Đề và ĐA thi thử ĐH 2010 Xuân Áng

Trờng thpt Xuân áng
ề thi thử đại học năm 2009-2010
Môn Toán
(Thi gian 180 phỳt khụng k thi gian giao ).
I- PHầN CHUNG CHO TấT Cả THí SINH .
Câu I Cho hàm số
1
12

+
=
x
x
y
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
2. Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B .
Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị
nhỏ nhất.
Câu II 1. Giải phơng trình:
2
cos.2sin
2sin x -2x 3sin

=
xx
2. Giải hệ phơng trình :

=++
=++
0222
0964
22
224
yxyx
yyxx
.
Câu III 1.Tính tích phân sau:
dx. .cos.sin.
3
2
0
sin
2
xxe
x



2. Cho 3 số dơng x, y, z thoả mãn : x +3y+5z
3
.Chứng minh rằng:
46253
4
+zxy
+
415

4
+xyz
+
4815
4
+yzx

45
5
xyz.
Câu IV Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a , mặt bên hợp với đáy
góc

.
Tìm

để thể tích của hình chóp đạt giá trị lớn nhất.
II- PHầN RIÊNG. (Thí sinh chỉ làm một trong 2 phần ; phần 1 hoặc phần 2 )
Phần 1( Dành cho thí sinh theo chơng trình chuẩn )
Câu Va 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(
2
1
; 0) .
Đờng thẳng chứa cạnh AB có phơng trình x-2y+2= 0 , AB =2AD.
Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D, biết A có hoành độ âm .
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đờng thẳng
)(
1
d
và

)(
2
d
có phơng
trình .
Lập phơng trình mặt phẳng chứa (d
1
) và
)(
2
d
.
.Câu VIa Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt :

x10
1).12(48
22
++=++ xxmx
.
Phần 2 ( Dành cho thí sinh theo chơng trình nâng cao ) .
Câu Vb 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4;
-2); P(2;0); Q(1;2) lần lợt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD. Hãy lập phơng trình
các cạnh của hình vuông.
1
3
3
9
1
6
4-x

:)(d ;
1
2-z
3
1y
2
1
);(
21

=

==
+
=
zyx
d
đề chính thức
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đờng thẳng (

) và (
)'
có ph-
ơng trình .
( )
( )

+=
=
+=






=
+=
+=

4t'2
t'2y
t'2-2x
: ;
4
2t-1y
t3x
:
'
zz
Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (

) và (
)'
Câu VIb Giải và biện luận phơng trình :
1+mx

(
.243)22
2322
+=++ xxxmxxm
Trờng THPT
Xuan áng
Kỳ thi thử đại học- cao đẳng
năm 2009-2010
Hớng dẫn chấm môn toán
Câu Nội dung Điểm
I.1
Khảo sát hàm số y=
1
12

+
x
x
1,00
1. Tập xác định: R\{1}
2. Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
22
)1(
3
)1(
)12()1(2
'

=

+
=
xx
xx
y

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-; 1) và (1;+)
. Cực trị : Hàm số đã cho không có cực trị
0,25
. Tiệm cận:
=

+
=




1
12
limlim
1
1
x
x
y
x
x

+=

+
=
+
+


1
12
limlim
1
1
x
x
y
x
x
Do đó đờng thẳng x=1 là tiệm cận đứng

2
1
12
limlim
=

+
=

x
x
y
x
x
Vậy đờng thẳng y= 2 là tiệm cận ngang
0,25
2
Câu Nội dung Điểm
* Bảng biến thiên:
x
-
1
+
y' - -
y 2
-
+
2
3* Đồ thị : HS tự vẽ đồ thị hàm số.
0,5
I.2 Với M bất kì (C), tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B. Tìm M để
chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. 1,00
Gọi M

+
1
3
2;
0
0
x
x
(C)
* Tiếp tuyến tại M có dạng:
1
3
2)(
)1(
3
0
0
2
0

++


=
x
xx

x
y
Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B nên tọa độ A; B có dạng
là: A









+
1
6
2;1
0
x
B(2x
0
-1; 2) ; I(1; 2)
* Ta có: S

IAB
=
2
1
. IA. IB=
63.212

1
6
2
1
0
0
==


x
x
(đvdt)
0,25

0,25
* IAB vuông có diện tích không đổi => chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất
khi IA= IB (HS tự chứng minh).




