ON THI TUYEN SINH PHAN DAI SO.doc

BÀI TẬP ĐẠI SỐ
_______________________________________________________________________________________
1. Cho biểu thức :
2
2
2
1
2
1
.)
1
1
1
1
( x
x
xx
A −−
−
+
+
−
=
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa .
b) Rút gọn biểu thức A .
c) Giải phương trình theo x khi A = -2 .
2. Giải phương trình :
12315 −=−−− xxx
3. Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( -2 , 2 ) và đường thẳng (D) : y = - 2(x +1) .Tìm a trong hàm số y = ax
2
có đồ thị (P)

đi qua A .Viết phương trình.
4. Cho phương trình : x
2
– mx + m – 1 = 0 .Gọi hai nghiệm của phương trình là x
1
, x
2
.
a) Tính giḠtrị của biểu thức.
2
212
2
1
2
2
2
1
1
xxxx
xx
M
+
−+
=
. Từ đó tìm m để M>0.
b) Tìm giḠtrị của m để biểu thức P =
1
2
2
2

1
−+ xx
đạt giḠtrị nhỏ nhất .
5. Giải phương trình :
a)
xx −=− 44
b)
xx −=+ 332
6. Tính:
A 21 6 6 21 6 6= + + −
HD: Ta có:
6 6 2. 3.3 2=
và
2 2
21 ( 3) (3 2)= +
. Từ đó suy ra:
A 6 2=
7. Giải các bất phương trình
a) 5(x − 2) + 3 > 1 − 2(x − 1)
b) 5 + 3x(x + 3) < (3x − 1)(x + 2)
c)
5x 2 1 2x
4 12
− −
>
d)
11 3x 5x 2
10 15
− +
<

8. Cho biểu thức:
2
x 1 x 1 2 x 1
A :
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1
+ −
   
= − − +
 ÷  ÷
− + − +
−
   
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi
x 3 8= +
c) Tìm giá trị của x khi A =
5
HD:
a) ĐK: x ≠ ±1:
2
4x
A
1 x
=
−
;
b)
x 3 8 1 2= + = +
. Khi đó: A = −2;

c)
1
x 5= −
;
2
5
x
5
=
9. Cho biểu thức:
2
x 1 10 5
A
x 3 x 2
x x 6
+
= − +
+ −
+ −
a) Tìm điều kiện của x để A xác định
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị của x để A > 0
_______________________________________________________________________________________
Trang - 1 -
BÀI TẬP ĐẠI SỐ
_______________________________________________________________________________________
HD:
a) a ≠ −3, a ≠ 2 ;
b)
x 1

A
x 2
+
=
−
;
c) A > 0 ⇔ x > 2 hoặc x < −1
10. Cho biểu thức
2 2
2
2a a a 2 a 2 4a
C
a 3 a 2 a 2
4 a
 
− − +
= − +
 ÷
+ + −
−
 
a) Tìm điều kiện đối với a để biểu thức C xác định.
b) Rút gọn biểu thức C
c) Tìm các giá trị của a để C = 1
d) Khi nào thì C có giá trị dương? Có giá trị âm?
HD:
a) a ≠ −3 ; a ≠ ±2
b)
2
4a

C
a 3
=
+

c) C = 1 ⇔
a 1
3
a
4
=



= −


d) C > 0 ⇔
a 0
a 2
a 3
≠


≠ ±


> −

; C < 0 ⇔ a < −3

11. Cho biểu thức
1 1 x 2
C x 3 : x 1 :
x 1 x 1 x
+
   
= − + − −
 ÷  ÷
− −
   
a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C xác định
b) Rút gọn biểu thức C
c) Tính giá trị của biểu thức C khi
x 6 20= +
d) Tìm các giá trị nguyên của x để C có giá trị nguyên
HD:
a) x ≠ 1, x ≠ −2, x ≠ 0;
b)
x 2
C
x 2
−
=
+
;
c)
C 5 2= −
;
d) x ∈ {−1, −3, −4, −6, 2}
12. Cho biểu thức:

a a 1 a a 1 a 2
A :
a 2
a a a a
 
− + +
= −
 ÷
 ÷
−
− +
 
a) Với giá trị nào của a thì biểu thức A không xác định
b) Rút gọn biểu thức A
c) Với giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên?
HD:
a) A không xác định ⇔ a < 0, a = 0, 1, 2.
_______________________________________________________________________________________
Trang - 2 -
BÀI TẬP ĐẠI SỐ
_______________________________________________________________________________________
b) Với a > 0, a ≠ 1, a ≠ 2:
2(a 2)
A
a 2
−
=
+
;
c) Có duy nhất a = 6 thỏa mãn.

13. Cho biểu thức:
x 2x x
B
x 1 x x
−
= −
− −
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tính giá trị của B khi
x 3 8= +
c) Với giá trị nào của x thì B > 0? B< 0? B = 0?
HD:
a) ĐK x > 0, x ≠ 1:
B x 1= −
b)
2
x 3 8 ( 2 1) : B 2= + = + =
;
c) B > 0 ⇔ x > 1; B < 0 ⇔ x < 1; B = 0 ⇔ x = 1
14. Cho biểu thức
a 3 3 a
B
2 a 6 2 a 6
+ −
= −
− +
a) Tìm điều kiện của a để B xác định. Rút gọn B
b) Với giá trị nào của a thì B > 1? B< 1?
c) Tìm các giá trị của x để B = 4
HD:

a) a ≥ 0 và a ≠ 9:
a 9
B
a 9
+
=
−
b) B > 1 ⇔ a > 9, B < 1 ⇔ 0 ≤ a < 9
c) B = 4 ⇔ a = 15
15. Cho biểu thức A =
1 1 1 1 1
:
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
   
+ − +
 ÷  ÷
− + − + −
   
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4
3
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất
HD:
a) ĐK: x ≥ 0, x ≠ 1. Rút gọn ta được
1
A
x(1 x)
=
−
b)

2
1
x 7 4 3 (2 3) : A (3 3 5)
2
= − = + = − −
c) Min A = 4 khi
1
x
4
=
16. Cho
2
x 2 x 2 1 x
P .
x 1
x 2 x 1 2
 
− + −
 
= −
 ÷
 ÷
 ÷
−
+ +
 
 
a) Rút gọn P .
b) Chứng minh : Nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm giá trị lớn nhất của P.

HD:
a) Điều kiện để P có nghĩa : x ≥ 0 và x ≠ 1. Kết quả:
P x(1 x)= −
_______________________________________________________________________________________
Trang - 3 -
BÀI TẬP ĐẠI SỐ
_______________________________________________________________________________________
b) Nếu 0 < x < 1 thì :
0 x 1< <
⇔ P > 0.
c)
2
1 1 1
P x
4 2 4
 
= − − ≤
 ÷
 
. Dấu "=" xảy ra ⇔
1 1
x x
2 4
= ⇔ =
. Vậy:
1 1
max P x
4 4
= ⇔ =
17. Cho biểu thức

3
1 1 x x
B
x 1 x x 1 x x 1
−
= + +
− − − + −
a) Tìm điều kiện để biểu thức B xác định
b) Rút gọn biểu thức B
c) Tìm giá trị của x khi B = 4
d) Tìm các giá trị nguyên dương của x để B có giá trị nguyên
HD:
a) x > 1
b)
B x 2 x 1= − −
c) B = 4 ⇔ x = 10
d) B nguyên x = m
2
+ 1 (m ∈ Z)
18. Cho biểu thức:
1 1 x 1
A :
x x x 1 x 2 x 1
  +
= +
 ÷
− − − +
 
a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa, rút gọn A.
b) So sánh A với 1

