Chương 1: Không gian tuyến tính R ppsx

Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính
CHƯƠNG I: KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH R
n
§1 Không gian tuyến tính
1.1 Khái niệm về không gian tuyến tính
Đn 1.1 Cho K là tập con của tập hợp các số phức C. Tập K được gọi là một
trường, nếu thỏa mãn các tiên dề sau đây:
(a) Nêu
α
,
β
là các phần tử thuộc K thì
α
+
β
và
αβ
cũng là những
phần tử thuộc K.
(b) Phần tử 0 và 1 đều là phần tử thuộc K
(c) Nếu
α∈
K thì -
α
cũng là phần tử thuộc K. Ngoài ra, nếu
α

≠
0
thì
α

-1
cũng là phần tử thuộc K (với a.
α
-
=1).
Ví dụ: Tập hợp các số thực R, tập hợp các số phức C và tập hợp các số hữu tỉ
Q là những trường. Trong khi đó tập hợp các số nguyên Z không phải là một
trường, vì với n ≠ 0, n
-1
= 1/n không phải là số nguyên.
Đn 1.2: Tập X
≠

∅
gồm các đối tượng nào đó được gọi là một không gian
tuyến tính trên trường K, nếu trên đó:
(I) Có qui tắc cho ứng với hai phần tử x, y bất kỳ thuộc X một phần
tử z cũng thuộc X được gọi là “tổng” của x và y, ký hiệu z = x +
y;
(II) Có qui tắc cho ứng với một phần tử
α

∈
K và một phần tử x
∈
X
một phần tử p cũng thuộc X gọi là tích giữa
α
với x, ký hiệu là p
=

α
x.
(III) Các qui tắc cho ở (I) và (II) phải thỏa mãn 8 tiên đề sau đây:
(1)
∀
x, y
∈
X: x + y = y + x (tính giao hoán)
(2)
∀
x, y, z
∈
X : (x+y) + z = x + (y+z) (tính kết hợp)
(3)
∃θ
(phần tử 0) sao cho
∀
x
∈
X :
θ
+ x = x +
θ
= x
(4)
∀
x
∈
X:
∃

x’ (phần tử đối) sao cho: x + x’ = x’ + x =
θ
(5)
∀
x
∈
X: 1x = x; (1
∈
K)
(6)
∀α∈
K,
∀
x, y
∈
X:
α
(x+y) =
α
x +
α
y
(7)
∀α
,
β

∈
K,
∀

x
∈
X: (
αβ
)x =
α
(
β
x)
(8)
∀α
,
β

∈
K,
∀
x
∈
X: (
α
+
β
)x =
α
x +
β
x
Chú ý: Trong không gian tuyến tính X:
1) Phần tử θ là duy nhất. Để cho tiện ta ký hiệu phần tử không θ là

0.
2) Người ta ký hiệu các qui tắc được định nghĩa trong (I) và (II) là
các phép cộng và nhân với một “vô hướng” trên trường K;
3) Ứng với một phần tử x bất kỳ cũng có duy nhất một phần tử đối
x’. Vì vậy phần tử này được ký hiệu là (-x);
Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
1
Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính
4) Từ đó phần tử tổng của x và phần tử đối (-y) của phần tử y được
gọi là “hiệu” giữa hai phần tử x và y. Tức là: x – y = x + (-y)
5) Nếu K = R thì X được gọi là không gian tuyến tính thực
1
; nếu K
= C, thì X là không gian tuyến tính phức.
Ở bài tập 1.1 bạn đọc sẽ chúng minh được rằng trong không gian tuyến tính
có các tính chất như sau:
a) ∀α∈K: α0 = 0
b) ∀x∈X: 0x = 0
c) ∀x∈X, ∀α∈K, α ≠ 0: αx = 0 ⇒ x = 0
d) ∀x∈X, ∀α∈K: α(-x) = -(αx)
e) ∀x∈X, ∀α∈K: (-α)x = -(αx)
Đặc biệt: (-1)x = -x
f) ∀x, y∈X, ∀α∈K: α (x -y) = αx - αy
g) ∀x∈X, ∀α, β∈K: (α - β)x = αx - βy
Ví dụ về không gian tuyến tính:
2
1) Không gian các vectơ tự do trên đường thẳng (trong mặt phẳng, trong
không gian) lần lượt là những không gian tuyến tính với phép cộng vectơ
và phép nhân một vectơ với một vô hướng và vecto 0 là phần tử 0. Vì
vậy các phần tử trong một không gian tuyến tính thường được gọi là các

vectơ và không gian tuyến tính còn được gọi là không gian vectơ.
2) Tập hợp các số thực cũng là không gian tuyến tính.
3) Ta xét tập hợp X gồm các bộ n số thực (x
1
, x
2
, …., x
n
), với x
i
∈R, i = 1,2,
…, n.
Ta định nghĩa phép cộng giữa x = (x
1
, x
2
, …., x
n
) và y = (y
1
, y
2
, …., y
n
)
như sau:
x + y = (x
1
+y
1

, x
2
+y
2
,…., x
n
+y
n
),
và phép nhân một vô hướng α∈R với một phần tử x = (x
1
, x
2
, …., x
n
):
αx = (αx
1
, αx
2
, …., αx
n
)
Với phép cộng và nhân như vậy và để ý rằng θ = 0 = (0. 0,….,0) và
–x = (-x
1
, -x
2
, …., -x
n

), dễ thấy rằng tập X là một không gian tuyến tính.
Người ta ký hiệu không gian này là R
n
.
1.2 Cơ sở, chiều của một không gian tuyến tính
Đn 1.3: Cho X là một không gian tuyến tính (thực hoặc phức), {x
1
, x
2
, …., x
k
}
là k vectơ thuộc X, k ∈ N. Các vectơ x
i
, i=1,2,…,k, được gọi là độc
lập tuyến tính nếu đẵng thức
1
Từ nay về sau, khi nói X là “không gian tuyến tính” thì đó là không gian tuyến tính thực.
2
Các ví dụ tiếp theo về không gian tuyến tính xin xem ở [ ]
Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
2
Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính
(1.1)
α
1
x
1
+
α

2
x
2
+….+
α
k
x
k
= 0
chỉ xãy ra khi
α
1
=
α
2
=… =
α
k
= 0.
Từ định nghĩa này suy ra, nếu tồn tại ít nhất một α
l
≠ 0, 1 ≤ l ≤ k để cho
đẵng thức (1.1) thỏa mãn, thì hệ các vectơ {x
1
, x
2
, …., x
k
} được gọi là phụ
thuộc tuyến tính.

Đn 1.4: Cho {x
1
, x
2
, …., x
k
} là hệ k vectơ thuộc không gian tuyến tính X, k
∈
N, và x
∈
X. Nếu tồn tại các vô hướng
α
i
(thực hoặc phức), i = 1,2,
…, k, sao cho
(1.2) x =
α
1
x
1
+
α
2
x
2
+….+
α
k
x
k

=
k
i i
i 1
x
=
α
∑
thì x được coi là được biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của k vectơ
{x
1
, x
2
, …., x
k
}.
Rõ ráng, hệ vectơ {x
1
, x
2
, …., x
k
} là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi
một trong số các vectơ ấy có thể được biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của
các vectơ còn lại.
Đn 1.5: Một hệ vectơ {x
1
, x
2
, …., x

k
} trong không gian tuyến tính X được gọi
là một cơ sở nếu :
i) chúng là hệ vectơ độc lập tuyến tính;
ii) bất kỳ một vectơ nào khác của X cũng có thể được biểu diễn
thành tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong hệ đó; tức là:
(1.3)
∀
x
∈
X:
∃

α
i
∈
K, i =1,2,…,k, k
∈
N: x =
k
i i
i 1
x
=
α
∑
Ứng với một cơ sở {x
1
, x
2

, …., x
k
} cho trước thì sự biểu diễn x ở (1.3) là
duy nhất. Khi ấy các vô hướng α
i
, i = 1,2,….k,được gọi là các toạ độ của x
theo cơ sở {x
1
, x
2
, …., x
k
}. Do đó có thể viết
x = (α
1
, α
2
,…, α
n
)
Ví dụ: Trong không gian R
n
, cho n bộ số thực đặc biệt e
1
= (1, 0,….,0), e
2
=
(0, 1, 0,…,0), …., e
n
= (0,0,…, 1). Dễ thấy rằng hệ {e

1
, e
2
,…, e
n
} là hệ độc
lập tuyến tính. Lấy x = (α
1
, α
2
,…, α
n
), là bộ gồm n số thực α
i
, i = 1,2,…,n.
Rõ ràng đẵng thức sau đây thỏa mãn:
(1.4) x = α
1
e
1
+ α
2
e
2
+….+ α
k
e
k
=
k

i i
i 1
e
=
α
∑
Vì vậy hệ {e
1
, e
2
,…, e
n
} là một cơ sở của R
n
và có thể coi các α
i
là toạ độ
của x theo cơ sở ấy.
Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
3
Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính
Đn 1.6: Trong không gian tuyến tính X một vectơ độc lập tuyến tính {x
1
, x
2
,
…., x
k
} gọi là hệ (vectơ) độc lập tuyến tính cực đại, nếu thêm vào hệ
đó bất kỳ một vectơ nào khác sẽ được hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính.

