1

a)
-
<>=+
α
αα
2. So sánh
.0,7 và0,7 1; và 3 ;
2
1
và 2 1; và
7
5
3
1
6
5
2 -
2,5
12 -
2
5














−
3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
.(0,5) y b) ; 3 y a)
xsinx x -
2
==
+
4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.ey c) ;2 2 y ;3 3 y a)
2
x 1
x
x- 31 -x x-x
+
=+=+=

5. Rút gọn:
( )
.a d) ;x:x xc) ;b :b b) ;
a
1
a a)
3
3
2
5

25
4
421) - 3(3 -
1 - 2
2 ππ






6. Rút gọn
( )
( )( )
;
a - a
a a - a1 - a
b) 1;
b - a
b - a
a)
334
3333232
2
32
3222
+
+

( )

.ab.4 - b a d) 1;
b b.a a
b - a
c)
1
2
3
72
3
7
3
5
3
52
75
π
π
ππ








++
++
I
2

. Logarit:
1. Định nghĩa: Cho 0 < a ≠ 1, b > 0. Khi đó α = log
a
b ⇔ a
α
= b.
Chú ý: + Số 0 và số âm không có logarit vì a
α
> 0, ∀α.
+Cơ số của logarit phải dương và khác 1.
+ Ta có: log
a
1 = 0; log
a
a = 1; log
a
a
b
= b, ∀b ∈ R;
b a
blog
a
=
, ∀b > 0.
2. Tính chất: Cho Cho 0 < a ≠ 1; b, c > 0, ta có:
•
c. b clog blog thì1 a 0 Khi c; b clog blog thì1 a Khi
aaaa
<⇔><<>⇔>>
Khi a > 1 thì log

a
b > 0 ⇔ b > 1; Khi 0 < a ≠ 1 thì log
a
b > 0 ⇔ b < 1;
Log
a
b = log
a
c ⇔ b = c.
•
b.log blog c;log blog
c
b
log c;log blog (bc)log
aaaaaaaa
α=−=+=
α
Với 0 < a ≠ 1, b > 0, n ∈ N
*
, n > 1 thì:
.blog
n
1
blog b;log-
b
1
log
a
n
aaa

==
3. Đổi cơ số của logarit: Cho 0 < a, b ≠ 1, c > 0 thì
.clog cb.logloghay
blog
clog
clog
aba
a
a
b
==
c log
1
clog 1; ablogloghay
alog
1
blog
a
a
ba
b
a
α
===
α
Bài tập áp dụng:
Trường THPT BC Bố Trạch Tài liệu ôn thi tốt nghiệp môn Toán13
1. Tính
;aaaalog F ;9 E ;27 D ;16 C ;alog B ;alog A
35

a
2log
2log3log
9
a
1
3
1
a
3
9
2
4






======
.
aa
a.a.a
log M ;a L ;a K ;(2a) I ;a H ;4 G
3
3
4
5
22
a

54log
4log1log
2log27log
2
a
aa
a8
======
2. So sánh
0,34;log và2log b) ;
3
1
log và4log a)
0,2
3
0,143
.3 và2 d) ;
4
3
log và
5
2
log c)
2
1
log
3log
2
5
4

3
6
6
3. Tìm x biết
3. 8log 1; - 7log c) ;
2
1
x log b) 2; - x log a)
x
x810,1
====
III. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT:
I. PT mũ
Với
0 1a
< ≠
:
1. Dạng
( ) ( )
* ( ) ( )
f x g x
a a f x g x
= ⇔ =

hoặc:

( )
* ( ) log ( 0)
f x
a

a b f x b b
= ⇔ = >
BT. Giải các pt:
1). (0,2)
x-1
= 1 2).
3
3
1
13
=






−
x
3).
164
23
2
=
+− xx
4).
x
x
34
2

2
2
1
2
−
−
=






5).
( ) ( )
223223
2
+=−
x
6).
255
4
2
=
+−
xx
7) 3
x
.2
x+1

= 7
8)
2
2
1
.
2
1
217
=












−+ xx
9) 5
x+1
+ 6. 5
x
– 3. 5
x-1
= 52

10) 2. 3
x+1
– 6. 3
x-1
– 3
x
= 9 11) 4
x
+ 4
x-2
– 4
x+1
= 3
x
– 3
x-2
– 3
x+1
HD
5)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
1
3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2
3 2 2
x
x x
−
 

