Nội dung ôn thi tuyển sinh 10

ễN THI VO LP 10 Họ tên: NGUYN NGC QUNH NH , lp
9A3

I-Các kiến thức cơ bản cần nhớ

2
2 3
. . ( , 0)
( 0; 0)
1
.
0; ( ) ; ( )
A B A B A B
A A
A B
B
B
A B A B
A
A B
B B
A A A A A A
=
= >
=
=
= =


A
xxác định khi A

0

-Điều kiện phân thức xác định là mẫu khác 0

- Khử mẫu của biểu thức lấy căn và trục căn thức ở mẫu
- Cỏc hằng đẳng thức đáng nhớ
II-Một số chú ý khi giải toán về biểu thức
1) Tìm ĐKXĐ chú ý

: Trong căn

0 ,Mẫu

0 , biểu thức chia

0
2)Rút gọn biểu thức
-Đối với các biểu thức chỉ là một căn thức th ờng tìm cách đa thừa số ra ngoài dấu căn
.Cụ thể là :
+ Số thì phân tích thành tích các số chính phơng
+Phần biến thì phân tích thành tích của các luỹ thừa với số mũ chẵn
-Nếu biểu thức chỉ chứa phép cộng và trừ các căn thức ta tìm cách biến đổi về các căn
đồng dạng
- Nếu biểu thức là tổng , hiệu các phân thức mà mẫu chứa căn thì ta nên trục căn thức ở
mẫu trớc,có thể không phải quy đồng mẫu nữa.
-Nếu biểu thức chứa các phân thức ch a rút gọn thì ta nên rút gọn phân thức tr ớc
-Nếu biểu thức có mẫu đối nhau ta nên đổi dấu tr ớc khi
-Ngoài ra cần thực hiện đúng thứ tự các phép tính ,chú ý dùng ngoặc ,dấu - , cách viết
căn

Chú ý

: Một số bài toán nh : Chứng minh đẳng thức , chứng minh biểu thức không phụ
thuộc vào biến cũng quy về Rút gọn biểu thức

1
ễN THI VO LP 10 Họ tên: NGUYN NGC QUNH NH , lp
9A3
3) Tính giá trị của biểu thức
-Cần rút gọn biểu thức trớc.Nếu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì nên thay giá
trị của biến vào rồi mới rút gọn tiếp
-Nếu giá trị của biến còn phức tạp thì nghĩ đến việc rút gọn tr ớc khi thay vào tính
4) Tìm biến để biểu thức thoả mãn 1 điều kiện nào đó
-Cần rút gọn biểu thức trớc
-Sau khi tìm đợc giá trị của biến phải đối chiếu với ĐKXĐ
III-Các dạng bài tập
Dạn g 1 : B à i t ậ p r ú t gọ n biể u t hứ c ch ứ a c ăn đ ơ n g i ản
1)
2 2
2 2
149 76
457 384


2)
34
1
23
1
12

1
+
+
+
+
+
3)
1 33 1
48 2 75 5 1
2 3
11
+
4)
0a Với + a49a16a9
5)
a a b
ab
b b a
+ +
6)
9 4 5 9 80 +

7)
243754832 +

8)
246223 +

9)
222.222.84 ++++

8 2 2 2 3 2 2
10)
3 2 2 1 2
+ +
+

11)
6 11 6 11 +
Dạn g 2 : Bà i tậ p r út gọ n b i ể u t h ứ c h ữ u t ỉ
1.
2 2
2x 2x x
A
x 3x x 4x 3 x 1
= + +
+
2.
2
x 2 4x
B
x 2 x 2 4 x
= +
+
3.
2
1 x 1 2x x(1 x)
C
3 x 3 x 9 x
+

=
+
4.
2
2 2
5 4 3x
D 3
2x 6x x 9

=
+
5.
2 2 2
3x 2 6 3x 2
E
x 2x 1 x 1 x 2x 1
+
=
+ + +
6.
2 3
5 10 15
K
x 1 x (x 1) x 1
=
+ + +
Dạn g 3 : B ài tậ p tổ n g h ợp
Bài 1

Cho biểu thức A =

2 1
1 1 1
x x
x x x x x

+
+ +
ữ
ữ
+ +

:
2
1x
a. Tìm điều kiện xác định.
b. Chứng minh A =
1
2
++ xx

2
ễN THI VO LP 10 Họ tên: NGUYN NGC QUNH NH , lp
9A3
c. Tính giá trị của A tại x = 8 -
28
d. Tìm max A.

Bài2

Cho biểu thức P =

n4
4n4
2n
1n
2n
3n


+
+



+
( với n

0 ; n
4
)
a. Rút gọn P
b. Tính giá trị của P với n = 9
Bài3

Cho biểu thức M =
2
( ) 4a b ab a b b a
a b ab
+

+

( a , b > 0)
a. Rút gọn biểu thức M.
b. Tìm a , b để M = 2
2006
Bài 4: Cho biểu thức : M =










+


+









xx
x

xx
x
x
x
x 2
1
11
:
1
a) Rút gọn M.
b) Tính giá trị của M khi x = 7 + 4
3
c) Tìm x sao cho M =1/2
Bài 5: Cho biểu thức : P =










+

2
2
:
2
3
2
4
x
x
x
x
xxx
x
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x =
53
8
+
Bài 6 Cho biểu thức : B =

++











+

+
1
2
1:
1
1
1
12
xx
x
xxx
x

a) Rút gọn B.
b) Tìm x để : 2.B < 1
c) Với giá trị nào của x thì B.
x
= 4/5
Bài 7: Cho biểu thức : M =










+










+

+

1
1
3
1
:
3
1
9
72
xxx
x
x
xx
a) Rút gọn M.
b) Tìm các số nguyên của x để M là số nguyên.
c) Tìm x sao cho : M > 1
Bài 8: Cho biểu thức : A = 1 :








+
+
+

+
+
1
1
1
1
1
22
xxx
x
xx
xx
a) Rút gọn A.

