Đề thi KSCL cuối năm 09-10 - Môn Toan 9 Có đáp án

TRƯỜNG THCS NGHI KIỀU ĐỀ THI KSCL HỌC KỲ 2 - NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn thi: Toán 9
(Thời gian làm bài 90 phút)
Bài 1: (2,0 đ) Cho biểu thức:
A=
1 1 2
( ) :
1 1 ( 1)( 1)x x x x
+
+ − − −
a. Nêu điều kiện xác định và rút gọn A
b.Tìm giá trị của A tại x = 25
Bài 2: (2,5 đ)
Cho phương trình: x
2
- 2(m + 2)x + 4m + 1 = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 2
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
c) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x
1
2
+ x
2
2
.
Bài 3: ( 2,0 điểm )
Hai đội cùng đào một con mương. Nếu mỗi đội làm một mình cả con mương thì thời gian tổng cộng

hai đội phải làm là 25 giờ. Nếu hai đội cùng làm chung công việc thì hoàn thành trong 6 giờ. Hỏi mỗi đội làm
một mình xong con mương trong bao lâu?
Bài 4: ( 3,5 điểm )
Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R). Từ A kẻ đường thẳng (d) không đi qua tâm O, cắt (O;R) tại B
và C (B nằm giữa A và C). Các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại B và C cắt nhau tạ D. Từ D kẻ DH vuông
góc với AO (H nằm trên AO) cắt cung nhỏ BC tại M. Gọi E là giao điểm của DO và BC.
a) Chứng minh: Tứ giác DHOC nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh OH. AO = OE. OD = R
2
c) Chứng minh AM là tiếp tuyến với (O; R)
Hết
TRƯỜNG THCS NGHI KIỀU ĐỀ THI KSCL HỌC KỲ 2 - NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn thi: Toán 9
(Thời gian làm bài 90 phút)
Bài 1: (2,0 đ) Cho biểu thức:
A=
1 1 2
( ) :
1 1 ( 1)( 1)x x x x
+
+ − − −
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn A
b) Tìm giá trị của A tại x = 25
Bài 2: (2,5 đ)
Cho phương trình: x
2
- 2(m + 2)x + 4m + 1 = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 2
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
c) Gọi x

1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x
1
2
+ x
2
2
.
Bài 3: ( 2,0 điểm )
Hai đội cùng đào một con mương. Nếu mỗi đội làm một mình cả con mương thì thời gian tổng cộng
hai đội phải làm là 25 giờ. Nếu hai đội cùng làm chung công việc thì hoàn thành trong 6 giờ. Hỏi mỗi đội làm
một mình xong con mương trong bao lâu?
Bài 4: ( 3,5 điểm )
Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R). Từ A kẻ đường thẳng (d) không đi qua tâm O, cắt (O;R) tại B
và C (B nằm giữa A và C). Các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại B và C cắt nhau tạ D. Từ D kẻ DH vuông
góc với AO (H nằm trên AO) cắt cung nhỏ BC tại M. Gọi E là giao điểm của DO và BC.
a) Chứng minh: Tứ giác DHOC nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh OH. AO = OE. OD = R
2
c) Chứng minh AM là tiếp tuyến với (O; R)
Hết
H ƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 9 (HKII)
C©u Néi dung §iÓm
1a
§KX§:
x 0≥
; x
≠

1
0,5
1 1 ( 1)( 1)
.
1 2
x x x x
A
x
− + + − −
=
−

2 ( 1)( 1)
2( 1)
x x x
x
− −
=
−
A x x= −
0,25
0,25
0,5
1b
Với x = 25. Ta có A = 25 -
25
= 25 – 5 = 20.
0,5
2a
Với m = 2, ta có phương trình x

2
- 8x + 9 = 0.
Giải phương trình ta có nghiệm của pt là: x
1
= 4 +
7
; x
2
= 4 -
7
0,75
2b
Ta có
[ ]
2
2
' (m 2) (4m 1) m 4m 4 4m 1∆ = − + − + = + + − −
= m
2
+ 3 > 0 với mọi m
' 0 ph ¬ng tr × nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt (®fcm)
⇒∆ > ⇒
0,5
0,5
2c
Với mọi m, phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt
1
x
;
2

x
.
Theo hệ thức Vi-et ta có:
1 2
1 2
2( 2)
. 4 1
+ = +


= +

x x m
x x m
Theo bài ra:

[ ]
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
P x x (x x ) 2x x 2(m 2) 2(4m 1)= + = + − = + − +
= 4(m
2
+ 4m + 4) - 8m - 2 = 4m
2
- 8m + 14
= (2m)
2
- 2.2m.2 +2
2

+ 10 = (2m + 2)
2
+ 10
10≥
Vậy GTNN của P bằng 10 khi 2m + 2 = 0  m = -1
0,25
0,25
0,25
3
Gọi x (giờ) là thời gian đội thứ nhất đào một mình xong con mương thì 25 –
x (giờ) là thời gian đội thứ hai đào một mình xong con mương.Điều kiện 0 <
x < 25.
Trong một giờ đội thứ nhất đào được
1
x
con mương, đội thứ hai đào được
1
25 x−
con mương và cả hai đội đào chung được
1
6
con mương. Ta có
phương trình:
1 1 1
6(25 ) 6x = x(25-x)
25 6
x
x x
+ = ⇔ − +
−

⇔

2
25x 150 0.x − + =
Giải phương trình tìm được x = 10 v à x = 15
Trả lời : Nếu đội thứ nhất làm một mình trong 10 giờ xong con mương thì
đội thứ hai làm xong trong 15 giờ.
Nếu đội thứ nhất làm một mình trong 15 giờ xong con mương thì đội thứ
hai làm xong trong 10 giờ.
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
4
V hỡnh ỳng, ghi GT, KL

H
E
M
C
O
B
D
A
0,5
4a
Vì DC là tiếp tuyến của đờng tròn (O; R) nên
ã
0

90DCO =
.
Vì DH

AO nên
ã
0
90DHO =
Suy ra tứ giác DHOC nội tiếp đờng tròn (hai góc đối có tổng bằng 180
0
)
0,25
0,25
0,5
4b
DB, DC là hai tiếp tuyên nên DB = DC;
ã ã
BDO CDO=
. Phân giác DE trong
tam giác cân DBC đồng thời là đờng cao nên
.DE BC
Hai tam giác vuông HDO và EAO có chung góc nhọn DOA nên


HOD EOA
(g.g)
HO OD
EO AO
=
OH. OA = OE. OD (1)

Trong tam giác vuông COD có OE. OD = OC
2
= R
2
(2)
0,25
0,25
0,25
0,25
4c
Từ (1) và (2) ca cõu a) ta có:
OH. OA = OC
2
, vì OC = OM = R nên OH. OA = OM
2
.
=>
OH OM
OM OA
=
Xột OMA v OHM cú
OH OM
OM OA
=
v
à
O chung
=> OMA OHM (c.g.c)
=>
ã ã

OMA OHM=
(cp gúc tng ng). M
ã
0
OHM 90=
=>
ã
0
OMA 90=
nên OM

AM hay AM là tiếp tuyến.
0,25
0,5
0,25
Ghi chú:
- Nếu học sinh giải theo cách khác đúng cho điểm tối đa.
- Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình không đúng không cho điểm bài 4 phần hình học
s
s