MỘT SỐ BÀI TOÁN THI HSG 9

MỘT SỐ BÀI TOÁN
ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI

Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:
a. n
2
+ 2n + 12 b. n (n+3)
c. n
2
+ n + 1589
Gợi ý : a. Vì n
2
+ 2n + 12 là số chính phương nên đặt n
2
+ 2n + 12 = k
2
(k
∈
N)

⇒
(n
2
+ 2n + 1) + 11 = k
2

⇔
k
2
– (n+1)
2

= 11
⇔
(k+n+1)(k-n-1) = 11
Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết
(k+n+1)(k-n-1) = 11.1
⇔
1 11
1 1
k n
k n
+ + =


− − =


⇔

6
4
k
n
=


=

Vậy n = 4.
* Các câu khác giải tương tự.
Bài 2: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một

đơn vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.
Gợi ý: Gọi A =
abcd
= k
2
. Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số
B =
( 1)( 1)( 1)( 1)a b c d+ + + +
= m
2
với k, m ∈ N và 32 < k < m < 100
a, b, c, d ∈ N ; 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b, c, d ≤ 9
⇒
m
2
– k
2
= 1111
⇔
(m - k)(m+k) = 1111 (*)
Xét các trường hợp, kết quả A = 2025 , B = 3136
Bài tập tương tự :
a. Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 chữ số giống nhau.
b. Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng lập
phương các chữ số của số đó.
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 3xy + x - y = 1

⇔
(3y + 1)(3x - 1) = 2 (Phương trình ước số)
Vì x, y là các số nguyên nên 3x - 1 , 3y + 1 là các số nguyên và là ước của 2

ta có bảng sau :
3x - 1 - 1 1 - 2 2
3y + 1 - 2 2 - 1 1
x 0 / / 1
y - 1 / / 0
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là : (0 ; -1), (1 ; 0)
Bài tập dạng khác :
a. xy - x - y = 2.
b. 11x + 18y = 120
c.
1 1 1
3x y
+ =
.
Bài 4 : Cho a, b là các chữ số với a khác 0. Chứng minh rằng
a.
abba
chia hết cho 11
b.
ababab
chia hết cho 7
c.
aaabbb
chia hết cho 37
d.
abcabc
chia hết cho 7, 11 và 13.
Hướng dẫn
1
a.

11(91 10 )abba a b= +

b.
7.1443.ababab ab=

c.
37.3.(1000 )aaabbb a b= +

d.
.1001 .7.11.13abcabc abc abc= =
(Hướng dẫn : bài tập chủ đề 1 trang 5, sách tài liệu “ôn luyện thi tuyển sinh lớp 10”)
Bài 5 : Tìm tất cả các số tự nhiên gồm 6 chữ số sao cho mỗi chữ số, kể từ chữ số thứ ba
(tính từ trái sang phải) đều là tổng của 2 chữ số liền kề bên trái.
Gợi ý : Gọi a là chữ số hàng trăm ngàn (a > 0) và b là chữ số hàng chục ngàn của số tự
nhiên cần tìm.
Chữ số hàng ngàn là : a + b.
Chữ số hàng trăm là : a + 2b.
Chữ số hàng chục là : 2a + 3b.
Chữ số hàng đơn vị là : 3a + 5b.
Ta có 3a + 5b ≤ 9
⇒
b ≤ 1, nên b = 0 hoặc b = 1
Lý luận đưa đến kết quả : 101123 ; 202246 ; 303369 ; 112358 .
Bài 6 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
xxA −++= 20092008

Gợi ý :
+ Điều kiện để A có nghĩa : - 2008 ≤ x ≤ 2009.
+ Giá trị nhỏ nhất : A = 4017 khi x = -2008 hoặc x = 2009.
+ Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski tìm.

Giá trị lớn nhất của A = 8034 khi x =
2
1
.
Bài 7 : Cho A =
1 1 8 3 2
: 1
9 1
3 1 3 1 3 1
x x x
x
x x x
   
− −
− + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
− + +
   

a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A =
6
5
c. Tìm x để A < 1.