3
ễN THI VO LP 10 Họ tên: NGUYN NGC QUNH NH , lp
9A3
b) Tính giá trị của A nếu x = 7 - 4
3
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A .
Bài 9: Cho biểu thức : P =

+


+








+



+
1
2
11
1
:
1
1
1
1
x
x
x
xx

x
x
x
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x =
2
347
c) Tìm x sao cho P = 1/2
Bài 10: Cho biểu thức : A =
3
2 1 1
.
1 1
1
x x x x
x
x x x
x

+ +

ữ ữ
ữ ữ
+ + +


a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A nếu x =
2
32

Bài 11: Cho biểu thức : A =








+
+










+
1
1:
1
1
1
2
x
x

xxxxx
x
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 0
Bài 12: Cho biểu thức : B =








+










+++

+
1
2
2:

1
2
1
1
x
xx
xxxxx
a) Rút gọn B.
b) Tính giá trị của B khi x = 6 + 2
5
c) Tìm x nguyên để B nguyên.
Bài 13: Cho biểu thức : A =









+
+

+
+
xxxx
x
2
1

6
5
3
2
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A nếu x =
32
2
+
c) Tìm x nguyên để A nguyên
Bài 14: Cho biểu thức : M =









+


+

+

x
x
x

x
xx
x
3
12
2
3
65
92
a) Rút gọn M.
b) Tìm x để M < 1
c) Tìm các số tự nhiên x để M nguyên.

4
ễN THI VO LP 10 Họ tên: NGUYN NGC QUNH NH , lp
9A3
Bài 15: Cho biểu thức : A =

+

+
2
3
1:
3
1
32
4
x
x
x
x
xx
xx
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A > 1
Bài 16: Cho biểu thức : P =
3
2
3

:
2
2
4
4
2
2
xx
xx
x
x
x
x
x
x










+

+
a) Rút gọn P.
b) Tìm các số nguyên của x để P chia hết cho 4.
Bài 17: Cho biểu thức : M =








+
+

+










+
xx
x

x
x
x
x
x
x 141
:
1
13
1
a) Rút gọn M.
b) Tìm các số tự nhiên x để M là số nguyên
c) Tìm x thoả mãn M < 0
Bài 18: Cho biểu thức : P =









+
+

++


+
x
x
xxx
x
x
x
1
52
1
3
:
1
1
12
3
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x =
53
8

c) Tìm x nguyên để P là số tự nhiên
d) Tìm x để P < -1

Bài 19: Cho biểu thức : B =









+

+










+


+ xx
x
x
x

x
x
xx
x
2
2
2
3
:
4
23
2
3
2
a) Rút gọn B.
b) Tính giá trị của B khi x = 9 - 4
5
c) Tìm x sao cho B.( x 1 ) = 3
x
Bài 20: Cho biểu thức : M =








+

+

+
+










+
+
+
+
1
11
1
:1
11
1
xy
xxy
xy
x
xy
xxy

xy
x
a) Rút gọn M
b) Tính giá trị của M khi x = 2 -
3
và y =
31
13
+

Bài 21: Cho biểu thức : B =








+++


+
+
632
6
632
32
yxxy
xy

yxxy
yx
a) Rút gọn B.

5
ễN THI VO LP 10 Họ tên: NGUYN NGC QUNH NH , lp
9A3
b) Cho B=
).10(
10
10


+
y
y
y
Chứng minh :
10
9
=
y
x
Bi 22

: Cho biu thc :

+










+
+

+

+
+
=
1
2:
3
2
2
3
65

2
x
x
x
x
x
x
xx
x
P
a) Rút gọn P.
b)
Tìm x để

2
51

P
B i 23

: Cho biểu thức :

( )
1
122
1
2


+

+

++

=
x
x
x
xx
xx
xx
P
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
c) Tìm x để biểu thức
P
x
Q
2
=
nhận giá trị là số nguyên
Bi 24: Cho biu thc :
2
2
2
1
1
1
1
1

+

+

=
x
xx
x
x
x
P
a) Rút gọn P

b) Tìm x để
2>
x
P
Bi 25: Cho biu thc :










+










+

=
2

2
:
2
45
2
1
x
x
x
x
xx
x
x
P
a) Rút gọn P
b)*Tìm m để có x thoả mãn :
12 += mxxmxP

Bài26:

Cho biểu thức A =
2
2
2
x1
2
1x
x1
1
x1

1








+
+

1. Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.
2. Rút gọn biểu thức A.
3. Giải phơng trình theo x khi A = - 2.

Phần thứhai

6
ễN THI VO LP 10 Họ tên: NGUYN NGC QUNH NH , lp
9A3
A>kiếnthức cần nhớ
-
Hàm số bậc nhất : y = ax + b đồng biến khi a > 0 . Khi đó Đths tạo với rrục hoành ox một
góc nhọn .Nghịch biến thì ngợc lại.
-ĐK hai đờng thẳng song song là :
'
'
a a
b b

=




-ĐK hai đờng thẳng cắt nhau là : a

a
-ĐK hai đờng thẳng vuông góc là tích a.a = -1
-Đt hs y=ax( a

0) đi qua gốc toạ độ
-Đths y=ax+b (a

0,b

0)không đi qua gốc toạ độ.Nó tạo với ox,oy 1 tam

giác
B> Bài tập
Bài 1

: Cho hàm số y = (m + 5)x+ 2m 10
a) Với giá trị nào của m thì y là hàm số bậc nhất
b) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến.
c) Tìm m để đồ thị hàm số điqua điểm A(2; 3)
d) Tìm m để đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9.
e) Tìm m để đồ thị đi qua điểm 10 trên trục hoành .
f) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 2x -1
g) Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m.

h) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số là lớn nhất
Bài 2

: Cho đờng thẳng y=2mx +3-m-x (d) . Xác định m để:
a) Đờng thẳng d qua gốc toạ độ
b) Đờng thẳng d song song với đờng thẳng 2y- x =5
c) Đờng thẳng d tạo với Ox một góc nhọn
d) Đờng thẳng d tạo với Ox một góc tù
e) Đờng thẳng d cắt Ox tại điểm có hoành độ 2
f) Đờng thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x 3 tại một điểm có hoành độ là 2
g) Đờng thẳng d cắt đồ thị Hs y= -x +7 tại một điểm có tung độ y = 4
h) Đờng thẳng d đi qua giao điểm của hai đ ờng thảng 2x -3y=-8 và y= -x+1
Bài 3

: Cho hàm số y=( 2m-3).x+m-5
a )
Vẽ đồ thị với m=6
b)
Chứng minh họ đờng thẳng luôn đi qua điểm cố định khi m thay đổi
c)
Tìm m để đồ thị hàm số tạo với 2 trục toạ độ một tam giác vuông cân
d)
Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành một góc 45
o

7
ễN THI VO LP 10 Họ tên: NGUYN NGC QUNH NH , lp
9A3
e )
Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành một góc 135

o
f)
Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành một góc 30
o
, 60
o
g)
Tìm m để đồ thị hàm số cắt đờng thẳng y = 3x-4 tại một điểm trên 0y
h )
Tìm m để đồ thị hàm số cắt đờng thẳng y = -x-3 tại một điểm trên 0x
Bài4

(Đề thi vào lớp 10 tỉnh Hải Dơng năm 2000,2001) Cho hàm số y = (m -2)x + m + 3
a)Tìm điều kiện của m để hàm số luôn luôn nghịch biến .
b)Tìm điều kiện của m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
c)Tìm m để đồ thị hàm số y = -x + 2, y = 2x 1 và y = (m - 2)x + m + 3 đồng quy.
d)Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 2
Bài 5

(Đề thi vào lớp 10 tỉnh Hải Dơng năm 2004)
Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y = 2x + m (*)
1)Tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm
a)A(-1 ; 3) ; b) B(
2
; -5
2
) ; c) C(2 ; -1)
2) Xác định m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x 2 trong góc phần t thứ IV
Bài 6

:Cho (d
1
) y=4mx- ( m+5) ; (d
2
) y=( 3m
2
+1).x + m
2
-4
a) Tìm m để đồ thị (d
1
)đi qua M(2;3)
b) Cmkhi m thay đổi thì (d
1
)luôn đi qua một điểm A cố định, (d
2
) đi qua B cố định.
c) Tính khoảng cách AB
d)Tìm m để d
1
song song với d
2
e)Tìm m để d
1
cắt d
2
. Tìm giao điểm khi m=2
Bài 7

Cho hàm số y =f(x) =3x 4

a)Tìm toạ độ giao điểm của đths với hai trục toạ độ
b) Tính f(2) ; f(-1/2); f(
7 24
)
c) Các điểm sau có thuộc đths không? A(1;-1) ;B(-1;1) ;C(2;10) ;D(-2;-10)
d)Tìm m để đths đi qua điểm E(m;m
2
-4)
e)Tìm x để hàm số nhận các giá trị : 5 ; -3
g)Tính diện tích , chu vi tam giác mà đths tạo với hai trục toạ độ.
h)Tìm điểm thuộc đths có hoành độ là 7
k) Tìm điểm thuộc đths có tung độ là -4
l) Tìm điểm thuộc đths có hoành độ và tung độ bằng nhau
Phần thứ ba
A>kiếnthức cần nhớ
1)Các phơng pháp giải HPT
a) Phơng pháp thế : Thờng dùng giải HPT đã có 1 phơng trình 1 ẩn , có hệ số của ẩn bằng 1 và hệ chứa
tham số

8
ễN THI VO LP 10 Họ tên: NGUYN NGC QUNH NH , lp
9A3
b) Phơng pháp cộng : Phải biến đổi tơng đơng HPT về đúng dạng sau đó xét hệ số của cùng 1 ẩn trong 2
phơng trình :- Nếu đối nhau thì cộng .Nếu bằng nhau thì trừ .Nếu khác thì nhân .
Nếu kết quả phức tạp thì đi vòng.
c) Phơng pháp đặt ẩn phụ : Dùng để đa HPT phức tạp về HPT bậc nhất hai ẩn
2)Một số dạng toán quy về giải HPT:
- Viết phơng trình đờng thẳng ( Xác định hàm số bậc nhất)
- Ba điểm thẳng hàng
- Giao điểm của hai đờng thẳng(Toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng là nghiệm của HPT)

- Ba đờng thẳng đồng quy
- Xác định hệ số của đa thức , phơng trình
3)Giải phơng trình bậc nhất 1 ẩn
B> Các dạng bài tập
I-Dạng 1: Giải HPT không chứa tham số ( Chủ yếu là dùng phơng pháp cộng và đặt ẩn phụ ) Bài tập rất nhiều
trong SGK,SBT hoặc có thể tự ra
II-Dạng 2 : Hệ phơng trình chứa tham số
1)Cho HPT :
9 3
x my o
mx y m
=


=

a) Giải HPT với m = -2
b) Giải và biện luận HPT theo tham số m
c) Tìm m để HPT có nghiệm duy nhất (x ; y) thảo mãn 4x 5y = 7
d) Tìm m để HPT có 1 nghiệm âm
e) Tìm m để HPT có 1 nghiệm nguyên
f) Tìm 1 đẳng thức liên hệ giữa x,y độc lập với m
Chú ý : Việc giải và biện luận HPT theo tham số là quan trọng .Nó giúp ta tìm đợc điều kiện của tham số đề HPt
có 1 nghiệm ,VN,VSN .