− = + ⇔ = + ⇔ + = +
 ÷
+
 
6)
2 2
4 4 2 2 2
5 25 5 5 4 2 2 4
x x x x
x x x x
− + − +
= ⇔ = ⇔ − + = ⇔ − = +
7)
3
x
.2
x+1
= 7
7
2.6 7 6
2
x x
⇔ = ⇔ = ⇔
8)
7 1 2
7 1 2 8
1 1
. 2 2 .2 2 2 2
2 2
x x

x x x
+ −
− − − + −
   
= ⇔ = ⇔ = ⇔
 ÷  ÷
   
9) 5
x+1
+ 6. 5
x
– 3. 5
x-1
= 52
3 3
5.5 6.5 .5 52 5 6 .5 52
5 5
x x x x
 
⇔ + − = ⇔ + − = ⇔
 ÷
 
2. Đặt ẩn phụ
Trường THPT BC Bố Trạch Tài liệu ôn thi tốt nghiệp môn Toán14
Loại1: Phương trình có dạng

: m.a
2x
+ n.a
x

+ p = 0 (1)
+ §Æt a
x
= t (®k: t > 0)
+(1) trở th nh: m.tà
2
+ n.t + p = 0 gi¶i pt t×m t > 0
+ Gpt a
x
= t t×m x=?
* Lưu ý: Loại này thường sử dụng các công thức:
. ;
1
.
x n n x
x m x
m
a a a
a a
a
+
−
=
=
Ví dụ:
2
2 1 2
1
2
3 9.3

5 5.5
1
2 .2
2
1
4 4 ,
16
x x
x x
x x
x x
+
=
−
−
=
=
=
=
BT. Giải các pt:
1) 4
x
+ 2
x+1
– 8 = 0 2) 4
x+1
– 6. 2
x+1
+ 8 = 0
3) 3

4x+8
– 4. 3
2x+5
+ 27 = 0 4)
16 17.4 16 0
x x
− + =

5)
1
49 7 8 0
x x
+
+ − =
6)
( ) ( )
7 4 3 2 3 6
x x
+ + + =
7)
x2cos
4

+
x
2
cos
4
= 3
HD

1) Ta có : 4
x
+ 2
x+1
– 8 = 0
( )
2
2 2.2 8 0
x x
⇔ + − =
. Đặt
( )
2 0
x
t t= >
…………
2) ………
3) 3
4x+8
– 4. 3
2x+5
+ 27 = 0
( )
2
8 2 5 2
3 . 3 4.3 .3 27 0
x x
⇔ − + =
. Đặt
2

3 ( 0)
x
t t= >
……….
6) Ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
2
7 4 3 2 3 6 2 3 2 3 6 0
x x x x
+ + + = ⇔ + + + − =

Đặt
( )
2 3 ( 0)
x
t t+ = >
, pt trở thành :
2
3
6 0
2
t
t t
t
= −

+ − = ⇔

=


(Loại t = -3)
Trường THPT BC Bố Trạch Tài liệu ôn thi tốt nghiệp môn Toán15
* Với t = 2 ta được :
( )
2 3
2 3 2 log 2
x
x
+
+ = ⇔ =
7) Dùng công thức nhân đôi :
2
cos 2 2cos 1x = −
, ta được :
x2cos
4

+
x
2
cos
4
= 3
2 2 2 2
2 os 1 os 2cos os
1
4 4 3 0 4 4 3 0
4
c x c x x c x−
⇔ + − = ⇔ + − =