=
+=
=

31
31
12
1
6

0
0
0
0
x
x
x
x
* Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện
M
1
(
32;31 ++
)
M
2
(
32;31
)
Khi đó chu vi AIB =
6234 +
0,5
II.1
Giải phơng trình:
2
cos.2sin
sin22sin3
=

xx

xx
1,00
3
C©u Néi dung §iÓm
* Ph¬ng tr×nh
⇔

2
cos.2sin
sin22sin3
=
−
xx
xx
§iÒu kiÖn: sin2x
≠
0 =>



≠
≠
0cos
0sin
x
x
* Tõ ph¬ng tr×nh => 3sin2x -2sinx = 2sin2x.cosx

⇔
(2sin2x – 2sin2x.cosx)+ sin2x- 2sinx = 0

⇔
2sin2x(1- cosx)+ 2sinx(cosx -1)= 0
0,5
*
⇔
2(1- cosx)(sin2x- sinx) =0

⇔






=−⇔=−
=⇒=
0)1cos2(sin0sin2sin
0sin1cos
xxxx
xx
*
⇔
2cosx -1 =0 (do sinx
≠
0)

⇔
π
ππ

2
33
cos
2
1
cos kxx
+±=⇒==
(k∈Z)
0,5
II.2
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:






=−++
=+−+−
0222
0964
22
224
yxyx
yyxx

* HÖ ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi







=−++
=−+−
022)2(
4)3()2(
22
222
xyx
yx
1,00
4
(lo¹i)
Câu Nội dung Điểm
0,25
0,25
0,5
III.1
Tính tích phân

2/
0
3sin
cos.sin.
2

xdxxe
x
1,00

Đặt sin
2
x= t => dt= 2sinx. cosxdx
Đổi cận: x=0 => t=0; x=
1
2
= t

Khi đó I=


1
0
)1(
2
1
dtte
t
0,5
Đặt





=
=

=
=
tt
ev
dtdu
dvdte
ut
2
1
2
1
1
Dùng tích phân từng phần ta có I=
e
2
1
.
0,5
III.2
Cho 3 số dơng x, y, z thoả mãn : x +3y+5z

3 . Chứng minh rằng:
xy3
4625
4
+z
+

zx5
415481
44
+++ xyzy
xyz545
1,00
Bất đẳng thức

2
2
4
x
x +
+
2
2
9
4
9
y
y +
+
2
2
25
4
25
z
z +

45
VT
+++++
22
)
5
2
3
22
()53(
zyx
zyx
3
2
2
3
)5.3.(
36
)5.3.(.9
zyx
zyx +
.
0,5
5
Câu Nội dung Điểm
Đặt t =
3
2
)5.3.( zyx

ta có
1
3
53
)5.3.(
3
3
=






++

zyx
zyx
do đó t

1
Điều kiện . 0 < t

1. Xét hàm số f(t)=
27
36
.36227
36
36 +=
t

tt
t
t

= 45
Dấu bằng xảy ra khi: t=1 hay x=1; y=
3
1
; z=
5
1
.
0,5
IV
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a,mặt bên hợp
với đáy góc

. Tính

để thể tích V của hình chóp đạt giá trị lớn nhất.
1,00
* Tính V=
32
3
)tan2(
tan
.
3
4

+
a
.
* Ta có
=
+
32
2
)tan2(
tan




2
2
tan2
tan
+
.

2
tan2
1
+
.

2
tan2

1
+
27
1



V
max
27
34
3
a
=
khi đó tan

2
=1


= 45
o
0,5
0,5
Va.1
Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I

0;
2
1
; AB có phơng trình: x- 2y+2=
0; AB= 2AD. Tìm tọa độ A; B; C; D biết A có hoành độ âm
1,00
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên AB ,khi đó IH=
2
5
Ta có tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (C) có tâm I và bán kính R=
IA. đờng tròn (C) có phơng trình là:
4
25
2
1
2
2
=+







yx

A(-2; 0);

B(2; 2). Do C đối xứng với A qua I qua đó C(3; 0)
Do D đối xứng với B qua I qua đó D(-1;-2)
0, 5
0, 5
6
Câu Nội dung Điểm
Va.2
Trong không gian với hệ trục Oxyz cho đờng thẳng (d
1
) và (d
2
)có ph-
ơng trình:
d
1
:





+=
+=
+=
tz
ty
tx
2

31
21
; d
2
:
3
3
9
1
6
4

=

=

zyx
Hãy lập phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d
1
) và (d
2
)
1,00
+ Ta có: (d
1
) // (d
2
) ( HS phải chứng minh đợc)
0,25
Gọi mặt phẳng cần tìm là (P).Hai véc tơ không cùng phơng có giá

song song hoặc nằm trên mặt phẳng (P) là:
)1;3;2(
1
u

và
21
MM

(3;2;1).Vậy (P) có véc tơ pháp tuyến là:
[ ]
)5;1;1(,
211
==
MMun

Mặt phẳng (P) qua M
1
(1; -1; 2) Vậy phơng trình (P) là:

x+ y- 5z +10
=0

0,25
0, 5
VIa Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt:
m( 2x+1).
1
2
+x

=10x
48
2
++ x

1,00
Nhận xét : 10x
48
2
++ x
= 2(2x+1)
2
+2(x
2
+1)
Phơng trình tơng đơng với :
2
(
02)
1
12
()
1
12
2
2
2
=+
+
+

+
+
x
x
m
x
x
.
0,25
0,75
Vb.1 Trong mặt phẳng với hệ Oxy cho hình vuông ABCD biết các điểm
M(2;1) ; N(4; -2) ; P(2; 0); Q(1; 2) lần lợt thuộc cạnh AB; BC; CD và AD.
Hãy lập phơng trình các cạnh của hình vuông trên.
1,00
+ Giả sử đờng thẳng AB qua M và có véc tơ pháp tuyến là
);( ban

(a
2
+ b
2


0) => véc tơ pháp tuyến của BC là:
);(
1
abn

.Phơng trình AB
có dạng: a(x-2) +b(y-1)= 0

ax + by -2a-b =0
BC có dạng: -b(x- 4) +a(y+ 2) =0

- bx + ay +4b + 2a =0
Do ABCD là hình vuông nên d(P; AB) = d(Q; BC)
0,5
Hay



=
=

+
+
=
+

ab
ab
ba
ab
ba
b
2
43
2222

Tr ờng hợp 1 : b= -2a; Phơng trình các cạnh cần tìm là:
7
Câu Nội dung Điểm
AB: x- 2y = 0 ; CD : x- 2y-2 =0
BC: 2x +y 6= 0; AD: 2x + y -4 =0
Tr ờng hợp 2 : b= -a . Khi đó
AB: -x + y+ 1 =0 BC: -x y + 2= 0
AD: -x y +3 =0 CD: -x + y+ 2 =0
0,25
0,25
Vb2
Cho ():





=
+=
+=
4
21
3
z
ty
tx
; ()

+=
=
+=
uz
uy
ux
42
2
22

Viết phơng trình đờng vuông góc chung của () và ()
1,00
+ Gọi đờng vuông góc chung của () và () là d
Khi đó
[ ]
)1;2;4(',
2
1
==
uuu
d

+ Gọi () là mặt phẳng chứa () và (d) thì () qua N(3; -1; 4) và có véc
tơ pháp tuyến:
[ ]
)10;1;2(,
1
==

d
uun

Vậy phơng trình của () là: 2x- y + 10z - 47 =0
+ Gọi () là mặt phẳng chứa () và (d) thì () qua M(-2; 0; 2) và có
véctơ pháp tuyến:
[ ]
)12;18;6(,'
2
==
d
uun

Vậy phơng trình của () là: x + 3y- 2z + 6 =0
Do đó đờng vuông góc chung của và là giao tuyến của hai mặt
phẳng:
2x y + 10z 47 = 0 và x + 3y 2z + 6 =0
+Lập phơng trình tham số của (d).(HS tự làm)

0,25

0,25

0,25


0,25
VI.b
Giải và biện luận:
243)22(1

2322
+=+++ xxxmxxmmx
1,00
* Phơng trình tơng đơng với:
)1()1(1)1(
33
+=+++ xxmxmx
Xét hàm số: f(t)=
tt +
3
, hàm số này đồng biến trên R.

)1()1( =+ xfmxf


11 =+ xmx

* Giải và biện luận phơng trình trên ta có kết quả cần tìm.
+
11 << m
phơng trình có nghiệm x=
1
2


m
+m=-1 phơng trình nghiệm
1

x

Các trờng hợp còn lại phơng trình vô nghiệm
0,5
0,5
Chý ý học sinh làm cách khác kết quẩ đúng vẫn đợc điểm tối đa
8
9