2) Cho hệ phơng trình: mx + y = 3
9x + my = 2m + 3
a. Giải phơng trình với m = 2, m = -1, m =
5
b. Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm, vô nghiệm, vô số nghiệm.

c. Tìm m để 3x + 2y = 9 , 2x + y > 2
d. Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng.
e. Tìm m để phơng trình có nghiệm nguyên âm.
3)Cho hệ phơng trình



=+
=+
2y)1m(x
myx)1m(
; có nghiệm duy nhất (x ; y)
a) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m;
b) Tìm giá trị của m thoả mãn 2x
2

- 7y = 1
c) Tìm các giá trị của m để biểu thức A =
yx
y3x2
+

nhận giá trị nguyên.

9
ễN THI VO LP 10 Họ tên: NGUYN NGC QUNH NH , lp
9A3
4)Cho hệ phơng trình

=+
=
2myx
1ymx
a.Giải hệ phơng trình theo tham số m.
b.Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x,y). Tìm các giá trị của m để x +y = 1
c.Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
5)Cho hệ phơng trình :
( 1) 3
.
a x y
a x y a
+ =


+ =

a) Giải hệ với
2a =
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x + y > 0
6)Cho hệ phơng trình
2
3 5
mx y
x my
=


+ =

a) Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm x = 1, y =
3 1
b) Chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
7)Cho hệ phơng trình :



=+
+=+
ayx
ayx
2
332
a)Tìm a biết y=1
b)Tìm a để : x
2
+y
2
=17
8)Cho hệ phơng trình
( 1) 3 1
2 5
m x my m
x y m
=


= +

a) Giải hệ phơng trình với m = 2
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà S = x
2
+y
2
đạt giá trị nhỏ nhất
Dạng 3 .Một số bài toán quy về HPT
1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm A(2;5) và B(-5;7)
2) Cho hàm số y = (3m-1)x + 4n -2
Tìm m,n biết đồ thị hàm số đi qua điểm (5 ;-3) và cắt trục hoành tại 1 điểm có hoàng độ là -2
3)Tìm giao điểm của hai đờng thẳng 4x-7y=19 và 6x + 5y = 7
4) Cho 2 đờng thẳng: d
1
: y = mx + n
d
2
: (m - 1)x + 2ny = 5
a. Xác định m,n biết d
1
cắt d
2
tại điểm (2;- 4)
b. Xác định phơng trình đờng thẳng d
1
biết d
1
đi qua điểm (-1; 3) và cắt ox
tại một điểm có hoành độ là - 4.
c. Xác định phơng trình đờng thẳng d
2

biết d
2
đi qua điểm 7 trên oy và song
song với đờng thẳng y - 3x = 1
5) Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax+ b.

10
ễN THI VO LP 10 Họ tên: NGUYN NGC QUNH NH , lp
9A3
Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A (1;3) và B (-3; 1)
6) Tìm giá trị của m để các đờng thẳng sau cắt nhau tại một điểm:
y = 6 - 4x ; y =
4
53 +x
; và y = (m 1)x + 2m.
7)Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y = 2x + m (*)
a)Tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm
A(-1 ; 3) ; B(
2
; -5
2
) ; C(2 ; -1)
b) Xác định m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x 2 trong góc phần t thứ IV
8)Cho hàm số: y = (2m-3)x +n-4 (d) (
3
2
m
)
1. Tìm các giá trị của m và n để đờng thẳng (d) :
a) Đi qua A(1;2) ; B(3;4)

b) Cắt oytại điểm có tung độ
3 2 1y =
và cắt ox tại điểm có hoành độ
1 2x
= +
2. Cho n = 0, tìm m để đờng thẳng (d ) cắt đờng thẳng (d
/
) có phơng trình x-y+2 = 0
tại điểm M (x;y) sao cho biểu thức P = y
2
-2x
2
đạt giá trị lớn nhất.
9)Cho hàm số y = (m -2)x + m + 3
a)Tìm điều kiện của m để hàm số luôn luôn nghịch biến .
b)Tìm điều kiện của m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
c)Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số y = -x + 2, y = 2x 1 và y = (m - 2)x + m + 3 đồng quy.
10) Chứng minh 3 điểm A(1 ;3) , B( -2;-3) ,C( 3;7) thẳng hàng
11)Tìm m để ba điểm A(4;5) ,B( 2m ; m
2
) ,C(-3 ;-2) thẳng hàng.
12)Chứng minh 3 đờng thẳng : 3x + 7y = 13 , 2x -5y = -1 và y = 4x- 7 cắt nhau tại 1 điểm.
Phần thứ t
A.Phân loại và ph ơng pháp giải
Loại 1 : Phơng trình bậc nhất 1 ẩn và phơng trình đa đợc về dạng ax = c
Phơng pháp giải : Biến đổi tơng đơng phơng trình về dạng : ax = c
-Nếu a khác 0 thì phơng trình có 1 nghiệm : x = c/a
-Nếu a = 0 thì phơng trình vô nghiệm khi c khác 0 , vô số nghiệm khi c = 0
-Nếu a cha rõ ta phải xét tất cả các trờng hợp (biện luận)
Chú ý : Trong quả trình biến đổi : -Nếu có ngoặc thờng phá ngoặc . Nếu có mẫu thờng quy đồng rồi khử mẫu

-Nếu mẫu quả lớn thì có thể quy đồng tử . Chuyển vế hạngtử phải đổi dấu Chỉ đợc cùng nhân ,chia 1số khác 0
Loại 2; phơng trình bậc 2:
Phơng pháp giải : Biến đổi tơng đơng Pt về đúng dạng ax
2
+ bx + c = 0
- Dạng khuyết ax
2
+ bx = 0 thì đa về dạng phơng trình tích x(ax + b) = 0
- Dạng khuyết ax
2
+ c = 0 thì đa về dạng x
2
= m
- Nếu a+ b + c = 0 thì x = 1 ; x = c/a