Đặt
2
cos
4 ( 0)
x
t t
= >
phương trình trở thành:
2
6
1
3 0
2
4
t
t t
t
= −

+ − = ⇔

=

……
Loại 2: Phương trình đưa được về dạng:
0.
=++
p
a
n

am
x
x

- PP : Đặt
( 0)
x
a t t= >
sau đó qui đồng đưa vvề pt bậc hai theo t
* Lưu ý : Loại này thường sử dụng công thức :
1
x
x
a
a
−
=
BT. Giải các pt :
1) 3
1+x
+ 3
1-x
= 10 2) 5
x-1
+ 5
3 – x
= 26
3)
( ) ( )
23232

=−++
xx
4)
14487487
=






++






−
xx
5)
( ) ( )
02323347
=+−−+
xx
6)
1099
22
cossin
=+

xx
HD
1) 3
1+x
+ 3
1-x
= 10
3
3.3 10
3
x
x
⇔ + =
. Đặt
3 ( 0)
x
t t= >
3)Ta có
( ) ( )
2 3 2 3 1+ − =
nên
( ) ( ) ( )
( )
1
2 3 2 3 2 2 3 2
2 3
x x x
x
+ + − = ⇔ + + =
+

Đến đây ta đặt
( )
2 3 ( 0)
x
t t+ = >
4) Tương tự 3)
Loại 3: Phương trình dạng : m.a
2x
+ n.(a.b)
x
+ p.b
2x
= 0 (2)
+Chia c¶ 2 vÕ cho b
2x
(hoÆc a
2x
)
+ (2) 
0
2
=+






+







p
b
a
n
b
a
m
xx

Trường THPT BC Bố Trạch Tài liệu ôn thi tốt nghiệp môn Toán16
+ §Æt
t
b
a
x
=






(®k: t > 0) . . .
BT. Giải các pt :
1) 9

x
+ 6
x
= 2. 4
x
2) 4
x
– 2. 5
2x
= 10
x
3) 3
2x+4
+ 45. 6
x
– 9.2
2x+2
= 0
4) 25
x
+ 10
x
= 2
2x+1
5)
06.913.6-6.4
xxx
=+
HD
1) Ta có : 9

x
+ 6
x
= 2. 4
x

9 6
2
4 4
x x
   
⇔ + =
 ÷  ÷
   
(*) (Chia hai vế cho
4
x
)
Và đến đây, ta có:
2
3 3
(*) 2 0
2 2
x x
   
⇔ + − =
 ÷  ÷
   
2) 4
x

– 2. 5
2x
= 10
x

4 2.25 10
x x x
⇔ − =
. Chia hai vế phương trình cho
25
x
3) 3
2x+4
+ 45. 6
x
– 9.2
2x+2
= 0
81.9 45.6 36.4 0
x x x
⇔ + − =
. Chia hai vế cho
4
x
4) ………
3.Lôgarit hóa
BT. Giải các pt :
1) 2) 5
x
.3

x
= 2
2x
3) 2
x
.3
x-1
.5
x-2
= 12
4. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số
BT. Giải các pt :
1) 2
x
+ 3
x
= 5
x
2) 3
x
+ 4
x
= 5
x
3) 3
x
= 5 – 2x
4) 2
x
= 3 – x 5) log

2
x = 3 – x
6) 2
x
= 2 – log
2
x 7) 9
x
+ 2(x – 2)3
x
+ 2x – 5 = 0
II. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT.
1. Giải các phương trình. Áp dụng công thức:
1) log
2
x(x + 1) = 1 2) log
2
x + log
2
(x + 1) = 1
3) log(x
2
– 6x + 7) = log(x – 3) 4) log
2
(3 – x) + log
2
(1 – x) = 3
5) 6) log
2
(2

x+2
– 5) = 2x
7)
2 2
log 3 log 3x 7 2x
− + − =
2.Đặt ẩn phụ
1)
2
2
2
log 3.log 2 0x x
− + =

