Đề tài nghiên cứu khoa học: Bài giảng điện tử môn Lý thuyết Galoa theo hướng tích cực hóa nhận thức người học

Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
Đề tài NCKH
"Bài giảng điện tử môn ’Lý thuyết Galoa’ theo
hướng tích cực hóa nhận thức người học"
Chủ nhiệm đề tài: Ths. Ngô Thị Ngoan
ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐHTN
Thành viên tham gia: TS. Nguyễn Văn Hoàng
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
Lời mở đầu
- Lý thuyết Galois là sự phiên dịch và kết nối của lý thuyết về đa
thức, lý thuyết trường và lý thuyết nhóm. Công thức nghiệm (chỉ
sử dụng các phép toán đại số trên các hệ số của đa thức) của đa
thức bậc hai đã được con người biết từ rất lâu. Đến giữa thế kỉ 16,
công thức nghiệm của đa thức bậc ba được hình thành, sau đó
khoảng ba trăm năm, dựa trên ý tưởng của Largrange và Cauchy,
Abel đã chứng minh không có công thức nghiệm của đa thức bậc
năm. Đến năm 1829, Abel đã đưa ra điều kiện đủ để một đa thức
với bậc tùy ý có công thức nghiệm. Ngay sau đó, năm 1831 Galois
phát minh ra sự kết nối giữa nhóm với mỗi đa thức, sử dụng các
tính chất của nhóm này, đưa ra điều kiện cần và đủ để một đa
thức có công thức nghiệm.
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois

Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
- Mục tiêu của môn học Lý thuyết Galois là tìm hiểu kiến thức để
thấy được sự kết nối đó và đến được Định lý Lớn của Galois chính
là điều kiện cần và đủ để một đa thức giải được bằng căn thức.
- Môn học Lý thuyết Galois là môn học rất hay, cần thiết và là
môn học khó. Nó đòi hỏi sinh viên nắm vững các kiến thức của
nhiều môn học: Đại số Đại cương, Đa thức, Lý thuyết nhóm, Lý
thuyết trường. Thời gian trên lớp quá ít cho việc giảng dạy và học
tập của thầy và trò.
- Vì vậy chúng tôi chọn đề tài thiết kế bài giảng điện tử cho môn
học này để giảm bớt áp lực về thời gian và kiến thức. Mong muốn
các em có thể học tốt môn học và thấy yêu thích nó, thấy được sự
đẹp đẽ của toán học trong mối quan hệ chặt chẽ giữa các lĩnh vực
của toán học.
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn
• Bài tập Chương 1
1.1 Mở rộng trường
Bổ đề 1.1 Cho F là trường và f(x) ∈ F[x] là đa thức bất khả

quy. Khi đó K = F[x]/(f(x)) là trường và x = x + (f(x)) là một
nghiệm của f(x). Hơn nữa ta có đơn cấu ϕ : F −→ K, do đó ta
có thể coi F là trường con của K.
Chứng minh - Đặt I = (f(x)). Vì f(x) bất khả quy nên
K = F [x]/I là vành giao hoán khác 0. Lấy g(x) + I ∈ K sao cho
g(x) /∈ I. Khi đó (g(x), f(x)) = 1. Suy ra tồn tại
q(x), p(x) ∈ F [x] sao cho 1 = q(x)g(x) + p(x)f(x). Từ đó
1 + I = q(x)g(x) + I = (q(x) + I)(g(x) + I). Chứng tỏ g(x) + I
khả nghịch trong K, do vậy K là trường. Ta thấy
ϕ : F −→ K, a −→ a + I là một đơn cấu. Đặt x = x + I ∈ K. Giả
sử f(x) =

n
i=0
a
i
x
i
. Khi đó f(x) =

n
i=0
a
i
x
i
=

n
i=0

(a
i
x
i
+ I)
= (

n
i=0
a
i
x
i
) + I = f (x) + I = 0. Suy ra x là nghiệm của f(x).
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn
• Bài tập Chương 1
Định nghĩa 1.2 Cho F là trường con của trường K. Khi đó quan
hệ F ⊆ K được gọi là một mở rộng trường, nó còn được kí hiệu
bởi K/F . Một dãy các mở rộng trường F
1
⊆ F
2