HD:
a) Điều kiện: x > 0 và x ≠ 1. Ta có:
2
1 x ( x 1) x 1
A .
x( x 1) x 1 x
+ − −
= =
− +
b) Xét hiệu: A – 1 =
x 1 x 1 x 1
1 0
x x x
− − −
− = = − <
. Vậy: A < 1
Cách 2: Dễ thấy: A =
1
1 1
x
− <
vì:
1
0
x
>
19. Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(1; −2) và B(2; 1). ĐS: a = 3 và b = −5
20. Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc là −2 và đi qua điểm A(1; 5). ĐS: y = −2x + 7.
21. Viết PT đường thẳng đi qua điểm B(−1; 8) và song song với đường thẳng y = 4x + 3. ĐS: y = 4x + 12
22. Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = −x + 5 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2. ĐS:

y = −x + 2.
23. Xác định hệ số a, b của hàm số y = ax + b trong mỗi trường hợp sau:
a) Đồ thị hàm số là một đường thẳng có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm A(−1 ; 3)
b) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm B(2 ; 1) và C(1 ; 3)
c) Đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1 ; 3) và song song với đường thẳng y = 3x − 2
ĐS: a)(a ; b) = (3 ; 6). b)(a ; b) = (−2 ; 5). c)(a ; b) (3 ; 0)
24. Cho Parabol (P): y = 2x
2
và hai đường thẳng: (d
1
): mx − y − 2 = 0 và (d
2
): 3x + 2y − 11 = 0
a) Tìm giao điểm M của (d
1
) và (d
2
) khi m = 1
b) Với giá trị nào của m thì (d
1
) song song với (d
2
)
c) Với giá trị nào của m thì (d
1
) tiếp xúc với (P).
HD:
a) M(3 ; 1);
_______________________________________________________________________________________
Trang - 4 -

BÀI TẬP ĐẠI SỐ
_______________________________________________________________________________________
b)
3
m
2
= −
c) (d
1
) tiếp xúc với (P) ⇔ 2x
2
− mx + 2 = 0 có nghiệm kép ⇔ ∆ = 0 ⇔ m
2
= 16 ⇔
m 4
m 4
=


= −

25. Tìm giá trị của m để ba đường thẳng sau đồng qui:
a) (d
1
): 5x + 11y = 8 (d
2
): 10x − 7y = 74 (d
3
): 4mx + (2m − 1)y = m + 2
b) 3x + 2y = 13 (d

2
): 2x + 3y = 7 (d
3
): (d
1
): y = (2m − 5)x − 5m
HD:
a) ĐS: m = 0
b) m = 4,8
26. Tìm khoảng cách giữa hai điểm A và B trên mặt phẳng tọa độ biết:
a) (1 ; 1) và B(5 ; 4)
b) A(−2 ; 2) và B(3 ; 5)
HD:
a)
2 2
AB (5 1) (4 1) 5= − + − =
b)
2 2
AB (3 2) (5 2) 5,83= + + − ≈
27. Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua A(−2 ; 15) và B(3 ; −5).
28. Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc là −1 và đi qua gốc tọa độ.
29. Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 3x và cắt đường thẳng tại điểm nằm trên trục
tung.
30. Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(1 ; 1) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 2005. Hãy viết phương trình đường thẳng
(d).
31. Cho hàm số : y = x + m (D). Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) :
a) Đi qua điểm A (1 ; 2003) ;
b) Song song với đường thẳng x - y + 3 = 0 ;
c) Tiếp xúc với parabol y = –1/4.x
2

32. Cho hai hàm số y = 2x + 3m và y = (2m + 1)x + 2m − 3. Tìm điều kiện của m để:
a) Hai đường thẳng cắt nhau
b) Hai đường thẳng song song với nhau
c) Hai đường thẳng trùng nhau
33. Giải các hệ phương trình:
a)
x 2y 3
2x y 1
+ =


− =

b)
3x 4y 2
2x 3y 7
− =


+ =

c)
x 7y 2
2x y 11
− = −


+ =

d)

2x 3y 10
3x 2y 2
+ =


− =

34. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
a)
1 1 4
x y 5
1 1 1
x y 5

+ =




− =


b)
15 7
9
x y
4 9
35
x y


− =




+ =


_______________________________________________________________________________________
Trang - 5 -
BÀI TẬP ĐẠI SỐ
_______________________________________________________________________________________
c)
1 1 5
x y x y 8
1 1 3
x y x y 8

+ =

+ −



− = −

+ −

d)
4 5

2
2x 3y 3x y
3 5
21
3x y 2x 3y

+ =

− +



− =

+ −

HD: a) ĐS:
10
(x ; y) 2 ;
3
 
=
 ÷
 
b)
1 1
(x ; y) = ;
2 3
 
 ÷

 
c) (x ; y) = (5 ; 3) d)
7 2
(x ; y) ;
66 11
 
=
 ÷
 
35. Cho hệ phương trình
mx y 1
x y
334
2 3
− =



− =


a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm
HD: a) Với m = 1: (x ; y) = (2002 ; 2001). b) Hệ đã cho vô nghiệm ⇔
3
m
2
=
36. Cho hệ phương trình:
x my 1

mx 3my 2m 3
+ =


− = +

a) Giải hệ phương trình với m = –3
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
HD: a) Hệ có vô số nghiệm b) m ≠ 0 và m ≠ –3
37. Cho hệ phương trình:
mx y 1
x y m
− =


− + =

Chứng tỏ khi m = –1, hệ phương trình có vô số nghiệm
HD: Thay m = –1 vào hệ ⇒ đpcm
38. Cho hệ phương trình:
2mx y 5
mx 3y 1
− + =


+ =

a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
HD: a) (x ; y) = (–2; 1); b) m ≠ 0

39. Giải các phương trình:
a) x
2
– 4x + 3 = 0
b) x
2
+ 6x + 5 = 0
c) 3x
2
– 4x + 1 = 0
d) x
2
– 5x + 6 = 0
e)
2
( 2 1)x x 2 0− + − =
f)
2
2x ( 2 1)x 1 0− + + =
g)
2
x ( 2 1)x 2 0+ − − =
h) x
4
– 11x
2
+ 10 = 0
i) 3x
4
– 11x

2
+ 8 = 0
j) 9x
4
– 22x
2
+ 13 = 0
k) (2x
2
+ x – 4)
2
– (2x – 1)
2
= 0
l) (x – 3)
2
+ (x + 4)
2
= 23 – 3x
m)
2
2
2x x x 8
x 1
x 3x 4
− +
=
+
− −
_______________________________________________________________________________________

Trang - 6 -
BÀI TẬP ĐẠI SỐ
_______________________________________________________________________________________
n)
1 1 1
x 4 x 4 3
+ =
− +
o) 3(x
2
+ x) – 2(x
2
+ x) – 1 = 0
p) (x
2
– 4x + 2)
2
+ x
2
– 4x – 4 = 0
40. Cho phương trình: x
2
– 2mx + m + 2 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm x
1
= 2. Tìm nghiệm x
2
.
HD: m = 2, x
2
= 2

41. Cho phương trình x
2
+ 2(m + 1)x + m
2
= 0 (1)
a) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và trong hai nghiệm đó có một nghiệm bằng −2
HD: a) PT (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔
1
m
2
> −
b) m = 0 hoặc m = 4
42. Cho phương trình (m + 1)x
2
− 2(m − 1)x + m − 3 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng ∀m ≠ −1 phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu
HD: a) Chứng minh ∆' > 0 b) Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu ⇔ m < −1 hoặc m > 3
43. Cho phương trình x
2
− 2(m + 1)x + m − 4 = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
c) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình (1). Chứng minh rằng A = x
1

(1 − x
2
) + x
2
(1 − x
1
) không phụ thuộc vào
giá trị của m
HD: a) Khi m = 1: PT có hai nghiệm
x 2 2 7= ±
b) A = 2(m + 1) − 2(m − 4) = 10 ⇒ A không phụ thuộc vào m
44. Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình x
2
− 2(m − 1)x + m − 3 = 0
a) Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức P = (x
1
)
2
+ (x
2
)
2
theo m
b) Tìm m để P nhỏ nhất
HD: a) P = (x
1