11
ễN THI VO LP 10 Họ tên: NGUYN NGC QUNH NH , lp
9A3
- Nếu a - b + c = 0 thì x =-1 ; x= -c/a
- Nếu b = 2b
/
thì dùng CTNTG
- Còn lại thì dùng CTN
Loại 3 : phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Dạng 1: PT Chứa 1 dấu giá trị tuyệt đối
Phơng pháp giải : 1)Xét dấu của biểu thức trong giá trị tuyệt đối nếu ngoài chứa ẩn
2)Nếu ngoài không chứa ẩn thì đa PT về dạng /f(x)/ = m
Chú ý : -Đối chiếu ĐK . 2 dạng đặc biệt /f(x)/ = f(x) và /f(x)/ =- f(x)
Dạng 2: PT chứa 2 dấu giá trị tuyệt đối
Phơng pháp giải: 1) Xét dấu của biểu thức trong giá trị tuyệt đối

2) Lập bảng xét dấu rồi xét từng khoảng giá trị của ẩn
Chú ý : -Đối chiếu ĐK . Dạng đặc biệt /f(x)/ = /g(x)/ và f(x;y)/ + /g(x;y)/ =0
Dạng 3: PT chứa 3 dấu giá trị tuyệt đối trở lên : thì lập bảng xét dấu hoặc đa về HPT
Loại 4 : phơng trình chứa ẩn trong dấu căn (PT vô tỉ)
Giải PT vô tỉ trớc hết phải tìm ĐKXĐ
Dạng 1:
= g (x) (1). Đây là dạng đơn giản nhất của phơng trình vô tỉ.
Sơ đồ cách giải:
= g (x)

g(x)

0 (2).
f(x) = [g(x)]
2
(3).
Giải phơng trình (3) đối chiếu với điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp suy ra
nghiệm của phơng trình (1).
Dạng 2: Đa về PT chứa dấu // :
-Nếu trong căn viết đợc dứa dạng bình phơng thì đa về phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dạng3 : Đặt ẩn phụ : -Nếu bên ngoài biến đổi đợc giống trong thì đặt ẩn phụ ( ĐK của ẩn phụ là không âm)
Dạng 4 : Dùng phơng pháp bình phơng 2 vế :
Chú ý : Khi bình phơng 2 vế phải cô lập căn thức và đạt điều kiện 2 vế không âm
-Dạng
A B A B m+ + =
thờng bình phơng 2vế
Loại 5 : Phơng trình chứa ẩn ở mẫu
Giải PT chứa ẩn ở mẫu trớc hết phải tìm ĐKXĐ
Phơng pháp giải : 1) Thông thờng - Tìm ĐKXĐ -Quy đồng ,khử mẫu ,giải PT ,đối chiếu ,kết luận
2) Đặt ẩn phụ : -Nếu PT chứa các phân thức giống nhau hoặc nghịch đảo

3) Nhóm hợp lý ( nếu việc QĐ khó khăn và có 4 phân thức trở lên)
Loại 6 : Phơng trình bậc cao -Đa về Pt tích -Đặt ẩn phụ
B.Bài tập
a. 3x+5 = x-1 h. (2x+3)
2
-(4x-7)(x+5)=0
b.
5 3 2
3
4 6
x x
+
=
i. 7(x+4)-3(6-x)=0
c. (2x - 3)
2
- (x + 2)(4x - 1) = 0 k.
12 + xx
+
12 xx
= 2

12
ễN THI VO LP 10 Họ tên: NGUYN NGC QUNH NH , lp
9A3
d. x
2
- (
3
+ 1)x = -

3
l. (x
2
+ x + 1) (x
2
+ x + 12) = 12
e.
4
222
2
3
2
2
2


=

+
+

x
x
xx
x
m.
23
55
23
1

2
2
2
+










+

x
x
x
x
= 6
g. x +
27 +x
= 4 n. x
2
- 3x +
13
2
+ xx
= 1

p.
4)2(
22
=++ xx
q. 4x
2 1 = 0
r.
4x
24x4x
2x
1x
2x
3x
2
2

+
=
+
+


+
t.
1x4x4
2
+
= 20085 u) =
Phần thứ năm
A.Các dạng bài tập và ph

ơng pháp giải
Dạng 1: Điều kiện PHB2 có nghiệm ,vô nghiệm
Có thể xảy ra 6 trờng hợp
-Muốn chứng minh PTB2 luôn có nghiệm , có 2 nghiệm pb , vô nghiệm ta chứng minh
Luôn không âm ,luôn dơng , luôn âm.
-Muốn tìm điều kiện để PTB2 có nghiệm ,vô nghiệm ta giải bất ph ơng trình
Dạng 2



; Tính giá trị 1 biểu thức của 2 nghiệm
Phơng pháp giải : - Kiểm tra điều kiện có nghiệm .Tính tổng ,tích 2 nghiệm theo VIéT
-Biến đổi biểu thức về dạng toàn Tổng ,Tích 2 nghiệm
Chú ý Nếu gặp Hiệu ,Căn thì tính bình phơng rồi suy ra
-Nếu biểu thức không đối xứng thì có thể dùng
2
1 1
0ax bx c+ + =
;
2
2 2
0ax bx c+ + =
-Nếu mũ quá lớn thì có thể nhẩm nghiệm
Ngoài ra ở những bài khó cần khéo léo vận dụng linh hoạt
Dạng 3



: Viết 1 hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm độc lập với tham số

B

ớc 1

: Tính tổng và tích 2 nghiệm theo Viét
B

ớc 2

: Rút tham số từ tổng thay vào tích hoặc ngợc lại
Chú ý : Nếu bậc của tham số ở tổng và tích đều là 2 trở lên ta phải khử bậc cao tr ớc bẳng
cách nh phơng pháp cộng trong giải HPT
Dạng 4