⊆ . . . ⊆ F
n
,
thường được gọi là một tháp các trường.
Chú ý 1.3 Nếu K/F là một mở rộng trường, thì K là một
F -không gian véctơ, trong đó phép nhân một phần tử của F với
một véctơ của K xác định bởi F × K −→ K, (a, x) −→ ax. Kí
hiệu [K : F ] = dim
F
K và gọi là bậc của mở rộng trường.
Định lý 1.4 Cho f(x) ∈ F[x] là đa thức bất khả quy, đặt
K = F [x]/(f (x)). Khi đó K/F là một mở rộng trường và
[K : F ] = deg(f(x)).
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn
• Bài tập Chương 1
Chứng minh Đặt d = deg(f(x)) và I = (f(x)). Khi đó
K = F [x]/I là trường và là F -không gian véctơ.Đặt
S = {1 + I, x + I, . . . , x
d−1
+ I}.
Ta sẽ chứng tỏ S là cơ sở của K.Lấy tùy ý g(x) ∈ F [x], khi đó từ
Định lý phép chia với dư, tồn tại q(x), r(x) ∈ F [x] sao cho

g(x) = f(x)q(x) + r(x), với
r(x) = a
0
+ a
1
x + . . . + a
d−1
x
d−1
∈ F [x]. Do đó
g(x) + I = r(x) + I = a
0
(1 + I) + a
1
(x + I) + . . . + a
d−1
(x
d−1
+ I).
Mặt khác, giả sử ∃b
0
, b
1
, . . . , b
d−1
∈ F sao cho
b
0
(1 + I) + b
1

(x + I) + . + b
d−1
(x
d−1
+ I) = 0, suy ra
b
0
+ b
1
x + . . . + b
d−1
x
d−1
chia hết cho f(x). Chứng tỏ
b
0
= b
1
= . . . = b
d−1
= 0. Vậy [K : F ] = deg(f(x)).
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn

• Bài tập Chương 1
Định nghĩa 1.5 Cho E/F là mở rộng trường và α
1
, . . . , α
n
∈ E.
Khi đó trường con bé nhất của E chứa F và α
1
, . . . , α
n
, kí hiệu là
F (α
1
, . . . , α
n
), và nó được gọi là mở rộng của F bằng cách ghép
thêm các phần tử α
1
, . . . , α
n
.
Nhận xét 1.6 i) F (α
1
, . . . , α
n
) là giao của mọi trường con của E
chứa F và α
1
, . . . , α
n

.
ii) Khi n = 1 và α = α
1
, ta gọi F (α)/F là mở rộng đơn.
iii) Mỗi phần tử của F (α
1
, . . . , α
n
) có dạng
f(α
1
, , α
n
)
g(α
1
, , α
n
)
, với
f(x
1
, , x
n
), g(x
1
, , x
n
) ∈ F [x
1

, . . . , x
n
] và g(α
1
, . . . , α
n
) = 0.
iv) Giả sử E/F là mở rộng trường và α ∈ E. Ta xét cấu trúc của
F (α)/F như sau.
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn
• Bài tập Chương 1
Trường hợp 1. α là phần tử đại số trên F .
Lấy f(x) ∈ F [x] −{0} là đa thức có bậc bé nhất nhận α là
nghiệm. Khi đó f(x) là đa thức bất khả quy trên F . Xét ánh xạ
δ : F[x] −→ F [α], g(x) −→ g(α), rõ ràng δ là toàn cấu và có
Ker δ = (f(x)). Do đó F [x]/(f(x))
∼
=
F [α], suy ra F (α)
∼
=
F [α].

