TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 (Đầy đủ cả Hình và Đại)

NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHỦ YẾU
(Phục vụ cho chương trình lớp 9 và ôn thi vào lớp 10)
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠0) (1)
*Trong trường hợp giải và biện luận, cần chú ý khi a = 0 phương trình trở
thành bậc nhất một ẩn .
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Các dạng và cách giải
Dạng 1: c = 0 khi đó:
( ) ( )
2
x 0
1 ax bx 0 x ax+b 0
b
x
a
=


⇔ + = ⇔ = ⇔

= −

Dạng 2: b = 0 khi đó
( )
2 2
c
1 ax c 0 x

a
−
⇔ + = ⇔ =
- Nếu
c
0
a
−
≥
thì
c
x
a
−
= ±
.
- Nếu
c
0
a
−
<
thì phương trình vô nghiệm.
Dạng 3: Tổng quát
CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN
2
b 4ac∆ = −
2
' b' ac∆ = −
0∆ >

: phương trình có 2 nghiệm phân biệt
1 2
b b
x ; x
2a 2a
− + ∆ − − ∆
= =
' 0∆ >
: phương trình có 2 nghiệm phân biệt
1 2
b' ' b' '
x ; x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
0∆ =
: phương trình có nghiệm kép
1 2
b
x x
2a
−
= =
' 0∆ =
: phương trình có nghiệm kép
1 2
b'
x x
a
−

= =
0∆ <
: phương trình vô nghiệm
' 0∆ <
: phương trình vô nghiệm
Dạng 4: Các phương trình đưa được về phương trình bậc hai
Cần chú ý dạng trùng phương, phương trình vô tỉ và dạng đặt ẩn phụ,
còn dạng chứa ẩn ở mẫu và dạng tích.
3. Hệ thức Viet và ứng dụng
- Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x
1
, x
2
thì:
1 2
1 2
b
S x x
a
c
P x x
a

= + = −





= =


NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
- Nếu có hai số u và v sao cho
u v S
uv P
+ =


=


( )
2
S 4P≥
thì u, v là hai nghiệm của
phương trình x
2
– Sx + P = 0.
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x
1
= 1; x
2
=
c
a
.
- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x
1

= -1; x
2
=
c
a
−
.
4. Điều kiện có nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠0)
- (1) có 2 nghiệm
0∆ ≥
; có 2 nghiệm phân biệt
0∆ >
.
- (1) có 2 nghiệm cùng dấu
0
P 0
∆ ≥


>

.
- (1) có 2 nghiệm dương
0
P 0
S 0
∆ ≥



>


>

- (1) có 2 nghiệm âm
0
P 0
S 0
∆ ≥


>


<

- (1) có 2 nghiệm trái dấu ac < 0 hoặc P < 0.
5. Tìm điều kiện của tham số để 2 nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện
nào đó.
2 2
1 2 1 2
1 2
2 2 3 3
1 2 1 2
1 1
a) x x ; b) x x m; c) n
x x
d) x x h; e) x x t;

α + β = γ + = + =
+ ≥ + =
Trong những trường hợp này cần sử dụng hệ thức Viet và phương pháp giải hệ
phương trình.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1. Giải các phương trình sau
2 2 2
1
a) 3x 2x 0 b) x 8 0 c) x 3x 10 0
2
+ = − + = + − =
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
d) 2x 2 1 x 1 2 2 0; e) x 4 x 3 0; f ) x 1 x 2 x 3 x 4 3+ − + − = − + = + + + + =
Giải
( )
2
x 0
a) 3x 2x 0 x 3x 2 0
2
x
3
=


+ = ⇔ + = ⇔

= −


Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …
2 2
1
b) x 8 0 x 16 x 4
2
− + = ⇔ = ⇔ = ±
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
( )
2 2
1 2
c) a 1; b 3; c 10
b 4ac 3 4.1. 10 49 0
b 3 7 b 3 7
x 2; x 5
2a 2.1 2a 2.1
= = = −
∆ = − = − − = >
− + ∆ − + − − ∆ − −
= = = = = = −
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …
d) a 2; b 2 1; c 1 2 2= = − = −
Có
a b c 2 2 1 1 2 2 0+ + = + − + − =
Theo hệ thức Viet, có:
1 2
c 1 2 2 2 4
x 1; x
a 2
2

− −
= = = =
e) Đặt
t x 0= ≥
, ta có pt mới: t
2
– 4t + 3 = 0.
Có a + b + c = 1 + (-4) + 3 = 0.
Vậy t
1
= 1; t
2
= 3.
Suy ra: x
1
= 1; x
2
= 9.
f)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
x 1 x 2 x 3 x 4 3 x 5x 4 x 5x 6 3+ + + + = ⇔ + + + + =
Đặt x
2
+ 5x + 4 = t, ta có:
t .(t + 2) = 3
( ) ( )
2
t 1

t 2t 3 0 t 1 t 3 0
t 3
=

⇔ + − = ⇔ − + = ⇔

= −

Suy ra:
2 2
1 2
2 2
x 5x 4 1 x 5x 3 0
5 13 5 13
x ; x
2 2
x 5x 4 3 x 5x 7 0
 

+ + = + + =
− + − −
⇔ ⇔ = =
 

+ + = − + + =

 
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt …
VD2. Cho phương trình x
2

+ 3x – m = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 4.
b) Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình (1).
c) Tìm m để (1) có nghiệm x= -2. Tìm nghiệm còn lại.
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn một trong các điều kiện
sau:
1. 2x
1
+ 3x
2
= 13.
2. Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia ba đơn vị.
3. x
1
2
+ x
2
2
= 11.
e) Chứng tỏ rằng
1 2
1 1
;
x x
là nghiệm của phương trình mx
2

– 3x – 1 = 0. Trong đó x
1
,
x
2
là hai nghiệm của (1).
f) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu. Em có nhận xét gì về hai
nghiệm đó.
Giải
a) Với m = 4 ta có: x
2
+ 3x – 4 = 0 (a = 1; b = 3; c = -4)
Nhận thấy: a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0
Theo hệ thức Viet, có: x
1
= 1; x
2
=
c
4
a
= −
b) có:
2
b 4ac 9 4m∆ = − = +
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
1 2
9
0 9 4m 0 m
4

b 3 9 4m b 3 9 4m
x ; x
2a 2 2a 2
∆ > ⇔ + > ⇔ > −
− + ∆ − + + − − ∆ − − +
= = = =
1 2
9
0 9 4m 0 m
4
b 3
x x
2a 2
∆ = ⇔ + = ⇔ = −
−
= = = −
9
0 9 4m 0 m
4
∆ < ⇔ + < ⇔ < −
phương trình vô nghiệm.
c) Phương trình (1) có nghiệm x = -2, do đó:
(-2)
2
+ 3(-2) – m = 0
⇔
m = -2
- Tìm nghiệm thứ hai
cách 1: Thay m = -2 vào phương trình đã cho: x
2