Bài 8 : Cho A =
2
2 2 2 1

.
1 2
2 1
x x x x
x
x x
 
− + − +
−
 ÷
 ÷
−
+ +
 

a. Rút gọn A.
b. CMR nếu 0 < x < 1 thì A > 0
c. Tính A khi x =3+2
2
d. Tìm GTLN của A
Bài 9 : Cho A =
2 1 1
:
2
1 1 1
x x x
x x x x x
 
+ −
+ +

 ÷
 ÷
− + + −
 
.
a. Rút gọn A.
b. CMR nếu x
≥
0, x
≠
1 thì A > 0,
Bài 10 : Cho A =
1 2 3 3 2
:
1 1
1 1
x x x x
x x
x x
 
+ − − +
 
− +
 ÷
 ÷
 ÷
− −
− +
 
 

với x
≥
0, x
≠
1.
a. Rút gọn A.
b. Tính A khi x = 0,36
c. Tìm
x Z∈
để
A Z∈

2
Bài 11 : Tính
1281812226A −++−=
Ta có :
24)24(228412818
22
−=−=+−=−
13)13(13233242326)13(26
13)13(132341224122
2
2
−=−=+−=−=−−=+−=
+=+=++=+=−++
A
Bài 12 :Cho phương trình : x
2
– 2mx + 2m – 1 = 0
1. Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm với mọi m

2. Đặt
( )
21
2
2
2
1
xx5xx2A −+=
a. Chứng minh A = 8m
2
– 18m + 9
b. Tìm m sao cho A = 27
3. Tìm m sao cho nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia
G ợi ý
1. Xét
( ) ( ) ( )
m01m1m2m1m2m
2
2
2
∀≥−=+−=−−−=∆
'
2. a.
( )
21
2
2
2
1
xx5xx2A −+=

( )
21
2
21
92 xxxx −+=
Theo viet ta có :

( ) ( )
( )
9m18m89m18m421m29m22
a
c
xx
a
b
xx
22
2
21
21
+−=+−=−−⇒







=

−=+

điều phải chứng minh
b, Tìm m để A = 27 chính là giải phương trình
4m
2
– 9m – 9 = 0
Phương trình có hai nghiệm : m
1
= 3 , m
2
= -3/4
3.Tìm m để x
1
= 2x
2
m
1
= 3/2; m
2
= 3/4.
Bài 13 :Cho phương trình : x
2
– (3m + 2)x + m
2

= 0. Với giá trị nào của m thì phương trình
có hai nghiệm x
1
và x

2
thỏa mãn hệ thức : x
2
– 3x
1
= 0
Gợi ý
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆ = (3m + 2)
2
– 4m
2
> 0
⇔ (5m + 2)(m + 2) > 0
⇔
5m 2 0
m 2 0
+ >


+ >

hoặc
5m 2 0
m 2 0
+ <


+ <


⇔
2
m
5
> −
hoặc m < –2
Theo định lý Vi-ét, và đề bài ta có :

1 2
2
1 2
2 1
3 2 (1)
. (2)
3 0 (3)
+ = +


=


− =

x x m
x x m
x x
⇒
3 2
4

m +
.
3(3 2)
4
+m
= m
2

Giải phương trình này ta có hai nghiệm
3

1
18 8 3
m
11
+
= −
;
1
18 8 3
m
11
−
= −
(thỏa điều kiện)
Bài 14 : Cho phương trình 5x
2
+ mx – 28

= 0

Tìm giá trị nào nguyên của m để phương trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn hệ
thức : 3x
1
– 5x
2
= 20
Gợi ý :
Vì a = 5 > 0 và c = – 28 < 0
⇒ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
và x
2
với mọi m
Theo định lí Vi-ét, và giả thiết ta có
x
1
+ x
2
=
m
5
−
(1) ; x
1
.x
2

=
28
5
−
(2) ; 3x
1
– 5x
2
= 20 (3)
⇒
1
20
8
−
=
m
x
⇒
2
3 100
40
− −
=
m
x

thay x
1
và x
2

vào (2) ta có : .