; Tìm tham số biết 1 hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm
B

ớc1

: Tìm ĐK có nghiệm . Tính tổng và tích 2 nghiệm theo Viét

13
ễN THI VO LP 10 Họ tên: NGUYN NGC QUNH NH , lp
9A3
B

ớc 2

: Biến đổi tơng đơng hệ thức về dạng toàn Tổng ,Tích 2 nghiệm .Nếu không đợc thì giải
hệ ( Hệ thức có bậc 1 )
Chú ý : -Phải đối chiếu với ĐK có nghiệm Nếu hệ thức chứa Hiệu ,căn thì có thể bình ph ơng
,chứa dấu giả trị tuyệt đối thì có thể thành 2 phần
Dạng 5



: Lập ph

ơng trình bậc 2 biết 2 nghiệm
Khi lập PT B2 cần biết 2 nghiệm và ẩn
- Muốn lập PTB2 có 2 nghiệm
1 2
,x x
ta làm nh sau :
Tính
1 2 1 2
, .x x S x x P+ = =
Vậy PTB2 cần lập là : x
2
- Sx+ P =0
Dạng6



:Tìm 2 số biết tổng và tích

:Dủng phơng pháp thế đa về PTB2
Dạng7

:Xét dấu các nghiệm của PT
Xét phơng trình bậc hai:
0
2
=++ cbxax
(a
)0
Có
acb 4
2
=
P =
a
c
xx =
21
S =
a
b
xx =+
21
Trong nhiều trờng hợp ta cần so sánh nghiệm của ph ơng trình bậc hai với một số cho tr-
ớc hoặc xét dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai mà không cần giải phơng trình đó, ta có
thể ứng dụng định lí Viét .
1. Phơng trình có 2 nghiệm dơng

0
0
0
S
P
2. Phơng trình có 2 nghiệm âm










0
0
0
S
P
3. Phơng trình có 2 nghiệm trái dấu: P
0

Nhiều bài toán đòi hỏi tìm điều kiện để phơng trình bậc 2 có ít nhất 1 nghiệm không âm.
Thờng có 2 cách giải:
Cách 1

: Có P

0 ( Trờng hợp này có 1 nghiệm dơng 1 nghiệm không âm)
Hoặc P = 0 Trờng hợp này tồn tại 1 nghiệm bằng 0
Hoặc:








0
0
0
S
P
Thì hai nghiệm đều dơng.
Cách 2:


Trớc hết phải có
0

khi đó phơng trình có ít nhất 1 nghiệm không âm nếu :
0S
( Trờng hợp này tồn tại nghiệm dơng)

14
ễN THI VO LP 10 Họ tên: NGUYN NGC QUNH NH , lp
9A3
Hoặc S = 0 ( Trờng hợp này tồn tại nghiệm không âm)
Hoặc
0,0 PS
( Trờng hợp này có 1 nghiệm không âm 1 nghiệm âm)
Tuỳ theo đầu bài mà chọn cách xét biểu thức P hay S.
Dạng 8: Nghiệm chung của 2 ph

ơng trình
Dạng 9:Hai ph

ơng trình t

ơng đ

ơng
Học sinh hay nhầm lẫn vấn đề sau: Khi tìm ra hai phơng trình vô nghiệm thờng vội kết luận
ngay là hai phơng trình đó không tơng đơng với nhau:
VD3:

Tìm m để hai phơng trình x
2
mx + 2m -3 = 0 (1); x
2

(m
2
+ m - 4)x + 1=
0 (2) tơng đơng.
H

ớng dẫn

: Hai phơng trình trên tơng đơng trong hai trờng hợp
* Tr

ờng hợp 1

: PT(1) và PT(2) vô nghiệm



<
<

0
0
2
1

( )

<+
<+

044
0128
2
2
2
mm
mm





<<
<<
<<

21
23
62
m
m
m

(không xảy ra)
* Tr

ờng hợp 2

: PT(1) và PT(2) cùng có nghiệm x
1
; x
2
thì

theo định lý Vi-ét ta có:
2
042
04
132.
4
2
21
2
21
=



=
=




==
++==+

m
m
m
mxx
mmmxx
.
Thử lại với m = 2 thì hai phơng trình tơng đơng vì chỉ có một nghiệm x = 1. Vậy m = 2

Với loại toán này ta cần lu ý học sinh: Khi cả hai phơng trình vô nghiệm thì hai ph ơng
trình đó cũng là hai phơng trình tơng đơng. Cho nên với một số bài toán ta phải xét hai tr ờng
hợp, trờng hợp cả hai phơng trình vô nghiệm và trờng hợp cả hai phơng trình có cùng một tập
hợp nghiệm.
VD4

: Tìm m, n để phơng trình x
2
(m + n)x -3 = 0 (1)
và phơng trình x
2
2x + 3m n 5 = 0 (2) t ơng đơng.
H

ớng dẫn

:
PT(1) có
( )
nmnm ,012
2
>++=

nên PT(1) luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
Do đó PT(1) và PT(2) tơng đơng khi hai phơng trình này có cùng tập hợp nghiệm nghĩa là:



=
=




=
=+




==
=+=+
1
1
23
2
533.
2
21
21

n
m
nm
nm
nmxx
nmxx
. Vậy m =1 và n =1 là các giá trị cần tìm

Với bài toán này ta đã chỉ ra đợc một phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt, nên để cho
hai phơng trình tơng đơng thì phơng trình còn lại cũng phải có hai nghiệm giống hai nghiệm
của phơng trình trên. áp dụng định lý Vi-ét về tổng tích hai nghiệm ta sẽ tìm đ ợc m, n
B. bài tập
Bài 1

:Cho phơng trình mx
2
+(2m-1)x+(m-2)=0
1. Giải phơng trình với m = 3
2. Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x
1
,x
2
thoả mãn x
1
2
+x
2
2
=2006
3. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m

15
ễN THI VO LP 10 Họ tên: NGUYN NGC QUNH NH , lp
9A3
Bài 2

: Cho phơng trình (m-1)x
2
+ 2mx + m 2 = 0.
a) Giải phơng trình khi m = 1
a) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = 16, và tìm nghiệm còn lại.
Bài 3