3
2) log log 9 3
x
x
+ =
3)
9
4log log 3 3
x
x
+ =
4)
( ) ( )
3
2
2 2

2log 1 log – 1 5x x
− + =
5) 6)
2
2 8
log -9log 4x x
=
Trường THPT BC Bố Trạch Tài liệu ôn thi tốt nghiệp môn Toán17
⇔
7)
2 2 2
3 3
log ( 2 ) 4log 9( 2 ) 7x x x x
+ + + =

8)
2
2 2
log ( 3) log 3 5x x
− + − =
4lglg3lg
22
−=−
xxx
9)
x
x
x
x
81

27
9
3
log1
log1
log1
log1
+
+
=
+
+
10)
3 3
log log
9 3 6
x x
+ =
III. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT.
a)
)()(1
)()(
xgxfaaa
xgxf
>⇔>>

0)()()(log)(log
>>⇔>
xgxfxgxf
aa

b)
)()(10
)()(
xgxfaaa
xgxf
<⇔><<

)()(0)(log)(log xgxfxgxf
aa
<<⇔>
1. Giải các bất phương trình.
1)
13
52
>
+
x
2) 27
x
<
3
1
3)
4
2
1
45
2
>







+−
xx

4)
439
1
+<
+
xx
5) 3
x
– 3
-x+2
+ 8 > 0
6)
2 2 12
3 2 3 2 9 4
x
x x x
+ <
− + −
7)
3
log (3 2) 2
x

x
+ <
8)
2
1
2
log ( -5 - 6) -3x x ≥
9) log
0,8
(x
2
+ x + 1) < log
0,8
(2x + 5)
11)
2
1
2
3 2
log 0
x x
x
− +
≥
12)
0)
1
21
(loglog
2

3
1
>
+
+
x
x
13)
1 1
15 15
log ( - 2) log (10- ) -1x x+ ≥
14) log
2
(x + 4)(x + 2)
6
−≤

15)
0
1
13
log
2
>
+
−
x
x
x
16)

2
0,9 6
log (log ) 0
4
x x
x
+
<
+
17)
( )
( )
2
2 2
log 3 2 log 14x x x
− + ≥ +
Bài tập làm thêm
1. Giải các bất phương trình sau
a.
1255
1
2
≤
+−xx
b.
17
63
>
+
x

Trường THPT BC Bố Trạch Tài liệu ôn thi tốt nghiệp môn Toán18
c.
3
1
27 ≤
x
d.
4
2
1
45
2
>






+− xx
e.
2
2
9)3(
−
>
x
x
f.
3773

3
7
7
3
−−






≥






xx
g.
222
7
8
2
3
−−







≤






xx
h.
055.425 <−−
x
x
i.
3
3
1
.29
2
2
2
2
≤







−
−
−
xx
xx
k.
0224
<−−
xx
m.
xxx
96.24.3
≤−
n.
21432
55222
+++++
−>−−
xxxxx
p.
13732
3.26
−++
<
xxx
p.
0103.93
<−+
−
xx

o.
2
6
39
+
<
x
x
2. Giải các bất phương trình sau
a.
5log
2
<
x
b.
)2(log)1(log
2
2
1
xx
−≤+
c.






+
>−

1
2
log)2(log
25.025.0
x
x
d.
6logloglog
3
1
3
3
<++
xxx
e.
02loglog
2
1
2
2
1
≤−+ xx
f.
)86ln()105ln(
2
++>+
xxx
g.
4)82(log
2

2
1
−≥−+
xx
h.
3)1(log
2
2
≥−
x
i.
1)5(log)3(log
33
<−+− xx
k.
055.265
12
>+−
+
xx
II/. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
A. NGUYÊN HÀM
I. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
1. Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm
của f(x) trên K nếu:
'( ) ( ) F x f x x K= ∀ ∈
.
Trường THPT BC Bố Trạch Tài liệu ôn thi tốt nghiệp môn Toán19
GHI NHỚ: 1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C (C: hằng số) cũng là một
nguyên hàm của f(x).