⇔ 3m
2
+40m – 208 = 0
Giải phương trình ta có hai nghiệm: m
1
= 4 ; m
2
=
52
3
−
Do m là giá trị nguyên nên m = 4 thỏa điều kiện đề bài
Bài15 : Cho phương trình x
2
–12x + m
2
+ 4m + 6 = 0.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn hệ thức :
2
1 2
x x
=
Gợi ý : ∆’ = – m
2

– 4m +30
giải phương trình – m
2
– 4m +30 = 0
ta được m
1
= –2 –
34
; m
2
= –2 +
34
để phương trình có hai nghiệm phân biết thì
∆’ > 0 hay – m
2
– 4m +30 > 0 hay m
2
+ 4m –30 < 0
⇔ –2 –
34
< m < –2 +
34
Theo định lý Vi-ét và giả thiết ta có :
x
1
+ x
2
= 12 (1) ; x
1
.x

2
= m
2
+4m +6 (2) ;
2
2 1
x x=
(3)
⇔ x
1
= – 4 ; x
2
= 3
-Với x
1
= – 4 thay vào (3) ta có x
2
= 16, thỏa phương trình (1)
Thay x
1
và x
2
vào (2) ta có m
2
+4m +70 = 0 (vô nghiệm)
-Với x
1
= 3 thay vào (3) ta có x
2
= 9 , thỏa phường trình (1)

Thay x
1
và x
2
vào (2) ta có m
2
+4m –21 = 0
⇔ m
1
= –7 ; m
2
= 3
Thỏa điều kiện –2 –
34
< m < –2 +
34
.
Bài 16 : Cho phương trình : x
2
– 4x + m = 0
a. Tìm m để tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng 26.
b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
và x
2
thỏa mãn hệ thức :

3 3 2 2
1 2 1 2
x x 5(x x ) 26+ − + =

.
Gợi ý :
a. Lập ∆’ = 4 – m
4
để phương trình có nghiệm thì ∆’ = 4 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 4
Theo định lý Vi-ét và giả thiết ta có :
x
1
+ x
2
= 4 (1) ; x
1
.x
2
= 4m (2) ;
2 2
1 2
x x 26+ =
(3)
Tính được m = –5
b.
3 3 2 2
1 2 1 2
x x 5(x x ) 26+ − + =
⇔
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(x x )[(x x ) 3x x ] 5[(x x ) 2x x ] 26+ + − − + − =
⇔
4(16 3m) 5(16 2m) 26

− − − =
m = – 21 thỏa điều kiện.
Bài 17 : Cho 3 đường thẳng
(d
1
) : y = (m
2
– 1)x – m
2
+ 3 ;
(d
2
) : y = x + 5 ;
(d
3
) : y = –x + 1 ;
a. Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng (d
1
) luôn đi qua một điểm cố
định.
b. Với giá trị nào của m thì (d
1
) // (d
2
).
c. Với giá trị nào của m thì (d
1
) // (d
3
).

d. Với giá trị nào của m thì 3 đường thẳng (d
1
), (d
2
) và (d
3
) đồng quy ?
(Hướng dẫn : bài tập chủ đề 7 trang 59, sách tài liệu “ôn luyện thi tuyển sinh lớp 10”).