: Cho phơng trình: x
2
-(m+1)x + m = 0
a) giải phơng trình với m = 3
a) Tìm m để tổng bình phơng các nghiệm bằng 17
b) Lập hệ thức độc lập giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m
c) Giải phơng trình trong trờng hợp tổng bình phơng các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4

: Cho phơng trình: x
2
- 2mx + 2m 1 = 0
a) Giải phơng trình với m= 4
a) Tìm m để tổng bình phơng các nghiệm bằng 10.
b) lập hệ thức độc lập giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m
c) Tìm m sao cho : 2(x

1
2
+x
2
2
)- 8x
1
x
2
= 65
Bài 5

: Cho phơng trình : x
2
-(2k+1)x +k
2
+2 = 0
a) Tìm k để phơng trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
a) Tìm k để phơng trình có x
1
2
+x
2
2
nhỏ nhất .
Bài6

: Cho phơng trình x
2
+mx+m-1=0

a) Giải phơng trình với m=3
b) Chứng minh phơng trình có nghiệm với mọi m
c) Tính tổng và tích giữa các nghiệm của ph ơng trình
Bài 7

: Cho phơng trình: x
2
+( 2m+1 ).x+m
2
+m-2=0
a) Giải phơng trình với m= 4
b) Chứng minh phơng trình có nghiệm với mọi m
c) Gọi x
1
,x
2
là nghiệm của phơng trình. Tính theo m: ( x
1
+1) ( x
2
+1)+ 7x
1
x
2
.
Bài 8

: Cho x
2
-4x-( m

2
+2m)=0
a) Giải phơng trình với m=5.
b) Chứng minh phơng trình có nghiệm với mọi m.
c) Tính x
2
1
+x
2
2
+8( x
1
x
2
+1) theo m
d) Tìm m để x
2
1
+x
2
2
=5( x
1
+x
2
)
Bài 9

: Cho phơng trình 2x
2

+6x+m=0
a)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

16
ễN THI VO LP 10 Họ tên: NGUYN NGC QUNH NH , lp
9A3
b) Xác định m để phơng trìnhcó 2 nghiệm thoả mãn
5
1
2
2
1
+
x
x
x
x
Bài 10

: Cho x
2
-2( m-1)x +m-3=0
a) Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m
c) Tìm m để x
1
-3x
2
=5
Bài 11

:Cho phơng trình : x
2
(m + 5)x m + 6 = 0, với m là tham số. Tìm m để giữa hai
nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn : 2x
1
+ 3x
2
= 13
Bài 12

: Cho phơng trình: x
2
- 2mx + m = 7
a. Giải phơng trình với m = 7, m = - 4, m =
3
b. Cm phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với m
c. Viết một hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m. Tính x
1
theo x
2
.
d. Tính theo m:
3
1
1

x
+
3
2
1
x
, 3x
2
1
- 2mx
1
+ 2x
2
2
+ m
e. Tính m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu, 2 nghiệm dơng.
g. Với điều kiện nào của m thì
21
xx
= 4 ; 2x
1
+ x
2
= 0 ;
(x
1
+ 3x
2
)(x
2

+ 3x
1
) = 8 ; x
2
2
- (2m + 1)x
2
- x
1
+ m > 0
h. Tìm giá trị lớn nhất của A = x
, 1
(x
2
x
1
) - x
2
2
.
Lập phơng trình bậc 2 có 2 nghiệm là số đối của các nghiệm ph ơng trình trên.
Bài 13

: Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình x
2
2(m- 1)x 4

=0
( m là tham số )
Tìm m để
1
x
+
2
x
= 5
Bài 14

: Cho phơng trình:
x
2
3x + 1 = 0 có 2 nghiệm x
1
, x
2
. Tính:
a. x
2
1
+ x
2
2
d. x
5
1
+ x

5
2
h.
2
1
1
x
x +
+
1
2
1
x
x +

b. x
3
1
+ x
3
2
e.
21
xx
i) x
1
2
x

+ x

2
1
x
c. x
4
1
+ x
4
2
g. x
1
1
x

+ x
2
2
x

k. x
1
(2x
1
- 3) + x
2
2
Bài 15

Cho phơng trình:

17
ễN THI VO LP 10 Họ tên: NGUYN NGC QUNH NH , lp
9A3
x
2
- 2x + m - 3 = 0
* Tìm m để phơng trình :
a. Có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép.
b. Có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
b
1
. (x
1
+ 3x
2
)( x
2
+ 3x
1
) = 0 b
2
. 3x
1
+ 5x
2
= 0

b
3
. x
2
1
+ x
2
2
- x
1
x
2
= 0
* Biết phơng trình có 1 nghiệm là x
1
= 4. Tìm m và x
2
.
Bài 16

Cho phơng trình x
2
(m+4)x + 3m+3 = 0 ( m là tham số)
a. Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
b. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn x
1

3
+ x
2
3



0 .
Bài 17

Cho phơng trình bậc 2 đối với x.
(m + 1)x
2
- 2(m - 1)x + m - 3 = 0 (3)
a. Chứng minh rằng phơng trình (3) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
giá trị củ m khác - 1.
b- Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu.
c. Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu và trong hai
nghiệm đó có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Bài 18

Cho phơng trình : (m
2
+ 1)x
2
+ 2(m
2
+ 1)x m = 0, với m là tham số. Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của : A = x
1

2
+x
2
2
với x
1
, x
2
nghiệm của phơng trình
Xét hai phơng trình: x
2
+x+k+1 = 0 (1) và x
2
- (k+2)x+2k+4 = 0 (2)
a) Giải phơng trình (1) với k = - 1; k = - 4
b) Tìm k để phơng trình (2) có một nghiệm bằng
2
?
c) Với giá trị nào của k thì hai phơng trình trên tơng đơng ?
Bài 19

Xét hai phơng trình: x
2
+x+k+1 = 0 (1) và x
2
- (k+2)x+2k+4 = 0 (2)
a)Giải phơng trình (1) với k = - 1; k = - 4
b)Tìm k để phơng trình (2) có một nghiệm bằng
2
?