2) Họ các nguyên hàm của f(x) trên K kí hiệu là:
( ) ( )f x dx F x C= +
∫
.
2. Các tính chất của nguyên hàm:
• Tính chất 1:
'( ) ( )f x dx f x C= +
∫
• Tính chất 2:
. ( ) . ( )k f x dx k f x dx=
∫ ∫
( k: là hằng số)
• Tính chất 3:
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫
3. Bảng tính nguyên hàm cơ bản:
TT
Nguyên hàm
Nguyên hàm số hợp
với
u ax b= +
1
dx x C= +
∫
2
1
1
x
x dx C

α
α
α
+
= +
+
∫
(
)1−≠
α
1
1 ( )
( ) .
1
ax b
ax b dx C
a
α
α
α
+
+
+ = +
+
∫
(
)1−≠
α
3
1

lndx x C
x
= +
∫
1 1
lndx ax b C
ax b a
= + +
+
∫
4
cos . sinx dx x C= +
∫
1
cos( ). sin( )ax b dx ax b C
a
+ = + +
∫
5
sin . cosx dx x C= − +
∫
1
sin( ). cos( )ax b dx ax b C
a
+ = − + +
∫
6
2
tan
cos

dx
x C
x
= +
∫
2
1
tan( )
cos ( )
dx
ax b C
ax b a
= + +
+
∫
7
2
cot
sin
dx
x C
x
= − +
∫
2
1
cot( )
sin ( )
dx
ax b C

ax b a
= − + +
+
∫
8
x x
e dx e C= +
∫
1
ax b ax b
e dx e C
a
+ +
= +
∫
9
ln
x
x
a
a dx C
a
= +
∫
(
0 1a< ≠
)
1
.
ln

mx n
mx n
a
a dx C
m a
+
+
= +
∫
(
0 1a< ≠
)
4. Bài tập tìm nguyên hàm bằng cách sử dụng định nghĩa và tính chất của nguyên hàm
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số
1. f(x) = x
2
– 3x +
x
1
ĐS. F(x) =
Cx
xx
++− ln
2
3
3
23

Trường THPT BC Bố Trạch Tài liệu ôn thi tốt nghiệp môn Toán20
2. f(x) =

2
4
32
x
x +
ĐS. F(x) =
C
x
x
+−
3
3
2
3

. f(x) =
2
1
x
x −
ĐS. F(x) = lnx +
x
1
+ C
4. f(x) =
2
22
)1(
x
x −

ĐS. F(x) =
C
x
x
x
++−
1
2
3
3
5. f(x) =
4
3
xxx ++
ĐS. F(x) =
C
xxx
+++
5
4
4
3
3
2
4
5
3
4
2
3

6. f(x) =
3
21
xx
−
ĐS. F(x) =
Cxx +−
3
2
32

7. f(x) =
x
x
2
)1( −
ĐS. F(x) =
Cxxx ++− ln4
8. f(x) =
3
1
x
x −
ĐS. F(x) =
Cxx +−
3
2
3
5
2

3
5
3
9. f(x) =
2
sin2
2
x
ĐS. F(x) = x – sinx + C
10. f(x) = tan
2
x ĐS. F(x) = tanx – x + C
11. f(x) = cos
2
x ĐS. F(x) =
Cxx ++ 2sin
4
1
2
1

12. f(x) = (tanx – cotx)
2
ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C
13. f(x) =
xx
22
cos.sin
1
ĐS. F(x) = tanx - cotx + C

14. f(x) =
xx
x
22
cos.sin
2cos
ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C
15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) =
Cx +− 3cos
3
1

16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) =
Cxx +−− cos5cos
5
1
17. f(x) = e
x
(e
x
– 1) ĐS. F(x) =
Cee
xx
+−
2
2
1

18. f(x) = e
x

(2 +
)
cos
2
x
e
x−
ĐS. F(x) = 2e
x
+ tanx + C
19. f(x) = 2a
x
+ 3
x
ĐS. F(x) =
C
a
a
xx
++
3ln
3
ln
2