Rõ ràng theo Đn 1.5 thì mỗi cơ sở của X là một hệ độc lập tuyến tính cực
đại trong X.
Đn 1.7: Số vectơ độc lập tuyến tính cực đại có trong X được gọi là số chiều
của X, ký hiệu là dim X.
Nếu dim X < ∞, thì X gọi là không gian tuyến tính hữu hạn chiều.
Người ta chứng minh được những mệnh đề sau đây
3
:
• Nếu X có một cơ sở gồm m vectơ thì theo Đn 1.5 số vectơ độc lập tuyến
tính cực đại trong X đúng bằng m, tức là dim X = m.
• Ngược lại, nếu dim X = m thì bất kỳ một hệ gồm m vectơ độc lập tuyến
tính nào đó trong X đều là một cơ sở của X.
• Định lý bổ sung cơ sở: nếu dim X = m và {x
1
, x
2
, …., x
k
} là hệ gồm k
vectơ độc lập tuyến tính trong X với k < m thì bao giờ cũng tìm thấy (m-
k) vectơ x
i
∈ X, i = k+1, k+2,….m, sao cho hệ {x
1
, x
2
, …., x
k
, x
k+1

, x
k+2
,
…., x
m
} là hệ độc lập tuyến tính và do đó tạo nên một cơ sở của X.
Đlý 1.1: Cho X là không gian tuyến tính (thực hoặc phức), dim X = n, {f
1
, f
2
,
…., f
n
} là một cơ sở của X. Cho x
∈
X bất kỳ và (
α
1
,
α
2
,…,
α
n
) là tọa
độ của x theo cơ sở {f
1
, f
2
, …., f

n
}; tức là
(1.5) x =
n
i i
i 1
f
=
α
∑
Giả sử
α
k

≠
0, 1
≤
k
≤
n. Khi đó hệ {f
1
, f
2
, …., f
k-1
, x, f
k+1
,…, f
n
} cũng

tạo nên một cơ sở của X.
Chứng minh:
a) Giả sử ta có đẵng thức
(1.6) 0 =
n
i i k
i 1,i k
f x
= ≠
β +β
∑

Thay x bởi (1.5)
0 =
n n
i i k i i
i 1,i k i 1
f f
= ≠ =
β +β α
∑ ∑
(1.7) =
n
i k i i k k k
i 1,i k
( )f f
= ≠
β +β α +β α
∑
Do theo giả thiết các f

i
, i =1,2,…,n là một cơ sở, nên chúng độc lập tuyến
tính. Vì vậy từ (1.7) suy ra
3
SERGE LANG, Linear Algebra, Colombia University, New York
Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
4
Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính
i k i
k k
0, i 1,2, k 1,k 1, ,n
0
β +β α = = − +


β α =

Theo giả thiết α
k
≠ 0, nên từ đẵng thức thứ hai suy ra β
k
= 0. Do đó đẵng
thức thứ nhất kéo theo
(1.8) β
i
= 0 ∀i =1,2,…, n.
Như vậy, đẵng thức (1.6) đúng khi và chỉ khi có (1.8). Từ đây suy ra hệ {f
1
,
f

2
, …., f
k-1
, x, f
k+1
,…, f
n
} là hệ độc lập tuyến tính.
b) Lấy y là một vectơ thuộc X bất kỳ. Giả sử γ
i
, i =1,2, ,n là toạ độ của y
theo cơ sở {f
1
, f
2
, …., f
n
}; tức là
(1.9) y =
n
i i
i 1
f
=
γ
∑
=
n
i i k k
i 1,i k

f f
= ≠
γ + γ
∑

Từ (1.5) và do α
k
≠ 0 có thể biểu diễn f
k
theo các vectơ x và f
i
, i ≠ k như sau:
f
k
=
n
i
i
i 1,i k
k k
1
( )f x
= ≠
α
− +
α α
∑
Thay biểu thức này vào (1.9) rồi nhóm các số hạng lại, ta có biểu thức biểu
diễn y theo hệ các vectơ {f
1

, f
2
,…, f
k-1
, x, f
k+1
,…, f
n
}:
y =
n
i k
i k i
i 1,i k
k k
( )f x
= ≠
α γ
γ − γ +
α α
∑
Vì y bất kỳ nên điều này chứng tỏ hệ {f
1
, f
2
,…, f
k-1
, x, f
k+1
,…, f

n
} là một cơ sở
mới của X. Hệ này chỉ phân biệt với hệ cũ bởi một vectơ; đó là x thay cho f
k
.
Toạ độ của y theo cơ sở mới:
(1.10)
*
i
i i k
k
*
k
k
k
( ), i 1,2, ,k 1,k 1, ,n
α

γ = γ − γ = − +

α


γ

γ =

α

.ª

Ghi chú: Phép biến đổi toạ độ (1.10) gọi là phép biến đổi cơ sở hay phép
biến đổi trục xoay (pivot-transformation).
1.3 Không gian tuyến tính con
Đn 1.8: Cho X là không gian tuyến tính trên trường K, L là tập con của X; L
≠

∅
. Tập L được gọi là không gian (tuyến tính) con của X nếu bản
thân L là không gian tuyến tính với phép cộng và nhân vô hướng
được định nghĩa như trên X.
Hiển nhiên, giao của một họ bất kỳ các không gian con của X cũng là
một không gian con (của X). Cho A là tập con không rỗng của X. Bao giờ
cũng có một không gian con của X chứa A. Đó là không gian X Giao của tất
Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
5
Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính
cả các không gian con của X chứa A là không gian con nhỏ nhất của X chứa
A, ký hiệu liA, và được gọi là bao tuyến tính của A. Tức là
(1.11) liA =
L(A)
I
, L(A) là không gian con chứa A
Đlý 1.2: Tập L
⊆
X là không gian con của X khi và chỉ khi:
(1.12)
∀
x,y
∈
L,

∀α
,
β∈
K:
α
x +
β
y
∈
L
Chứng minh: Rõ ràng, nếu L là không gian tuyến tính trên trường K thì
(1.11) là hiễn nhiên. Ngược lại, nếu (1.11) thỏa mãn thì dễ dàng kiểm chứng
8 tiên đề ở phần 1.1. Đặc biệt, nếu α = β = 0 thi 0∈ L và khi β = 0, α = -1,
thì, cùng với x, (-x) ∈ L. Điều nay chứng tỏ L là không gian tuyến tính trên
trường K. Vậy L là không gian con của X. ª
Ví dụ về không gian con:
1) Tập L = {0} và L = X là những không gian con đặc biệt
2) Cho X = R
n
. Khi đó các không gian R, R
2
,…., R
n-1
là các không gian
con của R
n
.
3) Cho A là ma trận cấp (mxn). Ký hiệu r[A] là hạng của ma trận A.
Giả sử r[A] = m≤ n . Khi đó tập hợp các lời giải của hệ phương trình
tuyến tính Ax = 0 là không gian con (n-m) chiều của R

n
.
4) Không gian các ma trận thực có m hàng, n cột với phép cộng và
nhân ma trận thông thường; phần tử 0 là ma trận 0.
5) Không gian các đa thức có hệ số thực có bậc không quá n.
6) Không gian các hàm số thực, xác định và liên tục trên [a,b] (không
gian C
[a,b]
)với phép cộng và nhân với một vô hướng định nghĩa như
sau:
∀f, g∈ C
[a,b]
;∀x∈[a,b]: [f + g](x) = f(x) + g(x)
∀f∈ C
[a,b]
; ∀α∈R: [αf](x) = α.f(x)
1.4 Đa tạp tuyến tính:
Cho X là không gian tuyến tính trên trường K; a,b là hai phần tử khác
nhau của X.
Đn 1.9: Tập hợp
(1.13) D = {x∈X/ x = αa + βb, α + β = 1}
được gọi là đường thẳng đi qua a và b.
• Nếu trong (1.13) thêm điều kiện α ≥ 0, thì D là nửa đường thẳng
(tia) xuât phát từ b và đi qua a.
• Khi thêm vào (1.13) điều kiện β ≥ 0 thì D là nửa đường thẳng
(tia) xuât phát từ a và đi qua b.
Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
6
Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính
• Nếu đồng thời thêm cả hai điều kiện α ≥ 0 và β ≥ 0 thì D là