Trường hợp này ta nói F (α)/F là mở rộng đơn đại số.Ví dụ:
Q(
√
2)
∼
=
Q[x]/(x
2
− 2).
Trường hợp 2. α là phần tử siêu việt trên F .
Ánh xạ δ : F[x] −→ F [α], g(x) −→ g(α) là toàn cấu, và có
Ker δ = {g(x) ∈ F [x] | g(α) = 0} = 0. Suy ra F [α]
∼
=
F [x]. Do đó
F (α)
∼
=
F (x) = {
g(x)
h(x)
| g(x), h(x) ∈ F[x], h(x) = 0}.
Trường hợp này ta nói F (α)/F là mở rộng đơn siêu việt.Ví dụ:
Q(π)
∼
=
Q(x).
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường

Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn
• Bài tập Chương 1
Định nghĩa 1.7 Cho E/F là mở rộng trường. Khi đó
- E/F được gọi là mở rộng hữu hạn nếu [E : F ] < ∞.
- E/F được gọi là mở rộng đại số nếu mọi phần tử của E đều là
phần tử đại số trên F .
Bổ đề 1.8Cho E/K và K/F là các mở rộng trường. Khi đó
[E : F ] = [E : K][K : F ]. Do đó E/F là mở rộng hữu hạn nếu và
chỉ nếu cả E/K và K/F là các mở rộng hữu hạn.
Chứng minh Lấy {α
i
}
i∈I
là một cơ sở của K-không gian vectơ E,
và {β
j
}
j∈J
là một cơ sở của F -không gian vectơ K. Khi đó ta
chứng minh được rằng {α
i
β
j
}
(i,j)∈I×J

là một cơ sở của F -không
gian vectơ E.
Nhận xét 1.9 i) Mọi mở rộng hữu hạn E/F là mở rộng đại số.
Thật vậy, giả sử [E : F ] = n. Lấy α ∈ E. Khi đó 1, α, . . . , α
n
phụ
thuộc tuyến tính. Nên ∃a
0
, a
1
, . . . , a
n
∈ F không đồng thời bằng 0
để a
0
+ a
1
α + a
2
α
2
+ . . . + a
n
α
n
= 0. Suy ra α đại số trên F .
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois

Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn
• Bài tập Chương 1
ii) Mọi mở rộng đơn đại số là mở rộng hữu hạn. Thật vậy, giả sử
E = F (α) với α là phần tử đại số trên F . Lấy f(x) ∈ F[x] là đa
thức bất khả quy bậc n nhận α là nghiệm. Khi đó
E = F [x]/(f(x))
∼
=
{

n−1
i=0
a
i
α
i
| a
i
∈ F }
là F −không gian véc tơ chiều n.
iii) Giả sử E = F (α
1
, . . . , α
n
) với α
1

, . . . , α
2
là phần tử đại số trên
F . Khi đó E/F là mở rộng hữu hạn. Thật vậy, có tháp trường
F ⊆ F (α
1
) ⊆ F (α
1
, α
2
) ⊆ . . . ⊆ F(α
1
, . . . , α
n
) = E,
trong đó mỗi bước là một mở rộng đơn đại số. Vì thế E/F là mở
rộng hữu hạn.
iv) Nói chung, một mở rộng đại số không là mở rộng hữu hạn.
Chẳng hạn, lấy F = Q và E = Q(S). Trong đó
S = {
p
√
2 | p là số nguyên tố } ⊆ R và Q(S) là trường con nhỏ
nhất của R chứa Q và S. Khi đó, E/F là mở rộng đại số nhưng
không là mở rộng hữu hạn.
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức

Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn
• Bài tập Chương 1
Định nghĩa 1.10 i) Cho F là trường, và f(x) ∈ F[x] phân tích
được thành tích các nhân tử bất khả quy (không nhất thiết phân
biệt) f(x) = p
1
(x) . . . p
k
(x). Ta nói f(x) là đa thức tách được nếu
mỗi p
i
(x) không có nghiệm bội.
ii) Cho E/F là mở rộng trường, khi đó α ∈ E được gọi là phần tử
tách được nếu α siêu việt trên F hoặc đa thức tối tiểu của α (tức
là, đa thức bất khả quy, hệ tử cao nhất bằng 1 và nhận α là
nghiệm) là đa thức tách được.
iii) Mở rộng trường E/F được gọi là mở rộng tách được nếu mọi
phần tử của E đều là phần tử tách được.
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn

• Bài tập Chương 1
Định nghĩa 1.11 Trường F được gọi là trường hoàn thiện nếu mọi
đa thức khác hằng trong F [x] đều là đa thức tách được.
Nhận xét 1.12 Cho p(x) ∈ F [x] là đa thức bất khả quy. Nếu đạo
hàm p