20. f(x) = e
3x+1
ĐS. F(x) =
Ce
x

+
+13
3
1
Bài 2: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) biết rằng:
1. f(x) = 2x + 1 và F(1) = 5 ĐS. F(x) = x
2
+ x + 3
2. f(x) = 2 – x
2
và F(2) = 7/3 ĐS. F(x) =
1
3
2
3
+−
x
x

3. f(x) = 4
xx −
và F(4) = 0 ĐS. F(x) =
3
40
23
8
2
−−
xxx
4. f(x) = x -

2
1
2
+
x
và F(1) = 2 ĐS. F(x) =
2
3
2
1
2
2
−++ x
x
x

Trường THPT BC Bố Trạch Tài liệu ôn thi tốt nghiệp môn Toán21
5. f(x) = 4x
3
– 3x
2
+ 2 và F(-1) = 3 ĐS. F(x) = x
4
– x
3
+ 2x + 3
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I =
[ ( )]. '( )f u x u x dx

∫
bằng cách đặt t = u(x)
• Đặt t = u(x)
dxxudt )('=⇒
• I =
∫ ∫
= dttfdxxuxuf )()(')].([
Chú ý: Một số dấu hiệu và cách đặt thường gặp
TT
Dạng Cách biến đổi
1
( )f ax b dx+
∫
Đặt
t ax b dt adx= + ⇒ =
2
1
( ).
n n
f x x dx
+
∫
Đặt
1
( 1).
n n
t x dt n x dx
+
= ⇒ = +
3

( )
dx
f x
x
∫
Đặt
2
dx
t x dt
x
= ⇒ =
4
(sin ).cosf x xdx
∫
Đặt
sin cost x dt xdx= ⇒ =
5
(cos ).sinf x xdx
∫
Đặt
cos sint x dt xdx= ⇒ = −
6
2
(tan ).
cos
dx
f x
x
∫
Đặt

2
tan
cos
dx
t x dt
x
= ⇒ =
7
2
(cos ).
sin
dx
f x
x
∫
Đặt
2
cot
sin
dx
t x dt
x
= ⇒ = −
8
( ).
x x
f e e dx
∫
Đặt
x x

t e dt e dx= ⇒ =
9
(ln ).
dx
f x
x
∫
Đặt
ln
dx
t x dt
x
= ⇒ =
Bài tập: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1.
∫
− dxx )15(
2.
∫
−
5
)23( x
dx
3.
dxx
∫
− 25
4.
∫
−12x

dx
5.
∫
+ xdxx
72
)12(
6.
∫
+ dxxx
243
)5(
7.
xdxx .1
2
∫
+
8.
∫
+
dx
x
x
5
2
9.
∫
+
dx
x
x

3
2
25
3
10.
∫
+
2
)1( xx
dx
11.
dx
x
x
∫
3
ln
12.
∫
+
dxex
x 1
2
.
13.
∫
xdxx cossin
4
14.
∫

dx
x
x
5
cos
sin
15.
∫
gxdxcot
16.
∫
x
tgxdx
2
cos
Trường THPT BC Bố Trạch Tài liệu ôn thi tốt nghiệp môn Toán22
17.
∫
x
dx
sin
18.
∫
x
dx
cos
19.
∫
tgxdx
20.

∫
dx
x
e
x
21.
∫
− 3
x
x
e
dxe
22.
∫
dx
x
e
tgx
2
cos
23.
∫
− dxx .1
2
24.
∫
−
2
4 x
dx

25.
∫
− dxxx .1
22
26.
∫
+
2
1 x
dx
27.
∫
−
2
2
1 x
dxx
28.
∫
++ 1
2
xx
dx
29.
∫
xdxx
23
sincos
30.
dxxx .1

∫
−
31.
∫
+1
x
e
dx
32.
dxxx .1
23
∫
+
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục
trên I
∫ ∫
−= dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(
Hay:
∫ ∫
−= vduuvudv
( với du = u’(x)dx, dv =
v’(x)dx)
•
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt
( ) '( )
'( ) ( )
u u x du u x dx
dv v x dx v v x

