Tài liệu ôn tập tốt nghiệp( Lưu hành nội bộ)

TRƯỜNG THPT. BC CHU VĂN AN
SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Đònh m để hàm số :
1) f(x) =
3
1
x
3
-
2
1
mx
2
– 2x + 1 đồng biến trong R
2) f(x) =
1
1
2
−
+−
x
mxx
tăng trong từng khoảng xác đònh của nó.
CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
Bài 1 : Đònh m để các hàm số sau đây có cực trò :
1/ y =
3
1
mx
3
– (m – 1)x

2
+ 3(m – 2)x +
3
1
2/y = x
3
+ 2(m + 3)x
2
– mx + 2
3/y =
1
2
222
+
−+
x
mxmx
4/y =
2
1
3
3
−
x
(sin
1.
4
3
)cos
2

+++
ααα
sìnxx
5/y =
4
3
2
−
++−
x
mxx
6/y =
1
2
−
+−
x
mmxx
Bài 2: Đònh m để hàm số đạt cực trò tại điểm x
0
1/y =
3
3
x
+ mx
2
+ 2(5m – 8)x + 1 đạt cực tiểu tại x
0
= 2
2/y = x

3
- 3mx
2
+ 3(m
2
- 1)x – (m
2
– 1) đạt cực đại tại x
0
= 1
3/y =
1
1)1(
2
−+
+−+
mx
xmx
đạt cực đại tại x
0
= 2
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
1/
2
f(x) x 4x 5= - +
trên đoạn
[ 2; 3]-
.
2/

6 4 2
9 1
y x 3x x
4 4
= - + +
trên đoạn
[ 1; 1]-
.
3/
2
f(x) x 5x 6= - + +
.
4/
3
y x 3x 2= - +
trên đoạn [–3; 2].
5/ y = x
3
- 3x
2
+ 6x – 2 trên
[ ]
1,1
−
6/ y = x + 2
x
trên
[ ]
4,0
7/ y =

1
1
+
−
x
x
trên
[ ]
3,0
8/ y =
1
1
2
2
++
+−
xx
xx
trên
[ ]
2,2
−
9/ y =
1
2
2
+−
+
xx
x

10/ y = 4cos2x + 3sin2x + 7
11/ y = 2 sin x + 4 cosx – 3

LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 1
ÔN TẬP TỐT NGHIỆP
12/ y =
1coscos
1
2
++
xx
13/ y =
x
2
sin2
3
+
14/
2
x 1
f(x)
x 1
+
=
+
.
KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ NHỮNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN
BÀI 1 : Cho hàm số : y = – x
3
+ 3x + 1 (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số đã cho.
2) Dựa vào đồ thò (C), biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x
3
– 3x + m = 0.
3) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C) song song với đường thẳng (d): y = –9x + 1.
BÀI 2 : Cho hàm số y = x
3
– (m + 2)x + m , m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) với giá trò m = 1.
2) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thò (C).
3) Biện luận theo k số giao điểm của đồ thò (C) với đường thẳng y = k.
4) Tìm m để phương trình : x
3
– 3x + 6 – 2
–m
có 3 nghiệm phân biệt.
5) Dựa vào đồ thò (C) tìm GTLN và GTNN của hàm số y = 1 – cos
2
xsinx – 2sinx.
BÀI 3 : Cho hàm số : y = –x
3
+ 3x – 2 có đồ thò (C).
1) Khảo sát hàm số.
2) Dựa vào đồ thò (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x
3
– 3x + m + 1 = 0
BÀI 4 : Cho hàm số : y = x
3
– 3mx
2

+ 3(2m – 1)x + 1 (C
m
).
1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m = 1.
2) Xác đònh m sao cho hàm số đồng biến trên tập xác đònh.
3) Xác đònh m sao cho hàm số có một cực đại và một cực tiểu.
BÀI 5 : Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 3mx + 3m + 4, có đồ thò (Cm).
1) Xác đònh m để hàm số có cực trò.
2) Xác đònh m để đồ thò của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
3) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m = 1.
BÀI 6 : Cho hàm số y = 3x
2
– x
3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2) Gọi I là điểm uốn của đồ thò (C) và A là điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 3. Viết phương
trình các tiếp tuyến của (C) tại I và A. Tìm tọa độ giao điểm B của hai tiếp tuyến này.
BÀI 7 : Cho hàm số : y = x
3
– (m + 3)x
2
+ mx + m + 5 (C
m
).
1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.

3) Giá trò nào của m thì trên đồ thò (C
m
) có 2 điểm đối xứng với nhau qua O.
BÀI 8 : Cho hàm số y = x
3
– 3x – 1 (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2) Dùng đồ thò (C), biện luận theo số m số nghiệm của phương trình : x
3
– 3x – 1 – m = 0
BÀI 9 : Cho hàm số : y = x
3
+ 3x
2
– 2
a) Khảo sát hàm số trên, đồ thò gọi là (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua tại điểm có hoành độ x = 2.
BÀI 10 : Cho hàm số y =
4
1
x
3
– 3x có đồ thò (C).
1) Khảo sát hàm số.
LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 2
TRƯỜNG THPT. BC CHU VĂN AN
2) Cho điểm M thuộc đồ thò (C) có hoành độ x = 2
3
. Viết phương trình tiếp tuyến của(C) tại
M .

BÀI 11 : Cho hàm số: y = –x
3
+ 3mx
2
+ 3(1 – m
2
)x + m
3
– m
2
(1) (m là tham số)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số (1) khi m = 1
2) Tìm k để phương trình : -x
3
+ 3x
2
+ k
3
– 3k
2
= 0 có ba nghiệm phân biệt.
3) Viết ph. trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò của đồ thò hàm số (1).
BÀI 12 : Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ m (1) (m là tham số)
1) Tìm m để đồ thò hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.
2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số (1) khi m = 2
BÀI 13 : Gọi (C

m
) là đồ thò của hàm số y =
3
1
x
2
m
x
3
1
23
+−
(m là tham số)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số khi m = 2.
2) Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có hoành độ bằng –1. Tìm m để tiếp tuyến của (C
m
) tại điểm M
song song với đường thẳng 5x – y = 0.
BÀI 14 : Cho hàm số y = –x
3
+ 3x
2
– 3 (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng các tiếp tuyến này vuông góc với đt y =
2x
9
1