đoạn thẳng nối a với b.
Đn 1.10: Cho V là tập con của X, V
≠

∅
và có ít nhất hai phần tử phân biệt.
Nếu cùng với hai phần tử bất a, b bất kỳ thuộc V mà V chứa toàn
bộ đường thẳng đi qua hai phần tử ấy thì V được gọi là một đa tạp
tuyến tính (hoặc đa tạp aphin). Tức là:
(1.14) ∀a,b∈ V: D = {x∈X/ x = αa + βb, α + β = 1} ⊆ V ⇔ V là
aphin
Hay biểu diễn dưới dạng khác: V là đa tạp tuyến tính, nếu và chỉ nếu
(1.15) ∀α, β∈ K: αV + βV ⊆ V
Hiển nhiên bất kỳ không gian con nào cũng là một đa tạp tuyến tính và
giao của một họ bất kỳ các đa tạp tuyến tính, nếu khác trống, cũng là một đa
tạp tuyến tính. Cho A là tập con không rỗng của X. Bao giờ cũng có một đa
tạp tuyến tính chứa A. Đó là toàn bộ không gian X. Giao của tất cả các đa tạp
tuyến tính của X chứa A là đa tạp tuyến tính nhỏ nhất chứa A, ký hiệu là
affA và gọi là bao aphin của A. Tức là:
(1.16) affA = ∩ V(A), V(A) là đa tạp tuyến tính chứa A
Trong bài tập 1.2 bạn đọc sẽ chứng minh rằng, nếu V là đa tạp tuyến tính
trong X, thì
(1.17) ∀k∈N, ∀{x
1
, x
2
, …., x
k
} ⊆ V:
k k

i i i
i 1 i 1
x V, 1
= =
α ∈ α =
∑ ∑
Nếu ký hiệu
x =
k k
i i i
i 1 i 1
x , 1
= =
α α =
∑ ∑

là tổ hợp aphin gồm k phần của x thì tính chất này có thể được phát biểu như
sau: Nếu V là đa tạp tuyến tính thì bất kỳ tổ hợp aphin nào đó của các phần
tử của V đều chứa trong V.
Đlý 1.3: Cho X là không gian tuyến tính trên trường vô hướng K, V
⊆
X, V
≠
∅
và a
∈
V. Tập V là đa tạp tuyến tính khi và chỉ khi V có dạng:
(1.18) V = L + a = {x
∈
X/

∃
y
∈
L: x = y + a}
Trong đó L là không gian con của X.
Chứng minh: a) Giả sử V là đa tạp tuyến tinh. Từ (1.18), L = V – a = {x∈X/
∃ y∈V: x = y- a). Rõ ràng 0∈L, vì a∈V. Lấy x, y∈L, α,β∈K. Khi ấy theo
(1.18) sẽ tìm thấy x’, y’∈V để cho x = x’-a, y = y’-a. Ta có
Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
7
Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính
αx + βy = α(x’-a) + β(y’-a)
= αx’+ βy’ - (α + β)a
= αx’+ βy’+ [1 -(α + β)]a - a
Đặt z = αx’+ βy’+ [1 -(α + β)]a. Vì x’, y’, a∈V và α+β+ [1 -(α + β)]=1 nên
theo (1.17) (với k = 3) z ∈ V. Do đó αx + βy = z -a cũng thuộc L. Theo định
lý 1.2 thì L là không gian con.
b) Giả sử L là không gian con và V có dạng như (1.18). Lấy x, y∈ V,
α,β∈K, với α+β =1. Khi đó sẽ tồn tại x’, y’∈L để cho x = x’+ a, y = y’+ a.
Ta có:
αx + βy = α(x’+a) + β(y’+ a)
= (αx’+ βy’) + (α+β)a
= αx’+ βy’ + a
Đặt z = αx’+ βy’. Khi ấy z∈L, và do đó (αx + βy) ∈ V. Suy ra V là đa tạp
tuyến tinh. ª
Như vậy, theo (1.18), nếu V⊆X là một đa tạp tuyến tính và a∈V thì L(a)
với L(a) = V – a là một không gian con của X. Cho b là phần tử khác của V.
Khi ấy cũng theo định lý trên L(b) = V-b cũng là không gian con của X. Tuy
nhiên, trong bài tập 7 bạn đọc sẽ chứng minh rằng L(a) = L(b). Tức là, mỗi
đa tạp tuyến tính V sẽ tương ứng với duy nhất một không gian con L, xác

định bởi (1.8), trong đó a là một phần tử bất kỳ của V. Vì phép biến đổi (1.8)
là phép tịnh tiến song song, nên người ta gọi L là không gian con song song
với đa tạp tuyến tính V. Từ đây có thể định nghĩa thứ nguyên của một đa tạp
tuyến tính như sau:
dimV = dimL
Tức là, thứ nguyên của một đa tạp tuyến tính được định nghĩa là chiều của
không gian con song song với nó.
§2 Không gian Euclid, không gian định chuẩn,
không gian mêtric
2.1 Không gian Euclid
Đn 2.1: Không gian tuyến tính X được gọi là không gian Euclid (Ơcơlit)
nếu
1) có qui tắc cho ứng với hai phần tử x, y bất kỳ thuộc X một số
thực
α
, ký hiệu
α
=
〈
x,y
〉
, gọi là tích vô hướng giữa x và y;
2) Tích vô hướng xác định ở 1) phải thỏa mãn 4 tính chất sau đây:
i) ∀x, y∈X: 〈x,y〉 = 〈y,x〉
ii) ∀x, y, z∈X: 〈x+y,z〉 = 〈x,z〉 +〈y,z〉
iii) ∀x, y∈X, ∀α∈R: 〈αx,y〉 = α〈x,y〉
Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
8
Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính
iv) ∀x∈X, x ≠ 0: 〈x,x〉 > 0 và 〈x,x〉 = 0 ⇔ x = 0

Từ các tính chất trên, bạn đọc có thể chứng minh trong bài tập 8 các
tính chất tiếp theo như sau:
v) ∀x, y∈X, ∀α∈R: 〈x, αy〉 = α〈x,y〉
vi) ∀x, y, z∈X: 〈x,y+z〉 = 〈x,y〉 +〈x,z〉
vii) ∀x, y∈X:
x, y x,x y, y≤
Ví dụ về không gian Euclid:
1) Không gian các vectơ tự do là không gian Euclid với tích vô
hướng giữa hai vectơ
a
r
va
b
r
là tích vô hướng thông thường:
〈
a
r
,
b
r
〉 =
a
r
.
b
r
= 
a
r

.
b
r
.cos(
a
r
,
b
r
)
2) Không gian các hàm số một biến số thực liên tục trên đoạn [a,b],
C
[a,b]
, là không gian Euclide với tích vô hướng được định nghĩa như
sau:
〈f(t), g(t)〉 =
b
a
f (t).g(t)dt
∫
3) Không gian tuyến tính R
n
cũng là một không gian Euclid với tích
vô hướng giữa x = (x
1
, x
2
,…. x
n
) và y = (y