+ 3x + 2 = 0
có a – b + c = 1 – 3 + 2 = 0 nên x
1
= -1; x
2
=
c
2
a
−
= −
Vậy nghiệm còn lại là x = - 1.
Cách 2: Ta có x
1
+ x
2
=
b
a
−

( )
2 1
b
x x 3 2 1
a
⇒ = − − = − − − = −
Cách 3: Ta có x
1
x

2
=
c
a

2 1
c m
x : x 1
a 2
−
⇒ = = = −
−
d) Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x
1
+ 3x
2
= 13
1 2
1 2
1 2
0
b
x x
a
c
x x
a
2x 3x 13
∆ ≥




+ = −

⇔


=


+ =

1 2
1 2
1 2
9
m
4
x x 3
x x m
2x 3x 13

≥ −



+ = −
⇔



= −

+ =


giải hệ tìm được x
1
= -22; x
2
= 19; m = 418.
- Tương tự ta tìm được (x
1
= -2; x
2
= -3; m = -6); (m=1)
e) Ta có
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 x x 3
x x x x m
1 1 1 1
.
x x x .x m
+

+ = =





= = −


mà
2
2 2
3 1 9 4 9 4m
4 0
m m m m m
+
   
− − = + = ≥
 ÷  ÷
   
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
Vậy
1 2
1 1
;
x x
là hai nghiệm của phương trình
2 2
3 1
x x 0 mx 3m 1 0
m m
− − = ⇔ − − =
f) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu
9
0

m
9
m 0
4
P 0
4
m 0

∆ ≥
≥ −


⇔ ⇔ ⇔ − ≤ <
 
>


− >

Hai nghiệm này luôn âm. Vì S = - 3.
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Giải các phương trình sau
( )
2 2 2 2
a) x 5x 0 b) 2x 3 0 c) x 11x 30 0 d) x 1 2 x 2 0− = + = − + = − + + =
( )
2
4 2
e) x 7x 12 0 f ) x 2 5 x 2 6 0− + = − − − + =
( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )
2
2 1 x 4
g) 0 h) x 1 x 2 x 5 x 2 20
x 4 x x 2 x x 2
−
− + = + + + − = −
− − +
2 2 2
2
1 1
i) 2x 8x 3 2x 4x 5 12 k) x 4,5 x 7 0
x x
 
− − − − = + − + + =
 ÷
 
Bài 2: Cho phương trình
2
x 2 3x 1 0− + =
, có hai nghiệm x
1
, x
2
. Không giải phương
trình. Hãy tính giá trị các biểu thức sau:
2 2
2 2 3 3
1 1 2 2
1 2 1 2

3 3
1 2 1 2
3x 5x x 3x
A x x ; B x x ; C
4x x 4x x
+ +
= + = + =
+
Bài 3: Cho phương trình x
2
+ mx + m+3 = 0.
a) Giải phương trình với m = -2.
b) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình.
c) Tính x
1
2
+ x
2
2
; x
1
3
+ x
2
3
theo m.
d) Xác định giá trị của m để x
1
2
+ x

2
2
= 10.
e) Tìm m để 2x
1
+ 3x
2
= 5.
f) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -3. Tính nghiệm còn lại.
g) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu dương.
Bài 4: Cho phương trình bậc hai: mx
2
– (5m-2)x + 6m – 5 = 0.
a) Giải phương trình với m = 2.
b) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau.
d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm là nghịch đảo của nhau.
e) Tìm m để phương trình có nghiệm là x = 0. Tìm nghiệm còn lại.
f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm.
Bài 5: Cho phương trình x
2
– mx + m – 1 = 0, ẩn x, tam số m.
a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi m. Tính nghiệm kép
(nếu có) cùng giá trị tương ứng của m.
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
b) Đặt A = x

1
2
+ x
2
2
– 6x
1
x
2
.
+) Chứng minh A = m
2
– 8m + 8.
+) Tìm m để A = 8.
+) Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị tương ứng của m.
Bài 6*: Cho phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 với abc ≠ 0.
a) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
.
b) Lập phương trình nhận hai số
( ) ( )
1 2
x ; x+ α + α
làm nghiệm.
c) Lập phương trình nhận hai số
1 2

x ; xα α
làm nghiệm.
d) Lập phương trình nhận hai số
1 2
1 1
;
x x
làm nghiệm.
e) Lập phương trình nhận hai số
1 2
2 1
x x
;
x x
làm nghiệm.
Bài 7: Cho phương trình x
2
+ (m + 2)x + 2m = 0.
a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình.
b) Phương trình có một nghiệm x = 3. Tìm m và nghiệm còn lại.
c) Tìm m để
1 2
2 1
x x
2
x x
+ =
.
d) Tìm m để
( ) ( )

1 2 1 2
2x x x 2x 0+ + ≥
.
e) Tìm biểu thức liên hệ giữa x
1
và x
2
mà không phụ thuộc vào m.
f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau.
g) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Có nhận xét gì về hai
nghiệm đó.
Bài 8: Cho phương trình x
2
– 2 (m + 1 )x + m
2
- 2m + 3 = 0 (1).
a) Giải phương trình với m = 1 .
b) Xác định giá trị của m để (1) có hai nghiệm trái dấu .
c) Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3 . Tìm nghiệm kia .
Bài 9: Cho phương trình x
2
– ( m+1)x + m
2
– 2m + 2 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 2 .
b) Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép
đó .
Với giá trị nào của m thì
2
2

2
1
xx +
đạt giá trị bé nhất , lớn nhất
Bài 10 : Cho phương trình : x
2
- 2(m - 2)x + 2m - 5 = 0 (1)
1/ Giải phương trình với m = 3
2/ CMR: phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
3/ Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình (1): Tìm m để:
B = x
1
(1 - x
2
) + x
2
(1 - x
1
) < 4.
Bài 11 : Cho phương trình:
01m1)x(2m2x
2
=−+−+
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
a, Giải phương trình với m = 2
b, Cmr: phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị cuả m

c, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn 3x
1
- 4x
2
= 1
Bài 12: Cho phương trình bặc hai:
0m1)x2(mx
22
=+++
a, Giải phương trình với m = 4
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
c, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm
bằng -2, khi đó tìm nghiệm còn lại
Bài 13: Cho phương trình: x
2
+ ( 2m - 1 ).x - m = 0
a) Giải phương trình khi m = 1
b) CMR: Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Tìm m để 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn :
2
11
1

2
2
1
=
+
+
+ x
x
x
x

Bài 14 : Cho phương trình : x
2
- 2m .x + m
2
- 9 = 0
a) Định m để phương tình có một nghiệm bằng 4 .Tính nghiệm còn lại
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn :
x
1
.x
2
- 2 ( x
1
+ x
2

) < 23
Bài 15 : Cho phương trình : 3x
2
– ( 3k – 2) x – ( 3k + 1) = 0 với x là ẩn số
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của k
b) Giải phương trình với k = 1
c) Tìm k để phương trình có nghiệm kép.
d) Tìm k để phương trình có 2 nghiệm dương.
e) Tìm k để nghiệm x
1
; x
2
của phương trình thoả mãn : 3x
1
– 5x
2
= 6.
HÀM SỐ - ĐỒ THỊ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Tính chất của hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠0)
- Đồng biến khi a > 0; nghịch biến khi a < 0.
- Đồ thị là đường thẳng nên khi vẽ chỉ cần xác định hai điểm thuộc đồ thị.
+ Trong trường hợp b = 0, đồ thị hàm số luôn đi qua gốc tọa độ.
+ Trong trường hợp b ≠ 0, đồ thị hàm số luôn cắt trục tung tại điểm b.
- Đồ thị hàm số luôn tạo với trục hoành một góc
α
, mà
tg aα =
.
- Đồ thị hàm số đi qua điểm A(x

A
; y
A
) khi và chỉ khi y
A
= ax
A
+ b.
2. Vị trí của hai đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ
Xét hai đường thẳng: (d
1
): y = a
1
x + b
1
; (d
2
): y = a
2
x + b
2
với a
1
≠ 0; a
2
≠ 0.
- Hai đường thẳng song song khi a
1
= a
2

và b
1
≠ b
2
.
- Hai đường thẳng trùng nhau khi a
1
= a
2
và b
1
= b
2
.
- Hai đường thẳng cắt nhau khi a
1
≠ a
2
.
+Nếu b
1
= b
2
thì chúng cắt nhau tại b
1
trên trục tung.
+Nếu a
1
.a
2

= -1 thì chúng vuông góc với nhau.
3. Tính chất của hàm số bậc hai y = ax
2
(a ≠ 0)
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
- Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0.
Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0.
- Đồ thị hàm số là một Parabol luôn đi qua gốc tọa độ:
+) Nếu a > 0 thì parabol có điểm thấp nhất là gốc tọa độ.
+) Nếu a < 0 thì Parabol có điểm cao nhất là gốc tọa độ.
- Đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
A
; y
A
) khi và chỉ khi y
A
= ax
A
2
.
4. Vị trí của đường thẳng và parabol
- Xét đường thẳng x = m và parabol y = ax
2
:
+) luôn có giao điểm có tọa độ là (m; am
2
).
- Xét đường thẳng y = m và parabol y = ax
2
:

+) Nếu m = 0 thì có 1 giao điểm là gốc tọa độ.
+) Nếu am > 0 thì có hai giao điểm có hoành độ là x =
m
a
±
+) Nếu am < 0 thì không có giao điểm.
- Xét đường thẳng y = mx + n ( m ≠ 0) và parabol y = ax
2
:
+) Hoành độ giao điểm của chúng là nghiệm của phương trình
hoành độ ax
2
= mx + n.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1: Cho (P): y = x
2
1. Vẽ (P) trên hệ trục Oxy.
2. Trên (P) lấy hai điểm A và B có hoành độ lần lượt là 1 và 3. Hãy viết
phương trình đường thẳng đi qua A và B.
3. Lập phương trình đường trung trực (d) của AB.
4. Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
5. Tính diện tích tứ giác có các đỉnh là A, B và các điểm 1; 3 trên trục hoành.
VD2: Trong cùng một hệ trục tọa độ, gọi (P), (d) lần lượt là đồ thị của các hàm số
2
x
y ; y x 1
4
= − = +
.
a) Vẽ (P) và (d).

b) Dùng đồ thị để giải phương trình
2
x 4x 4 0+ + =
và kiểm tra lại bằng phép
toán.
Phương trình đã cho
2
x
x 1
4
⇔ − = +
. Nhận thấy đồ thị của hai hàm số vừa
vẽ là đồ thị của
2
x
y
4
= −
và
y x 1= +
.
Mà đồ thị hai hàm số đo tiếp xúc nhau tại A nên phương trình có nghiệm
kép là hoành độ của điểm A.
c) Viết phương trình đường thẳng (d
1
) song song với (d) và cắt (P) tại điểm có
tung độ là - 4. Tìm giao điểm còn lại của (d
1
) với (P).
VD3: Cho (P): y =

2
1
x
4
và đường thẳng (d) đi qua hai điểm A, B trên (P) có hoành
độ lần lượt là – 2 và 4.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (P).
b) Viết phương trình đường thẳng (d).
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
c) Tìm M trên cung AB của (P) tương ứng với hoành độ x chạy trong khoảng
từ - 2 đến 4 sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
Do đáy AB không đổi nên để diện tích lớn nhất thì đường cao MH lớn nhất.
MH lớn nhất khi là khoảng cách từ AB đến đường thẳng (d)//AB và tiếp xúc với
(P).
Tìm được tọa độ của M
1
1;
4
 
 ÷
 
C. MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
Câu 1:
a) Tìm các giá trị của a , b biết rằng đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua hai
điểm
A( 2 ; - 1 ) và B (
)2;
2
1
b) Với giá trị nào của m thì đồ thị của các hàm số y = mx + 3 ; y = 3x –7 và đồ

thị của hàm số xác định ở câu ( a ) đồng quy .
Câu 2: Cho hàm số : y =
2
3
2
x
( P )
a) Tính giá trị của hàm số tại x = 0 ; -1 ;
3
1
−
; -2 .
b) Biết f(x) =
2
1
;
3
2
;8;
2
9
−
tìm x .
c) Xác định m để đường thẳng (D) : y = x + m – 1 tiếp xúc với (P) .
Câu 3: Cho hàm số y = ( m –2 ) x + m + 3 .
a) Tìm điều kiệm của m để hàm số luôn nghịch biến .
b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hành độ là 3 .
c) Tìm m để đồ thị các hàm số y = - x + 2 ; y = 2x –1và y = (m – 2 )x + m + 3
đồng quy .
Câu4: Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A( -2 , 2 ) và đường thẳng (D): y = - 2(x +1)

a) Điểm A có thuộc (D) hay không ?
b) Tìm a trong hàm số y = ax
2
có đồ thị (P) đi qua A .
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (D) .
Câu 5: Cho hàm số : y = -
2
2
1
x
a) Tìm x biết f(x) = - 8 ; -
8
1
; 0 ; 2 .
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B nằm trên đồ thị có
hoành độ lần lượt là -2 và 1 .
Câu 6: Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*)
1) Tính giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua : a) A( -1 ; 3 ) ; b) B( - 2 ; 5 )
2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là - 3 .
3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là - 5 .
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
Câu 7: Cho đường thẳng (d) có phương trình: y = mx -
2
m
- 1 và parabol (P) có
phương trình y =
2
2
x
.

a) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P).
b) Tính toạ độ các tiếp điểm
Câu 8: Cho parabol (P): y =
2
4
x
−
và đường thẳng (d): y =
1
2
−
x + n
a) Tìm giá trị của n để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P)
b) Tìm giá trị của n để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm.
c) Xác định toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) với (P) nếu n = 1
Câu 9: Cho hàm số y = -2.x
2
có đồ thị là (P) và đường thẳng (D
k
) : y = - k.x + k .
Định k để (D
k
)
a) Không cắt (P)
b) Cắt (P)
c) Tiếp xúc với (P) .Tìm tọa độ tiếp điểm trong trường hợp này
PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH
(Bậc nhất)
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Phương trình bậc nhất một ẩn

- Quy đồng khử mẫu.
- Đưa về dạng ax + b = 0 (a ≠ 0)
- Nghiệm duy nhất là
b
x
a
−
=
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
- Tìm ĐKXĐ của phương trình.
- Quy đồng và khử mẫu.
- Giải phương trình vừa tìm được.
- So sánh giá trị vừa tìm được với ĐKXĐ rồi kết luận.
3. Phương trình tích
Để giái phương trình tích ta chỉ cần giải các phương trình thành phần của nó.
Chẳng hạn: Với phương trình A(x).B(x).C(x) = 0
( )
( )
( )
A x 0
B x 0
C x 0
=

⇔ =


=

4. Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trình)

Dạng phương trình này sau khi biến đổi cũng có dạng ax + b = 0. Song giá trị
cụ thể của a, b ta không biết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm của phương
trình.
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
- Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất
b
x
a
−
=
.
- Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.
- Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm.
5. Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cần chú ý khái niệm giá trị tuyệt đối của một biểu thức
A khi A 0
A
A khi A 0
≥

=

− <

6. Hệ phương trình bậc nhất
Cách giải chủ yếu dựa vào hai phương pháp cộng đại số và thế. Chú ý phương
pháp đặt ẩn phụ trong một số trường hợp xuất hiện các biểu thức giống nhau ở cả hai
phương trình.
7. Bất phương trình bậc nhất
Với bất phương trình bậc nhất thì việc biến đổi tương tự như với phương trình

bậc nhất. Tuy nhiên cần chú ý khi nhân và cả hai vế với cùng một số âm thì phải đổi
chiều bất phương trình.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1. Giải các phương trình sau
a)
( ) ( )
2 x 3 1 2 x 1 9− + = + −
b)
( )
7x 20x 1,5
5 x 9
8 6
+
− − =
c)
2 2
13 1 6
2x x 21 2x 7 x 9
+ =
+ − + −
d)
x 3 3 x 7 10− + − =
(*)
Giải
( ) ( )
a) 2 x 3 1 2 x 1 9 2x 5 2x 7 5 7− + = + − ⇔ − = − ⇔ − = −
(Vô lý)
Vậy phương trình vô nghệm.
( )
7x 20x 1,5

b) 5 x 9 21x 120x 1080 80x 6 179x 1074 x 6
8 6
+
− − = ⇔ − + = + ⇔ − = − ⇔ =
Vậy phương trình có nghiệm x = 6.
c)
2 2
13 1 6
2x x 21 2x 7 x 9
+ =
+ − + −
( ) ( ) ( ) ( )
13 1 6
x 3 2x 7 2x 7 x 3 x 3
⇔ + =
− + + − +
ĐKXĐ:
7
x 3; x
2
≠ ± ≠ −
( ) ( ) ( ) ( )
2
13 x 3 x 3 x 3 6 2x 7 13x 39 x 9 12x 42⇒ + + − + = + ⇔ + + − = +
( ) ( )
2
x 3 DKXD
x x 12 0 x 3 x 4 0
x 4 DKXD
= ∉


⇔ + − = ⇔ − + = ⇔

= − ∈

Vậy phương trình có nghiệm x = - 4.
d) Lập bảng xét dấu
x 3 7
x – 3 - 0 + +
x - 7 - - 0 +
- Xét x < 3:
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
(*)
( )
7
3 x 3 7 x 10 24 4x 10 4x 14 x
2
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ − = − ⇔ =
(loại)
- Xét
3 x 7≤ <
:
(*)
( )
x 3 3 7 x 10 2x 18 10 2x 8 x 4⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔ − = − ⇔ =
(t/mãn)
- Xét
x 7≥
:
(*)

( )
17
x 3 3 x 7 10 4x 24 10 4x 34 x
2
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
(loại)
Vậy phương trình có nghiệm x = 4.
VD2. Giải và biện luận phương trình sau:
a)
2 2
x a b x b a b a
a b ab
+ − + − −
− =
(1)
b)
( )
2
2
a x 1
ax 1 2
x 1 x 1 x 1
+
−
+ =
− + −
(2)
Giải
a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ 0.
( ) ( )

( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
(1) b x a b a x b a b a
bx ab b ax ab a b a
b a x 2 b a b a
⇔ + − − + − = −
⇔ + − − − + = −
⇔ − = − +
- Nếu b – a ≠ 0
b a⇒ ≠
thì
( ) ( )
( )
2 b a b a
x 2 b a
b a
− +
= = +
−
- Nếu b – a = 0
b a⇒ =
thì phương trình có vô số nghiệm.
Vậy:
- Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a).
- Với b = a, phương trình có vô số nghiệm
b) ĐKXĐ:
x 1
≠ ±
( ) ( ) ( )

( )
( )
2
2 2
(2) ax-1 x 1 2 x 1 a x 1
ax ax x 1 2x 2 ax a
a 1 x a 3
⇒ + + − = +
⇔ + − − + − = +
⇔ + = +
- Nếu a + 1 ≠ 0
a 1⇒ ≠ −
thì
a 3
x
a 1
+
=
+
- Nếu a + 1 = 0
a 1⇒ = −
thì phương trình vô nghiệm.
Vậy:
- Với a ≠ -1 và a ≠ -2 thì phương trình có nghiệm duy nhất
a 3
x
a 1
+
=
+

- Với a = -1 hoặc a = -2 thì phương trình vô nghiệm.
VD3. Giải các hệ phương trình sau
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
1 1 5
x 2y 3z 2
x 5y 7
x y x y 8
a) b) c) x 3y z 5
3x 2y 4 1 1 3
x 5y 1
x y x y 8

+ − =
+ =


+ =
+ −

 
− + =
  
− =

 
− =
− =


− +


Giải

( )
x 7 5y
x 5y 7 x 7 5y x 7 5y x 2
a)
3 7 5y 2y 4
3x 2y 4 21 17y 4 y 1 y 1
= −

+ = = − = − =
   
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
    
− − =
− = − = = =
   

hoặc
x 5y 7 3x 15y 21 17y 17 y 1
3x 2y 4 3x 2y 4 3x 2y 4 x 2
+ = + = = =
   
⇔ ⇔ ⇔
   
− = − = − = =
   
b) ĐK:
x y≠ ±

đặt
1 1
u; v
x y x y
= =
+ −
Khi đó, có hệ mới
5
1
2v 1
u v
v
8
2
5
1
3
u v
u
u v
8
8
8
 
=
+ =
=

 
  

⇔ ⇔
  
+ =
  
=
− + =





Thay trở lại, ta được:
x y 8 x 5
x y 2 y 3
+ = =
 
⇔
 
− = =
 
c)
x 2y 3z 2 x 1 5y x 1 5y x 6
x 3y z 5 1 5y 2y 3z 2 7y 3z 1 y 1
x 5y 1 1 5y 3y z 5 2y z 4 z 2
+ − = = + = + =
   
   
− + = ⇔ + + − = ⇔ − = ⇔ =
   
   

− = + − + = + = =
   
C. MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1: Giải các phương trình sau
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
x 17 3x 7
a) 3 x 4 5 x 2 4 3x 1 82;b) 2
5 4
x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 7x 3
c) ;d)
65 64 63 62 x 3 x 3 9 x
x 2 1 2
e) ;f ) x 3 5
x 2 x x x 2
g) 3x 1 2x 6;h) 2 x 3 2x 1 4
i) x 2 x 3 2x 1;k) 5 3x x 3 3x 1 x 2
4x 3 x 1 2x 3 x 2
l)
3 6 2 4
+ −
+ − − = − + − = −
+ + + + − −
+ = + − =
+ − −
+
− = + =
− −

− = + − − + =
− + − = + + < − +
+ − − +
− > −
2: Giải và biện luận các phương trình sau
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
( )
2
2
2
x a x b
a) b a
a b
b) a x 1 3a x
ax-1 x a a 1
c)
a+1 1 a a 1
a 1 a 1 a 1
d)
x a x 1 x a x 1
− −
+ = +
− − =
+ +
− =
− −
− +
+ = +
− + − +
3: Cho hệ phương trình

( )
m 1 x y 3
mx y m
 + − =

+ =

a) Giải hệ với m = -
2
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x + y dương.
4: Cho hệ phương trình



+=+
=+
1
2
mymx
myx
a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Chứng tỏ rằng
∀
m
1±≠
hệ luôn có nghiệm duy nhất
c) Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn x + y < 0
d) Với giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm nguyên duy nhất
5: Cho hệ phương trình






=+−
=+−
222
4
2
yx
myxm
(1)
a) Giải hệ phương trình khi m = 1 (2)
b) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất
c) Tìm giá trị của m để hai đường thẳng(1) và (2) của hệ cắt nhau tại một điểm
thuộc góc phần tư thứ II của hệ trục Oxy
6: Cho hệ phương trình



=+
=−
42
2
myx
ymx
a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn hệ thức: 2x - y +
1
2

2
2
=
+
+
m
m
7: Cho hệ phương trình



−=−
=+
43ny2mx
3nymx
1. Giải hệ phương trình với n = m = 1
2. Tìm giá trị của n và m để x = 2; y = 1 là nghiệm của hệ phương trình
8: Cho hệ phương trình :



=+
=+−
13
52
ymx
ymx
a) Giải hệ phương trình khi m = 1 .
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm nằm trong góc phần tư thứ I
c) Tìm m để x – y = 2 .

9: Cho hệ phương trình



=+
−=−
12
7
2
yx
yxa
a) Giải hệ phương trình khi a = 1
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
Gọi nghiệm của hệ phương trình là ( x , y) Tìm các giá trị của a để x + y = 2
10: Cho hệ phương trình .




=+
=−
nyx
nymx
2
5
a, Giải hệ khi m = n = 1 ; b, Tìm m , n để hệ đã cho có nghiệm



+=

−=
13
3
y
x
CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP, TỔNG HỢP
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Phương pháp chứng minh
- Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm.
- Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù nhau.
- Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc
bằng nhau.
- Chứng minh tổng của góc ngoài tại một đỉnh với góc trong đối diện bù nhau.
- Nếu MA.MB = MC.MD hoặc NA.ND = NC.NB thì tứ giác ABCD nột tiếp.
(Trong đó
M AB CD; N AD BC= ∩ = ∩
)
- Nếu PA.PC = PB.PD thì tứ giác ABCD nội tiếp. (Trong đó
P AC BD= ∩
)
- Chứng minh tứ giác đó là hình thang cân; hình chữ nhật; hình vuông; …
Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn ta có thể chứng
minh lần lượt 4 điểm một lúc. Song cần chú ý tính chất “Qua 3 điểm không thẳng
hàng xác định duy nhất một đường tròn”
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, trên đó có điểm M. Trên đường kính
AB lấy điểm C sao cho AC < CB. Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By tại A và B với (O).
Đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax ở P, đường thẳng qua C vuông góc
với CP cắt By tại Q. Gọi D là giao điểm của CQ và BM. Chứng minh:
a) Các tứ giác ACMP, CDME nội tiếp.

b) Ba điểm P, M, Q thẳng hàng.
c) AB//DE.
VD2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AA’, đường cao AM.
a) Hai đường cao BN, CP cắt nhau tại H và PN cắt AA’ tại S. Chứng minh các
tứ giác BPNC và A’SNC nội tiếp.
b) Chứng minh PN vuông góc với AA’.
C. MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1: Cho (O; R) và dây cung AB ( AB < 2R). Trên tia AB lấy điểm C sao cho AC >
AB. Từ C kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn tại P và K. Gọi I là trung điểm của AB.
a) Chứng minh tứ giác CPIK nội tiếp.
b) Chứng minh hai tam giác ACP và PCB đồng dạng.
Từ đó suy ra CP
2
= CB.CA.
c) Gọi H là trực tâm của tam giác CPK, tính PH theo R.
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
d) Giả sử PA//CK, chứng minh tia đối của tia BK là tia phân giác của góc CBP.
2: Cho tam giác ABC cân tại A, một cung tròn phía trong tam giác tiếp xúc với AB,
AC tại B và C. Từ điểm D trên cung BC kẻ các đường vuông góc DE với BC, DF với
AC và DG với AB. Gọi M là giao điểm của BD và GE, N là giao điểm của EF và DC.
Chứng minh:
a) Các tứ giác BEDG và CEDF nội tiếp.
b) DE
2
= DF.DG
c) Tứ giác EMDN nội tiếp, suy ra MN vuông góc với DE.
d) Nếu GB = GE thì EF = EC.
3: Từ điểm M trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta kẻ các đường vuông góc
hạ xuống ba cạnh của tam giác
MH AB; MI BC; MK AC⊥ ⊥ ⊥

. Chứng minh:
a) Ba tứ giác AHMK, HBIM, ICKM nội tiếp.
b) Ba điểm H, I, K nằm trên một đường thẳng (đường thẳng Simson).
4: Cho tam giác ABC (AB ≠AC) nội tiếp đường tròn tâm O, đường phân giác trong
của góc BAC cắt đoạn BC tại D, cắt đường tròn tại M, đường phân giác ngoài của
góc BAC cắt đường thẳng BC tại E, cắt đường tròn tại N. Gọi K là trung điểm của
DE.
Chứng minh rằng:
a, MN vuông góc với BC tại trung điểm I của BC.
b, Góc ABN = góc EAK
c, KA là tiếp tuyến của đường tròn(O)
5: Cho đường tròn đường kính AB trên tia AB lấy điểm C sao cho B nằm giữa AC,
từ C kẻ đường thẳng x vuông góc với AB, trên x lấy điểm D (D≠C). Nối DA cắt
đường tròn tại M, nối DB cắt đường tròn tại K.
1. CM: Tứ giác ADCN nội tiếp
2. CM: AC là phân giác của góc KAD
3. Kéo dài MB cắt đường thẳng x tại s, C/m: S; A; N thẳng hàng
6: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm C,
D. (Cthuộc cung AD) sao choCD = R. Qua C kẻ một đường thẳng vuông góc với CD
cắt AB ở M.
Tiếp tuyến của (O;R) tại A và B cắt CD lần lượt tại E và F, AC cắt BD ở K
a/ Chứng minh rằng tứ giác AECM nội tiếp và tam giác EMF là tam giác
vuông
b/ Xác định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác KCD
c/ Tìm vị trí dây CD sao cho diện tích tứ giác KAB lớn nhất
7: Cho (O) và một điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát
tuyến AMN với (O). (B, C, M, N cùng thuộc (O); AM<AN). Gọi E là trung điểm của
dây MN, I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với (O).
a. Chứng minh bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên một đường tròn.
b. Chứng minh góc AOC=góc BIC

c. Chứng minh BI//MN.
d. Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất.
8: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) .M là điểm di động trên cung lớn BC
, từ M dựng đường vuông góc với AB ,BC và AC lần lược tại H, K ,P .Chứng minh
a) BKMH nội tiếp
b) Tam giác MHK đồng dạng tam giác MAC
c) Tìm vị trí của M để độ dài đoạn HK đạt giá trị lớn nhất
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
GIẢI BÀI TOÁN
BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Phương pháp giải
Bước 1. Gọi ẩn và đặt điều kiện: Gọi một (hai) trong số những điều chưa biết
làm ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
Bước 2. Biểu diễn các đại lượng chưa biết còn lại qua ẩn.
Bước 3. Lập phương trình (hệ phương trình): Dựa vào mối quan hệ giữa đại
lượng đã biết và chưa biết.
Bước 4. Giải phương trình (hệ phương trình) vừa lập ở trên.
Bước 5. Kết luận: Kiểm tra giá trị tìm được với điều kiện rồi kết luận.
*Chú ý việc tóm tắt bài toán trước khi làm.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
1: Để đi đoạn đường từ A đến B, một xe máy đã đi hết 3h20 phút, còn một ôtô chỉ đi
hết 2h30phút. Tính chiều dài quãng đường AB biết rằng vận tốc của ôtô lớn hơn vận
tốc xe máy 20km/h.
Quãng đường (km) Thời gian (h) Vận tốc (km/h)
Xe máy x 3h20ph =
10
3
h
10 3x

x :
3 10
=

Ôtô x 2h30ph =
5
2
h
5 2x
x :
2 5
=
Từ đó có phương trình
2x 3x
20
5 10
− =
, giải được x = 200 km.
Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đường (km)
Xe máy x - 20 3h20ph =
10
3
h
( )
10
x 20
3
−

Ôtô x 2h30ph =

5
2
h
5
x
2
Từ đó có phương trình
( )
5 10
x x 20
2 3
= −
, giải được x = 80 km/h.
Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đường (km)
Xe máy x 3h20ph =
10
3
h
10
x
3

Ôtô x + 20 2h30ph =
5
2
h
( )
5
x 20
2

+
Từ đó có phương trình
( )
10 5
x x 20
3 2
= +
, giải được x = 60 km/h.
*Nhận xét: Trong các cách làm đó thì cách thứ nhất là ngắn gọn nhất.
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
C. MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1: Có hai vòi nước, vòi 1 chảy đầy bể trong 1,5 giờ, vòi 2 chảy đầy bể trong 2 giờ.
Người ta đã cho vòi 1 chảy trong một thời gian, rồi khóa lại và cho vòi 2 chảy tiếp,
tổng cộng trong 1,8 giờ thì đầy bể. Hỏi mỗi vòi đã chảy trong bao lâu?
2: Tổng các chữ số hàng chục và hai lần chữ số hàng đơn vị của một số có hai chữ số
bằng 18. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được số mới lớn hơn số ban đầu là 54.
Tìm số ban đầu.

3: Một đám đất hình chữ nhật có chu vi 124m. Nếu tăng chiều dài 5m và chiều rộng
3m thì diện tích tăng thêm 225m
2
. Tính kích thước của hình chữ nhật đó.

4: Một cửa hàng trong ngày bán được một số xe đạp và xe máy. Biết rằng số xe đạp
bán được nhiều hơn số xe máy là 5 chiếc và tổng bình phương của hai số này là 97.
Hỏi cửa hàng bán được bao nhiêu xe mỗi loại.

5: Dân số hiện nay của một địa phương là 41618 người. Cách đây 2 năm dân số của
địa phương đó là 40000 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số địa phương đó tăng
bao nhiêu phần trăm.

6: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km . Ô tô thứ nhất
mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ .
Tính vận tốc mỗi xe ô tô .
7: Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km . Một ô tô đi từ A đến B , nghỉ
90 phút ở B , rồi lại từ B về A . Thời gian lúc đi đến lúc trở về A là 10 giờ . Biết vận
tốc lúc về kém vận tốc lúc đi là 5 km/h . Tính vận tốc lúc đi của ô tô .
8: Giải toán bằng cách lập phương trình
Hai người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 60km với cùng một vận tốc. Đi được 2/3
quãng đường người thứ nhất bị hỏng xe nên dừng lại 20 phút đón ôtô quay về A.
Người thứ hai vẫn tiếp tục đi với vẫn tốc cũ và tới B chậm hơn người thứ nhất lúc về
tới A là 40 phút. Hỏi vận tốc người đi xe đạp biết ôtô đi nhanh hơn xe đạp là 30km/h.
9: Giải toán bằng cách lập phương trình
Một máy bơm theo kế hoạch bơm đầy nước vào một bể chứa 50 m
3
trong một
thời gian nhất định. Do người công nhân đã cho máy bơm hoạt động với công suất
tăng thêm 5 m
3
/h, cho nên đã bơm đầy bể sớm hơn dự kiến là 1h 40’. Hãy tính công
suất của máy bơm theo kế hoạch ban đầu.
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN.
Phương pháp giải: Sử dụng các phép biến đổi đế rút gọn, từ đó làm các câu hỏi
phụ tương ứng. Cần lưu ý đặt ĐKXĐ trước khi rút gọn nếu đề không cho.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ.
VD1: Rút gon các biểu thức sau:
a)
3 2 6 150 1
.

3
27 3 6
 
−
−
 ÷
 ÷
−
 
b)
( )
21 12 3. 12 3− +
c)
4 7 4 7
4 7 4 7
− +
+
+ −
Giải:
a)
3 2 6 150 1
.
3
27 3 6
 
−
−
 ÷
 ÷
−

 
=
( )
( )
6 3 1
5 6 1
.
3
6
3 3 1
 
−
 
−
 
−
 
=
6 5 6 1 4 6 1 4
( ). .
3 3 3 3
6 6
− −
− = =
b)
( )
21 12 3. 12 3− +
=
( ) ( )
2

12 3 . 12 3− +
=
( ) ( )
12 3 12 3− +
= 12 - 9 = 3
c)
4 7 4 7
4 7 4 7
− +
+
+ −
=
( )
( )
( )
( )
2 4 7 2 4 7
8 2 7 8 2 7
8 2 7 8 2 7
2 4 7 2 4 7
− +
− +
+ = +
+ −
+ −
=
( ) ( )
( ) ( )
2 2
7 1 7 1

7 1 7 1 16
2
7 1
7 1 7 1
7 1 7 1
− + +
− +
+ + = =
−
+ −
+ −
VD2: Cho biểu thức A =
( )
2
:
a b ab
a b a a b b
b a
a b a b
− +
 
− −
+
 ÷
 ÷
−
+ −
 
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh A > 1.

Giải:
a) ĐK: a > 0, b > 0, a
≠
b
A =
a - ab + b
ab
b) Với a > 0, b > 0, a
≠
b; ta có:
( )
2
0 2 0 1
a ab b
a b a ab b a ab b ab
ab
− +
− > ⇔ − + > ⇔ − + > ⇔ >
Vậy A > 1
VD3: Cho biểu thức:
1x0;x
xxxx1
x2
1x
1
:
1x
x
1A ≠≥









−−+
+
−








+
+= víi
1/ Rút gọn A
2/ Tính giá trị của A khi
223x +=
3/ Tìm giá trị của x để A < 1
2
1
: 1) ;
( 1).( 1) ( 1).( 1)
1 ( 1) 1 1 1
: .

1 1
( 1).( 1) 1 1
x x
Lg
x x x x
x x x x x x x x
A
x x
x x x x
   
+ +
≥ ≠ = + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ +
− + − +
   
+ + − + + + + +
= = =
+ +
− + − −
x 1 2 x
x 0;x 1 A :
x 1 x 1
Víi
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
2)
2
2 1 1 5 3 2 6 5 2
( 2 1) 2 1

2
2 1 1 2
x A
+ + + + + +
= + = + ⇒ = + ⇒ = = =
+ −
3 2 2
x 3 2 2
1 1 1 2
3) 1 1 0; 0
1 1 1
1 0( : 0 1)
0 1 0 1
x x x x x x
A
x x x
x do x
x x
+ + + + − + +
< ⇒ < ⇔ < ⇔ <
− − −
⇒ − < ≤ ≠
⇒ ≤ < ⇒ ≤ <
Vậy:
0 1x≤ <
C. MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1: Cho biểu thức
2
6x 2x 3xy y
A

6x 3y
+ − −
=
−
a)Tìm ĐKXĐ của biểu thức A.
b)Rút gọn A và tính giá trị với x = - 0,5; y = 3.
c)Tìm điều kiện của x, y để A = 1.
d)Tìm x, y để biểu thức A có giá trị âm.
2: Cho biểu thức
P =
3 1 2
:
2 2
2 2 1 1
x x x x
x
x x x x x
   
− + +
+ +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
− + + −
   
a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng P > 1
c) Tính giá trị của P, biết
2 3x x+ =
3: Cho biểu thức

P =
( )
2
1
1 1
: .
1 1 1
x x
x x x x
x x
x x x
 
   
−
− +
+ −
 
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ − +
 
   
 
a) Rút gọn P
b) Xác định giá trị của x để (x + 1)P = x -1
c) Biết Q =
1 3x
P
x
+

−
Tìm x để Q max.
4: Cho
x3
1x2
2x
3x
6x5x
9x2
P
−
+
−
−
+
−
+−
−
=
a. Rút gọn P.
b. Tìm các giá trị của x để P<1.
c. Tìm
Zx ∈
để
ZP ∈
.
5: Cho biểu thức : C
9 3 1 1
:
9

3 3
x x x
x
x x x x
   
+ +
= + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ −
   
a. Tìm giá trị của x để C xác định
b. Rút gọn C
c. Tìm x sao cho C<-1
6: Cho A =
( )
2
1
.
12
2
1
2
2
x
xx
x
x
x −









++
+
−
−
−
a) Rút gọn A
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
b) Tìm điều kiện của x để A > 0
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị lớn nhất
7: Cho biểu thức : P =








+
−
+
−









−
xx
x
x
x
x
x
11
:
1
a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P biết x =
32
2
+
c) Tìm giá trị của x thỏa mãn : P
436 −−−= xxx
8: Xét biểu thức B =









−−+
−
−








+
+
1
2
1
1
:
1
1
aaaa
a
a
a
a
a) Tìm điều kiện của a để B có nghĩa b) Rút gọn B
c) Tính giá trị của a sao cho B > 1 d) Tính giá trị của B nếu a = 6 - 2

5

9: Cho biểu thức:
1 1 1
. 1
1 1
A
a a a
   
= − −
 ÷  ÷
− +
   
a) Rút gọn A.
b) Tính A khi
1
4
a =
c) Tinh khi
10
7
A = −
10: Cho biểu thức :A =
3 1 1 1 8
:
1 1
1 1 1
m m m m m
m m
m m m

   
− − + −
− − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
− − +
   
a) Rút gọn A.
b) So sánh A với 1
11: Cho biểu thức: P =
1
1
12
:
1
1
43
1
+
−
++









−
+
−
−+
−
x
xx
x
x
xx
x
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
1 2: Xét biểu thức : B =








−
−
++
+
+
−









−
− 1xx
x2
1xx
1x
1x
1
:1
1x
x
a) Rút gọn B b) So sánh B với 3. c) Tìm GTNN của B +
x
.
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
Một số đề thi vào 10
Đề số 1
Thời gian làm bài 120 phút
Câu I (2,25 điểm):
Giải các phương trình và hệ phương trình sau :
1)
2
x x 42 0− − =
; 2)
2x 3y 7

3x 5y 1
− =


+ =

; 3)
x 1 11 x+ = −
.
Câu II (1,75 điểm):
1) Rút gọn biểu thức : A =
1 1 1 x
:
x x x 1 x 2 x 1
−
 
−
 ÷
+ + + +
 
, x > 0 và x
≠
1.
2) Hai vòi nước cùng chảy vào một bể (ban đầu không chứa nước) thì sau 6 giờ đầy
bể. Nếu chảy một mình cho đầy bể thì vòi I cần nhiều thời gian hơn vòi II là 5 giờ.
Hỏi nếu chảy một mình để đầy bể thì mỗi vòi cần bao nhiêu thời gian ?
Câu III (2 điểm):
Cho đường thẳng y = (2m – 1)x – m + 3 (d) và parabol y = (k
2
+ 1)x

2
(P).
1) Xác định k biết rằng parabol (P) đi qua điểm cố định thuộc đường thẳng (d) với
mọi m.
2) Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) tạo với hai trục toạ độ một tam giác có
diện tích bằng 2.
Câu IV (3 điểm):
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa
đường tròn vẽ Ax và By là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn. M là điểm nằm trên
nửa đường tròn (M
≠
A, B), C là một điểm nằm trên đoạn OA (C
≠
A, O). Qua M
vẽ đường thẳng vuông góc với MC cắt Ax ở P, qua C vẽ đường thẳng vuông góc với
PC cắt By tại Q. Gọi D là giao điểm của PC và AM, E là giao điểm của QC và BM.
Chứng minh :
1) Các tứ giác APMC, CDME nội tiếp.
2) DE vuông góc với Ax.
3) Ba điểm P, M, Q thẳng hàng.
Câu V (1 điểm):
Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình : 2x
2
+ 2(m+1)x + m
2
+ 4m + 3 = 0.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =
1 2 1 2
x x 2x 2x− −
.
____________ Hết ____________
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
Đề số 2
Thời gian làm bài 120 phút

Câu I (2,25 điểm):
Giải các phương trình và hệ phương trình sau :
1)
2
x x 56 0+ − =
; 2)
2x 5y 1
5x 3y 13
+ =


− = −

; 3)
x 1 13 x− = −
.
Câu II (1,75 điểm):
1) Rút gọn biểu thức : A =
1 1 x 1
:
x x x 1 x 2 x 1

+
 
+
 ÷
− − − +
 
, x > 0 và x
≠
1.
2) Một công việc nếu giao cho hai đội công nhân làm chung thì làm xong trong 4 giờ
48 phút. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội hoàn thành công việc trong bao lâu ? Biết rằng
thời gian làm riêng xong công việc của đội II nhiều hơn thời gian của đội I là 4 giờ.
Câu III (2 điểm):
Cho đường thẳng y = (2m – 1)x + m – 5 (d) và parabol y = –(k
2
+ 2)x
2
(P).
1) Xác định k biết rằng parabol (P) đi qua điểm cố định thuộc đường thẳng (d) với
mọi m.
2) Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) tạo với hai trục toạ độ một tam giác có
diện tích bằng 1,5.
Câu IV (3 điểm):
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính MN.Trên nửa mặt phẳng bờ MN chứa nửa
đường tròn vẽ Mx và Ny là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn. P là điểm nằm trên
nửa đường tròn (P
≠
M, N), Q là một điểm nằm trên đoạn OM (Q
≠
M, O). Qua P

vẽ đường thẳng vuông góc với PQ cắt Mx ở K, qua Q vẽ đường thẳng vuông góc với
KQ cắt Ny tại H. Gọi I là giao điểm của PM và KQ, J là giao điểm của QH và PN.
Chứng minh :
1) Các tứ giác MKPQ, PIQJ nội tiếp.
2) IJ vuông góc với Mx.
3) Ba điểm K, P, H thẳng hàng.
Câu V (1 điểm):
Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình : 2x
2
+ 2mx + m
2
– 2 = 0.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B =
1 2 1 2
42x x x x+ + −
.
____________ Hết ___________
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
Đề số 3
ĐỀ THI TS VÀO 10 TỈNH HẢI DƯƠNG
Năm học : 2008 – 2009
Khoá thi ngày 26/6/2008 - Thời gian 120 phút.
Câu I: (3 điểm)
1) Giải các phương trình sau:
a)
5.x 45 0− =

b) x(x + 2) – 5 = 0
2) Cho hàm số y = f(x) =
2
x
2
a) Tính f(-1)
b) Điểm
( )
M 2;1
có nằm trên đồ thị hàm số không ? Vì sao ?
Câu II: (2 điểm)
1) Rút gọn biểu thức
P =
4 a 1 a 1
1 .
a
a 2 a 2
 
− +
 
− −
 ÷
 ÷
 ÷
+ −
 
 
với a > 0 và a
≠
4.

2) Cho pt:
2
2 2 0x x m− − =
Tìm m để pt có 2 nghiệm thoả mãn :
( ) ( )
2 2
1 2
1 x 1 x 5+ + =
Câu III: (1 điểm)
Tổng số công nhân của hai đội sản xuất là 125 người. Sau khi điều 13 người từ đội
thứ nhất sang đội thứ hai thì số công nhân của đội thứ nhất bằng
2
3
số công nhân của
đội thứ hai. Tính số công nhân của mỗi đội lúc đầu.
Câu IV: (3 điểm)
Cho đường tròn tâm O. Lấy điểm A ở ngoài đường tròn (O), đường thẳng AO cắt
đường tròn (O) tại 2 điểm B, C (AB < AC). Qua A vẽ đường thẳng không đi qua O
cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt D, E (AD < AE). Đường thẳng vuông góc
với AB tại A cắt đường thẳng CE tại F.
1, Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp.
2, Gọi M là giao điểm thứ hai của đường thẳng FB với đường tròn (O). Chứng minh
DM
⊥
AC.
3, Chứng minh CE.CF + AD.AE = AC
2
.
Câu V: (1 điểm)
Cho biểu thức :

B = (4x
5
+ 4x
4
– 5x
3
+ 5x – 2)
2
+ 2008.
Tính giá trị của B khi x =
1 2 1
.
2
2 1
−
+
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
Đề số 4
Sở gd & đt hải dương
Kỳ thi tuyển sinh vào thpt
Năm học 2008 - 2009
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề
Ngày 28 tháng 6 năm 2008 ( buổi chiều )
Đề thi gồm : 01 trang .
Câu I ( 2,5 điểm )
1, Giải các phương trình sau :
a,
1 5
1

2 2
x
x x
−
+ =
− −
b, x
2
-6x+1 = 0
2, Cho hàm số
( 5 2) 3y x= − +
Tính giá trị của hàm số khi x =
5 2+
.
Câu II ( 1,5 điểm )
Cho hệ phương trình
2 2
2 3 4
x y m
x y m
− = −


+ = +

1, Giải hệ phương trình với m = 1
2, Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn : x
2
+ y
2

=10
Câu III ( 2,0 điểm ).
1, Rút gọn biểu thức :
7 1
( 0; 9)
9
3 3
b b b
M b b
b
b b
 
−
= − − ≥ ≠
 ÷
 ÷
−
− +
 
2, Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 55. Tìm 2 số đó .
Câu IV ( 3,0 điểm )
Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Trên đường tròn lấy một điểm C ( C
không trùng với A,B và CA > CB ) . Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A , tại C
cắt nhau ở điểm D, kẻ CH vuông góc với AB ( H thuộc AB ), DO cắt AC tại E .
1, Chứng minh tứ giác OECH nội tiếp .
2, Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh :
·
·
0
2 90BCF CFB+ =

.
3, BD cắt CH tại M . Chứng minh EM // AB .
Câu 5 ( 1,0 điểm )
Cho x,y thỏa mãn :
(
)
(
)
2 2
2008 2008 2008x x y y+ + + + =
Tính x + y .
Hết