De thi HSNK toan 7 Phong GD&ĐT Thanh Ba 2010

Phòng giáo dục và đào tạo thanh ba
đề thi học sinh năng khiếu môn toán lớp 7
năm học 2009 2010
( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề )
Bài 1. (2điểm)
a) Cho x = 2009. Tính giá trị của biểu thức:
A =
2009 2008 2007
2008 2008 2008 1x x x x +
b) Tìm x biết :
2
2,5 10 4,5
3
x + = +
Bài 2. (2điểm)
Cho
32
ba
=
và a.b = 2010. Tìm a và b
Bài 3. (2điểm)
a) Chứng minh rằng nếu a+c=2b và 2bd = c (b+d) thì
d
c
b
a
=
với b,d khác 0
b) Cho
( ) ( ) ( )
2 2 2

1 1 2 2
0
n n n
m m
x p y q x p y q x p y q + + +
Với m,n
*
N
Chứng minh rằng:
1 2
1 2


m
m
x x x
q
y y y p
+ + +
=
+ + +
Bài 4.(2điểm)
Cho điểm M nằm trong tam giác ABC . chứng minh rằng
BCACABMCMBMA
BCACAB
++<++<
++
2
Bài 5.(2điểm)
a) Tìm các số tự nhiên x; y sao cho

5
2
3
1
=+
y
x
b) Trên mặt phẳng cho 2009 điểm sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Xét tất
cả các đoạn thẳng nối 2009 điểm nói trên. Chứng minh rằng nếu kẻ đờng thẳng d
bất kì không đi qua bất kì điểm nào trong số các điểm nói trên thì số đoạn thẳng bị
đờng thẳng d cắt là một số chẵn.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
phòng giáo dục và đào tạo thanh ba
hớng dẫn chấm thi học sinh năng khiếu môn toán lớp 7
năm học 2009 2010
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1 (2điểm)
a) Cho x = 2009. Tính giá trị của biểu thức:
A =
2009 2008 2007
2008 2008 2008 1x x x x +
Thay 2008 = x-1 vào biểu thức A ta có:

( ) ( ) ( )
2009 2008 2007
2009 2009 2008 2008 2007 2
1 1 1 1
1
1
A x x x x x x x

x x x x x x x
x
= +
= + + + +
= +
b) Tìm x biết :
2
2,5 10 4,5
3
x + = +

2 2
2,5 5,5 3
3 3
x x + = =
Vậy x=
11
3
hoặc x =
7
3


0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 2 (2điểm)
Cho
32

ba
=
và a.b = 2010 . Tìm a và b
Đặt
32
ba
=
= k => a = 2k; b = 3k
Từ a.b=2010 => 2k.3k = 2010 => k
2
= 335 => k =
335
hoặc k = -
335
nếu k =
335
=> a= 2.
335
; b = 3
335
nếu k = -
335
=> a= -2.
335
; b = -3
335
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

Bài 3 (2điểm)
a) Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d = c(b+d)
Hay ad = bc Suy ra
d
c
b
a
=
( ĐPCM)
0,5đ
0,5đ
b) Cho
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 2 2
0
n n n
m m
x p y q x p y q x p y q + + +
Với m,n
*
N
Chứng minh rằng:
1 2
1 2


m
m
x x x

q
y y y p
+ + +
=
+ + +
Ta có (x
1
p y
1
q)
2n

0
; (x
2
p y
2
q)
2n

0
;; (x
m
p y
m
q)
2n

0
Nên

( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 2 2
0
n n n
m m
x p y q x p y q x p y q + + +
Mà theo đề bài thì:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 2 2
0
n n n
m m
x p y q x p y q x p y q + + +
Suy ra (x
1
p y
1
q) =(x
2
p y
2
q) == (x
m
p y
m
q) = 0
Do đó
1 2

1 2
1 2 1 2



m m
m m
x x x x
x x q
y y y y y y p
+ + +
= = = = =
+ + +

0,25đ
0,25đ
0,5đ
Bài 4(2điểm)
Cho điểm M nằm trong tam giác ABC . chứng minh rằng
BCACABMCMBMA
BCACAB
++<++<
++
2
M
A
B
C
E
D

Ta có MA+MB > AB
MB+MC > BC
MA+MC > AC
=>2MA+2MB+2MC > AB+AC+BC
=>
MCMBMA
BCACAB
++<
++
2
Gọi giao của BM và AC là D
ta có
MA + MB < MB+AD +MD = DA + DB < DA + DC + BC = AC + BC
=> MA +MB < AC+BC
Tơng tự ta có MB +MC < AB + AC
MA + MC < BA + BC
Cộng các bất đẳng thức trên ta có MA + MB + MC < AB + AC + BC
1đ
1đ
Bài 5(2điểm)
Tìm các số tự nhiên x; y sao cho
5
2
3
1
=+
y
x

Từ

5
2
3
1
=+
y
x
=>
1 2 6 5
5 3 15
y y
x

= =
=> x(6-5y) = 15
=> do x là số tự nhiên nên x là ớc của 15
nếu x=1 => 6-5y =15 (loại)
x= 3 => 6-5y = 5 (loại)
x=5=> 6-5y = 3 (loại)
x= 15 => 6-5y =1 => y =1
Vậy các số cần tìm là x= 15; y=1
b) Trên mặt phẳng cho 2009 điểm sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng.
Xét tất cả các đoạn thẳng nối 2009 điểm nói trên. Chứng minh rằng: nếu kẻ đ-
ờng thẳng d bất kì không đi qua bất kì điểm nào trong số các điểm nói trên thì
số đoạn thẳng bị đờng thẳng d cắt là một số chẵn.
Kẻ đờng thẳng d bất kì không đi qua 2009 điểm nói trên
khi đó đờng thẳng d chia mặt phẳng làm hai phần
giả sử phần thứ nhất của mặt phẳng chứa n điểm
khi đó nửa mặt phẳng còn lại chứa ( 2009-n) điểm
để một đoạn thẳng nào đó cắt đờng thăng d thì hai đầu mút phải nằm trên hai

nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là d .
nối n điểm của nửa mặt phẳng này với ( 2009-n) điểm của nửa mặt phẳng còn
lại ta đợc n(2009-n) đoạn thẳng
đo đó ta có số đoạn thẳng bị đờng thẳng d cắt là n(2009-n)
mà n(2009-n) luôn chẵn với mọi số tự nhiên n
vậy số đoạn thẳng bị d cắt luôn chẵn
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Lu ý:
- Trên đây chỉ là một phơng án nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn
cho điểm tối đa
-Trong quá trình chấm giám khảo có thể chia nhỏ thang điểm cho phù hợp
với bài làm của học sinh.