Bài 18 : Cho đường thẳng (d
1
) : y = 2x + 2. Viết phương trình đường thẳng (d
2
) biết rằng
(d
2
) song song với (d
1
) và tam giác tạo bởi (d
2
) với các trục tọa độ có diện tích bằng hai lần
diện tích tam giác tạo bởi (d
1
) với các trục tọa độ.
(Đáp án : (d
2)
:
222 += xy
hoặc
222 −= xy

).
Bài 19 : Xác định đường thẳng (d) : y = ax + b biết (d) cắt đường thẳng y = 2x + 3 tại một
điểm A có hoành độ và tung độ đối nhau và (d) cắt đường thẳng y = - 4x + 7 tại một
điểm B có tung độ gấp ba lần hoành độ.
(Đáp án : (d
)
: y = x + 2 )
Bài 20 : Cho đường thẳng (d
1)
y =
)73(
5
1
+
−
x
.
Viết phương trình đường thẳng (d
2
) đối xứng
với đường thẳng (d
1
) qua trục hoành.
(Đáp án : y =
)73(
5
1
+x
)
Bài 21 : a) Chứng minh

1 1 4
x y x y
+ ≥
+
với x, y > 0.
b) Áp dụng: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác p là nửa chu vi. Chứng minh
rằng :

1 1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c
 
+ + ≥ + +
 ÷
− − −
 
(Hướng dẫn : bài tập chủ đề 9 trang 75, sách tài liệu “ôn luyện thi tuyển sinh lớp 10”)
Bài 22 : Chứng minh với mọi a, b, c ta có: a
2
+ b
2
+ c
2
≥ ab + bc + ca. Đẳng thức xảy ra
khi nào ?
(Hướng dẫn : bài tập chủ đề 9 trang 75, sách tài liệu “ôn luyện thi tuyển sinh lớp 10”)
Bài 23: Chứng minh các bất đẳng thức:
a)
( ) ( )c a c c b c ab− + − ≤
(với a > c, b > c và c > 0)

b)
1 1a b b a ab− + − ≤
(với a ≥ 1, b ≥ 1).
5
c)
2 2 2
1 1 1
2
a b c
a bc b ac c ab abc
+ +
+ + ≤
+ + +
(với a, b, c dương).
(Hướng dẫn : bài tập chủ đề 9 trang 75, sách tài liệu “ôn luyện thi tuyển sinh lớp 10”)
Bài 24 : Cho parabal : y = - x
2
và đường thẳng (d) : y = ax + b. Biết rằng (d) cắt (P) tại hai
điểm Avà B có hoành dộ lần lượt bằng -1 và 2.
a). Xác định tọa độ các điểm A và B.
b). Xác định hệ số a và b.
c). Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
(Hướng dẫn : bài tập chủ đề 7 trang 59, sách tài liệu “ôn luyện thi tuyển sinh lớp 10”)
Bài 25 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hàm số y =
4
2
x
−
có đồ thị (P) và đường thẳng
(d) đi qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lần lượt là -4 và 2.

a).Vẽ (P).
b). Viết phương trình đường thẳng (d).
c). Tìm điểm M trên cung AB của (P) (tương ứng hoàng độ x thuộc
][
2;4−
) sao
cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
d). Tìm N trên trục Ox để AN + BN nhỏ nhất.
(Hướng dẫn : bài tập chủ đề 7 trang 60, sách tài liệu “ôn luyện thi tuyển sinh lớp 10”).
Bài 26 : Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O. Trên đoạn BC lấy điểm M, trên
đoạn BA lấy điểm N, trên đoạn CA lấy điểm P sao cho BM = BN và CM = CP.
a). Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.
b).Chứng minh rằng tứ giác ANOP nội tiếp được.
c).Tìm vị trí của M; N; P sao cho độ dài đoạn NP nhỏ nhất.
(Hướng dẫn : bài tập chủ đề 10 trang 124, sách tài liệu “ôn luyện thi tuyển sinh lớp 10”).
Bài 27 :Cho đường tròn tâm O và dây cung BC cố định. Gọi A là điểm di động trên cung
lớn BC của đường tròn tâm O; Tia phân giác của góc ACB cắt đường tròn tâm O tại điểm D
khác điểm C, lấy điểm I thuộc đoạn CD sao cho DI = DB. Đường thẳng BI cắt đường tròn
tâm O tại điểm K khác điểm B.
a). CMR: tam giác KAC cân.
b).Chứng minh đường thẳng AI luôn đi qua một điểm J cố định, từ đó hãy xác
định vị trí của A để độ dài AI là lớn nhất.
c).Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM = AC. Tìm tập hợp các
điểm M khi A di động trên cung lớn BC của đường tròn tâm O.
(Hướng dẫn : bài tập chủ đề 10 trang 125, sách tài liệu “ôn luyện thi tuyển sinh lớp 10”).
Bài 28 :Cho hai đường tròn (O ; R) và đường tròn (O’ ; R/2) tiếp xúc ngoài tại A. Trên
đường tròn (O) lấy điểm B sao cho AB = R và điểm M trên cung lớn AB. Tia MA cắt đường
tròn (O’) tại điểm thứ hai là N. Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường thẳng MB
tại Q và cắt đường tròn (O’) tại P.
a).Chứng minh hai tam giác OAM và O’AN đồng dạng.