+ x
2
)
2
− 2x
1
x
2
= 4(m − 1)
2
− 2(m − 3) = 4m
2
− 10m + 10 b) P =
2
15 15
(2m 5)
4 4
− + ≥
. Dấu "=" xảy ra
⇔
5
m
2
=
45. Cho phương trình x
2
− 6x + m = 0 (m là tham số) (1)
a) Giải phương trình (1) với m = 5
b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x
1

và x
2
thỏa mãn 3x
1
+ 2x
2
= 20
HD: a) Với m = 5 ⇒ x
1
= 1, x
2
= 5 b) Đáp số: m = −16 (x
1
= 8, x
2
= −2)
46. Cho phương trình x
2
− 4x + k = 0
a) Giải phương trình với k = 3
b) Tìm tất cả các số nguyên dương k để phương trình có hai nghiệm phân biệt
HD: a) Với m = 3: x
1
= 1, x
2
= 3 b) ∆' = 4 − k > 0 ⇔ k < 4. ĐS: k ∈ {1 ; 2 ; 3}
47. Cho phương trình : x
2
− (m + 5)x − m + 6 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 1.

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = −2.
HD: a) ĐS: x
1
= 1, x
2
= 5 b) ĐS: m = − 20
48. Cho phương trình: (m − 1)x
2
+ 2mx + m − 2 = 0. (*)
a) Giải phương trình (*) khi m = 1.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.
_______________________________________________________________________________________
Trang - 7 -
BÀI TẬP ĐẠI SỐ
_______________________________________________________________________________________
HD: a) Khi m = 1:
1
x
2
=
; b) ĐS:
2
m , m 1
3
> ≠
.
49. Cho phương trình x
2
− 2mx + (m − 1)
3

= 0
a) Giải phương trình với m = −1
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng bình phương của nghiệm còn
lại.
HD: a) Với m = −1 ⇒ x
1
= 2, x
2
= −4 b) m = 0 hoặc m = 3
50. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) –3xy + x
2
y
2
– 5x
2
y
b) 2x(y – z) + 5y(z – y)
c) 10x
2
(x + y) – 5(2x + 2y)y
2
HD:
a) 3xy + x
2
y
2
– 5x
2
y = xy(- 3 + xy – 5x)

b) 2x(y – x) + 5y(z – y) = 2x(y – z) – 5y(y – z) = (y – z)(2x – 5y)
c) 10x
2
(x + y) – 5(2x + 2y)y
2
= 10x
2
(x + y) – 10y
2
(x + y) = 10(x + y)(x
2
– y
2
)
= 10(x + y)(x + y)(x – y) = 10(x + y)
2
(x – y)
51. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) 12xy
2
– 12xy + 3x
b) 15x – 30 y + 20z
c)
7
5
x(y – 2007) – 3y(2007 - y)
d) x(y + 1) + 3(y
2
+ 2y + 1)
52. Tính giá trị của biểu thức sau.

a) 23,45 . 97,5 +23,45 . 5,5 -,23,45 . 3
b) 2x
3
(x – y) + 2x
3
(y – x ) + 2x
3
(z – x) (Víi x = 2006 ; y = 2007 ; z = 2008)
53. Tính giá trị của biểu thức sau.
a) 23,45 . 97,5 +23,45 . 5,5 -,23,45 . 3
b) 2x
3
(x – y) + 2x
3
(y – x ) + 2x
3
(z – x) (Víi x = 2006 ; y = 2007 ; z = 2008)
54. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) x
2
+ 6xy
2
+ 9y
4
b) a
4
– b
4

c) (x – 3)

2
- (2 – 3x)
2
d) x
3
– 3x
2
+ 3x - 1
HD:
a) x
2
+ 6xy
2
+ 9y
4
= x
2
+ 2x3y
2
+ (3y)
2
= (x + 3y
2
)
2
b) a
4
– b
4
= (a

2
)
2
– (b
2
)
2
= (a
2
+ b
2
) (a
2
– b
2
) = (a
2
+ b
2
) (a + b) (a – b)
c) (x – 3)
2
- (2 – 3x)
2
= [(x – 3) + (2 – 3x)][(x – 3) – (2 – 3x)]= (- 2x – 1)(- 5 + 4x)
d) x
3
– 3x
2
+ 3x - 1 = (x – 1)

3
55. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc
b) (a + b + c)
3
– a
3
– b
3
– c
3
HD:
a) a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc = (a + b)
3
– 3ab(a + b) + c
3
– 3abc
= ( a + b + c)[(a + b)

2
– (a + b)c + c
2
] – 3abc( a + b +c)
_______________________________________________________________________________________
Trang - 8 -
BÀI TẬP ĐẠI SỐ
_______________________________________________________________________________________
= (a + b + c)( a
2
+ b
2
+ c
2
– ab – bc – ca)
b) (a + b + c)
3
– a
3
– b
3
– c
3
= (a + b)
3
+ c
3
+ 3c(a + b)(a + b + c) – a
3
– b

3
–c
3

= 3(a + b)(ab + bc + ac + c
2
) = 3(a + b)(b + c) (c + a)
56. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) (x – 15)
2
– 16
b) 25 – (3 – x)
2

c) (7x – 4)
2
– ( 2x + 1)
2
d) 9(x + 1)
2
– 1
e) 9(x + 5)
2
– (x – 7)
2
f) 49(y- 4)
2
– 9(y + 2)
2
57. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) 8x
3
+ 27y
3
b) (x + 1)
3
+ (x – 2)
3
c) 1 – y
3
+ 6xy
2
– 12x
2
y + 8x
3
d) 2004
2
- 16
58. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) x
2
– 3xy + x – 3y
b) 7x
2
– 7xy – 4x + 4y
c) x
2
+ 6x – y
2

+ 9
d) x
2
+ y
2
– z
2
– 9t
2
– 2xy + 6zt
HD:
a) x
2
– 3xy + x – 3y = (x
2
– 3xy) + (x – 3y) = x(x – 3y) + (x – 3y)= (x – 3y) (x + 1)
b) 7x
2
– 7xy – 4x + 4y = (7x
2
– 7xy) – (4x – 4y) = 7x(x – y) – 4(x – y)=(x – y) (7x – 4)
c) x
2
+ 6x – y
2
+ 9 = (x
2
+ 6x + 9) – y
2
= (x + 3)

2
- y
2
= (x + 3 + y)(x + 3 – y)
d) x
2
+ y
2
– z
2
– 9t
2
– 2xy + 6zt = (x
2
– 2xy + y
2
) – (z
2
– 6zt + 9t
2
)
= (x – y)
2
– (z – 3t)
2
= (x – y + z – 3t)(x – y – z + 3t
59. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) x
2
y + xy

2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 2xyz
b) x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 3xyz
HD:
a) x
2
y + xy
2
+ x
2

z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 2xyz
= (x
2
z + y
2
z + 2xyz) + x
2
y + xy
2
+ xz
2
+ yz
2

= z(x + y)
2
+ xy(x + y) + z
2
(x + y) = (x + y)(xz + yz + xy + z
2
)
= (x + y) [(xz + xy) + (yz + z
2
)]

= (x + y) [x(z + y) + z(z + y)]
= (x + y)(y + z)(x + z)
b) x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 3xyz
= (x
2
y + x
2
z + xyz) + ( xy
2
+ y
2
z + xyz) + (x
2
z + yz
2
+ xyz)
= x(xy + xz + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy)
= (xy + yz + xz)( x + y + z)

60. Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a) x
4
+ 3x
2
– 9x – 27
b) x
4
+ 3x
3
– 9x – 9
_______________________________________________________________________________________
Trang - 9 -
BÀI TẬP ĐẠI SỐ
_______________________________________________________________________________________
c) x
3
– 3x
2
+ 3x – 1 – 8y
3
61. Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a) x(y
2
– z
2
) + y(z
2
– y
2

) + z(x
2
– y
2
)
b) xy(x – y) – xz( x + z) – yz (2x + y – z )
c) x(y + z )
2
+ y(z + x)
2
+ z(x + y)
2
– 4xyz
d) yz(y +z) + xz(z – x) – xy(x + y)
62. Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a) 5x
3
- 45x
b) 3x
3
y – 6x
2
y – 3xy
3
– 6axy
2
– 3a
2
xy + 3xy
c) (x + y + z)

3
– x
3
– y
3
- z
3
HD:
a) 5x
3
– 45x = 5x(x
2
– 9) = 5x(x +3) (x – 3)
b) 3x
2
y – 6x
2
y – 3xy
3
– 6axy
2
– 3a
2
xy + 3xy
= 3xy(x
2
– 2y – y
2
– 2ay – a
2

+ 1)
= 3xy [( x
2
– 2x + 1) – (y
2
+ 2ay + a
2
)]
= 3xy [(x – 1)
2
– (y + a)
2
]
= 3xy [(x – 1) + (y + a)] [(x – 1) – (y + a)]
= 3xy(x + y + a – 1) (x – y – a – 1)
c) (x + y + z )
3
– x
3
– y
3
- z
3
=[(x + y + z)
3
– x
3
] – (y
3
+ z

3
)
= (x + y + z – x) [(x+ y + z)
2
+ (x + y + z)x + x
2
] – (y + z)(y
2
– yz + z
2
)
= (y+z)[ x
2
+ y
2
+ z
2
+2xy + 2xz + 2yz +xy + xz + x
2
+ x
2
– y
2
+ yz – z
2
]
= (y + z)(3x
2
+ 3xy + 3xz + 3yz)
= 3(y +z)[x(x + y) + z(x+y)]

= 3( x + y)(y + z)(x + z)
63. Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a) 2a
2
b + 4ab
2
– a
2
c + ac
2
– 4b
2
c + 2bc
2
– 4abc
b) 8x
3
(x + z) – y
3
(z + 2x) – z
3
(2x - y)
c) [(x
2
+ y
2
)(a
2
+ b
2

) + 4abxy]
2
– 4[xy(a
2
+ b
2
) + ab(x
2
+ y
2
)]
2
64. Phân tích đa thức sau thành nhân tử x
2
– 6x + 8
HD:
Cách 1: x
2
– 6x + 8 = (x
2
– 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x –2)(x – 4)
Cách 2: x
2
– 6x + 8 = (x
2
– 6x + 9) – 1 = (x – 3)
2
– 1 = (x –3 + 1)(x – 3 – 1) = (x – 2)(x – 4)
Cách 3: x
2

– 6x + 8 = (x
2
– 4) – 6x + 12 = (x – 2)(x + 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x + 2 – 6) = (x – 2)(x – 4)
Cách 4: x
2
– 6x + 8 = (x
2
– 16) – 6x + 24 = (x –4)(x + 4) – 6(x – 4) = (x – 4)(x + 4 –6) = (x –4)(x – 2)
Cách 5: x
2
– 6x + 8 = (x
2
– 4x + 4) – 2x + 4 = ( x – 2)
2
– 2(x – 2)= (x – 2)(x – 2 – 2) = (x – 2)(x – 4)
65. Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a) x
2
+ 7x +10
b) x
2
– 6x + 5
c) 3x
2
– 7x – 6
d) 10x
2
– 29x + 10
66. Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a) x

3
+ 4x
2
– 29x + 24
b) x
3
+ 6x
2
+ 11x + 6
c) x
2
– 7xy + 10y
d) 4x
2
– 3x – 1
e) x
4
+ 64 = x
4
+ 64 + 16x
2
– 16x
2
= (x
2
+ 8)
2
– (4x)
2
= (x

2
+ 4x + 8)(x
2
– 4x + 8)
_______________________________________________________________________________________
Trang - 10 -
BÀI TẬP ĐẠI SỐ
_______________________________________________________________________________________
67. Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a) x
4
+ 4y
4

b) x
5
+ x + 1
HD:
a) x
4
+ 4y
4
= x
4
+ 4y
4
+ 4x
2
y
2

– 4x
2
y
2
= (x + 2y)
2
– (2xy)
2
= (x + 2y + 2xy)(x + 2y - 2xy)
b) x
5
+ x + 1 = (x
5
+ x
4
+ x
3
) – (x
4
+ x
3
+ x
2
) + (x
2
+ x + 1)
= x
3
(x
2

+ x + 1) – x
2
(x
2
+ x + 1) + (x
2
+ x +1)
= (x
2
+ x + 1)(x
3
– x
2
+1)
68. Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a) x
5
+ x
4
+ 1
b) x
8
+ x
7
+ 1
c) x
8
+ x + 1
d) x
8

+ 4
69. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) (x
2
+ x)
2
– 2(x
2
+ x) – 15
b) (x
2
+ 3x + 1)(x
2
+ 3x + 2) – 6
c) (x
2
+ 4x + 8)
2
+ 3x(x
2
+ 4x + 8) + 2x
2
70. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24
b) (4x + 1)(12x – 1)(3x + 2)(x + 1) – 4
c) 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) + 3x
2
d) 3x
6
– 4x

5
+ 2x
4
– 8x
3
+ 2x
2
– 4x + 3
71. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) A = x
3
+ 11x + 30
Vì A là đa thức bậc 3, hệ số cao nhất là 1. Nên nếu A phânn tích được thì A có dạng.
A = (x + a)(x
2
+ bx + c) = x
3
+ (a + b)x
2
+ (ab + c)x + ac
x
3
+ 11x + 30 = x
3
+ (a + b)x
2
+ (ab + c)x + ac
Đồng nhất hệ số, ta có :






=
=+
=+
30
11
0
ac
cab
ba
Chọn a = 2
⇒
c = 15; b = -2
Vậy (x
3
+ 11x + 30) = (x + 2)(x
2
– 2x + 15)
b) B = x
4
– 14x
3
+ 15x
2
– 14x +1
Vì B là đa thức bậc 4, hệ số cao nhất là 1 nên nếu B phân tích được thành nhân tử thì B có dạng:
B = (x
2

+ ax + b)(x
2
+ cx + d)
⇔B = x
4
+ (a + c)x
3
+ (ac + b + d)x
2
+ (ad + bc)x + bd
Đồng nhất hệ số, ta có:

14
15
14
1
a c
ac b d
ad bc
bd
+ = −


+ + =


+ = −


=



⇒








=
−=
=
−=
1
13
1
1
d
c
b
a
hoặc
13
1
1
1
a
b

c
d
= −


=


= −


=

_______________________________________________________________________________________
Trang - 11 -
BÀI TẬP ĐẠI SỐ
_______________________________________________________________________________________
Do vậy B = (x
2
– x + 1)(x
2
– 13x + 1) hoặc B = (x
2
– 13x + 1)(x
2
– x + 1)
72. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x
3
+ 4x

2
+ 5x + 2
b) 2x
4
– 3x
3
–7x
2
+ 6x + 8
c) 5x
4
+ 9x
3
– 2x
2
– 4x – 8
73. Tìm a, b, c
a) x
4
– 2x
3
+ 2x
2
– 2x + a = (x
2
– 2x + 1)(x
2
+ bx + c)
b) x
3

+ 3x
2
– x – 3 = (x – 2)(
2
x + bx + c) + a
c) 4x
3
+ 7x
2
+ 7x – 6 = (ax + b)(x
2
+ x +1) + c
74. Phân tích đa thức thành nhân tử :
a) P = (x + y + z)
3
- x
3
– y
3
– z
3
HD:
Coi P là một đa thức biến x
Khi đó nếu x = -y th× P = 0
⇒
P  (x + y)
Trong P, vai trò của y, z bình đẳng nên.
P  (x + z)
P  (y + z)
⇒

P = (x + y)(x + z)(y + z).Q
Mà P là đa thức bậc 2 đối với biến x, y, z nên Q là hằng số.
Với x = 0 ; y = z = 1, ta cã Q = 3
Vậy P = 3(x + y)(x + z)(y + z)
b) M = a(b + c)(b
2
- c
2
) + b(c + a)(c
2
- a
2
) + c(a + b)(a
2
- b
2
)
HD:
Coi M là đa thức biến a
Khi a = b thì M = 0
⇒M  (a - b)
Trong M vai tròcủa a, b, c bình đẳng nên :
M  (b - c)
M  (c - a)
M = (a - b)(b –c)(c – a)N
Vì M là đa thức bậc 3 đối với biến a nên N là đa thức bậc nhất đối với a.
Nhưng do a,b,c có vai trò bình đẳng nên:
N = (a + b + c)R (R là hằng số)
M = (a - b)(b –c)(c – a)(a + b + c)R
Chọn a = 0, b = 1, c = 2 ⇒ R = 1

Vậy M = (a – b)(b – c)(c – a)(a + b + c)
75. Phân tích đa thức thành nhân tử:A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)
76. Phân tích thành nhân tử:
a) x
3
+ 3x - 4
Nếu đa thức trên có nghiệm là a ( đa thức có chứa nhân tử (x - a) thì nhân tử còn lại có dạng x
2
+ bx = c suy ra - ac
= - 4 suy ra a là ước của - 4
Vậy trong đa thức vớ hệ số nguyên nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tử không đổi.
Ước của (- 4) là : -1; 1; -2; 2; - 4; 4. sau khi kiểm tra ta thấy là nghiệm của đa thức suy ra đa thức chứa nhân tử (x
- 1)
Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung (x – 1)
Cách 1:
x
3
+ 3x
2
– 4 = x
3
– x
2
+ 4x
2
– 4 = x
2
(x – 1) + 4(x – 1) (x + 1)= (x – 1) (x
2
+ 4x + 4) = (x – 1) (x + 2)

2
Cách 2:
_______________________________________________________________________________________
Trang - 12 -
BÀI TẬP ĐẠI SỐ
_______________________________________________________________________________________
x
3
+ 3x
2
– 4 = x
3
– 1 + 3x
2
– 3 = (x
3
– 1) + 3(x
2
– 1) = (x – 1) (x
2
+ x + 1) + 3(x
2
– 1)= (x – 1) (x + 2)
2
2x
3
– 5x
2
+ 8x – 3 = 2x
3

– x
2
– 4x
2
+ 2x + 6x – 3
=x
2
(2x – 1) – 2x(2x –1) + 3(2x –1)
=(2x – 1)(x
2
– 2x + 3)
b) 2x
2
– 7x + 3 Với a =2 , b =- 7 , c = 3
Xét b
2
- 4ac = 49 - 4.2.3 =25 = 5
5
Suy ra Phân tích được thành nhân tử : 2x
2
- 7x + 3 = ( x - 3)(2x - 1)
77. Rút gọn biểu thức
a) A =
2322
222
)()()(
bcbacab
bacacbcba
+−−
−+−+−

b) B =
933193
451272
23
23
−+−
+−−
xxx
xxx
c) C =
222
333
)()()(
3
xzzyyx
xyzzyx
−++++
++−
d) D =
222
333
)()()(
3
xzzyyx
xyzzyx
−+−+−
−++
78. Rút gọn biểu thức
a) A =
)(

1
)(
1
)(
1
)(
1
xyyyxxyxyyxx −
+
−
+
+
+
+
b) B =
))((
1
))((
1
))((
1
bcacccbabbcabaa −−
+
−−
+
−−
79. Cho x
2
- 4x + 1 = 0
Tính giá trị của biểu thức A =

2
24
1
x
xx ++
80. Giải phương trình
a) x
3
- 7x
2
+ 15x - 25 = 0
⇔
x
3
- 5x
2
- 2x
2
+ 10x + 5x- 25 = 0
⇔
x
2
(x- 5) - 2x(x - 5) + 5(x - 5) = 0
⇔
(x- 5)(x
2
- 2x + 5) = 0
⇔





=+−
=−
052
05
2
xx
x
⇔

2
5
( 1) 4 0( )
x
x voly
=


− + =


Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {5}
b) (2x
2
+ 3x - 1)
2
- 5(2x
2
+ 3x + 3) + 24 = 0 (1)

Đặt: 2x
2
+ 3x - 1 = t (*)
Phương trình đã cho trở thành: t
2
- 5(t + 4) + 24 = 0
⇔ t
2
- 5t + 4 = 0
⇔ (t - 1)(t - 4) = 0
⇔



=−
=−
04
01
t
t
_______________________________________________________________________________________
Trang - 13 -
BÀI TẬP ĐẠI SỐ
_______________________________________________________________________________________
⇔



=
=

4
1
t
t
+ Thay t = 1 vào (*), ta có: 2x
2
+ 3x - 1 = 1
⇔ 2x
2
+ 3x - 2 = 0
⇔ (2x
2
+ 4x) - x - 2 = 0
⇔ 2x(x + 2) - (x + 2) = 0
⇔ (x + 2) (2x - 1) = 0
⇔




=
−=
⇔



=−
=+
2
1

2
012
02
x
x
x
x

+ Thay t = 4 vào (*), ta có :
2x
2
+ 3x - 1 = 4
⇔ 2x
2
+ 3x - 5 = 0
⇔ (x - 1)( 2x +5) = 0
⇔




−=
=
⇔



=+
=−
2

5
1
052
01
x
x
x
x

Vậy phng trình (1) có tập nghiệm: S = { -2;
2
5−
;
`2
1
; 1}
c) (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40 (1)
⇔ (x + 1)(x + 5)(x + 2)(x + 4) = 40
⇔ (x
2
+ 6x + 5)(x
2
+ 6x + 8) = 40
Đặt x
2
+ 6x + 5 = t (*)
Phương trình đã cho trở thành: t(t + 3) = 40
⇔ t
2
+ 3t – 40 = 0

⇔ (t – 5)(t + 8) = 0
⇔



−=
=
8
5
t
t
Thay t = 5 vào (*), ta có: x
2
+ 6x + 5 = 5
⇔ x
2
+ 6x = 0
⇔ x(x + 6) = 0 ⇔



=
=
6- x
0 x
Thay t = -8 vào (*), ta có: x
2
+ 6x + 5 = - 8
x
2

+ 6x + 13 = 0
⇔ x
2
+ 2x
2
5
+
4
25
+
4
27
= 0
⇔ (x +
2
5
)
2
+
4
27
= 0 (V« lý)
Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {0; -6}
d) Giải phương trình đối xứng bậc chẳn
x
4
+ 3x
3
+ 4x
2

+ 3x + 1 = 0 (4)
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (4)
Chia hai vế của (4) cho x
2
≠ 0, ta được
_______________________________________________________________________________________
Trang - 14 -
BÀI TẬP ĐẠI SỐ
_______________________________________________________________________________________
x
2
+ 3x + 4 + 3
x
1
+
x
1
2
= 0
⇔
(x
2
+
2
1
x
) + 3(x +
x
1
) + 4 = 0

Đặt x +
x
1
= t (*)
⇒ x
2
+
2
x
1
= t
2
– 2
Phương trình đã cho trở thành : t
2
+ 3t + 2 = 0
⇔
(t + 1)(t + 2) = 0
⇔



−=
−=
2
1
t
t
Thay t = - 1 vào (*), ta được : x +
x

1
= -1
⇔
x
2
+ x + 1 = 0 (Vô nghiệm)
Thay t = - 2 vào (*), ta được : x +
x
1
= - 2
⇔
x
2
+ 2x + 1 = 0
⇔
(x + 1)
2
= 0
⇔
x = -1
Vậy phương trình (4) có tập nghiệm S = {-1}
e) Giải Phương trình đối xứng bậc lẻ:
x
5
– x
4
+ 3x
3
+ 3x
2

– x + 1 = 0 (5)
Có x = - 1 là 1 nghiệm của phương trình (5).
Do đó (5) ⇔ (x + 1)(x
4
– 2x
3
+ 5x
2
– 2x + 1) = 0
f) Giải phương trình đối xứng bậc chẳn:
x
4
– 2x
3
+ 5x
2
– 2x + 1 = 0 (5’)
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của (5’). Chia cả 2 vế cảa (5’) cho x
2
≠ 0, ta có:
x
2
– 2x + 5 - 2
x
1
+
2
x
1
= 0 ⇔ (x

2
+
2
x
1
) – 2(x +
x
1
) + 5 = 0
Đặt (x +
x
1
) = t (*)
(x
2
+
2
x
1
) = t
2
– 2
(5’) ⇔ t
2
– 2t +3 = 0
(t – 1)
2
+ 2 = 0 ( vô nghiệm)
Vậy Phương trình (5) có tập nghiệm S = {-1}
81. Giải phương trình

a) 2x
3
+ 3x
2
+6x +5 =0
b) x
4
– 4x
3
– 19x
2
+ 106x – 120 = 0
c) 4x
4
+ 12x
3
+ 5x
2
– 6x – 15 = 0
d) x
3
+ 3x
2
+ 4x + 2 = 0
82. Giải phương trình
a) x(x + 1) (x – 1)(x+ 2) = 24
b) (x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680
c) (2x + 1)(x+ 1)
2
(2x + 3) = 18

d) 12x + 7)
2
(3x + 2)(2x + 1) = 3
_______________________________________________________________________________________
Trang - 15 -
BÀI TẬP ĐẠI SỐ
_______________________________________________________________________________________
83. Giải phương trình
a) (x
2
– 6x + 9)
2
– 15(x
2
– 6x + 10) = 1
b) (x
2
+ x + 1)
2
+(x
2
+ x + 1) – 12 = 0
c) (x
2
+ 5x)
2
– 2x
2
– 10x = 24
84. Giải phương trình

a) x
4
- 2x
3
+ 4x
2
– 3x + 2 = 0
b) x
4
– 3x
3
+ 4x
2
– 3x + 1 = 0
c) 2x
4
– 9x
3
+ 14x
2
– 9x + 2 = 0
d) x
6
+ x
5
+ x
4
+ x
3
+x

2
+ x + 1 = 0
85. Giải phương trình: x
5
+ 2x
4
+ 3x
3
+ 3x
2
+ 2x + 1 = 0
86. Rút gọn biểu thức
a) A =
342
1573
23
23
+−−
−+−
xxx
xxx
b) B =
1
3
1
12
1
3
2
−

−
−
−
−
−
+
+
x
x
x
x
x
x
HD:
a) A =
3322
14433
223
223
+−−+−
−++−−
xxxxx
xxxxx
A =
)1(3)1()1(2
)1()1(4)1(3
2
2
−−−+−
−+−−−

xxxxx
xxxxx
A =
)1)(32)(1(
)13)(1)(1(
)32)(1(
)143)(1(
2
2
−+−
−−−
=
−+−
+−−
xxx
xxx
xxx
xxx
A =
32
13
)32()1(
)13()1(
2
2
+
−
=
+−
−−

x
x
xx
xx
b) MTC = x
2
- 1 = (x + 1)(x - 1)
B =
)1)(1(
)3()1)(12()1)(3(
−+
−−+−−−+
xx
xxxxx
B =
)1)(1(
31232
22
−+
+−++−−+
xx
xxxxx
87. Cho biểu thức
2
2
2
1
2
1
.)

1
1
1
1
( x
x
xx
A
−−
−
+
+
−
=
a) Tìm điều kiện của x đẻ biểu thức A có nghĩa .
b) Rút gọn biểu thức A .
c) Giải phương trình theo x khi A = -2 .
88. Giải phương trình :
12315 −=−−− xxx
89. Thực hiện:
a) Giải bất phương trình :
42
−<+
xx
b) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của x thoả mãn .

1
2
13
3

12
+
−
>
+
xx
_______________________________________________________________________________________
Trang - 16 -
BÀI TẬP ĐẠI SỐ
_______________________________________________________________________________________
90. Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P : P =
1 1 1 2
:
1 2 1
a a
a a a a
 
+ +
 
− −
 ÷
 ÷
 ÷
− − −
 
 
91. Giải phương trình:
92. Cho hàm số
a) Với giá trị nào của m thì (1) là hàm số bậc nhất?
b) Với điều kiện của câu a, tìm các giá trị của m và n để đồ thị hàm số (1) trùng với đường thẳng y – 2x + 3 = 0?

93. Cho phương trình x
2
- (2k - 1)x +2k -2 = 0 (k là tham số). Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm.
94. Chứng minh biểu thức A sau không phụ thuộc vào x:
A =
6 2
. 6 : 6
3
x
x x x
x
 
+ +
 ÷
 ÷
 
(với x > 0)
95. Cho hai đường thẳng :
y = -x (
1
d
) ; y = (1 – m)x + 2 (m - 1) (
2
d
)
a) Vẽ đường thẳng
1
d
b) Xác định giá trị của m để đường thẳng
2

d
cắt đường thẳng
1
d
tại điểm M có toạ độ (-1; 1). Với m tìm được hãy
tính diện tích tam giác AOB, trong đó A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng
2
d
với hai trục toạ độ Ox và
Oy.
96. Giải phương trình :

97. Xác định các hệ số a và b trong hệ phương trình
4
8
ax by
bx ay
+ = −


− =


Biết rằng hệ có nghiệm duy nhất là (1 ; -2)
98. Cho biểu thức
x
xx
A
24
44

2
−
+−
=

a) Với giá trị nào của x thì biểu thức A có nghĩa?
b) Tính giá trị của biểu thức A khi : x = 1,999
99. Giải hệ phương trình







=
−
+
−=
−
−
5
2
34
1
2
11
yx
yx
100. Tìm các giá rị của a để phương trình :

( )
032)3(
222
=−++−− axaxaa
Nhận x=2 là nghiệm .Tìm nghiệm còn lại của phương trình ?
101. Giải phương trình : x
2
+ x + 12
301 =+x
102. Cho A =








−
−
−








+

+
+
1
1
.1
1 a
aa
a
aa
Víi a
≥
0 , a
≠
1
a) Rút gọn A.
b) Với a
≥
0 , a
≠
1 . Tìm a sao cho A = - a
2
.
_______________________________________________________________________________________
Trang - 17 -
BÀI TẬP ĐẠI SỐ
_______________________________________________________________________________________
103. Trên hệ trục toạ độ Oxy cho các điểm : M(2;1) và N(5;-
2
1
) và đường thẳng (d): y = ax + b.

a) Tìm a và b để đường thẳng (d) đi qua M và N .
b) Xác định toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) với hai trục Oy và Ox .
104. Rút gọn biểu thức : M =
1 1
.
1 1
a a
a
a a
 
−
+
 ÷
 ÷
− +
 
với a
≥
0 và a
≠
1
105. Tìm hệ số x, y thoả mãn các điều kiện :
2 2
25
12
x y
xy

+ =


=

106. Cho các hàm số : y =
2
x
(P) và y = 3x +
2
m
(d) ( x là biến số , m là số cho trước)
a) CMR với bất kỳ giá trị nào của m , đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt
b) Gọi
1 2
;y y
là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) . Tìm m để có đẳng thức :
1 2 1 2
11y y y y+ =
107. Cho biểu thức P=
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x để P <
1
2
108. Cho phương trình
a) Giải phương trình khi b= -3 và c=2
b) Tìm b,c để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và tích của chúng bằng 1
109. Cho đường thẳng y = (m-1)x+2. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó là lớn nhất.
110. P=
a) Kết quả rút gọn với điều kiện xác định của biểu thức P là
b) Yêu cầu . Đối chiếu với điều kiện
xác định của P có kết quả cần tìm là
111. Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) x
2
– 2 x + 4 = 0
b) x
4
– 29x
2
+ 100 = 0
c)
5 6 17
9 7
x y
x y
+ =


− =


112. Thu gọn các biểu thức sau:
_______________________________________________________________________________________
Trang - 18 -
BÀI TẬP ĐẠI SỐ
_______________________________________________________________________________________
a)
b)
113. Thực hiện:
a) Chứng minh
9 4 2 2 2 1+ = +
.

b) Rút gọn phép tính
A 4 9 4 2
= − +
.
114. Cho phương trình 2x
2
+ 3x + 2m – 1 = 0
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
115. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2x
2
+ 3x + 4.
116. Cho phương trình x
2
– 7x + m = 0
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình. Tính S = x
1
2
+ x
2
2
.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
117. Cho a, b là 2 số dương, chứng minh rằng
(

)
(
)
2 2
2 2 2 2
a b a b
a b a a b b
2
+ − +
+ − + − =
118. Thực hiện phép tính
1
a) 2 6 4 3 5 2 8 .3 6
4
2 2
b)
3 5 3 5
 
− + −
 ÷
 
+
+ −
119. Cho phương trình x
2
– 2x – 3m
2
= 0 (1).
a) Giải phương trình khi m = 0.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

c) Chứng minh phương trình 3m
2
x
2
+ 2x – 1 = 0 (m ≠ 0) luôn có hai nghiệm phân biệt và mỗi nghiệm của nó là
nghịch đảo của một nghiệm của phương trình (1).
120. Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình
2 3 3 x 3 y 3
− = −
121. Cho biểu thức
( ) ( )
a 3 a 2 a a 1 1
P :
a 1
a 1 a 1
a 2 a 1
 
+ + +
 
 
= − +
 ÷
 
−
+ −
+ −
 
 
a) Rút gọn P.
b) Tìm a để

1 a 1
1
P 8
+
− ≥
122. Cho hai số dương x, y thoả mãn điều kiện x + y = 2. Chứng minh x
2
y
2
(x
2
+ y
2
)
≤
2
_______________________________________________________________________________________
Trang - 19 -
BÀI TẬP ĐẠI SỐ
_______________________________________________________________________________________
123. Cho biểu thức
x 1 2 x
P 1 : 1
x 1
x 1 x x x x 1
   
= + − −
 ÷  ÷
+
− + − −

   
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa và rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức
P x
−
nhận giá trị nguyên.
124. Thực hiện:
a) Giải phương trình x
4
– 4x
3
– 2x
2
+ 4x + 1 = 0.
b) Giải hệ
2 2
2
x 3xy 2y 0
2x 3xy 5 0

− + =


− + =


125. Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
1 1
A

x y xy
= +
+
.
126. Thực hiện:
a) Giải phương trình 5x
2
+ 6 = 7x – 2.
b) Giải hệ phương trình
3x y 5
x 2y 4
− =


+ =

c) Tính
18 12
2 3
−
127. Cho (P) y = -2x
2
a) Trong các điểm sau điểm nào thuộc, không thuộc (P)? tại sao?
A(-1; -2); B(
1 1
;
2 2
−
); C(
2; 4

−
)
b) Tìm k để đường thẳng (d): y = kx + 2 cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
c) Chứng minh điểm E(m; m
2
+ 1) không thuộc (P) với mọi giá trị của m.
128. Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi số thực x khác 0 và thỏa mãn
( )
2
1
f x 3f x
x
 
+ =
 ÷
 
với mọi x khác 0. Tính giá trị
f(2).
129. Thực hiện:
a) Tính
9 1
2 1 5 : 16
16 16
 
−
 ÷
 
b) Giải hệ
3x y 2
x y 6

− =


+ =

c) Chứng minh rằng
3 2
−
là nghiệm của phương trình x
2
– 6x + 7 = 0.
130. Cho (P):
2
1
y x
3
=
.
a) Các điểm
( ) ( )
1
A 1; ; B 0; 5 ; C 3;1
3
 
−
 ÷
 
, điểm nào thuộc (P)? Giải thích?
_______________________________________________________________________________________
Trang - 20 -

BÀI TẬP ĐẠI SỐ
_______________________________________________________________________________________
b) Tìm k để (d) có phương trình y = kx – 3 tiếp xúc với (P).
c) Chứng tỏ rằng đường thẳng x =
2
cắt (P) tại một điểm duy nhất. Xác định tọa độ giao điểm đó.
131. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
A 2x 2xy y 2x 2y 1= + + − + +
.
132. Thực hiện: Cho
a a a a
P 1 1 ; a 0, a 1
a 1 1 a
  
+ −
= + − ≥ ≠
 ÷ ÷
+ − +
  
a) Rút gọn P.
b) Tìm a biết P >
2−
.
c) Tìm a biết P =
a
.
133. Chứng minh rằng
13 30 2 9 4 2 5 3 2
+ + + = +

134. Cho phương trình mx
2
– 2(m-1)x + m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = - 1.
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
c) Gọi hai nghiệm của (1) là x
1
, x
2
. Hãy lập phương trình nhận
1 2
2 1
x x
;
x x
làm nghiệm.
135. Thực hiện:
a) Giả sử phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm dương x
1
. Chứng minh rằng phương trình cx
2
+ bx + a = 0 cũng
có nghiệm dương là x
2
và x
1
+ x
2

≥
0.
b) Tìm cặp số (x, y) thỏa mãn phương trình x
2
y + 2xy – 4x + y = 0 sao cho y đạt giá trị lớn nhất.
136. Cho
( )
2
2
2
1 2x 16x
1
P ; x
1 4x 2
− −
= ≠ ±
−
a) Chứng minh
2
P
1 2x
−
=
−
b) Tính P khi
3
x
2
=

137. Tính
2 5 24
Q
12
+ −
=
138.
139. Cho hai phương trình ẩn x sau:
( )
2 2
x x 2 0 (1); x 3b 2a x 6a 0 (2)
+ − = + − − =
a) Giải phương trình (1).
b) Tìm a và b để hai phương trình đó tương đương.
c) Với b = 0. Tìm a để phương trình (2) có nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn x
1
2
+ x
2
2
= 7
140. Giải phương trình
2 2
ax ax - a 4a 1
x 2
a

− + −
= −
. Với ẩn x, tham số a.
_______________________________________________________________________________________
Trang - 21 -
BÀI TẬP ĐẠI SỐ
_______________________________________________________________________________________
141. Rút gọn
( ) ( ) ( )
2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 2+ − − − + −
.
142. Cho
a b
x
b a
= +
với a < 0, b < 0.
a) Chứng minh
2
x 4 0− ≥
.
b) Rút gọn
2
F x 4
= −
.
143. Cho phương trình
( ) ( )
2 2
x 2 x 2mx 9 0 (*)

− + − + =
; x là ẩn, m là tham số.
a) Giải (*) khi m = - 5.
b) Tìm m để (*) có nghiệm kép.
144. Cho hàm số y = - x
2
có đồ thị là (P); hàm số y = 2x – 3 có đồ thị là (d).
a) Vẽ đồ thị (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (d).
b) Cho điểm M(-1; -2), bằng phép tính hãy cho biết điểm M thuộc ở phía trên hay phía dưới đồ thị (P), (d).
c) Tìm những giá trị của x sao cho đồ thị (P) ở phái trên đồ thị (d).
145. Hãy tính
1999 1999 1999
F x y z
− − −
= + +
theo a. Trong đó x, y, z là nghiệm của phương trình:
( )
x y z a xy yz zx a xyz 0; a 0
+ + − + + + − = ∀ ≠
146. Thực hiện:
I.Giải bất phương trình, hệ phương trình, phương trình
2
2x 3y 12
a) 2x 6 0 b) x x 6 0 c)
3x y 7
+ =

− ≤ + − =

− =


II.Từ kết quả của phần 1. Suy ra nghiệm của bất phương trình, phương trình, hệ phương trình sau:
2 p 3 q 12
a) 2 y 6 0 b) t t 6 0 c)
3 p q 7
 + =

− ≤ + − =

− =


147. Thực hiện:
a) Chứng minh
( ) ( )
2 2
1 2a 3 12a 2 2a− + + = +
.
b) Rút gọn
( )
2 3 2 3 3 2 3
2 24 8 6
3 2
4 2 2 3 2 3 2 3
    
+
+ + − + −
 ÷ ÷  ÷
+ + −
    

148. Rút gọn:
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
T 1 1 1 1
2 3 3 4 4 5 1999 2000
= + + + + + + + + + + + +
149. Giải các phương trình sau
a) 4x – 1 = 2x + 5
b) x
2
– 8x + 15 = 0
c)
2
x 8x 15
0
2x 6
− +
=
−
150. Thực hiện:
_______________________________________________________________________________________
Trang - 22 -
BÀI TẬP ĐẠI SỐ
_______________________________________________________________________________________
a) Chứng minh
( )
2
3 2 2 1 2
− = −
.

b) Rút gọn
3 2 2−
.
c) Chứng minh
( ) ( )
2 2
1 1
3 2 17 2 2 17
2 2 7 2 2 17
   
− + = − +
   
− −
   
151. Giải hệ phương trình
2 2
2
x 2x y 0
x 2xy 1 0

− + =


− + =


152. Giải bất phương trình (x – 1)(x + 2) < x
2
+ 4.
153. Thực hiện:

a) Rút gọn biểu thức
1
P 175 2 2
8 7
= + −
+
.
b) Với giá trị nào của m thì phương trình 2x
2
– 4x – m + 3 = 0 (m là tham số) vô nghiệm.
154. Thực hiện:
a) Giải bất phương trình (x + 1)(x – 4) < 0.
b) Giải và biện luận bất phương trình
1 x mx m
+ ≥ +
với m là tham số.
155. Giải hệ phương trình
3 6
1
2x y x y
1 1
0
2x y x y

− = −

− +




− =

− −

156. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
P x 26y 10xy 14x 76y 59= + − + − +
. Khi đó x, y có giá trị bằng bao nhiêu?
157. Giải phương trình
( )
(
)
2
x x 2 1 1 x= + − −
158. Tính
( ) ( )
2
2 2
4m 4m 1
a) 5 1 5 1 b)
4m 2
− +
+ + −
−
159. Thực hiện:
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y =
2
x
2
.

b) Tìm a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua điểm (0; -1) và tiếp xúc với (P)
160. Cho hệ phương trình
( )
mx my 3
1 m x y 0
+ = −


− + =

a) Giải hệ với m = 2.
b) Tìm m để hệ có nghiệm âm (x < 0; y < 0).
161. Thực hiện:
a) Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp, biết rằng tích của chúng bằng 3024.
_______________________________________________________________________________________
Trang - 23 -
BÀI TẬP ĐẠI SỐ
_______________________________________________________________________________________
b) Có thể tìm được hay không ba số a, b, c sao cho:
( ) ( ) ( )
2 2 2
a b c a b c
0
a b b c c a
a b b c c a
+ + = + + =
− − −
− − −
162. Thực hiện:Cho biểu thức
x 1 x 1 8 x x x 3 1

B :
x 1 x 1
x 1 x 1 x 1
   
+ − − −
= − − −
 ÷  ÷
− −
− + −
   
a) Rút gọn B.
b) Tính giá trị của B khi
x 3 2 2
= +
.
c) Chứng minh rằng
B 1
≤
với mọi giá trị của x thỏa mãn
x 0; x 1
≥ ≠
.
163. Giải hệ phương trình
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
x y x y 5

x y x y 9

− + =


+ − =


164. Cho hàm số:
( ) ( )
2 2 2
y x 1 2 x 2 3 7 x
= + + − + −
a) Tìm khoảng xác định của hàm số.
b) Tính giá trị lớn nhất của hàm số và các giá trị tương ứng của x trong khoảng xác định đó.
165. Cho a, b, c là ba số dương.
Đặt
1 1 1
x ; y ; z
b c c a a b
= = =
+ + +
Chứng minh rằng a + c = 2b
⇔
x + y = 2z.
166. Xác định giá trị của a để tổng bình phương các nghiệm của phương trình:
x
2
– (2a – 1)x + 2(a – 1) = 0, đạt giá trị nhỏ nhất.
167. Giải hệ phương trình:

( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
x xy y x y 185
x xy y x y 65

+ + + =


− + + =


168. Thực hiện:
I.Giải các phương trình:
2
2
2 1 9 3
1
5 2 10 4
a) b) 2x 1 5x 4
x
1
2
2
− +
= − = −
 
 ÷
 

II.Giải các hệ phương trình:
x y 3 3x 2y 6z
a) b)
xy 10 x y z 18
− = − = =
 
 
= + + =
 
169. Thực hiện:
a) Rút gọn
( ) ( )
( )
5 3 50 5 24
75 5 2
+ −
−
_______________________________________________________________________________________
Trang - 24 -
BÀI TẬP ĐẠI SỐ
_______________________________________________________________________________________
b) Chứng minh
( )
a 2 a 1; a 0
− ≤ ∀ ≥
.
170. Cho
1 2 1996
1 2 1996
a a a 27

b b b 7
= = = =
.
Tính
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1997
1997 1997
1 2 1996
1997
1997 1997
1 2 1996
a 2 a 1996 a
b 2 b 1996 b
+ + +
+ + +
171. Thực hiện:
I.Giải hệ phương trình sau:
1 3
2
2x 3y 1
x 2 y
a) b)
x 3y 2 2 1
1
x 2 y


− =

− =
−


 
+ =


− =

−

II Tính
( ) ( )
6 2 5
a) 3 2 2 3 3 2 2 3 b)
2 20
−
− +
−
172. Thực hiện:
I.Cho phương trình x
2
– ax + a + 1 = 0.
a) Giải phương trình khi a = - 1.
b) Xác định giá trị của a, biết rằng phương trình có một nghiệm là
1
3

x
2
=
. Với giá trị tìm được của a, hãy tính
nghiệm thứ hai của phương trình.
II.Chứng minh rằng nếu
a b 2+ ≥
thì ít nhất một trong hai phương trình sau đây có nghiệm: x
2
+ 2ax + b = 0; x
2
+
2bx + a = 0.
173. Cho
(
)
(
)
2 2
x x 1999 y y 1999 1999+ + + + =
. Tính S = x + y.
174. Thực hiện:
I.Cho
2
1 1
M 1 a : 1
1 a
1 a
 
 

= + − +
 ÷
 ÷
+
 
−
 
a) Tìm tập xác định của M.
b) Rút gọn biểu thức M.
c) Tính giá trị của M tại
3
a
2 3
=
+
.
II.Tính
40 2 57 40 2 57
− − +
175. Thực hiện:
I.Cho phương trình (m + 2)x
2
– 2(m – 1) + 1 = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép.
c) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt, tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiẹm không phụ thuộc vào m.
_______________________________________________________________________________________
Trang - 25 -