(x) = 0 thì deg(p

(x)) < deg(p(x)). Do đó
(p(x), p

(x)) = 1, vì thế tồn tại u(x), v(x) ∈ F [x] sao cho
1 = u(x)p(x) + v(x)p

(x). Từ đó, nếu p(x) có nghiệm bội α trong
một mở rộng E ⊇ F thì α là một nghiệm chung của p(x) và p

(x);
do đó 1 = u(α)p(α) + v(α)p

(α) = 0 là điều mâu thuẫn. Vậy p(x)
không có nghiệm bội, tức là p(x) tách được.
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức

1.3 Cấu trúc trường hữu hạn
• Bài tập Chương 1
1.2 Trường phân rã của đa thức
Định nghĩa 1.13 Cho mở rộng trường E/F và f (x) ∈ F [x]. Ta
nói f(x) phân rã trong E nếu f(x) được viết thành tích những
nhân tử tuyến tính trong E[x]. Ta nói E là trường phân rã của
f(x) trên F nếu f (x) phân rã trong E và nó không phân rã trong
mọi trường con thực sự của E (khi đó thường nói gọn là E/F là
trường phân rã của f(x)).
Ví dụ: f(x) = x
2
− 2 ∈ Q[x]. Ta có f(x) = (x +
√
2)(x −
√
2)
trong R[x], do đó f(x) phân rã trong R. Ta cũng thấy f(x) phân
rã trong Q(
√
2). Hơn nữa, Q(
√
2) không có trường con trung gian
nào giữa Q và Q(
√
2) (vì nếu tồn tại K sao cho Q ⊆ K ⊆ Q(
√
2),
khi đó 2 = [Q(
√
2) : Q] = [Q(

√
2) : K][K : Q]; do đó [K : Q] = 1
hoặc [Q(
√
2) : K] = 1; suy ra K = Q(
√
2) hoặc K = Q). Vậy
Q(
√
2) là trường phân rã của f(x) trên Q.
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn
• Bài tập Chương 1
Định lý 1.14 Cho F là một trường và f(x) ∈ F[x] là đa thức có
bậc dương. Khi đó luôn tồn tại trường phân rã E của f(x) trên F .
Chứng minh Đặt n = deg(f(x)). Ta chứng minh bằng bằng quy
nạp theo n. Khi n = 1, ta chọn E = F . Giả sử n > 1. Ta lấy p(x)
là một ước bất khả quy của f(x), khi đó deg(p(x)) ≥ 1. Đặt
K = F [x]/(p(x)), ta thấy F ⊆ K là một mở rộng trường và p(x)
có một nghiệm α
1
∈ K. Trong K[x], đa thức f(x) viết được
f(x) = (x −α

1
)g(x), với deg(g(x)) = n −1. Áp dụng giả thiết
quy nạp đối với trường K và đa thức g(x), suy ra tồn tại trường
phân rã T của đa thức g(x) trên K. Do đó g(x) có n −1 nghiệm
α
2
, . . . , α
n
∈ T (đây cũng là các nghiệm của f(x)). Đặt
E = F (α
1
, . . . , α
n
), suy ra E là trường phân rã của f(x) trên F .
Ví dụ: Trường phân rã của f (x) = x
2
+ 1 trên Q là Q(i); trường
phân rã của f(x) = x
2
+ 1 trên R là C = R(i).
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn
• Bài tập Chương 1

Bổ đề 1.15 Cho ϕ : F → F , a −→ a là một đẳng cấu trường. Khi
đó ta có đẳng cấu vành cảm sinh ϕ
∗
: F [x] → F [x],
f(x) =

n
i=0
a
i
x
i
−→

n
i=0
a
i
x
i
= f(x). Giả sử p(x) ∈ F[x] là
đa thức bất khả quy trên F và gọi p(x) = ϕ
∗
(p(x)) ∈ F [x]. Gọi α
và α thứ tự là nghiệm của p(x) và p(x). Khi đó có duy nhất đẳng
cấu trường ϕ : F (α) → F(α) mở rộng ϕ và ϕ(α) = α.
Chứng minh Ta có nhận xét p(x) và p(x) cùng có bậc và cùng bất
khả quy. Từ giả thiết ta có các đẳng cấu
u : F (α)
∼