+

BÀI 15 : Cho hàm số : y = (x – m)(x
2
– 2x – m – 1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số khi m = 1.
2) Tìm tất cả giá trò m sao cho hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ điểm cực đại x
CĐ
, hoành
độ điểm cực tiểu x
CT
thỏa : | x
CĐ
. x
CT
| = 1.
BÀI 18 : Cho hàm số : y = – x
3
+ 3x + 2 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số (1).
2) Tìm m để phương trình : x
3
– 2x + 2
m
– 6 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
B. HÀM TRÙNG PHƯƠNG y = ax
4
+ bx
2
+ c

( )
a 0¹
BÀI 1 : Cho hàm số : y = –
4
9
x2x
4
1
24
++
(C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số trên.
2) Vẽ và viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C) tại tiếp điểm có hoành độ
x = 1.
3) Tìm a để Parabol (P) : y = –x
2
+ a tiếp xúc (C). Viết phương trình các (P) đó và xác đònh các
tiếp điểm của chúng.
BÀI 2 : Cho hàm số y =
2
3
mxx
2
1
24
+−
có đồ thò (C).
1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m = 3.
2) Dựa vào đồ thò (C), hãy tìm k để phương trình
k

2
3
x3x
2
1
24
−+−
= 0 có 4 nghiệm phân
biệt.
BÀI 3 : Cho hàm số y = x
4
– 2x
2
+ 1 có đồ thò (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2) Dùng đồ thò (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
x
4
– 2x
2
+ 1 –m = 0.
3) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ; 1).
BÀI 4 : Cho hàm số y = (2 – x
2
)
2
có đồ thò (C).
1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số.

LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 3

ÔN TẬP TỐT NGHIỆP
2) Dựa vào đồ thò (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
x
4
– 4x
2
– 2m + 4 = 0 .
BÀI 5 : Cho hàm số : y = (m + 1)x
4
– 4mx
2
+ 2, đồ thò là (C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số khi m = 1.
2) Đònh m để (C
m
) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
BÀI 6 : Cho hàm số : y = x
4
+ (m – 1)x
2
– 3 (C
m
)
1) Khảo sát hàm số khi m = –1, gọi đồ thò là (C).
2) Đònh m để đường thẳng y = –4 cắt (C
m
) tại 4 điểm phân biệt.
BÀI 7 : Cho hàm số y = – x

4
+ 2x
2
+ 3 có đồ thò (C).
1) Khảo sát hàm số.
2) Dựa vào đồ thò (C), hãy xác đònh các giá trò m để pt x
4
– 2x
2
+ m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 8 : Cho hàm số: y = mx
4
+ (m
2
– 9)x
2
+ 10 (m là tham số)(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số (1) khi m = 1
2) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trò.
3. HÀM SỐ HỮU TỈ BẬC 1/1:
( )
ax b
y ad bc 0
cx d
+
= - ¹
+
BÀI 9 : Cho hàm số y =
1x
2x2

−
+
có đồ thò (C).
1) Khảo sát hàm số.
2) Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số đã cho khi –2 ≤ x ≤ 0.
BÀI 10 : Cho hàm số :
1x
1x
y
+
−
=
, có đồ thò là (C).
1) Khảo sát hàm số.
2) Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số đã cho khi 0 ≤ x ≤ 3.
4) Tìm các điểm trên (C) của hàm số có tọa độ là những số nguyên.
BÀI 10 : Cho hàm số
1x
2x
y
+
−−
=
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2) Biện luận theo m số giao điểm của (C) và đường thẳng d có phương trình : y = x + m.
3) Dựa vào đồ thò (C), biện luận theo m số giao điểm của đồ thò (C) và đường thẳng y = m.
4) Trong trường hợp (C) và d cắt nhau tại hai điểm M, N tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn
thẳng MN.
BÀI 11 : Cho hàm số : y =
x2

4
−

1) Khảo sát sự biến và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2) Dựa vào đồ thò (C), biện luận theo k số giao điểm của đồ thò (C) và đường thẳng y = k.
BÀI 12 : Cho hàm số :
4x
4
y
−
=
1) Khảo sát hàm số trên (đồ thò là (C) )
2) Viết p. trình tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ là 3.
BÀI 13 : Cho hàm số : y =
m2x
1mx
+
+
(C
m
)
1) Đònh m để hàm số đồng biến trong từng khoảng xác đònh của nó.
2) Khảo sát hàm số khi m = 1, gọi đồ thò là (C).
BÀI 17 : Cho hàm số : y =
1x
1x
−
+
(1), có đồ thò (C).
1) Khảo sát hàm số (1).

2) Xác đònh m để đường thẳng d : y = 2x + m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho các tiếp
tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.
LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 4
TRƯỜNG THPT. BC CHU VĂN AN
3) Tìm tất cả các điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường tiệm
cận của(C) ngắn nhất
BÀI 18 : Cho hàm số y =
1x
2x
+
−
(1), có đồ thò (C)
1) Khảo sát hàm số (1).
2) Chứng minh đường thẳng (d) : 2x + y + m = 0 luôn cắt đồ thò (C) tại hai điểm A, B phân biệt
thuộc (C). Đònh m để khoảng cách AB ngắn nhất.

LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 5
ÔN TẬP TỐT NGHIỆP
4. HÀM SỐ HỮU TỈ BẬC 2/1:
2
Ax Bx C
y
Dx E
+ +
=
+
(
E
AD 0,
D

-¹
không là nghiệm của tử số)
4.1. Miền xác đònh :
{ }
E
D \
D
= -¡
.
2
Ax Bx C c
y ax b
Dx E Dx E
+ +
= = + +
+ +
( a, b, c là các kết quả trong biểu thức Hoocne)
4.2. Đạo hàm
2
/
2
ADx 2AE.x (BE CD)
y
(Dx E)
+ + -
=
+
+ (1) có 2 nghiệm phân biệt thì hàm số có hai cực trò.
+ (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đơn điệu trên MXĐ.
4.3. Giới hạn và tiệm cận

+
E
x
D
E
lim y x
D
-®
= ¥ = -Þ
là tiệm cận đứng.
+
x
c
lim 0
Dx E
¥®
=
+
baxy
+=⇒
là tiệm cận xiên.
4.4. Bảng biến thiên và đồ thò tương ứng
AD > 0 và hàm số có hai cực trò
AD < 0 và hàm số có hai cực trò
AD > 0 và hàm số không có cực trò
AD < 0 và hàm số không có cực trò
4.5. BÀI TẬP
BÀI 1 : Cho hàm số : y =
2x
3x3x

