Đề và ĐA thi thử ĐH 2009 (Đề số 18)

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2009 – MÔN TOÁN KHỐI A, B, D
ĐỀ SỐ 18
Câu I: (2 điểm) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
+
.
2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M (- 1; 0) và tiếp xúc với đồ thị ( C ) .
Câu II:( 2 điểm). 1. Giải hệ phương trình :
2 1 1
3 2 4
x y x y
x y

+ + − + =


+ =


2. Giải phương trình :
3
2 2 cos ( ) 3cos sin 0
4
x x x

π
− − − =

Câu III: (3 điểm). 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn
(C): x
2
+ y
2

12 4 36 0x y− − + =
. Viết phương trình đường tròn (C
1
) tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy
đồng thời tiếp xúc ngòai với đường tròn (C).
2. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho 3 điểm A(2;0;0), C(0; 4; 0), S(0; 0; 4) a)
Tìm tọa độ điểm B thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết phương trình mặt
cầu qua 4 điểm O, B, C, S.
b) Tìm tọa độ điểm A
1
đối xứng với điểm A qua đường thẳng SC.
Câu IV: ( 2 điểm). 1.Tính tích phân
7
3
0
2
1
x
I dx
x
+

=
+
∫
.
2. Tìm hệ số của x
7
trong khai triển đa thức
2
(2 3 )
n
x−
, trong đó n là số nguyên dương thỏa mãn:
1 3 5 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
...
n
n n n n
C C C C
+
+ + + +
+ + + +
= 1024. (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử)
Câu V: (1 điểm) Cmrằng với mọi x, y > 0 ta có :

2
9

(1 )(1 )(1 ) 256
y
x
x
y
+ + + ≥
. Đẳng thức xảy ra khi nào?
BÀI GIẢI
CÂU I.
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị
+ +
=
+
2
x x 1
y (C)
x 1
MXĐ:
{ }
D R \ 1= −
.
( )
+
= = ⇔ + = ⇔ = = −
+
2
2
2
x 2x
y' ,y ' 0 x 2x 0 x 0hay x 2

x 1
BBT
x
−∞
-2 -1 0
+∞
y'
+ 0 - - 0 +
y
−∞
-3

+∞

−∞
1
+∞
Tiệm cận:
x 1= −
là phương trình tiệm cận đứng
y x=
là phương trình tiệm cận xiên
2/ Phương trình tiếp tuyến
∆
qua
( )
M 1,0−
( hệ số góc
k ) có dạng
∆

:
( )
y k x 1= +
∆
tiếp xúc với
( )
C

⇔
hệ pt sau có nghiệm
( )
( )

+ +
= +

+


+

=

+

2
2
2
x x 1
k x 1

x 1
x 2x
k
x 1
⇒ phương trình hoành độ tiếp điểm là
( )
( )
( )
2
2
2
x 2x x 1
x x 1
x 1
x 1
+ +
+ +
=
+
+
x 1⇔ =
⇒
3
k
4
=
Vậy pt tiếp tuyến
∆
với
( )

C
qua
( )
M 1,0−
là:
( )
3
y x 1
4
= +
CÂU II. 1/ Giải hệ pt :
( )
2x y 1 x y 1
I
3x 2y 4

+ + − + =


+ =


( )
( ) ( )
2x y 1 x y 1
I
2x y 1 x y 5

+ + − + =


⇔

+ + + + =


Đặt
= + + ≥ = + ≥u 2x y 1 0,v x y 0
(I) thành
( )
− =
= ⇒ =



⇒


= − ⇒ = −
+ =



1 1
2 2
2 2
u v 1
u 2 v 1
u 1 v 2 loaïi
u v 5
Vậy

( )
2x y 1 2
I
x y 1

+ + =

⇔

+ =



2x y 1 4 x 2
x y 1 y 1
+ + = =
 
⇔ ⇔
 
+ = = −
 
2/ Giải phương trình
( )
3
2 2 cos x 3cosx sin x 0 2
4
π
 
− − − =
 ÷

 
(2)
3
2 cos x 3cos x sin x 0
4
π
 
 
⇔ − − − =
 ÷
 
 
 
( )
⇔ + − − =
⇔ + + + − − =
3
3 3 2 2
cosx sin x 3cosx sin x 0
cos x sin x 3cos xsin x 3cos xsin x 3cosx sin x 0
=


⇔

− =


3
cosx 0

sin x sin x 0
≠



+ + + − − − − =


2 3 2 3
cosx 0
hay
1 3tgx 3tg x tg x 3 3tg x tgx tg x 0
⇔ =
2
sin x 1
=hay tgx 1
x k
2
π
⇔ = + π
hay
π
= + πx k
4
CÂU III
1/
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
C x y 12x 4y 36 0 x 6 y 2 4⇔ + − − + = ⇔ − + − =

Vậy (C) có tâm
( )
I 6,2
và R=2
Vì đường tròn
( )
1
C
tiếp xúc với 2 trục Ox, Oy nên tâm
1
I
nằm trên 2 đường thẳng
y x= ±
vàvì (C)
có tâm
( )
I 6,2
,R = 2
nên tâm
±
1
I (x; x)
với x > 0.
1
TH
: Tâm
1
I ∈
đường thẳng y = x ⇒
( )