=
F [x]/(p(x)), f(α) −→ f(x) + (p(x));
ϕ
∗
: F [x]/(p(x)) → F [x]/(p(x)), f(x) + (p(x)) −→ f(x) + (p(x));
v : F(α)
∼
=
F [x]/(p(x)), f(α) −→ f(x) + (p(x)).
Đặt ϕ = v
−1
ϕ
∗
u, khi đó ϕ : F (α) → F(α) thỏa mãn Bổ đề. Giả
sử tồn tại ψ : F(α) → F (α) là mở rộng của ϕ và ψ(α) = α. Khi
đó, với mọi f(α) =

n
i=0
a
i
α
i
∈ F (α), ta có
ψ(f(α)) = f (α) = ϕ(f(α)). Vậy ψ = ϕ.
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức

Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn
• Bài tập Chương 1
Hệ quả 1.16 Cho p(x) là đa thức bất khả quy và α, β là hai
nghiệm của p(x). Khi đó tồn tại duy nhất một đẳng cấu trường
ϕ : F (α) → F (β) là mở rộng của id
F
và ϕ(α) = β.
Chứng minh Kết quả được suy ra từ Bổ đề 1.15, bằng cách chọn
F = F và ϕ = id
F
.
Định lý 1.17 Cho ϕ : F → F , a −→ a là một đẳng cấu trường.
Cho f(x) =

n
i=0
a
i
x
i
∈ F [x] và lấy f(x) =

n
i=0
a
i
x

i
∈ F [x] là
đa thức tương ứng với f(x) qua ϕ
∗
(với ϕ
∗
như trong Bổ đề 1.15).
Lấy E là trường phân rã của f(x) trên F, và lấy E là trường phân
rã của f(x) trên F . Khi đó
(i) Tồn tại một đẳng cấu trường
∼
ϕ : E → E là mở rộng của ϕ.
(ii) Nếu f(x) tách được thì có chính xác [E : F ] mở rộng
∼
ϕ của ϕ.
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn
• Bài tập Chương 1
Chứng minh Ta có nhận xét deg(f(x)) = deg(f(x)).
(i) Ta chứng minh bằng quy nạp theo [E : F ] ≥ 1. Nếu
[E : F ] = 1 thì E = F và f(x) phân rã trong F ; khi đó f(x) cũng
phân rã trong F ; vì thế E = F . Do đó ta lấy
∼

ϕ = ϕ. Giả sử
[E : F ] > 1, khi đó tồn tại nhân tử bất khả quy p(x) của f (x) có
deg(p(x)) ≥ 2. Gọi α ∈ E là một nghiệm của p(x). Lấy
p(x) = ϕ
∗
(p(x)) ∈ F [x] và gọi α ∈ E là một nghiệm của p(x). Từ
đó theo Bổ đề 1.15, tồn tại đẳng cấu ϕ : F (α) → F(α) là mở rộng
của ϕ và ϕ(α) = α. Lưu ý rằng E và E lần lượt cũng là trường
phân rã của f(x) trên F (α) và của f(x) trên F(α). Vì
[E : F ] = [E : F (α)][F (α) : F ] và [F (α) : F ] = deg(p(x)) ≥ 2,
nên [E : F (α)] < [E : F ]. Từ đó theo giả thiết quy nạp, tồn tại
đẳng cấu trường
∼
ϕ : E → E là mở rộng của ϕ, do đó
∼
ϕ là mở rộng
của ϕ.
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn
• Bài tập Chương 1
(ii) Ta cũng quy nạp theo [E : F ]. Nếu [E : F ] = 1 thì E = F và
chỉ có duy nhất mở rộng
∼