2
+
++
có đồ thò (C).
LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 6
TRƯỜNG THPT. BC CHU VĂN AN
1) Khảo sát hàm số trên, từ đó suy ra đồ thò hàm số : y =
2x
3x3x
2
+
++
2) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C), biết rằng d vuông góc với đường thẳng d’ : 3y – x + 6
= 0.
3) Dùng đồ thò (C) để biện luận theo a số nghiệm của phương trình : x
2
+ (3 – a)x + 3 – 2a = 0.
BÀI 2 : Cho hàm số :
)1x(2
4xx
y
2
−
+−
=
, có đồ thò là (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số.
2) Tìm trên đồ thò (C) tất cả các điểm mà hoành độ và tung độ của chúng đều là số nguyên.
3) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A







10
21
;
5
13
4) Tìm tất cả các giá trò của m để tồn tại duy nhất một số thực x ∈ (–3 ; 1) là nghiệm của
phương trình : x
2
– (2m + 1)x + 2m + 4 = 0.
BÀI 3 : Cho hàm số
2x
3x2x
y
2
−
−−
=
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và 2 trục tọa độ.
3) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C) tại 2 giao điểm (C) cắt trục hoành.
BÀI 4: Cho hàm số
1x
3xx
y
2

+
−
=
1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số trên.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = –3x
+ 3
3) Biện luận theo tham số m số giao điểm của đồ thò (C) và đường thẳng (D) : y = –2x + m.
4) Tìm trên đồ thò (C) các điểm M cách đều 2 trục tọa độ.
BÀI 5 :của hàm số
1x
x
y
2
−
=
1) Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thò (C)
2) Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi (C), đường tiệm cận xiên của (C) và hai đường
thẳng có phương trình : x = –2, x = –1.
3) Tìm k để đường thẳng (d
1
) : y = kx + 1 cắt (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh phân biệt.
4) Tìm k để đường thẳng (d
2
) : y = kx + 1 cắt (C) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh.
BÀI 6 : Cho hàm số y =
1x
1m3x)4m(x
2
+
−+−−

(C
m
)
1) Chứng minh rằng (C
m
) luôn luôn đi qua 1 điểm cố đònh A mà ta phải xác đònh tọa độ của nó.
2) Đònh m để tiệm cận xiên của (C
m
) đi qua điểm B(1 ; 2).
3) Khảo sát hàm số khi m = 2. Gọi đồ thò là (C).
4) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), tiệm cận xiên của (C), trục tung và đường thẳng
có phương trình x = 1.
BÀI 7 : Cho hàm số y = –
)1x(2
x3x
2
−
+
1) Khảo sát hàm số và vẽ đồ thò (C).
2) Dựa vào đồ thò (C) hãy biện luận theo tham số k nghiệm của phương trình : x
2
+ (2k + 3)x –
2k = 0
3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A







−
2
1
;0

LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 7
ÔN TẬP TỐT NGHIỆP
BÀI 8 : Cho hàm số :
1
−
++−
=
x
1m2mxx
y
2
(C
m
)
1) Đònh m để hàm số có cực đại, cực tiểu và tung độ các điểm cực đại, cực tiểu cùng dấu.
2) Khảo sát hàm số trên với m = 1. (đồ thò là (C))
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò (C), đường thẳng y = 3 và hai đường thẳng x =
2, x = 3.
BÀI 9 :
1) Khảo sát và vẽ đồ thò (G) của hàm số :
1x
1
1x
2
1

y
−
+−=
2) Dựa vào đồ thò (G), hãy biện luận số nghiệm của phương trình :
m
1x
1
1x
2
1
=
−
+−
tùy theo
m.
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò (G), trục hoành, các đường thẳng x = 2, x = 4.
BÀI 10 :
1) Khảo sát hàm số:
2x
5x4x
y
2
−
−+−
=
2) Xác đònh m để đồ thò hàm số
2mx
5m4mx)4m(x
y
22

−+
−−+−−−
=
có các tiệm cận trùng với các
tiệm cận tương ứng của đồ thò hàm số khảo sát trên.
BÀI 11 : Cho hàm số:
)1x(2
3x3x
y
2
−
−+−
=
(1) (m là tham số)
1) Khảo sát hàm số (1).
2) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thò hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB = 1.
BÀI 12: Gọi (C
m
) là đồ thò của hàm số y = mx +
x
1
(m là tham số)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số khi m =
4
1
.
2) Tìm m để h/s có cực trò và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C
m
) đến tiệm cận xiên của (C
m

)
bằng
2
1
.
BÀI 13: Gọi (C
m
) là đồ thò của hàm số y =
1x
1mx)1m(x
2
+
++++
(m là tham số)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số khi m = 1.
2) Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thò (C
m
) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và
khoảng cách giữa hai điểm đó bằng
20
.
BÀI 14: Cho hàm số : y =
1x
4x4x
2
−
−+−
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số (1).
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), đường tiệm cận xiên của (C) và hai đt x = 2, x =

m (m > 2). Tìm m để diện tích này bằng 3.
Bài 15: Cho hàm số:
1x
mxmx
y
2
−
++
=
(1) (m là tham số)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số (1) khi m = –1.
2) Tìm m để đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm có hoành độ
dương.
Câu I : (2 điểm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số
)1(
2x
4x2x
y
2
−
+−
=
2) Tìm m để đường thẳng d
m
: y = mx + 2 – 2m cắt đồ thò của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt
LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 8
TRƯỜNG THPT. BC CHU VĂN AN
NGUYÊN HÀM
I. ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÝ VÀ TÍNH CHẤT

1. Đònh nghóa
a/ Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) nếu
x (a; b)" Ỵ
ta có
/
F (x) f(x)=
.
b/ Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] nếu
x (a; b)" Ỵ

ta có
/
F (x) f(x)=
và
/
/
F (a) f(a), F (b) f(b)
+ -
= =
.
Nhận xét:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì
F(x) C, C+ Ỵ ¡
cũng là nguyên hàm của f(x). Do
đó nếu f(x) có một nguyên hàm thì sẽ có vô số nguyên hàm (họ nguyên hàm) khác nhau hằng số C.
Ký hiệu:
f(x)dx F(x) C= +
ò
.
2. Tính chất

a/
( )
/
f(x)dx f(x)=
ò
b/
a.f(x)dx a. f(x)dx (a 0)= ¹
ò ò
c/
[ ]
f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx± = ±
ò ò ò
.
3. Đònh lý
Đònh lý 1
Mọi hàm số liên tục trên khoảng (a; b) (hoặc đoạn [a; b]) thì có nguyên hàm trên khoảng (hoặc
đoạn) đó.
Đònh lý 2
Nếu
u u(x)=
và
f(x)dx F(x) C= +
ò
thì
f(u)du F(u) C= +
ò
.
4. Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của hàm số cơ bản Nguyên hàm mở rộng
a.dx ax C, a= + Ỵ

ò
¡
/
au dx au C, a= + Ỵ
ò
¡
1
x
x dx C, 1
1
+a
a
= + -a¹
+a
ò
1
/
u
u u dx C, 1
1
+a
a
= + -a¹
+a
ò
dx
ln x C, x 0
x
= + ¹
ò

/
u dx
ln u C, u 0
u
= + ¹
ò
2
dx 1
C
x
x
= - +
ò
/
2
u dx 1
C
u
u
= - +
ò
dx
2 x C
x
= +
ò
/
u dx
2 u C
u

= +
ò
x x
e dx e C= +
ò
/ u u
u e dx e C= +
ò
x
x
a
a dx C
ln a
= +
ò
u
/ u
a
u a dx C
ln a
= +
ò
cos xdx sin x C= +
ò
/
u cos udx sin u C= +
ò
sin xdx cos x C= - +
ò
/

u sin udx cos u C= - +
ò

LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 9
ÔN TẬP TỐT NGHIỆP
2
1
dx t gx C
cos x
= +
ò
/
2
u
dx t gu C
cos u
= +
ò
2
1
dx cotgx C
sin x
= - +
ò
/
2
u
dx cotgu C
sin u
= - +

ò
Đặc biệt:
Nếu
f(x)dx F(x) C= +
ò
thì
1
f(ax b)dx F(ax b) C
a
+ = + +
ò
.
Các công thức thường gặp:
a/
1
(ax b)
1
(ax b) dx . C
a 1
+a
a
+
+ = +
+a
ò
b/
dx 1
. ln ax b C
ax b a
= + +

+
ò
c/
ax b ax b
1
e .e C
a
+ +
= +
ò
d/
1
cos(ax b)dx . sin(ax b) C
a
+ = + +
ò
e/
2
dx 1
.tg(ax b) C
a
cos (ax b)
= + +
+
ò
.
5. BÀI TẬP :
Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1/
5

f(x) (2x 3)= -
2/
f(x) sin x cos x=

3/
3
f(x) (sin 2x 1) cos 2x= -
4/
2
x
f(x)
x 1
=
+
5/
2
2x 3
f(x)
x 3x 1
-
=
- +
6/
2
x 2x 1
f(x) (x 1)5
+ -
= +

7/

ln x
f(x)
2x
=
8/
3
(ln x 3)
f(x)
2x
+
=

9/
2
f(x) sin(ax b) cos (ax b)= + +
10/
f(x) t gx=

11/
2 3
f(x) x x 1= +
12/
3 cos x
f(x) e sin x=

13/
2
2
f(x)
1 x

=
-
14/
2
5
f(x)
x 3x 2
=
- +
15/
f(x) sin 7x cos 5x cos x=
16/
2
17x
f(x)
10x 13x 3
=
+ -

17/
cos x 3 sin x
f(x)
sin x cos x
+
=
+
18/
3
2 cos x
f(x)

(sin x cos x)
=
+

19/
2 2
2
5 sin x 3cotg x
f(x)
cos x
-
=
20/
( )
2
x x
f(x) sin cos
2 2
= -

21/
( )
3
x 1
f(x)
x x
-
=
22/
( )

x
5 x
2
f(x) e 3
x e
= -

23/
2
4x 3
f(x)
2x 1
+
=
+
24/
2
3x
f(x)
3x 2
=
+

25/
2
1
f(x)
x cos (ln x)
=
26/

2 2
sin x cos x
f(x)
cos x sin x
=
-

Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau với điều kiện kèm theo:
LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 10
TRƯỜNG THPT. BC CHU VĂN AN
1/
x
x
e
f(x)
e 2
=
+
,
F(0) ln 3= -
2/
20
cos x
f(x)
sin x
=
,
( )
F 0
2

p
- =
3/
2 3
f(x) sin 2x cos 2x=
,
( )
F 0
2
p
=
4/
( )
2
2
f(x) 1
3x 1
= +
-
,
( )
2
F 0
3
=

5/
1x2x
1x3x3x
)x(f

2
23
++
−++
=
,
3
1
F(1)
=
TÍCH PHÂN
1. Đònh nghóa
Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng
( )
; a b
và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng đó, với
( )
a, b ; Ỵ a b
ta gọi hiệu
F(b) F(a)-
là tích phân từ a đến b của f(x).
Ký hiệu:
b
b
a
a
f(x)dx F(b) F(a) F(x)= - =
ò

(công thức Newton - Leibniz).

+ Hàm số f(x) được gọi là hàm dưới dấu tích phân.
+ f(x)dx là vi phân của mọi nguyên hàm của f(x).
+ a là cận dưới và b là cận trên của tích phân (a có thể lớn hơn hay bằng b).
+ x là biến số tích phân.
Nhận xét:
b b b
a a a
f(x)dx f(t)dt f(u)du ... F(b) F(a)= = = = -
ò ò ò
.
2. Tính chất
Cho hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng
( )
; a b
và
( )
a, b, c ; Ỵ a b
ta có
1/
a
a
f(x)dx 0=
ò
2/
b a
a b
f(x)dx f(x)dx= -
ò ò
3/
b b

a a
k.f(x)dx k f(x)dx k= " Ỵ
ò ò
¡
4/
b c b
a a c
f(x)dx f(x)dx f(x)dx= +
ò ò ò
5/
b b b
a a a
[f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx± = ±
ò ò ò
6/
[ ]
b
a
f(x) 0 x a; b f(x)dx 0"³ Ỵ Þ ³
ò

[ ]
b
a
f(x) 0 x a; b f(x)dx 0"£ Ỵ Þ £
ò
7/
[ ]
b b
a a

f(x) g(x) x a; b f(x)dx g(x)dx"³ Ỵ Þ ³
ò ò
8/
[ ]
b
a
m f(x) M x a; b m(b a) f(x)dx M(b a)" - -£ £ Ỵ Þ £ £
ò

LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 11
ÔN TẬP TỐT NGHIỆP
9/ Nếu t biến thiên trên đoạn [a; b] thì
t
a
G(t) f(x)dx=
ò
là một nguyên hàm của
f(t)
thỏa
G(a) = 0
.
3. Đònh lý
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hàm số x = u(t) thỏa các điều kiện:
1/ x = u(t) có
/
u (t)
liên tục trên đoạn
[ ]
; a b
2/ Hàm số hợp f[u(t)] xác đònh trên đoạn