1
, y
2
,…, y
n
) được định
nghĩa theo một trong 2 cách sau đây:
a) 〈x,y〉 =
n
i i
i 1
x y
=
∑
4
b) 〈x,y〉 =
n n
ij i j
i 1 j 1
a x y
= =
∑∑
Trong đó A = ((a
ij
)) là ma trận vuông, đối xứng xác định dương (positive
definit); tức là m = n và
n n
ij i j
i 1 j 1
x 0, a x x 0

= =
∀ ≠ >
∑∑
.
2.2 Không gian định chuẩn
Đn 2.2 : Không gian (tuyến tính) X trên trường vô hướng K được gọi là
không gian (tuyến tính) định chuẩn, nếu trên đó có qui tắc cho ứng
với mỗi phần tử x
∈
X bất kỳ một số thực không âm gọi là chuẩn
4
Khi ấy tính chất vii) ở định nghĩa 2.1 trở thành Bất đẵng thức Bu-nhi-a-cốp-ski:
n n n
2 2
i i i i
i 1 i 1 i 1
x y ( x )( y )
= = =
≤
∑ ∑ ∑
Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
9
Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính
(hoặc độ dài) của x, ký hiệu là
x
, thỏa mãn các tính chất sau
đây:
i) ∀x∈X:
x
≥ 0 và

x
= 0
⇔
x = 0 (Tính không âm)
ii) ∀x∈X, ∀λ∈R:
xλ
= λ.
x
(Tính đồng nhất)
iii) ∀x, y ∈X:
x y x y+ ≤ +
(Bất đẵng thức tam giác)
Dễ thấy rằng không gian Euclid là một không gian định chuẩn với
chuẩn được định nghĩa như sau:
(2.1)
x
=
x,x
Chuẩn (2.1) được định nghĩa dựa vào tích vô hướng trong không gian
Euclide nên có tên là chuẩn Euclid. Không gian tuyến tính R
n
cũng là không
gian euclide nên cũng là không gian định chuẩn.
5
2.3 Không gian mêtric
Đn 2.2: Một tập hợp X được gọi là khả mêtric hay gọi đơn giản là không
gian mêtric, nếu có qui tắc cho ứng với hai phần tử x, y
∈
X bất kỳ
một số thực không âm gọi là khoảng cách (mêtric) giữa x và y, ký

hiệu là
ρ
(x,y), thỏa mãn các tính chất sau đây:
i)
∀
x, y
∈
X:
ρ
(x,y)
≥
0 và
ρ
(x,y) = 0 khi và chỉ khi x = y (Tính
không âm)
ii)
∀
x, y
∈
X:
ρ
(x,y) =
ρ
(y,x) (Tính đối xứng)
iii) ∀x, y, z ∈X: ρ(x,z) ≤ ρ(x,y) + ρ(y,z) (Bất đẵng thức tam
giác)
Dễ thấy rằng không gian định chuẩn X là không gian mêtric với
khoảng cách ρ(x,y) được định nghĩa như sau:
(2.2) ρ(x,y) =
x y−

5
Ngoài chuẩn euclide
x
=
x,x
=
n
2
i
i 1
x
=
∑
trong không gian R
n
người ta còn có thể định
nghĩa các chuẩn khác như sau:
a) Chuẩn max
1 2 n
x max{x , x , , x }
∞
=
b) Chuẩn trị tuyệt đối:
x
1
=
n
i
i 1
x

=
∑
c) Chuẩn tổng quát:
( )
1
n
p
p
i
p
i 1
x x
=
=
∑
, p ≥ 1
Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
10
Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính
Đặc biệt, vì R
n
, là không gian định chuẩn nên cũng là không gian mêtric với
khoảng cách
(2.3) ρ(x,y) =
x y−
=
n
2
i i
i 1

(x y )
=
−
∑
Trong đó x = (x
1
, x
2
,….,x
n
) và y = (y
1
, y
2
,….,y
n
). Mêtric (2.3) được tạo nên từ
chuẩn euclide nên được gọi là mêtric Euclid và ký hiệu là ρ
E
(.,.).
• Cho X là không gian mêtric, A là tập con của X, a∈X. Đại lượng
(2.4) ρ(a,A) =
x A
inf (a,x)
∈
ρ
gọi là khoảng cách từ a tới A. Rõ ràng, nếu a∈A, thì ρ = 0. Điều ngược
lại không phải lúc nào cũng đúng.
• Nếu B là một tập con khác của X thì khoảng cách từ A đến B là đại
lượng

(2.5) ρ(A,B) =
x A
y B
inf (x, y)
∈
∈
ρ
• Đường kính của tập A là đại lượng
(2.6) diamA =
x,y A
sup (x, y)
∈
ρ
• Tập A được gọi là bị chặn (giới nội) nếu tồn tại một số dương µ sao cho
diamA ≤ µ
hoặc cũng vậy
∀x, y ∈ X, ρ(x,y) ≤ µ
• Mọi tập hợp X gồm các phần tử nào đó, trong đó có xác định quan hệ
bằng nhau, đều có thể là không gian mêtric, nếu định nghĩa
0, x y
(x, y)
1, x y
=

ρ =

≠

§3 Tập mở, tập đóng, tập compac
3.1 Tập mở, tập đóng

Cho X là không gian mêtric với mêtric ρ(.,.).
Đn 3.1, Cho x
∈
X bất kỳ,
ε

>
0. Tập hợp
(3.1) S(x,
ε
) = {y
∈
X/
ρ
(x,y) <
ε
}
Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
11
Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính
được gọi là hình cầu tâm x bán kính ε
Hiển nhiên x∈ S(x, ε).
Đn 3.2. Một tập con V của X được gọi là một lân cận của x
∈
X, ký hiệu là
V(x) nếu nó chứa một hình cầu S(x,
ε
) với số
ε

>
0 nào đó.
Cho A là tập con của X, x ∈X. Giữa x và A có 3 vị trí tương đối như sau:
(3.1) Có một lân cận của x, V(x), nằm hoàn toàn trong A. Khi đó x được
gọi là điểm trong của A. Tập hợp tất cả các điểm trong của A được
ký hiệu là
o
A
. Hiển nhiên mọi điểm trong của A đều thuộc A. Tức
là
o
A
⊆A.
(3.2) Có một lân cận của x, V(x), nằm hoàn toàn trong phần bù của A
theo X, tức là nằm trong tập hợp
X
C A {y X,y A}= ∈ ∉
. Khi đó x
được gọi là điểm ngoài của A. Hiển nhiên mọi điểm ngoài của A
đều không thuộc A.
(3.3) Bất kỳ một lân cận nào của x cũng đều chứa điểm trong và điểm
ngoài của A khác x. Khi ấy x được gọi là điểm biên của A. Tập hợp
các điểm biên của A được ký hiệu là ∂A.
V(x) V(x) V(x)
x x
x

A A A
(3.1) (3.2) (3.3)
Hinh 1.1̀

Đn 3.3: Tập A ⊆ X được gọi là mở nếu mọi điểm thuộc A đều là điểm trong
của nó. Tức là A =
o
A
.
Tập A ⊆ X được gọi là đóng nếu mọi điểm không thuộc A đều là
điểm ngoài của nó. Tức là A =
o
A
∪ ∂A.
Tập trống ∅ và toàn bộ không gian X được coi là vừa mở vừa đóng.
Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
12
Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính
Từ định nghĩa trên đây dễ dàng thấy rằng tập A là mở khi và chỉ khi
phần bù của C
X
A là tập đóng. Trong Bài tập 13 bạn đọc sẽ chứng minh các
tính chất sau đây:
T1) Hình cầu S(x,
ε
) là mở, còn hình cầu
_________
S(x, ) {y X / (y,x) }ε = ∈ ρ ≤ ε
là đóng.
T2) Giao của hữu hạn hoặc hợp của một họ bất kỳ các tập mở là mở.
T3) Hợp của hữu hạn hoặc giao của một họ bất kỳ các tập đóng là
đóng.
Cho A là tập con không rỗng bất kỳ của X. Bao giờ cũng có một tập mở
bao hàm trong A, đó là tập các điểm trong

o
A
của A. Ta xét hợp của tất cả
các tập mở G(A) bao hàm trong A, ký hiệu intA = ∪G(A) và gọi là phần
trong của A. Theo tính chất T2 thì intA cũng là một tập mở và là tập mở lớn
nhất bao hàm trong A. Hiển nhiên A mở khi và chỉ khi A = intA và intA =
o
A
.
Mặt khác, bao giờ cũng có một tập đóng bao hàm A. Đó là toàn bộ
không gian X. Ta xét giao của tất cả các tập đóng F(A) bao hàm A, ký hiệu
A
= ∩ F(A). Theo tính chất T3 thì
A
là tập đóng. Rõ ràng đây là tập đóng
nhỏ nhất bao hàm A. Vì vậy người ta ký hiệu
A
là bao đóng của A. Hiển
nhiên A đóng khi và chỉ khi A =
A
.
3.2 Sự hội tụ trong không gian mêtric
Đn 3.4: Tập hợp A gòm các phần tử trong không gian mêtric X được gọi là
một dãy vô hạn, ký hiệu là
{ }
k
x
nếu tồn tại một song ánh từ các
phần tử của A lên tập hợp các số tự nhiên N.
Trong không gian mêtric X với mêtric ρ(.,.) dãy vô hạn