ϕ của ϕ, chính là ϕ. Giả sử [E : F ] > 1,
và p(x) là nhân tử bất khả quy của f(x) có deg(p(x)) = d ≥ 2.
Lấy α ∈ E là một nghiệm của p(x). Giả sử
∼
ϕ : E → E là một mở
rộng tùy ý của ϕ. Khi đó nếu đặt α =
∼
ϕ(α) thì α là một nghiệm
của p(x). Ta thấy
∼
ϕ(F (α)) = F (α), do đó
∼
ϕ|
F (α)
: F (α) → F (α)
là một đẳng cấu trường, và là một mở rộng của ϕ. Như vậy mỗi
đẳng cấu trường
∼
ϕ : E → E mà là một mở rộng tùy ý của ϕ, đều
thu được bằng cách mở rộng từ ϕ qua hai bước: thứ nhất ta mở
rộng từ ϕ lên đẳng cấu ϕ : F (α) → F(α) (trong đó α, α lần lượt
là nghiệm của p(x), p(x)), thứ hai ta mở rộng từ ϕ lên
∼
ϕ.
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois

1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn
• Bài tập Chương 1
- Vì f(x) tách được nên p(x) có d nghiệm phân biệt α. Khi đó, từ
Bổ đề 1.15, ta có d đẳng cấu trường ϕ : F (α) → F(α) là mở rộng
của ϕ, tương ứng với d nghiệm α. Lưu ý rằng E cũng là trường
phân rã của f(x) trên F (α), và E cũng là trường phân rã của
f(x) trên F (α); hơn nữa [E : F (α)] = [E : F ]/d < [E : F ]. Từ đó
và từ giả thiết quy nạp ta suy ra rằng ứng với mỗi một trong số d
đẳng cấu ϕ như trên có chính xác [E : F ]/d đẳng cấu trường
∼
ϕ : E → E là mở rộng của ϕ; do đó có tất cả là
d × ([E : F ]/d) = [E : F ] mở rộng của ϕ theo cách như trên.
Hệ quả 1.18 (Tính duy nhất của trường phân rã) Cho
f(x) ∈ F[x] là đa thức có bậc dương. Khi đó trường phân rã của
f(x) trên F là duy nhất sai khác một đẳng cấu giữ nguyên các
phần tử của F .
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn
• Bài tập Chương 1
Nhận xét 1.19 Từ chứng minh Định lý 1.14 và Hệ quả 1.18, ta
thấy: nếu f(x) ∈ F[x] có bậc n > 0 và có n nghiệm α

1
, . . . , α
n
thì
trường phân rã của f(x) trên F là E = F (α
1
, . . . , α
n
).
Ví dụ. Xét f(x) = x
3
− 2 ∈ Q[x]. Ta thấy f(x) có 3 nghiệm là
α, αε, αε
2
(với α =
3
√
2 ∈ R, và ε là một căn nguyên thủy bậc 3
của đơn vị.) Khi đó trường phân rã E của f(x) trên Q là
E = Q(α, αε, αε
2
). Rút gọn ta được
E = Q(α, ε).
Thật vậy, ta có α, α ∈ E, suy ra  = α
−1
(α) ∈ E.
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois

Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn
• Bài tập Chương 1
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn
Định nghĩa 1.20 Trường F được gọi là trường nguyên tố nếu nó
không có trường con nào ngoài bản thân nó.
Nhận xét 1.21 i) Cho F là trường nguyên tố. Khi đó chỉ có thể
xảy ra một trong hai trường hợp: nếu F có đặc số 0 thì F
∼
=
Q;
nếu F có đặc số p thì F
∼
=
Z
p
. Trường hợp F
∼
=
Z
p
ta thường kí
hiệu F
p
thay cho F .
ii) Cho E là một trường, đặt F là giao của mọi trường con của E,
khi đó F là một trường con nhỏ nhất của E, vì thế F là một

trường nguyên tố. Trong trường hợp này, ta còn nói F là trường
con nguyên tố của E. Như vậy, mọi trường đều chứa một trường
con nguyên tố.
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn
• Bài tập Chương 1
Hệ quả 1.22 (Cấu trúc trường hữu hạn) (i) Cho F là trường
hữu hạn có q phần tử. Khi đó tồn tại số nguyên tố p sao cho
q = p
n
với số tự nhiên n nào đó.
(ii) Với mỗi số nguyên tố p và số tự nhiên n = 0, tồn tại duy nhất
một trường hữu hạn có p
n
phần tử (sai khác một đẳng cấu
trường).
Chứng minh (i) Gọi p là đặc số của F , khi đó p là số nguyên tố.
Gọi F
p
là trường con nguyên tố của F , khi đó F là F
p
-không gian
véctơ hữu hạn chiều. Giả sử dim