[ ]
; a b
3/
u( ) a, u( ) b= =a b
thì
b
/
a
f(x)dx f[u(t)].u (t)dt f(u)du
b b
a a
= =
ò ò ò
.
4. BÀI TẬP
DẠNG 1 : Tính tích phân bằng đònh nghóa
PP : Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân về dạng tổng hiếu các hàm số có nguyên hàm
Bài 1 : Tính các tích phân :
1/
dxxx )1(
2
1
0
+
∫
2/
dxxxx )1(
2
16
1

−
∫
3/
dx
x
xx
∫
+−
8
1
3
2
35
4/
dx
xx
x
∫
−
4
1
3
)1(
Bài 2 : Tính các tích phân :
1/
dx
x
∫
−
2

1
35
3
2/
dx
x
x
∫
−
−
2
1
21
12
3/
dx
x
xx
∫
−
+−
5
4
2
3
52
4/
dx
xx
x

∫
+−
−
5
4
2
23
32
5/
dx
xx
∫
+−
5
4
2
23
1
6/
dx
xx
x
∫
+−
−
4
3
2
23
3

7/
dx
xx
∫
+−
5
4
2
96
3
8/
dx
xx
x
∫
+−
−
5
4
2
96
12
9/
dx
x
x
2
2
1
3

1
∫






−
+
10/
dx
x
x
∫
+
1
0
2
3
1
Bài 3 : Tính các tích phân :
1/
∫
2
0
cos3cos
π
xdxx
2/

∫
2
0
sin2sin
π
xdxx
3/
∫
2
0
3sincos
π
xdxx
4/
∫
2
0
5cos2sin
π
xdxx
5/
∫
2
0
4
cos
π
xdx
6/
∫

3
6
22
cossin
1
π
π
dx
xx
7/
∫
3
6
22
cossin
2cos
π
π
dx
xx
x
8/
dx
x
e
e
x
x
)
cos

3(
4
0
2
∫
−
+
π
LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 12
TRƯỜNG THPT. BC CHU VĂN AN
DẠNG 2 : Phương pháp đổi biến dạng 2
* p dụng cho những tích phân có dạng
∫
b
a
dxxuxuf )(')].([
( trong đó u(x) là hàm số biến
x)
*Phương pháp:
+ Đặt t = u(x)
⇒
dt = u’(x)dx
+ Đổi cận : Khi x = a
⇒
t = u(a), khi x = b
⇒
t= u(b)
+ Thay thế :
Khi đó
∫

b
a
dxxuxuf )(')].([
=
∫
)(
)(
)(
bu
au
dttf
*Chú ý : Thường đặt u là căn, mũ, mẫu, mập.
Bài 1 :Tính các tích phân :
1/
∫
+
8
3
1
dx
x
x
2/
∫
+
1
0
815
1 dxxx
3/

∫
+
1
0
1
dx
x
x
4/
∫
−
2ln
0
1dxe
x
5/
∫
+
2
1
2
1 xx
dx
6/
∫
−
2
3
21
2

1 xx
dx
Bài 2 : Tính các tích phân :
1/
xdxe
x
∫
+−
1
0
2
2
2/
xdxe
x
cos
2
0
sin21
∫
+
π
3/
dxee
xe
x
∫
1
0
4/

∫
e
x
x
dxe
1
ln
5/
dx
x
e
tgx
∫
2
0
2
cos
π
6/
dx
x
e
tgx
∫
2
0
2
cos
π
Bài 3 :Tính các tích phân :

1/
dx
x
x
∫
+
2
0
cos21
sin
π
2/
dx
xx
e
e
∫
2
ln
1
3/
∫
1
0
sin dxee
xx
4/
∫
−
+

1
0
dx
ee
e
xx
x
5/
∫
+
27
1
3
)1(
dx
xx
dx
6/
∫
π
0
4
cos xdx
7/
∫
−
−−
1
1
2

)1112( dxxx
8/
∫
2
6
3
sin
cos
π
x
dx
x
x
9/
∫
−
2ln2
2ln
1
x
e
dx
10/
∫
+
2
0
33
3
cossin

sin
π
dx
xx
x
11/
∫
+
dx
xx
x
33
3
cossin
cos
12/
∫
−
+
2ln
0
xx
ee
dx
DẠNG 3 : Phương pháp tích phân từng phần
* p dụng cho những tích phân có dạng
∫
b
a
dxxvxu )(').(

( trong đó u(x), v’(x) là những
hàm số biến x)
*Phương pháp:

LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 13
ÔN TẬP TỐT NGHIỆP
+ Đặt



=
=
dxxvdv
xuu
)('
)(
ta có



=
=
)(
)('
xvv
dxxudu
Khi đó
∫
b
a

dxxvxu )(').(
=
b
a
xvxu )()(
-
∫
b
a
dxxvxu )().('
*Chú ý : - Đặt u theo thứ tự ưu tiên : Logarit(lôcNêpe), đa thức, …...
- Sau khi đặt u, toàn bộ phần còn lại là dv
Bài tập : Tính các tích phân sau :
1/
∫
2
0
cos
π
xdxe
x
2/
∫
2
4
2
sin
π
π
dx

x
x
3/
∫
π
0
2
cos
sin
dx
x
xx
4/
∫
+
1
0
2
)1ln( dxxx
5/
∫
e
dxx
0
2
)(ln
6/
∫
+
+

2
6
cos1
sin
π
π
dx
x
xx
7/
∫
2
0
2
sin
π
xdxx
8/
∫
−
e
dxx
1
2
)ln1(
9/
∫
e
e
dxx

1
ln
10/
∫
2
0
sin
π
xdxe
x
11/
∫
+
1
0
)1ln( dxxx
12/
dx
x
x
e
e
∫






−

2
ln
1
ln
1
2
DẠNG 3 : Phương pháp đổi biến dạng 1
* p dụng cho những tích phân có chứa các biểu thức
22
xa
−
,
22
1
xa
+
mà không thể tính
bằng các phương đã học .
*Phương pháp:
+ Đặt biến mới
-Dạng chứa
22
xa
−
: Đặt x = asint, t







−∈
2
;
2
ππ
- Dạng chứa
22
1
xa
+
: Đặt x = atgt, t






−∈
2
;
2
ππ
+ Các bước tiếp theo : đổi cận, thay thế tương tự như phương pháp đổi biến dạng 2
Bài tập : Tính các tích phân sau :
1/
∫
−
a
dxxax

0
222
( a > 0 ) 2/
dx
x
x
∫
−
1
22
2
2
1
3/
∫
−
e
xx
dx
1
2
ln4
4/
dxxx
∫
++−
1
0
2
32

5/
∫
+
3
0
2
9
1
dx
x
6/
∫
−
++
1
1
2
52
1
dx
xx
7/
∫
−
3
1
22
4
1
dx

xx
8/
∫
−
1
0
22
1 dxxx
9/
∫
+
2
1
22
4
1
dx
xx
BÀI TẬP ÔN TẬP
BÀI 1 : Chứng minh :
∫∫
π
π
=
2
4
e
1
sin
xdxln

x
dx
2
BÀI 2 : Tính các tích phân sau :
LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 14
TRÖÔØNG THPT. BC CHU VAÊN AN
1)
∫
−
1
0
22
dxx4x
2)
∫
9
1
x3
dxex
2
∫
2
0
5
sin)3
π
xdx
4)
dx
x

)xsin(ln
e
1
∫
5)
∫
e
1
2
xdxln)x - (x
6)
∫
+
2
0
3 3
2
1 x
dxx
7)
∫
−
2
1
2
9x
dx
∫
2
1

4
dx
x
lnx
8)
∫
e
e
1
dxlnx
9)
∫
4
1
ln
dx
x
x
10)
∫
π
+
2
0
dx)xcos1ln(.xsin
11)
∫
e
xdx
1

2
ln
12)
∫
4
0
3
π
xdxtg
13)
∫
++
e
xdxxx
1
2
ln).1(
14)
∫
−−
−
2
1
2
6
)1(5
dx
xx
x
15)

∫
2
0
sin
π
xdxe
x

16)
∫
π
2
0
x
xdxcos.e
17)
∫
+
4
0
2
cos
2sin21
π
dx
x
x
18)
∫
2

1
dx
5
x
lnx
19)
∫
4
0
2
sin
π
dxx
20)
∫
4
0
2
cos
π
x
xdx
21)
∫
−+
2
0
2
32 dxxx

22)
∫
−
π
0
2
sin1 dxx
23)
∫
−






+
−
2
1
2
dx
2x
1x
24)
∫
+
4
0
4

2
cos
sin32
π
dx
x
x
25)
∫
2
0
2
cos
π
xdxx
26)
∫
+
1
0
2
dx
1x
x
27)
∫
2
π
0
x.sin2xdx

28)
∫
+
1
0
2
dx1xx.
29)
∫
+
1
0
12x
dxx.e
30)
∫
+
1
0
2
dx1)n(x.x l
31)
∫
2
0
5
dxxin
π
s
32)

∫
e
1
dxlnx.x
33)
∫
2
0
2
dx)in(x.
π
sx
34)
∫
+
2
0
53
dxx)2cosx(cos
π
35)
∫
+
1
0
3
dx
)1(x
x
36)

∫
2
6
2
3
dx
sin
cos
π
π
x
x
37)
∫
+
+
1
0
2
dx
1
1
x
x
38)
( )
∫
π
−
6

0
dx6x2sin.x6sin
39)
∫
−
2
0
2
dxxx
40)
∫
+
32
5
2
4xx
dx
41)
∫
+
−
4
0
2
2sin1
sin21
π
dx
x
x

42)
∫
−+
2
1
11
dx
x
x
43)
( )
∫
π
+
2
0
2
xdxcosxsinx
44)
∫
+
=
1
0
2
dx
1x
x
I
45)

∫
2
π
0
x.sin2xdx

LÖU HAØNH NOÄI BOÄ – trang 15
ÔN TẬP TỐT NGHIỆP
46)
∫
+
1
0
2
dx1xx.
47)
∫
+
1
0
12x
dxx.e
48)
∫
+
1
0
2
dx1)n(x.x l
49)

∫
2
0
5
dxxin
π
s
50)
∫
e
1
dxlnx.x
51)
∫
2
0
2
dx)in(x.
π
sx
52)
∫
2
6
2
3
dx
sin
cos
π

π
x
x
53)
∫
+
+
1
0
2
dx
1
1
x
x
54)
dx
tgx
tgx
∫
−
+
3
6
1
1
π
π
BÀI 3: Chứng minh rằng :
1)

dxedxe
xx
∫∫
−−
≤
1
0
1
0
2
2)
8
cos34
14
2
0
2
ππ
π
≤
+
≤
∫
x
dx
3)
∫ ∫
≤
1
0

1
0
222
sinsin xdxxxdxx
4)
∫
<−<
1
0
2
27
4
)1(0 dxxx
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
BÀI 1 : Tính diện tích hình phẳng:
1) Giới hạn bởi (P): y = x
2
và 2 tiếp tuyến phát xuất từ A (0, -2).
2) Giới hạn bởi (C ) : y =
1
2
−
x
x
, đường tiệm cận xiên và 2 đường thẳng x = 2và x =
λ
(
λ
>
2)

Tính
λ
để diện tích S = 16 đvdt
3) Giới hạn bởi : y
2
= 4x và đường thẳng 2x – y – 4 = 0
4) Giới hạn bởi : y = x và y = sin
2
x + x (0
≤
x
≤
π
).
5) Giới hạn bởi y = x
3
– 3x
2
+ 2x ; y = 0
6) Giới hạn bởi y = x
2
– 2x ; y = x + 4
7) Giới hạn bởi : y
2
= 2x và 27 y
2
= 8 ( x- 1)
3

8) Giới hạn bởi các đường :

y = x +1 ; y = x
3
– 3x
2
+ x + 1.
9) Giới hạn bởi y = x
2
– 4x + 3 ; y = x – 1 ; x = 0 ; x = 2.
10) Giới hạn bởi y
2
= x ; y = – x + 2.
11)Giới hạn bởi
2x
12x10x2
y
2
+
−−
=
và đường thẳng y = 0
BÀI 2 : Cho Parapol (P). Hai điểm A, B di động trên Parapol sao cho AB = 2 .
a) Tìm quỹ tích trung điểm I của AB.
b) Xác đònh vò trí của A, B sao cho diện tích của phần mp giới hạn bởi parapol và cát tuyến AB đạt giá
trò lớn nhất.
BÀI 3: Tính thể tìch các hình tròn xoay do các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh trục
Ox
1) y = - x
2
+ 2x và y = 0
2) y = sin x, y = 0, x =

π
3) y = cosx , y = 0, x = 0, x =
2
π
4) y =
x
4
và y = 5 – x
5) y = lnx, y = 0, x = 1, x = 2
LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 16
TRƯỜNG THPT. BC CHU VĂN AN
6) Cho hàm số y = f(x) được xác đònh trên đoạn
[ ]
3,0
với : f(x) =





≤≤−
≤≤
≤≤
32,3
21,1
10,
xx
x
xx
a/ Vẽ đồ thò hàm số y = f (x)

b/ Tính diện tích của hình (H) chắn bởi đồ thò hàm số y = f(x) và trục Ox
c/ Tính thể tích khối tròn xoay gây nên bởi hình (H) khi quay quanh Ox
7) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình giới hạn bằng các đường sau đây quay xung
quanh trục Ox : y = x
2
– 1 và y = 0.
BÀI 4 : Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi cácđường : x = –1 ; x = 1 ;y = 0 ; y = x
2
– 2x
1) Tính diện tích hình (H).
2) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H)xoay xung quanh trục Ox.
BÀI 5 :
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
y = x +1 ; y = x
3
– 3x
2
+ x + 1.
2) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình giới hạn bằng các đường sau đây quay
xung quanh trục Ox : y = x
2
– 1 và y = 0.
BÀI 6 :
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = x
2
+ 2x +1 ; y = –
x
2
và x = –
2

1
2) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi các đường sau đây quay xung quanh trục Ox :
x = 0 ; x =
2
π
; y = 0 ; y =
xsinx
HÌNH HỌC PHẲNG
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
VẤN ĐỀ 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
1. Đònh nghóa
Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, gọi
i, j
r r
lần lượt là vectơ đơn vò của Ox, Oy ta có:
1)
0 0 0 0
a (x ; y ) a x .i y .j= = +Û
r r
r r
.
2)
0 0 0 0
M(x ; y ) OM (x ; y )=Û
uuur
.
2. Tính chất và công thức. Cho
1 2 1 2
a (a ; a ), b (b ; b )= =
r

r
, ta có:
1)
1 1 2 2
a b (a b ; a b )± = ± ±
r
r
. 2)
1 2
ka (ka ; ka ), k= Ỵ
r
¡
.
3)
1 2
1 2
1 2 2 1 1 2
1 2
1 2
a a
a a
a b a k.b 0 a b a b 0 (b 0 b )
b b
b b
= = - = =Û Û Û Û ¹ ¹
r r
r r
P
.
4)

1 1 2 2
a.b a b a b= +
r
r
.
5)
2
2 2 2 2
1 2 1 2
a a a a a a= + = +Þ
r r
.
6)
· ·
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
a.b a b a b
a.b a b cos(a, b) cos(a, b)
a a b b
a b
+
= = =Þ
+ +
r
r
r r r r
r r r r
r
r

1 1 2 2
a b a b a b 0^ + =Þ Û
r
r
.
7)
( ) ( )
2 2
B A B A B A B A
AB (x x ; y y ) AB x x + y y= - - = - -Þ
uuur
.

LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 17
ÔN TẬP TỐT NGHIỆP
8) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k MA k.MB=Û
uuur
uuuur

( )
A B A B
x k.x y k.y
M ; .
1 k 1 k
- -
Þ
- -
9) Điểm I là trung điểm của đoạn AB thì I
( )

A B A B
x x y y
; .
2 2
+ +
10) Tọa độ trọng tâm G của
ABCD
là
( )
A B C A B C
x x x y y y
G ; .
3 3
+ + + +
VẤN ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
1. Phương trình đường thẳng
a) Phương trình tổng quát
Phương trình tổng quát của đường thẳng (d) có dạng
( )
2 2
Ax By C 0 A B 0+ + = + >
.
1)
a ( B; A)= -
r
hoặc
a (B; A)= -
r
là vectơ chỉ phương (VTCP) của (d).
2)

n (A; B)=
r
là vectơ pháp tuyến (VTPT) của (d).
3) (d) đi qua
0 0 0
M (x ; y )
và
n (A; B)=
r
thì (d):
0 0
pt(d) : A(x x ) B(y y ) 0- + - =
.
b) Phương trình tham số (ptts)
(d) đi qua
0 0 0
M (x ; y )
và có VTCP
1 2
a (a ; a )=
r
thì
0 1
0 2
x x a t
pt ts(d) : (t )
y y a t
= +
ì
ï

ï
Ỵ
í
= +
ï
ï
ỵ
¡
.
c) Phương trình chính tắc (ptct)
(d) đi qua
0 0 0
M (x ; y )
và có VTCP
1 2
a (a ; a )=
r
thì
0 0
1 2
x x y y
pt ct(d) :
a a
- -
=
.
Nếu a
1
= 0 (hoặc a
2

= 0) ta viết
0 0
2
x x y y
pt ct(d) :
0 a
- -
=
, với quy ước
0
x x 0.- =
d) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
A A
B A B A
x x y y
pt(AB) :
x x y y
- -
=
- -
hoặc
B B
B A B A
x x y y
pt(AB) :
x x y y
- -
=
- -
.

e) Phương trình đoạn chắn
Cho (d) đi qua
A(a; 0), B(0; b)

(a 0 b)¹ ¹
thì
x y
pt(d) : 1
a b
+ =
.
2. Một số tính chất
Cho hai đường thẳng
(d) : Ax By C 0+ + =
và
(d ') : A ' x B ' y C ' 0+ + =
.
a) Vò trí tương đối của hai đường thẳng
1) (d) cắt (d’)
A B
0 AB' A'B
A' B'
Û ¹ Û ¹
. Hoặc
A B
A ' B '
¹

( )
A ' 0 B '¹ ¹

.
2) (d) song song (d’)
A B B C
0, 0
B' C'
A' B'
=Û ¹
hoặc
C A
0
C' A'
¹
.
3) (d) trùng (d’)
A B B C C A
0
B' C'
A' B' C' A'
= = =Û
.
b) Chùm đường thẳng
Giả sử (d) cắt (d’) tại I, đường thẳng
( )D
đi qua I thì
( )D
thuộc chùm đường thẳng tâm I và
2 2
pt( ) : m(Ax By C) n(A ' x B ' y C ') 0 (m n 0)+ + + + + = + >D
.
c) Góc giữa hai đường thẳng

Gọi
, n, n'j
ur
r
là góc và VTPT của (d) và (d’), ta có:
2 2 2 2
n.n '
AA ' BB '
cos
A B A ' B '
n . n '
+
= =j
+ +
uur
r
uur
r
.
d) Khoảng cách từ
0 0 0
M (x ; y )
đến (d)
LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 18
TRƯỜNG THPT. BC CHU VĂN AN
0 0
0
2 2
Ax By C
d(M ; (d))

A B
+ +
=
+
.
e) Phương trình hai đường phân giác của các góc hợp bởi (d) và (d’)
2 2 2 2
Ax By C A ' x B ' y C '
A B A ' B '
+ + + +
= ±
+ +
.
3. Một số tính chất khác
Cho hai điểm
1 1 1 2 2 2
M (x ; y ), M (x ; y )
và đường thẳng (d): Ax + By + C = 0, ta có:
1)
1
M
hoặc
2
M
nằm trên (d)
1 1 2 2
(Ax By C)(Ax By C) 0+ + + + =Û
.
2)
1 2

M , M
nằm khác phía so với (d)
1 1 2 2
(Ax By C)(Ax By C) 0+ + + + <Û
.
3)
1 2
M , M
nằm cùng phía so với (d)
1 1 2 2
(Ax By C)(Ax By C) 0+ + + + >Û
.
VẤN ĐỀ 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
1. Phương trình đường tròn
Cho đường tròn (C) có tâm I(a; b), bán kính R.
a) Phương trình chính tắc (C): (x – a)
2
+ (y – b)
2
= R
2
.
b) Phương trình tổng quát (C): x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0,
2 2
R a b c= + -
.

2. Vò trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Cho (d): Ax + By + C = 0 và (C) tâm I bán kính R, ta có 3 vò trí tương đối sau đây:
1) (d) tiếp xúc (C)
Û
d(I; (d)) = R.
2) (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt
Û
d(I; (d)) < R.
3) (d) không cắt (C)
Û
d(I; (d)) > R.
3. Vò trí tương đối của hai đường tròn
Cho (C
1
) tâm I
1
bán kính R
1
và (C
2
) tâm I
2
bán kính R
2
, ta có 5 vò trí tương đối sau đây:
1) (C
1
) và (C
2
) ngoài nhau

Û
I
1
I
2
> R
1
+ R
2
.
2) (C
1
) tiếp xúc ngoài với (C
2
)
Û
I
1
I
2
= R
1
+ R
2
.
3) (C
1
) cắt (C
2
) tại hai điểm phân biệt

1 2 1 2 1 2
R R I I R R- < < +Û
.
4) (C
1
) tiếp xúc trong với (C
2
)
1 2 1 2
I I R R= -Û
.
5) (C
1
) và (C
2
) chứa nhau
1 2 1 2
I I R R< -Û
.
4. Phương tích. Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0 và điểm M
0
(x
0
; y
0
), vẽ cát tuyến M

0
AB
và tiếp tuyến M
0
M với (C) ta có phương tích của điểm M
0
đối với (C) là:
1) P
0
M / (C) 0 0
M A.M B=
uuuur
uuuur

2 2 2
0 0
M I R M M= - =
.
2) P
0
2 2
M / (C) 0 0 0 0
x y 2ax 2by c= + - - +
.
Nhận xét:
1) P
0
M / (C)
0=

( )
0
M CÛ Ỵ
.
2) P
0
M / (C)
0<
thì
0
M
nằm trong (C).
3) P
0
M / (C)
0>
thì
0
M
nằm ngoài (C).
5. Trục đẳng phương
Cho (C
1
): x
2
+ y
2
– 2a
1
x – 2b

1
y + c
1
= 0 và (C
2
): x
2
+ y
2
– 2a
2
x – 2b
2
y + c
2
= 0.
Phương trình trục đẳng phương của (C
1
) và (C
2
) là: x
2
+ y
2
– 2a
1
x – 2b
1
y + c
1

= x
2
+ y
2
– 2a
2
x – 2b
2
y + c
2
Û
2(a
1
– a
2
)x + 2(b
1
– b
2
)y – (c
1
– c
2
) = 0.
6. Tiếp tuyến tại điểm M
0
(x
0
; y
0

) thuộc (C)
a) Dạng chính tắc: (x – a)(x
0
– a) + (y – b)(y
0
– b) = R
2
.
b) Dạng tổng quát: x.x
0
+ y.y
0
– a(x + x
0
) – b(y + y
0
) + c = 0.

LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 19
ÔN TẬP TỐT NGHIỆP
VẤN ĐỀ 4. CÁC ĐƯỜNG CONIC
I. ELIP
1. Đònh nghóa
Cho hai điểm cố đònh F
1
, F
2
với F
1
F

2
= 2c và hằng số 2a (a > c > 0).
Tập (E) là một elip nếu
1 2
M (E) MF MF 2a+ =Ỵ Û
.
1) F
1
, F
2
là 2 tiêu điểm.
2) F
1
F
2
= 2c là tiêu cự.
3) A
1
(– a; 0), A
2
(a; 0), B
1
(0;–b), B
2
(0; b) là 4 đỉnh của elip.
2. Phương trình chính tắc
Cho elip (E) có hai tiêu điểm F
1
(–c; 0) và F
2

(c; 0)
nằm trên trục hoành thì (E) có phương trình chính
tắc là:
2 2
2 2
x y
(E) : 1
a b
+ =
.
Trong đó, b
2
= a
2
– c
2
và a > b > 0.
3. Bán kính qua tiêu điểm
Cho điểm M thuộc
2 2
2 2
x y
(E) : 1
a b
+ =
ta có:
1 M
c
MF a x
a

= +
,
2 M
c
MF a x
a
= -
.
4. Tâm sai:
2 2
c a b
e
a a
-
= =

( )
e 1<
.
5. Đường chuẩn của elip:
2 2
1 2
a a a a
( ) : x x , ( ) : x x
e c e c
= - = - = =D Û D Û
.
6. Tiếp tuyến với elip
a) Tiếp tuyến tại điểm M
0

(x
0
; y
0
)
Cho
2 2
0 0 0
2 2
x y
M (x ; y ) (E): 1
a b
+ =Ỵ
. Phương trình tiếp tuyến với (E) tại
0
M
là:
0 0
2 2
x x y y
1
a b
+ =
.
b) Điều kiện tiếp xúc
Cho đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 và elip
2 2
2 2
x y
(E): 1

a b
+ =
ta có:
(d) tiếp xúc (E)
Û
a
2
A
2
+ b
2
B
2
= C
2

(C 0)¹
.
II. HYPERPOL
1. Đònh nghóa
Cho hai điểm cố đònh F
1
, F
2
với F
1
F
2
= 2c và hằng số 2a (c > a > 0).
Tập (H) là một hyperpol nếu

1 2
M (H) MF MF 2a- =Ỵ Û
.
1) F
1
(– c; 0), F
2
(c; 0) là 2 tiêu điểm.
2) F
1
F
2
= 2c là tiêu cự.
3) A
1
(– a; 0), A
2
(a; 0) là 2 đỉnh thuộc trục thực. B
1
(0;–b), B
2
(0; b) là 2 đỉnh thuộc trục ảo.
LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 20