b).Chứng minh độ dài đoạn NQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
c).Tứ giác ABQP là hình gì ? Tại sao?
d).Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn nhất; tính
giá trị đó theo R.
(Hướng dẫn : bài tập chủ đề 10 trang 124, sách tài liệu “ôn luyện thi tuyển sinh lớp 10”).
Bài 29 :Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O (với D
∈
AB ; E
∈
AC; F
∈
BC là
các tiếp điểm).M là một điểm thay đổi trên cung nhỏ DE của đường tròn (O) (M khác D và
khác E). Tiếp tuyến của (O) tại M cắt AB, AC lần lượt tại H, K.
Chứng minh tam giác AHK có chu vi không đổi.
6
Gợi ý : Chứng minh chu vi tam giác AHK bằng :
AB + AC – BC không đổi.
Bài 30 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi K là
giao điểm của OA và BC. Lấy điểm L trên cạnh AB sao cho KL = KB, điểm M trên cạnh
AC sao cho KM = KC.
Chứng minh các đường thẳng BC và LM song song với nhau.
Gợi ý :
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của O, K lên AB.
Chứng minh :
AC
MC
AB
LB
=

. Suy ra các đường thẳng BC và LM song song với nhau.
Bài 31:
Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O.Gọi M là một điểm bất
kỳ trên cung nhỏ AC.Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến BC và
AC.P là trung điểm AB;Q là trung điểm FE. Chứng minh :
1. MFEC nội tiếp.
2. ∆AMP và ∆FMQ đồng dạng.
3.
∠
PQM = 90
o
.
Gợi ý :
2).Ta có ∆EFM và ∆ABM đồng dạng ⇒
MF
AM
FE
AB
=
ma AM = 2AP; FE = 2FQ (gt)
⇒
FM
AM
FQ
AP
MF
AM
FQ
AP
=⇒=

2
2
và
∠
PAM=
∠
MFQ
(suy ra từ ∆EFM và ∆ABM đồng dạng)
Vậy: ∆AMP và ∆FMQ đồng dạng với nhau.
3).C/m :
∠
PQM=90
o

Chứng

minh ∆MQP và ∆AFM đồng dạng.
.
⇒
∠
MQP=
∠
AFM
Mà
∠
AFM=1v ⇒
∠
MQP = 1v
Bài 32 :
Cho (O) đường kính AB cố định,điểm C di động trên nửa đường tròn.Tia phân giác của

ACB cắt (O) tai M.Gọi H;K là hình chiếu của M lên AC và AB.
1. C/m: MOBK nội tiếp.
2. Tứ giác CKMH là hình vuông.
3. Gọi giao điểm HKvà CM là I.Khi C di động trên nửa đường tròn thì I chạy trên
đường nào? Giới hạn quỹ tích,
G ợi ý :
3). Điểm I chạy trên một cung của đường tròn đường kính OM
HẾT
7