F
p
(F ) = n < ∞, và lấy một cơ sở
của F là {e
1
, . . . , e
n
}. Khi đó mỗi phần tử của F biểu diễn duy
nhất dưới dạng x =

n
i=1
a
i
e
i
với a
1
, . . . , a
n
∈ F
p
. Từ đó ta được
|F | = |F
p
× . . . ×F
p
| (n lần). Do đó q = p
n
.

Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn
• Bài tập Chương 1
(ii) Sự tồn tại của trường có q = p
n
phần tử. Xét đa thức
f(x) = x
q
−x ∈ F
p
[x] với F
p
(
∼
=
Z
p
) là trường nguyên tố có đặc số
nguyên tố p. Gọi E là trường phân rã của f(x) trên F
p
. Đặt
K = {α ∈ E | f(α) = 0}. Ta thấy K là một trường con của E
(thật vậy, với mọi α, β ∈ K ta có (α − β)

q
= α
q
− β
q
= α −β,
(αβ)
q
= α
q
β
q
= αβ; do đó α −β, αβ ∈ K. Nếu α ∈ K
∗
thì
(α
−1
)
q
= (α
q
)
−1
= α
−1
; suy ra α
−1
∈ K. Ngoài ra, rõ ràng
1
q

= 1 nên 1 ∈ K). Hơn nữa, mọi a ∈ F
p
đều thỏa mãn a
p
= a,
do đó a
q
= a
p
n
= a; chứng tỏ F
p
⊆ K. Như vậy K là trường phân
rã của f(x) trên F
p
, trường này có q = p
n
phần tử (lưu ý rằng đa
thức f(x) không có nghiệm bội).
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn
• Bài tập Chương 1
Tính duy nhất của trường có q = p

n
phần tử. Giả sử F
q
là trường
có q = p
n
phần tử. Khi đó F
q
có đặc số là p (giả sử p
1
là đặc số
của F
q
thì theo (i) suy ra q = p
n

1
; do đó p
n
= p
n

1
, vì thế p
1
= p).
Vì F
∗
q
= F

q
\ {0} là nhóm với phép nhân nên α
q−1
= 1 với mọi
α ∈ F
∗
q
; do đó α
q
= α với mọi α ∈ F
q
. Chứng tỏ mọi phần tử của
F
q
đều là nghiệm của đa thức f(x) = x
q
− x ∈ F
p
[x] với F
p
là
trường nguyên tố của F
q
. Suy ra F
q
chính là trường phân rã của
f(x) trên F
p
. Điều đó khẳng định tính duy nhất của F
q

sai khác
một đẳng cấu trường (theo Hệ quả 1.18).
Định nghĩa 1.23 Một trường hữu hạn có q = p
n
phần tử được gọi
là trường Galoa cấp p
n
và thường kí hiệu là GF (p
n
) hoặc F
q
hoặc
H
q
.
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn
• Bài tập Chương 1
Bài tập Chương 1
1. Cho mở rộng trường E/F và α ∈ E là phần tử đại số trên F .
Gọi p(x) ∈ F [x] là đa thức tối tiểu của α. Giả sử deg(p(x) = n,
chứng tỏ rằng F (α)
∼

=
{

n−1
i=0
a
i
α
i
| a
i
∈ F, i = 0, . . . , n −1}.
2. Chứng minh rằng Q({
p
√
2 | p là số nguyên tố })/ Q là mở rộng
đại số nhưng không là mở rộng hữu hạn.
3. Chứng tỏ rằng đa thức f(x) có nghiệm bội nếu và chỉ nếu f(x)
và đạo hàm f

(x) có nghiệm chung.
4. Chứng minh rằng nếu trường F có đặc số 0 thì F là trường
hoàn hảo.
5. Chứng minh rằng nếu F là trường hữu hạn thì F là trường hoàn
hảo.
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois