2 DE THI HOC KY II TOAN 11 CO DA CHI TIET

SỞ GD & ĐT ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II LỚP 11 THPT
TRƯỜNG THPT TÂN LÂM 1 MÔN TOÁN
Khóa ngày 04 – 05 - 2010
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (2,0 điểm)
Tính các giới hạn sau:
1.
2
1
lim
x +3 -2
x -1
x
→
2.
3 2
lim
(21x -12x +9x -11)
x
→−∞

Câu II (1,0 điểm)
Cho hàm số :
2
1
khi 1
( )
5 6
1 khi 1
x
x

f x
x x
m x





+
≠ −
=
− −
− = −
(m là tham số)
Tìm m để hàm số f(x) liên tục tại
1x
= −
.
Câu III (2,0 điểm)
Cho hàm số
3 2
y ( ) x – 3x 4f x
= = − +
có đồ thị (C).
1. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
2
0
x = −
2. Tìm phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua điểm P(1,0).
Câu IV (4,0 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh a,
( )SA ABCD
⊥
, góc SBA
bằng 30
0
.
1. Chứng minh SBC là tam giác vuông.
2. Chứng minh
( ) ( )SAB SAD
⊥

3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB.
4. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và DC. Tính góc giữa hai mặt
phẳng (SAN), (SAM).
Câu V (1,0 điểm)
Cho phương trình :
( )
4 2009 5
1 32 0m m x x
+ + + − =
(m là tham số)
Chứng minh phương trình trên luôn có ít nhất một nghiệm dương với mọi giá trị
của tham số m.
_ HẾT _
1
SỞ GD & ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II
TRƯỜNG THPT TÂN LÂM MÔN TOÁN LỚP 11
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
CÂU Ý ĐÁP ÁN ĐIỂM

I
2
điểm
1
(
)
(
)
( )
(
)
2 2
2
1 1
2
3 2 3 2
3 2
lim lim
1
1 3 2
x x
x x
x
x
x x
→ →
+ − + +
+ −
=
−

− + +
0,50
( )
(
)
2
1
2
1
lim
1 3 2
x
x
x x
→
−
=
− + +
0,25
2
1
1 1
lim
2
3 2
x
x
x
→
+

= =
+ +
0,25
2
3 2 3
2 3
12 9 11
lim (21 12 9 11) lim (21 )
x x
x x x x
x x x
→−∞ →−∞
− + − = − + −
0,25
Vì
3
lim
x
x
→−∞
=−∞
0,25
và
2 3
12 9 11
lim (21 ) 21 0
x
x x x
→−∞
− + − = >

0,25
3
2 3
12 9 11
lim (21 )
x
x
x x x
→−∞
⇒ − + − =− ∞
;Vậy:
3 2
lim (21 12 9 11)
x
x x x
→−∞
− + − =−∞
0,25
II
1
điểm
2
1
1
lim
5 6
x
x
x x
→−

+
− −
1
1
lim
( 1)( 6)
x
x
x x
→−
+
=
+ −
1
1
lim
6
x
x
→−
=
−
1
7
=
−
0,50
(Hàm số f liên tục tại x = -1)
1
lim ( ) ( 1)

x
f x f
→−
⇔ = −
0,25
1
1
7
m
− = −
6
7
m
⇔ =
0,25
III
2
điểm
1 Tập xác định : D = R
'y
= -3x
2
– 6x .
0,25
0
1x
= −
⇒
3 2
0

y (-1) – 3(-1) 4
= − +
=2
0,25
2
' 3( 1) 6( 1)y = − − − −
=3
0,25
Phương trình tiếp tuyến là:
2 3( 1) 3 5y x y x
− = + ⇔ = +
0,25
2 Gọi d là đường thẳng đi qua P(1 , 0

) có hệ số góc k
Khi đó d có phương trình : y – 0 = k ( x – 1 )

⇔
y = k ( x – 1 )
( d tiếp xúc (C) )
⇔






=−−
−=+−−
kxx

xkxx
63
)1(43
2
23
hệ có nghiệm
0,25
2
Thế (2) vào (1) ta được : 2x
3
- 6x +4 = 0
⇔



−=
=
2
1
x
x
0,25
Với x = 1
⇒
k = -9. Ta có phương trình tiếp tuyến : y = -9x + 9 . 0,25
Với x = -2
⇒
k = 0 . Ta có phương trình tiếp tuyến : y = 0 . 0,25
IV
4

điểm
H
N
M
C
A
B
S
0,50
1
( )
( )
SA ABCD SA BC
BC AB
BC SAB
BC SB
⊥ ⇒ ⊥
⊥
⇒ ⊥
⇒ ⊥
0,50
Suy ra tam giác SBC là tam giác vuông tại B.
0,50
2

( )
AB SA
AB SAD
AB AD
⊥


⇒ ⊥

⊥

0,50
mà
( )
( ) ( )
AB SAB
SAB SAD
⊂
⇒ ⊥
0,50
3 Trong mặt phẳng (SAD), kẻ AH vuông góc với SD.
Ta có
( )SA SAD SA AH
⊥ ⇒ ⊥
Suy ra:
( , )d AB SD AH
=
0,25
Trong tam giác SAB, ta có:
0
tan( ) .tan30
3
SA a
SBA SA AB
AB
= ⇒ = =

Trong tam giác SAD, ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 3 4
AH AD SA a a a
= + = + =
2
a
AH⇒ =
0,25
3
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD là a/2.
0,25
4 d) Ta có:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
SAN SAM SA
SA ABCD
ABCD SAN AN
ABCD ABM AM
⊥ =
⊥
∩ =
∩ =
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAN) và (SAM) là góc giữa
hai đường thẳng AM và AN.
0,25
5
2

a
AM AN
= =
2
2 2
DB a
MN
= =
0.25
Trong tam giác AMN:
2 2 2
AN 4
ˆ
osMAN=
2 . 5
4
ˆ
arccos
5
AM MN
c
AM AN
MAN
+ −
=
⇒ =
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAN) và (SAM) bằng arccos(4/5).
0.25
V
1

điểm
Hàm số
( )
4 2009 5
( ) 1 32f x m m x x
= + + + −
là hàm đa thức nên liên
tục trên
¡
, do đó nó liên tục trên đoạn
[ ]
0 ; 2
.
0,25
(0) 32 0f
= − <
;
0,25
( )
2 2
4 2009 2009 2
1 1 1
(2) 1 2 2 0,
2 2 2
f m m m m m
 
   
= + + = − + + + > ∀ ∈
 
 ÷  ÷

   
 
 
¡
0,25
Suy ra
(0) (2) 0,f f m
< ∀ ∈
¡
nên phương trình f(x) = 0 có một
nghiệm thuộc khoảng (0 ; 2) nên nó luôn có ít nhất một nghiệm
dương với mọi giá trị của tham số m.
0,25
4
S GD & T KIM TRA HC K II LP 11 THPT
TRNG THPT TN LM 2 MễN TON
Khúa ngy 04 05 - 2010
Thi gian lm bi: 90 phỳt (khụng k thi gian giao )
A. PHN BT BUC :(7,0 im-Dnh cho tt c thớ sinh)
Cõu 1:(2,0 im).Tớnh cỏc gii hn sau:
2
2
1
3 2
. lim ;
1
x
x x
a
x

đ -
+ +
-
( )
2
. lim 4 .
x
b x x x
đ- Ơ
- +
Cõu 2: (1,0 im). Cho hm s
2 2
; ( 2)
2
( )
1
; ( 2)
4
x
x
x
f x
mx x
ỡ
ù
+ -
ù
ù
>
ù

ù
-
=
ớ
ù
ù
+ Ê
ù
ù
ù
ợ
Xỏc nh m hm s
( )f x
liờn tc trờn R.
Cõu 3:(2,0 im). Cho hm s
3
3 8y x x= - +
.Vit phng trỡnh tip tuyn ca
th hm s trong cỏc trng hp sau:
a/ Ti tip im
( )
0
1;6M
.
b/ Bit tip tuyn i qua im
( )
0; 8A -
.
Cõu 4: (1,0 im). Cho hm s:
2

1
( ) sin2
2
f x x x x= + -
.Tớnh
( )f x
Â
v
6
f
p
ổ ử
ữ
ỗ
ÂÂ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.
Cõu 5: (1,0 im). Cho t din S.ABC cú ABC l tam giỏc u cnh a;
( )
SA ABC^
,
3
2
a

SA =
. Xỏc nh v tớnh gúc gia hai mt phng (SBC) v (ABC).
B.PHN T CHN: (3,0 im) (Thớ sinh c chn mt trong hai phn sau õy).
THEO CHNG TRèNH CHUN:
Cõu 6a. (1,0 im). Chng minh rng phng trỡnh sau cú ớt nht hai nghim:
3 2
2 5 1 0x x x- + + =
Cõu 7a. (2,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, SA
vuụng gúc vi ỏy,
2SA a=

a/ Chng minh:
( ) ( )
SCD SAD^
b/ Tớnh
( )
( )
, .d A SCD

THEO CHNG TRèNH NNG CAO:
Cõu 6b. (1,0 im) Cho
3 2
1
2 6 8
3
y x x x= - - -
. Gii bt phng trỡnh
'
0y Ê
.

Cõu 7b. (2,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a,
( )
SA ABCD^
,
3SA a=
a/ Chng minh:
( ) ( )
SBC SAB^
b/ Tớnh
( )
( )
, .d A SBC
HT

5
P N THI HC K 2-TON K11
A. PHN BT BUC :(7,0 im-Dnh cho tt c thớ sinh)
CU NI DUNG IM
Tớnh cỏc gii hn sau:
Cõu 1:
(2,0 im).
2
2
1 1
3 2 ( 1)( 2)
. lim lim
( 1)( 1)
1
1
2

x x
x x x x
a
x x
x
đ - đ -
+ + + +
=
+ -
-
= -
0.5
0.5
( )
( )
( )
2 2
2
2
2
4
. lim 4 lim
4
4
lim
4
4
lim 2
4
1 1

x x
x
x
x x x
b x x x
x x x
x
x x x
x
x
x
đ- Ơ đ- Ơ
đ- Ơ
đ- Ơ
- -
- + =
- -
-
=
- -
-
= =
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
- - +
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
0,25
0.25
0.5
Cõu 2:
(1,0 im).
Cho hm s
2 2
; ( 2)
2
( )
1
; ( 2)
4
x
x
x
f x
mx x
ỡ
ù
+ -
ù
ù
>
ù

ù
-
=
ớ
ù
ù
+ Ê
ù
ù
ù
ợ
Xỏc nh m hm s
( )f x
liờn tc trờn R
+V i
0
2:x >
0 0
0
0
0
2 2
2 2
lim ( ) lim ( )
2 2
x x x x
x
x
f x f x
x x

đ đ
+ -
+ -
= = =
- -
;
hm s liờn tc
+Vi
0
2:x <
0 0
0 0
1
lim ( ) lim( ) ( )
4
x x x x
f x mx f x
đ đ
= + =
; hm s liờn tc .
+Khi x= 2, ta cú:

( )
( )
2 2 2
2 2 2 4 1
lim ( ) lim lim
2 4
2 2 2
x x x

x x
f x
x
x x
+ + +
đ đ đ
+ - + -
= = =
-
- + +
+
2
1
lim ( ) 2
4
x
f x m
-
đ
= +
+
1
(2) 2
4
f m= +
+ hm s liờn tc ti
0
2x =
thỡ:
2 2

lim ( ) lim ( ) (2)
x x
f x f x f
+ -
đ đ
= =
0.25
0.25
0.25
6
1 1
2
4 4
0
m
m
= +
Û =
0,25
Câu 3:(2,0
điểm).
Cho hàm số
3
3 8y x x= - +
.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
số trong các trường hợp sau:
a/ Tại tiếp điểm
( )
0
1;6M

.
PTTT có dạng:
0 0 0
'( )( )y f x x x y= - +
Ta có:
2
'( ) 3 3f x x= -
Ta có:
0
'( ) (1) 0f x f
¢
= =
Vậy tiếp tuyến cần tìm:
6y =
b/ Biết tiếp tuyến đi qua điểm
( )
0; 8A -
.
Gọi pttt:
0 0
( )y k x x y= - +
; hay:
( 0) 8y k x= - -
;
với
2
'( ) 3 3k f x x= = -
Ta có:
3 2
3

3 8 (3 3)( 0) 8
2 16
2
x x x x
x
x
- + = - - -
Û =
Û =
Suy ra:
2
'( ) 3 3 9k f x x= = - =

Vậy PTTT là:
9 8y x= -
0.25
0.25
0.25
0,25
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 4: (1,0
điểm).
Cho hàm số:
2
1
sin2
2

y x x x= + -
.Tính
'
y
và
''
6
y
p
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
.
' 2cos2 1
" 4sin2 1.
y x x
y x
= + -
= - +
" 4sin 1 2 3 1
6 3
y
p p

æ ö
÷
ç
÷
= - + = - +
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
0.5
0.25
0.25
Câu 5: (1,0
điểm).
Gọi I trung điểm BC,ta có: AI
⊥
BC
Chứng minh: SI
⊥
BC
và((SBC),(ABC))=(AI,SI)

0.25
0.25
7
0
60
3

3
2
.
2
3
tan
=⇒
===






∧
∧
SIA
a
a
AI
SA
SIA
0.25
0.25
B.PHẦN TỰ CHỌN: (3,0 điểm) (Thí sinh được chọn một trong hai phần sau đây).
Câu 6a
(1,0
điểm).
THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN:
+ f(0) . f(1) = -1 < 0

+ f(2) . f(3) = -13 < 0
Kết luận: pt có hai nghiệm thuộc (0;1) và (2.3)
0.25
0.25
0,5
Câu 7a
(2,0
điểm)
a/ Chứng minh:
( ) ( )
SCD SAD^
.
( )
CD AD
CD SAD
CD SA
ü
ï
^
ï
Þ ^
ý
ï
^
ï
þ
Mà CD ⊂ (SCD)
( ) ( )SCD SADÞ ^
b/Theo câu a/ :
( ) ( )

( ) ( )
SCD SAD
SCD SAD SD
ü
ï
^
ï
ï
ý
ï
Ç =
ï
ï
þ
Dựng
( )AH SD AH SCD^ Þ ^
.
Vậy
( )
( )
,d A SCD AH=
+Xét tam giác SAD vuông tại A, ta có:
2 2 2
2 2
1 1 1
1 1
2
6
3
AH SA AD

a a
a
AH
= +
= +
Þ =
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
8
THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO:
Câu 6b
(1,0
điểm)
+Ta có:
y' = x
2
– 4x – 6
2
' 0 4 6 0
2 10 2 10
y x x
x
≤ ⇔ − − ≤
⇔ − ≤ ≤ +
0.25
0.25

0.5
Câu
7b: (2,0
điểm)
a/ Chứng minh:
( ) ( )
SBC SAB^
.
( )
BC AB
BC SAB
BC SA
ü
ï
^
ï
Þ ^
ý
ï
^
ï
þ
Mà BC ⊂ (SBC)
( ) ( )SBC SABÞ ^
b/
( ) ( )
( ) ( )
SBC SAB
SBC SAB SB
ü

ï
^
ï
ï
ý
ï
Ç =
ï
ï
þ
Suy ra kẻ:
( )AK SB AK SBC^ Þ ^
.
Vậy
( )
( )
,d A SBC AK=
+Xét tam giác SAB vuông tại A, ta có:
2 2 2
2 2
1 1 1
1 1
3
3
2
AK SA AB
a a
a
AK
= +

= +
Þ =
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
9
HẾT
10