{ }
k
x
được gọi
là hội tu về x
0
, ký hiệu
k
k 0
x x
→∞
→

hay
k 0
k
lim x x
→∞
=
nếu
k
k 0
(x , x ) 0
→∞
ρ →
Điểm x
0
như vậy được gọi là giới hạn (hoặc điểm giới hạn) của
{ }
k

x
.
Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
13
Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính
Cho X= R
n
và lấy ρ = ρ
E
(x,y) =
n
2
i i
i 1
x y (x y )
=
− = −
∑
với x
i
, y
i
,
i =
___
1,n
, là các toạ độ của x, y theo một cơ sở nào đó. Khi ấy
k
k 0
x x

→∞
→
tương ứng với
k
k 0
(x , x ) 0
→∞
ρ →
, hay
n
k 0 2
k
k 0 i i
i 1
x x (x x ) 0
→∞
=
− = − →
∑
với
k 0
i i
x ,x
, i=1,2,…,n, là toạ độ của x
k
, x
0
, tương ứng. Điều này chỉ có thể
xãy ra khi
(3.5)

k 0
k
i i
x x
→∞
→
, i = 1,2,….,n
Như vậy, sự hội tụ trong không gian R
n
với mêtric Euclide là sự hội tụ theo
toạ độ dạng (3.5)
• Một dãy vô hạn
{ }
k
x
trong không gian mêtric X được gọi là dãy
Cauchy, nếu ∀ε >0 bất kỳ có thể tìm thấy ∃ k
0
∈N, sao cho ∀k,l > k
0
đều
có ρ(x
k
,x
l
) < ε . Rõ ràng mọi dãy hội tụ đều là một dãy Cauchy. Điều
ngược lại không phải lúc nào cũng đúng.
• Không gian mêtric, trong đó mọi dãy Cauchy đều hội tụ, được gọi là
không gian mêtric đủ. Vì trong R
n

mọi dãy Cauchy đều hội tụ nên nó là
một không gian mêtric đủ.
Đn 3.5: Một dãy vô hạn khác
{ }
l
k
x
được gọi là dãy con của
{ }
k
x
nếu
a)
{ }
l
k
x

⊆

{ }
k
x
b)
0 0 0 l 0
k N, l N : l l k k∀ ∈ ∃ ∈ ∀ > ⇒ >
Điểm a) trong Đn 3.5 nói rằng các phần tử của dãy con
{ }
l
k

x
là các
phần tử nằm trong dãy mẹ
{ }
k
x
; điểm b) yêu cầu thứ tự của các phần tử
trong dãy con
{ }
l
k
x
so với thứ tự của chúng trong dãy lớn
{ }
k
x
nếu bị thay
đổi thì chỉ có thể thay đổi với hữu hạn các phần tử mà thôi.
• Dễ thấy rằng, nếu
k
k 0
x x
→∞
→
và
{ }
l
k
x
là dãy con của dãy

{ }
k
x
thì
l
k
k 0
x x
→∞
→
Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
14
Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính
Tức là nếu dãy
{ }
k
x
hội tụ về x
0
thì mọi dãy con của nó cũng đều hội tụ về
duy nhất một điểm x
0
. Một dãy vô hạn có thể chứa nhiều dãy con hội tụ về
nhiều điểm khác nhau.
• Nếu
{ }
k
x
⊂ A và x
0

là giới hạn của
{ }
k
x
thì nó được gọi là điểm tụ của
A
3.3 Tập hợp compac
Đn 3.6: Một tập A trong không gian mêtric X là hoàn toàn giới nội (hoặc
tiền compac, hoặc compac có điều kiện) nếu
∀ε
> 0 có thể tìm
thấy hữu hạn các điểm a
1
, a
2
, , a
k
. k
∈
N, để cho
(3.6)
k
i
i 1
A S(a . )
=
⊆ ε
U
Tức là tập A được phủ bởi hữu hạn các hình cầu tâm a
i

bán kính ε. Khi đó
tập hợp
A
ε
= { a
1
, a
2
, , a
k
}
được gọi là lưới
ε
hữu hạn của A.
Ở bài tập 15 bạn đọc sẽ chứng minh rằng trong một không gian mêtric bất kỳ
một tập hợp hoàn toàn giới nội bao giờ cũng giới nội.
Đn 3.7: Tập V trong không gian mêtric X được gọi là compac nếu mỗi dãy
vô hạn trong V đều chứa một dãy con hội tụ về một điểm thuộc V.
Từ định nghĩa này ta thấy rằng một tập V là đóng khi và chỉ khi V chứa
toàn bộ các điểm tụ (giới hạn) của nó. Bài tập 16 cho thấy rằng một tập hợp
compac thì bao giờ cũng đóng và hoàn toàn giới nội. Mặt khác, một tập
hoàn toàn giới nội bao giờ cũng giới nội. Do vậy một tập compac trong
không gian mêtric bất kỳ là đóng và giới nội. Ngược lại, do một tập giới nội
trong không gian mêtric đủ thì hoàn toàn giới nội, nên một tập đóng và giới
nội trong không gian mêtric đủ là compac. Như vậy trong không gian mêtric
đủ R
n
tính compac có nghĩa là đóng và giới nội. Mặt khác, trong một không
gian định chuẩn bất kỳ, mọi tập đóng và giới nội đều compac.
6

Người ta cũng dễ dàng chứng minh được rằng, nếu A là compac thì
cũng là tiền compac. Tuy nhiên, điều ngược lại không phải lúc nào cũng
6
Cho t p A đóng và gi i n i. L y {xậ ớ ộ ấ
k
} là dãy vô h n b t k . Do {xạ ấ ỳ
k
} b ch n, nên t nị ặ ồ
t i m t dãy con {xạ ộ
kl
} h i t v xộ ụ ề
0
. Do A đóng nên x
0
∈A. V y A compac.ậ
Xem V.V. Voerodin: i s tuy n tính, NXB Mir 1983, Tr. 234. Đạ ố ế
Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
15
Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính
đúng. Ví dụ, trong R tập A = (0;1) với mêtric ρ(x,y) = x-ylà tập tiền
compac nhưng không compac.
§4 Tập hợp lồi
4.1 Khái niệm về tập lồi và các tính chất của tập lồi
Đn 4.1: Cho X là không gian mêtric bất kỳ; V là tập con không rỗng của X.
Tập V được gọi là lồi nếu với hai điểm x, y bất kỳ V chứa toàn bộ
đoạn thẳng nối hai điểm đó. Tức là:
(4.1)
x, y V, [0;1]: z x (1 )y V∀ ∈ ∀λ∈ = λ + −λ ∈
Hay λV + (1-λ)V ⊆ V, 0 ≤ λ ≤ 1
Ví dụ về tập lồi: x y

x y x y x
y
a) b) c) d)
Hình 1.2
Các tập a), b), c) là những tập lồi. Tập d) là không lồi
Các tính chất của tập lồi:
T1) Nếu V là lồi, x
i
, i =1, 2, 3, , k là k điểm thuộc V,
α
i
, i =1,2, , k, là k số
thực không âm sao cho
k
i
i 1
1
=
α =
∑
, thì điểm
(4.2) y =
k
i i
i 1
x
=
α
∑
∈

V,
trong đó k là số tự nhiên bất kỳ.

Ở (4,2) y được gọi là tổ hợp lồi của các điểm x
i
, i = 1,2, ,k, của V. Khi
ấy tính chất T1) có thể phát biểu thành định lý như sau: Nếu V là lồi thì V
cũng chứa toàn bộ các tổ hợp lồi của các điểm của nó.
T2) Giao của hữu hạn các tập lồi, nếu không rỗng, cũng là một tập lồi.
Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
16
Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính
T3) Cho A,B là tập con lồi của X, a
∈
X và
α∈
R. Khi đó các tập hợp sau đây
là lồi:
A + B = {z∈ X, z = x + y, x∈A, y∈B}
a + B = {z∈ X, z = a + y, y∈B}
A + a = {z∈ X, z = x + a, x∈A}
αA = {z∈ X, z = αx, x∈A}
T4) Nếu A là lồi thì phần trong và bao đóng của A cũng là lồi
Cho A là tập con không rỗng của không gian mêtric X. Bao giờ cũng có
một tập lồi chứa A. Đó là toàn bộ không gian X. Ta xét giao của tất cả các
tập con lồi của X mà chứa A. Theo tính chất T2) thì đây cũng là tập lồi và là
tập lồi nhỏ nhất chứa A. Người ta gọi nó là bao lồi của A và ký hiệu là
convA (hoặc coA). Tức là:
(4.3) convA =
∩

G(A)
Trong đó G(A) là lồi và chưa A. Hiễn nhiên khi A lồi thì convA = A.
Người ta định nghĩa thứ nguyên của một tập lồi A là thứ nguyên của bao
aphin affA. Tức là
dimA = dim(affA)
Như vậy, tập một điểm sẽ có dim = 0, đoạn thẳng, nửa đường thẳng, đường
thẳng là những tập có thứ nguyên 1, v.v
Đlí 4.1 (Carathéodory)
Nếu A là tập hợp chứa trong đa tạp aphin V với dimV = r thì mỗi
điểm của convA có thể biểu diễn thành tổ hợp lồi của không quá
(r+1) điểm thuộc A.
Chúng minh: Ta có A ⊆ V và dimV = r. Lấy y∈convA bất kỳ. Khi đó y có
dạng y =
k
i i
i 1
x
=
α
∑
, x
i
∈A, 0 ≤ α
i
, i =1, 2, ,k,
k
i
i 1
1
=

α =
∑
. Không giảm tổng
quát, giả sử α
i
> 0, i =1, 2, ,k.
a) Khi k ≤ (r+1) thì định lý đúng đối với y.
b) Giả sử k > (r+1). Khi đó, đặt L = V – x
k
. L là không gian con song
song với V nên theo giả thiết dimL = r. Do x
i
⊆ A, i =1,2, ,k, nên chúng
cũng là phần tử của V. Như vậy các vectơ x
i
– x
k
, i = 1,2, , (k-1), là (k-1)
phần tử thuộc không gian con L. Vì theo giả thiết (k-1) > r, nên (k-1) vectơ
này phải là hệ phụ thuộc tuyến tính. Suy ra, sẽ tồn tại (k-1) số thực β
i
, i
=1,2, ,(k-1) không đồng thởi bằng 0 để cho
0 =
k 1
i i k
i 1
(x x )
−
=

β −
∑
Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
17
Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính
Đặt β
k
= -
k 1
i
i 1
−
=
β
∑
⇒
k
i
i 1=
β
∑
= 0 và
k
i i
i 1
x
=
β
∑
= 0. Do phải có ít nhất một β

i
khác 0
và tổng của chúng bằng 0, nên phải có ít nhất một β
m
dương, 1 ≤ m ≤ k. Vậy
dặt
i
i
0
i
0
max
β >
β
µ = >
α
Không giảm tổng quát, giả sử µ = β
k
/α
k
. (Nếu không như vậy, chỉ cần thay
đổi cách đánh số thứ tư). Từ đẵng thức:
y = y + 0 =
k
i i
i 1
x
=
α
∑

-
k
i i
i 1
1
x
=
β
µ
∑
ta có
(4.4) y =
k 1
i i i
i 1
1
( )x
−
=
α − β
µ
∑
Đặt
'
i i i
1
α = α − β
µ
, i = 1,2, , (k-1). Khi đó
k 1

'
i
i 1
1
−
=
α =
∑
và
'
i
0α ≥
, i = 1,2, ,
(k-1). Như vậy theo (4.4) y đã được biểu diễn thành tổ hợp lồi của k-1 phần
tử thuộc A.
c) Nếu ở đây (k-1) ≤ (r+1) thì chứng minh dừng lại. Trong trường hợp
ngược lại, chứng minh sẽ được thực hiện như trong phần b). Qua mỗi bước
người ta sẽ bớt đi dược ít nhất một số hạng trong tổ hợp lồi xác định y. Do
đó sau một số hữu hạn lần thực hiện qui trình như phần b) sẽ có một số p,
sao cho y là tổ hợp lồi của (k-p) phần tử thuộc A với (k-p) ≤ (r+1). Định lý
được chứng minh xong. ª
Theo định lý này thì nếu A là tập hợp chứa trong một đường thẳng thì
mọi điểm của bao lồi của A có thể được biểu diễn thành tổ hợp lồi của không
quá 2 điểm thuộc A, vì dimA = 1. Tương tự, nếu A là tập hợp chứa trong mặt
phẳng thì mọi điểm của convA có thể biểu diễn thành tổ hợp lồi của không
quá 3 điểm thuộc A v.v
4.2 Nón lồi
Đn 4.2: Tập K’ trong không gian tuyến tính X được gọi là nón có mũi (đỉnh)
tại x
0

, nếu
(4.5)
' '
0 0
x K , 0: [x (x x )] K∀ ∈ ∀λ ≥ + λ − ∈
Rõ ràng các không gian con và các đa tạp tuyến tính đều là những nón có
đỉnh tại bất cứ điểm nào đó. Đó là những nón có vô số đỉnh. Khi x
0
= 0 ta nói
rằng K’là nón có đỉnh tại gốc (tọa độ). Mặt khác, nếu K’ là nón có đỉnh tại x
0
thì K với K = K’- x
0
, là nón có đỉnh tại gốc. Rõ ràng K đạt được từ K’ khi
tịnh tiến x
0
về gốc tọa độ. Phép tịnh tiến bảo toàn hình dạng vật lý của vật
Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
18
Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính
thể. Do đó có thể nghiên cứu K thay cho nghiên cứu K’. Vì vậy ta có định
nghĩa như sau:
Đn 4.3: Tập K trong không gian mêtric X gọi là nón có đỉhh tại gốc nếu
(4.6)
x K; 0 : x K∀ ∈ ∀λ ≥ λ ∈
Hay λK ⊆ K ∀λ ≥ 0
Ví dụ về nón trong R
2
:
x x

x
0
x
0
0

Nón có đỉnh tại x
0
Nón có đỉnh tại x
0


0
Nón có đỉnh tại gốc
Hình 1.3
Đn 4.4: Nón K là nón lồi nếu nó là tập lồi.
Từ đây ta có thể chứng minh định lý sau đây:
Đlí 4.2: Tập K trong không gian mêtric X là nón lồi khi và chỉ khi
i)
x K; 0 : x K∀ ∈ ∀λ ≥ λ ∈
ii)
x, y K : x y K∀ ∈ + ∈
(4.7)
Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
19
Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính
Hay, cũng vậy:
i) λK ⊆ K ∀λ ≥ 0
ii) K + K ⊆ K
Chúng minh: a) Điều kiện đủ: Giả sử có (4.7). Điều kiện i) cho thấy K là

một nón. Lấy α ∈[ 0;1] và x, y ∈ K bất kỳ; xét z = αx + (1-α)y. Do α ≥ 0 và
(1-α) ≥ 0, nên theo i) x’ = αx∈ K và y’ = (1-α)y∈ K. Từ đó theo ii) với z =
αx + (1-α)y = x’ + y’ ∈ K. Suy ra K là nón lồi.
b)Điều kiện cần: i) là hiển nhiên vì K là một nón. Lấy x, y ∈ K bất kỳ. Ta có:
x + y = 2[(1/2)x + (1/2)y] = 2z, với z = [(1/2)x + (1/2)y]. Vì K là tập lồi nên
z ∈ K. Do K là nón nên x + y = 2z ∈ K. ª
Cho A là tập con bất kỳ của X. Bao giờ cũng có một nón lồi chứa A. Đó
là toàn bộ không gian X. Khi đó hiễn nhiên K
A
= ∩K(A), với K(A) là nón lồi
chứa A, cũng là nón lồi và chứa A. Đó là nón lồi nhỏ nhất chứa A. Người ta
gọi đó là nón lồi sinh bởi A.
4.3 Định lý về nón đóng:
Đlí 4.3: Cho A là ma trận cấp (mxn). Nếu các cột của A là độc lập tuyến tính
thì phép biến đổi tuyến tính y = Ax sẽ biến một tập đóng X
⊆
R
n
thành một tập đóng Y
⊆
R
m
.
Chúng minh: Lấy dãy vô hạn {y
k
} ⊆ Y, tức y
k
= Ax
k
, k = 1, 2, , Giả sử y

k
→ y
0
. Do các cột của A độc lập tuyến tính nên ma trận A
T
A là không suy
biến
7
. Tức là tồn tại (A
T
A)
-1
. Từ {y
k
} ta có dãy vô hạn {x
k
} trong X với x
k
=
(A
T
A)
-1
(A
T
y
k
), k = 1, 2, Đặt x
0
= (A

T
A)
-1
(A
T
y
0
). Do

T 1 T T 1 T
k k 0 0
k k
lim x (A A) (A (lim y )) (A A) (A y ) x
− −
→∞ →∞
= = =
nên x
0
là điểm giới hạn của X. Do X đóng nên x
0
∈ X. Mặt khác từ định
nghĩa x
0
ta có A
T
y
0
= (A
T
A) x

0
= A
T
(Ax
0
). Hay A
T
(y
0
- Ax
0
) = 0. Do các cột
của A độc lập tuyến tính nên suy ra y
0
= Ax
0
. Điều này chứng tỏ y
0
∈ Y. Vì
{y
k
} là dãy vô hạn bất kỳ, nên theo chứng minh trên Y đã chứa mọi điểm
giới hạn của nó. Suy ra Y là tập đóng. ª
Định lý về nón đóng:
Đlí 4.4: Cho A là ma trận tùy ý cấp (mxn). Tập hợp
Y = {y∈ R
m
/ y = Ax, x∈ R
n
, x ≥ 0} (4.8)

là một nón lồi, đóng có đỉnh tại gốc (gọi là nón lồi sinh bởi các cột
của A).
7
Xem SERLANG
Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
20
Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính
Chứng minh: Dễ thấy rằng Y là nón lồi. Chỉ còn phải chứng tỏ Y là tập
đóng. Ký hiệu A
.j
là các cột của A, j = 1,2, ,n và A
(js)
là ma trận tạo bởi s cột
độc lập tuyến tính A
.jl
, l = 1, 2, , s. s ≤ k = r[A] ≤ min{m;n}. Để đơn giản
ký hiệu, giả sử n≤ m. Khi đó s ≤ n. Người ta có thể thành lập nhiều nhất là
s
k
k
C
s
 
=
 ÷
 
các ma trận như vậy (ứng với số hoán vị gồm s vectơ trong số n
vectơ cột của A). Ứng với mỗi ma trận như vậy ta thành lập tập hợp như
định nghĩa trong Đlí 4.3:
s

m
js . jl jl jl
l 1
Y {y R / y A x , x 0,l 1,2, ,s}
=
= ∈ = ≥ =
∑
= {y ∈ R
m
/ y = A
(js)
x
(js)
, x
(js)
≥ 0} (4.8)
Khi đó Y
js
⊆ Y
s
m
.j j j
j 1
{y R / y A x , x 0,l 1,2, ,n}
=
= ∈ = ≥ =
∑
. Do các A
.jl
, l

=1, 2, , s là các vectơ cột độc lập tuyến tính và tập hợp
{x
(js)
= (x
j1
, x
j2
, , x
js
)∈R
s
/ x
jl
≥ 0 , l = 1,2, ,s}
là nón đóng, nên, theo Đlí 4.3, Y
jl
là tập đóng. Cho s chạy từ 1 đến k ≤ n ta sẽ
có các tập con Y
js
của Y. Số tập con như vậy là hữu hạn, nhiều nhất bằng

k k
s k
k
s 1 s 1
k
C 2
s
= =
 

= =
 ÷
 
∑ ∑
Xét tập Y* =
k
js
js s 1
Y
=
UU
. Do các Y
js
là những nón đóng và đều là tập con của
Y và số tập con như vậy là hữu hạn nên Y* là tập đóng (hợp của hữu hạn các
tập đóng) và Y* ⊆ Y. Bây giờ lấy y bất kỳ, y∈ Y. Nếu y = 0, thì y∈Y
js
∀js. Do đó y∈Y*. Giả sử y≠ 0 và
n
.j j
j 1
y A x
=
=
∑
, x
j
≥ 0, j =1,2, ,n. Đặt I =
{j / x
j

> 0}. Vì y≠ 0, nên I ≠ ∅. Không giảm tổng quát, giả sử I = {1, 2, ,l}, l
≤ n. Khi đó
l
.j j
j 1
y A x
=
=
∑
. Nếu A
.j
là độc lập tuyến tính j∈I, thì y∈ Y
js
với js
nào đó. Do đó y∈Y*. Nếu các A
.j
là phụ thuộc tuyến tính thì có thể biến đổi
như phần chứng minh định lý Capathéodory dể biểu diễn y thành tổ hợp
tuyến tính của l-1 vectơ A
.j
. Nếu các vectơ này là độc lập tuyến tính thì kết
luận như trên y∈Y*. Trong trường hợp ngược lại thì biểu diễn y thành tổ hợp
tuyến tính của l-2 vectơ A
.j
v.v Sau một số hữu hạn t lần biến đổi ta sẽ biểu
diễn y thành tổ hợp tuyến tính của l-t vectơ độc lập tuyến tính A
.j
. Do đó
y∈Y
js

với js nào đó. Do vậy y∈Y*. Do y bất kỳ nên có thể kết luận Y* ⊇ Y.
Từ hai bao hàm thức này suy ra Y* = Y. Do vậy Y là nón lồi, đóng. ª
4.4 Các định lý tách
Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
21
Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính
4.4.1 Siêu phẳng
Đn 4.5: Cho X là không gian Euclide, c
≠
0, c
∈
X,
α∈
R. Tập hợp
H
α
= {x∈X / 〈c, x〉 = α} (4.9)
được gọi là một siêu phẳng trong X.
Dễ thấy rằng, siêu phẳng H
α
là một đa tạp tuyến tinh. Không gian con
song song với H
α
là tập hợp
L = H
0
= {x∈X / 〈c, x〉 = 0} (4.10)
Nếu dimX = n thì dimL = dim H
0
= (n –1). Vì vậy một siêu phẳng trong

không gian Euclide n-chiều là một đa tạp tuyến tính có thứ nguyên bằng (n-
1).
Siêu phẳng H
α
chia không gian X thành hai nửa không gian
H {x X / c,x } vaø H {x X / c,x }
+ −
α α
= ∈ ≥ α = ∈ ≤ α

(4.11)
Nếu X là không gian hữu hạn chiều thì mọi siêu phẳng đều là tập đóng. Các
nửa không gian trong (4.11) cũng đều là những tập lồi và đóng. Sau dây
chúng ta sẽ tìm dạng đại số của đa tạp tuyến tính trong R
n
.
Cho A là ma trận thực cấp (mxn). Gọi A
i.
, i = 1, 2, , m. là các vectơ
hàng của A. Giả sử hạng của ma trận A, r[A], bằng r. b là vectơ thuộc R
m
.
Đlí 4.5: Giả sử r[A] = r[A, b] = r. Khi đó tập hợp
V = {x∈R
n
/ Ax = b}
= { x∈R
n
/ 〈 A
i.

, x〉 = b
i
, i = 1, 2, , m} (4.12)
là đa tạp tuyến tính thứ nguyên (n-r).
Chứng minh: Vì theo giả rhiết r[A] = r[A, b] nên V ≠ ∅. Hệ (4.12) có hạng
bằng n-r nên không gian con L = {x∈R
n
/ Ax = 0} có chiều bằng n-r . Mặt
khác, dễ thấy rằng V = L + x
0
, với x
0
là một nghiệm riêng của hệ phương
trình tuyến tính không thuần nhất (4.12). Theo Đlí 1.3 thì V là đa tạp tuyến
tính và do đó dimV = dim L = (n-r). ª
Theo định lý này một đa tạp tuyến tính trong không gian Euclide R
n
thực
chất là tập hợp các lời giải của một hệ phương trình tuyến tính không thuần
nhất dạng Ax = b; không gian con song song với đa tạp tuyến tính này là tập
hợp các lời giải của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ax = 0 tương ứng.

4.4.2 Hình chiếu của một điểm lên một tập hợp
Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
22
Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính
Cho A là tập con khác trống của không gian tuyến tính định chuẩn X,
v∈X bất kỳ.
Đn 4.5: Điểm p = p(v)
∈

A (nếu có) với

x A
p v inf x v
∈
ρ = − = −
(4.13)
là hình chiếu của v lên A. Khi đó
ρ
được gọi là khoảng cách từ v
đến A.
Nếu v∈A thì đương nhiên p(v) = v và ρ = 0. Điều ngược lại không phải
lúc nào cũng đúng. Ví dụ, cho X = R và
x y x y− = −
và A = (0;1). Lấy v
= 1∉A. Nhưng ρ = 0.
Hình chiếu của một điểm lên một tập hợp cho trước có thể tồn tại hoặc
không tồn tại. Một điểm v có thể có nhiều hình chiếu lên một tập hợp A cho
trước. Vậy khi nào tồn tại hình chiếu của một điểm lên một tập hợp và khi
nào hình chiếu đó là duy nhất? Ta xét định lý sau đây.
Đlí 4.6: Cho A là tập con khác trống, lồi, đóng của không gian tuyến tính
định chuẩn X, v
∈
X bất kỳ. Khi đó hình chiếu của v lên A, p(v), tồn
tại duy nhất.
Chứng minh: Nếu v∈A thì p(v) = v. Định lý đúng. Ta xét trường hợp v∉A
Đặt
x A
inf x v 0
∈

ρ = − >
. Theo định nghĩa của infimum (cận dưới đúng) thì sẽ
tìm thấy trong A một dãy vô hạn {x
k
}, đê cho
k
k
lim x v
→∞
− = ρ
. Vì ρ < ∞ nên
dãy {x
k
} là bị chặn. Theo định lý Bolzano-Weierstrass
8
sẽ tìm thấy một dãy
con
{ }
l
k
x
hội tụ về một điểm, chẳng hạn x
0
, Do A đóng nên x
0
∈ A. Đặt p(v)
= x
0
. Khi đó
l

k
l
limx p(v)
→∞
=
hay
l
k
l
lim x p(v) 0
→∞
− =
. Ta có

l l
k k
p(v) v p(v) x x v , l.− ≤ − + − ∀
Cho l→ ∞ thì
l l
k k
x v , x p(v) 0− → ρ − →
. Suy ra
p(v) v− ≤ ρ
. Mặt
khác, do p(v) ∈A nên
x A
p(v) v inf x v .
∈
− ≥ − = ρ
Suy ra

x A
p(v) v inf p(v) v .
∈
− = ρ = −
Do đó x
0
= p(v) là hình chiếu của
p(v) lên A.
Giả sử có p
1
, p
2
đều là hình chiếu của v lên A. Tức là p
1
∈ A, p
2
∈ A và
8
SERLANG, Sách đã dẫn
Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
23
Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính
1 2
p v p v .− = − = ρ
Do A lồi nên điểm z = (1/2)p
1
+(1/2)p
2
∈ A . Ta có
2

2
2
1 2
1 1
z v (p v) (p v)
2 2
ρ ≤ − = − + −
2
1 21
2 2
1 1 1 2
2 2 2 2
1 1
(p v) (p v)
2 2
1 1 1
(p v) (p v) (p v) . (p v)
4 4 2
1 1 1
4 4 2
 
≤ − + −
 ÷
 
= − + − + − −
= ρ + ρ + ρ = ρ
Dấu “=” chỉ xãy ra khi (p
1
–v) =λ(p
2

– v). Nhưng do theo giả thiết
//(p
1
–v)// =//(p
2
– v)//. Vậy /λ/ = 1. Nếu λ = -1, thì (p
1
– v) =-(p
2
– v). Hay v
= (½)(p
1
+p
2
)∈A. Điều này trái với giả thiết. Vậy λ = 1. Tức là p
1
= p
2
. ª
Định lý sau đây cho biết khi nào một điểm p∈A bất ky (với A lồi, v∉ A)
là hình chiếu của v trên A.
Đlí 4.7: Để cho điểm p
∈
A là hình chiếu của v trên tập lồi A thì điều kiện cần
và đủ là
∀x∈A: 〈x – p, v – p 〉 ≤ 0 (4.14)
Bạn đọc sẽ chứng minh định lý này ở bài tập 35.
Trong không gian các vectơ tự do điều kiện (4.14) có nghĩa là mọi vectơ
(x-p) lập với vectơ (v-p) một góc α không nhọn (α ≥ π/2).
x v

α
x p
A
AAA
Hình 1.4
4.4.3 Các định lý tách
Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
24
Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính
Đn 4.6: Cho A, B là 2 tập con bất kỳ của không gian Euclide X, c
∈
X, c
≠
0,
α∈
R. Nếu
∀x∈A, ∀y∈B : 〈c, x〉 ≤ α ≤ 〈c, y〉 (4.15)
thì ta nói siêu phẳng H
α
tách A với B.
Khi trong (4.15) chỉ có dấu bất đẵng thức thực sự “<” thì ta nói siêu
phẳng H
α
tách hẵn A với B.
Đlí 4.8: Cho A là tập con lồi, không rỗng của X; v
∈
X,
v A∉
(bao đóng của
A). Khi đó tồn tại một siêu phẳng H

α
đi qua v và để A về một phía.
Chứng minh: Do A lồi nên bao đóng của A cũng là tập lồi và đóng. Khi đó,
theo Đlí 4.6 sẽ tồn tại hình chiếu p = p(v) của v lên
A
. Đặt c = v – p.
Khi đó c ≠ 0. Theo định lý 4.7 thì
∀x∈
A
: 〈x-p, v-p〉 ≤ 0.
⇒ ∀x∈
A
: 〈x, v-p〉 ≤ 〈p, v-p〉
Hay ∀x∈
A
: 〈c, x〉 ≤ 〈c, p〉 (4.16)
Mặt khác, vì
0 < ρ
2
= 〈v-p, v-p〉 = 〈c, v〉 - 〈c, p〉
Hay 〈c, p 〉 < 〈c, v〉
So sánh với (4.16) ta thấy:
∀x∈
A
: 〈c, x〉 ≤ 〈c, p〉 < 〈c, v〉 = α
Như vậy siêu phẳng H
α
đã đi qua v và để
A
(do đó A ) về một phía. ª

Dựa vào định lý 4.8 người ta có thể chứng minh được định lý sau đây
(gọi là định lý tách) làm cơ sở cho việc xây dựng lý thuyết qui hoạch tuyến
tính, đặc biết là lý thuyết đối ngẫu sau này.
Đlí 4.9: (Định lý tách)
Cho A, B là hai tập lồi (do đó không rỗng), đóng, rời nhau của
không gian Euclide X, một trong hai tập là compac. Khi đó tồn tại
một siêu phẳng H
α
tách hẵn A với B. Tức là tồn tại c
≠
0, sao cho
〈c, x〉 < α < 〈c, y〉 , ∀x∈ A, ∀y∈ B (4.17)
Chứng minh: Giả sử B compac. Dễ thấy rằng tập
C = {z ∈ X / z = x – y, x∈ A, y∈ B}
là lồi. Chọn dãy vô hạn {z
n
} ⊆ C. Giả sử dãy {z
n
} hội tụ về z
0
. Ta chứng
minh z
0
∈ C. Thật vậy, theo định nghĩa C sẽ tồn tại dãy vô hạn {x
n
} trong A
và dãy vô hạn {y
n
} trong B để cho z
n

= x
n
– y
n
, ∀n. Vì B compac nên mỗi
dãy vô hạn {y
n
} đều chứa một dãy con hội tụ. Để đơn giản ký hiệu, giả sử
Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh
25