I x,x
, bán kính
=
1
R x

( )
1
C
tiếp xúc ngoài với (C) ⇔
= +
1 1
I I R R
( ) ( )
⇔ − + − = +
2 2
x 6 x 2 2 x
( ) ( )
⇔ − + − = + + ⇔ − − + =
2 2
2 2
x 6 x 2 4 4x x x 16x 4x 36 0
⇔ − + = ⇔ = =
2
x 20x 36 0 x 2 hay x 18
.Ứng với
= =
1 1
R 2 hay R 18
Có 2 đường tròn là:

( ) ( )
2 2
x 2 y 2 4− + − =
;
( ) ( )
2 2
x 18 y 18 18− + − =
2
TH
: Tâm
1
I ∈
đường thẳng
( )
y x I x, x= − ⇒ −
;
=
1
R x
Tương tự như trên, ta có x= 6
Có 1 đường tròn là
( ) ( )
2 2
x 6 y 6 36
− + + =
Tóm lại ta có 3 đường tròn thỏa ycbt là:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
− + − = − + − =
− + + =

2 2 2 2
2 2
x 2 y 2 4; x 18 y 18 18;
x 6 y 6 36
2a/ Tứ giác OABC là hình chữ nhật ⇒
=
uuur uuur
OC AB
⇒ B(2,4,0)
* Đoạn OB có trung điểm là
( )
H 1,2,0
. H chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông OBC. Vì
A, O, C cùng nhìn SB dưới một góc vuông nên trung điểm I ( 1; 2; 2 ) là tâm mặt cầu và bán kính R =
= + + =
1 1
SB 4 16 16 3
2 2
,
Vậy phương trình mặt cầu là
( ) ( )
− + − + − =
2 2
2
x 1 y 2 (z 2) 9
2b/
( )
SC 0,4, 4= −
uuur
chọn

( )
0,1, 1−
là vtcp của SC.
Pt tham số đường thẳng SC
x 0
y t
z 4 t
=


=


= −

Mp (P) qua
( )
A 2,0,0
và vuông góc với SC có phương trình là
( )
O x 2 y z 0 y z 0− + − = ⇔ − =
Thế pt tham số của SC và pt (P) Ta có t=2 và suy ra
( )
M 0,2,2
Gọi
( )
1
A x,y,z
là điểm đối xứng với A qua SC. Có M là trung điểm của
1

AA
nên
+ = = −
 
 
+ = ⇒ =
 
 
+ = =
 
2 x 2.0 x 2
0 y 2.2 y 4
0 z 2.2 z 4
Vậy
( )
1
A 2,4,4−
CÂU IV: 1/ Tính
7
3
0
x 2
I dx
x 1
+
=
+
∫
Đặt
3 2

3
t x 1 x t 1 dx 3t dt= + ⇒ = − ⇒ =
⇒
3
x 2 t 1+ = +
.Đổi cận t( 0) = 1 ; t (7 ) = 2.
Vậy
( )
( )
2
3 2
5 2
2 2
4
1 1
1
t 1 3t
t t 231
I dt 3 t t dt 3
t 5 2 10
+
 
= = + = + =
 
 
∫ ∫
2/ Ta có
( )
+
+ +

+ + + + +
+ = + + + + +
2n 1
0 1 2 2 3 3 2n 1 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
1 x C C x C x C x ... C x
Cho
x 1=
Ta có
2n 1 0 1 2 3 4 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
2 C C C C C ... C
+ +
+ + + + + +
= + + + + + +
(1)
Cho
x 1= −
Ta có
0 1 2 3 4 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
0 C C C C C ... C
+
+ + + + + +
= − + − + − −
(2)
Lấy (1) - (2) ⇒
2n 1 1 3 5 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
2 2 C C C ... C

+ +
+ + + +
 
= + + + +
 
⇒
2n 1 3 5 2n 1 10
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
2 C C C ... C 1024 2
+
+ + + +
= + + + + = =
. Vậy 2n=10
Ta có
( ) ( ) ( )
10
10 k k
k 10 k
10
k 0
2 3x 1 C 2 3x
−
=
− = −
∑
Suy ra hệ số của
7
x
là
7 7 3

10
C 3 .2−
hay
−
3 7 3
10
C 3 .2
CÂU V: Ta có:
3
4
3
x x x x
1 x 1 4
3 3 3
3
+ = + + + ≥

3
4
3 3
y y y y y
1 1 4
x 3x 3x 3x
3 .x
+ = + + + ≥
( )
3
4
3
9 3 3 3 3

1 1 4
y y y y
y
+ = + + + ≥
⇒
2
6
4
3
9 3
1 16
y y
 
+ ≥
 ÷
 ÷
 
Vậy
( )
 
 
+ + + ≥ =
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
2
3 3 6
4

3 3 3 3
y 9 x y 3
1 x 1 1 256 256
x
y 3 3 .x y