= =
 
⇒
 
= =
 
Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần :
udv uv vdu= −
∫ ∫
Bước 3: Tính
vdu
∫
và
udv
∫
CHÚ Ý: Cách đặt của một số dạng thường gặp
TT
Dạng Cách biến đổi
1
( )
( ).sinP x ax b dx+
∫
Đặt u = P(x) ,
( )
sindv ax b dx= +
2
( )
( ).cosP x ax b dx+
∫
Đặt u = P(x) ,

( )
cosdv ax b dx= +
3
( ).
mx n
P x a dx
+
∫
Đặt u = P(x) ,
mx n
dv e dx
+
=
4
( ).log ( )
m
P x ax b dx+
∫
Đặt
log ( )
m
u ax b= +
,
( )dv P x dx=
5
.sin( )
mx n
a px q dx
+
+

∫
Đặt
sin( )u px q= +
,
mx n
dv a dx
+
=
6
.cos( )
mx n
a px q dx
+
+
∫
Đặt
cos( )u px q= +
,
mx n
dv a dx
+
=
Trường THPT BC Bố Trạch Tài liệu ôn thi tốt nghiệp môn Toán23
Bài tập: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1.
∫
xdxx sin.
2.
∫
xdxx cos

3.
∫
+ xdxx sin)5(
2
4.
∫
++ xdxxx cos)32(
2
5.
∫
xdxx 2sin
6.
∫
xdxx 2cos
7.
∫
dxex
x
.
8.
∫
xdxln
9.
∫
xdxxln

10.
dxx
∫
2

ln
11.
∫
x
xdxln
12.
∫
dxe
x
13.
∫
dx
x
x
2
cos
14.
∫
xdxxtg
2
15.
∫
dxxsin
16.
∫
+ dxx )1ln(
2
17.
∫
xdxe

x
cos.
18.
∫
dxex
x
2
3
19.
∫
+ dxxx )1ln(
2
20.
∫
xdx
x
2
21.
∫
xdxxlg
22.
∫
+ dxxx )1ln(2
23.
∫
+
dx
x
x
2

)1ln(
24.
∫
xdxx 2cos
2
B. TÍCH PHÂN
I. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
1. Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của
hàm số f(x) thì:

( ) ( ) ( ) ( )
b
a
a
f x dx F x F b F a
b
= = −
∫
( Công thức NewTon - Leiptnitz)
2. Các tính chất của tích phân:
• Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác định tại a thì :
0)( =
∫
a
a
dxxf
• Tính chất 2:

( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx= −
∫ ∫
• Tính chất 3: Nếu f(x) = c không đổi trên
[ ]
;a b
thì:
( )
b
a
cdx c b a= −
∫
• Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và
( ) 0f x ≥
thì:
( ) 0
b
a
f x dx ≥
∫
• Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và
[ ]

( ) ( ) x a;bf x g x≥ ∀ ∈

thì:
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx≥
∫ ∫
• Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và
( ) ( m,M laø hai haèng soá)m f x M≤ ≤
thì:
( ) ( ) ( )
b
a
m b a f x dx M b a− ≤ ≤ −
∫
• Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên
[ ]
;a b
thì:
Trường THPT BC Bố Trạch Tài liệu ôn thi tốt nghiệp môn Toán24
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫

• Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và k là một hằng số thì:
. ( ) . ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx=
∫ ∫
• Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và c là một hằng số thì:

= + < <
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx a c b
• Tính chất 10: Tích phân của hàm số trên
[ ]
;a b
cho trước không phụ thuộc vào biến
số, nghĩa là:
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx f t dt f u du= = =
∫ ∫ ∫

3. Bài tập tính tích phân bằng cách sử dụng định nghĩa và tính chất của tích phân
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1.
∫
−
++
1
1
2
)12( dxxx
2.
∫
−−
2
0
3
)
3
2
2( dxxx
3.
∫
−
−
2
2
)3( dxxx
4.
∫
−