c)Với giá trị nào của k thì hai phơng trình trên tơng đơng ?
Bài 21

: Cho hai phơng trình : x
2
(2m + n)x -3m = 0 (1)
x
2
(m + 3n)x - 6 = 0 (2). Tìm m, n để hai ph ơng trình trên
tơng đơng
Bài 22:

Cho hai phơng trình : x
2
+(m + 1)x +1 = 0 (3)
x
2
+ x + m+ 1 = 0 (4)
a) Tìm m để phơng trình (3) có tổng bình phơng hai nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất
b) Tìm m hai phơng trình trên tơng đơng.
Bài 23:

Tìm m để hai phơng trình : x
2
+ 2x - m = 0 (5)
2x
2
+ m x + 1 = 0 (6) tơng đơng
Bài 24

: Cho phơng trình x
2
- 2(m + 1)x + m - 4 = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.

18
ễN THI VO LP 10 Họ tên: NGUYN NGC QUNH NH , lp
9A3
c) Chứng minh rằng biểu thức H = x
1
(1 - x
2
) + x
2
(1 - x
1
) không phụ thuộc vào m.
d) Tìm giá trị của biểu thức x
1
- x
2
; x
1
2
- x
2
2
; x
1

3
- x
2
3
.
Bài 25

:
a) Định m để phơng trình mx
2
- (12 - 5m)x - 4(1 + m) = 0 có tổng bình phơng các nghiệm là 13.
b) Định m để pt mx
2
+ (2m - 1)x + (m - 2) = 0 có tổng bình ph ơng các nghiệm là 2005.
Bài 26

: Cho phơng trình x
2
- 2(m + 1)x + m
2
- 4m + 5 = 0.
a) Định m để phơng trình có nghiệm.
b) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều d ơng.
Phần thứ sáu
Bài 1:

Hai xe ô tô cùng khởi hành một lúc từ Hà Nội vào Thanh Hoá .Xe thứ nhất mỗi giờ đi
nhanh hơn xe thứ hai 10km nên đến Thanh Hoá sớm hơn xe thứ hai 30 phút.Tính vận tốc mỗi
xe,biết quãng đờng Hà Nội Thanh Hoá dài 150 km
Bài 2: Một xe tải đi từ A đến B cách nhau 120 km .Nửa giờ sau một xe máy chạy từ A để đến B chạy chậm hơn

xe tải 6 km/h nên đến B chậm hơn 70 phút so với xe tải.Tính vận tốc mỗi xe ?
Bài 3: Hai bến sông AB cách nhau 80km. Hai ca nô khởi hành cùng một lúc chạy từ A đến B , ca nô thứ nhất
chạy chậm hơn ô tô thứ hai 4km/h . Trên đờng đi ca nô thứ hai dừng lại nghỉ 1giờ rồi chạy tiếp đến B. Tính vận
tốc của mỗi ca nô , biết rằng ca nô thứ nhất đến B trớc ca nô thứ hai 20 phút.
Bài 4: Một ca nô xuôi dòng 90km , rồi ngợc dòng 36 km. Biết thời gian xuôi dòng nhiều hơn ngợc dòng là 2 giờ
và vận tốc xuôi dòng lớn hơn ngợc dòng là 6km/h. Tính thời gian mỗi ca nô đi hết quãng đờng AB.
Bài 5: Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 54km. Cả đi lẫn về mất 5 giờ 15 phút .Tính vận tốc của dòng n-
ớc , biết vận tốc riêng của tàu khi nớc yên lặng là 21km/h.
Bài 6: Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 60km đi ngợc chiều nhau. Sau 1giờ 20 phút gặp
nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô , biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ngợc là 9km/h
và vận tốc dòng nớc là 3km/h.
Bài 7:Một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 24km, cùng lúc đó có một chiếc bè trôi theo dòng n ớc từ A về
hớng B. Sau khi ca nô đến B quay trở lại thì gặp chiếc bè đã trôi đợc 8km. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết rằng
vận tốc của bè bằng vận tốc dòng nớc bằng 4km/h.
Bài 8: Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian đã định.Khi đi đợc nửa quãng đờng
xe bị chắn bởi xe hoả 3 phút .Vì vậy để đến B đúng hạn xe phải tăng tốc 2km/h trên quãng đờng còn lại. Tính
vận tốc dự định.
Bài 9:Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ C đến D. Xe tải đi với vận tốc 30km/h, xe con đi với vận tốc
45km/h .Sau khi đã đi đợc 3/4 quãng đờng CD, xe con tăng vận tốc thêm 5km/h trên quãng đờng còn lại vì vậy
đã đến D sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút.Tính quãng đờng CD.
Bài 10: Một ngời đi xe đạp dự định đi hết quãng đờng AB dài 20km trong thời gian đã định. Nhng thực tế , sau
khi đi đợc 1 giờ với vận tốc dự định, ngời đó đã giảm vận tốc đi 2km/h trên quãng đờng còn lại. Vì vậy đã đến B
chậm hơn dự kiến 15 phút.Tính vận tốc dự định và thời gian lăn bánh trên đờng.
Bài 11:Một ô tô dự định đi hết quãng đờng AB dài 150 km trong thời gian đã định. Sau khi đi đợc 2 giờ , ngời lái
xe quyết định tăng tốc thêm 2km/h trên quãng đờng còn lại .Do đó đã đến B sớm hơn dự kiến 30 phút. Tính vận
tốc ô tô đi ở đoạn đờng đầu ?
Bài 12: Một ngời dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km trong thời gian đã định.Sau khi đi đợc nửa quãng
đờng , ngời đó dừng lại nghỉ 30 phút . Vì vậy mặc dù trên quãng đờng còn lại đã tăng tốc thêm 2km/h song vẫn
đến đến B chậm hơn dự kiến 12phút. Tính vận tốc của ngời đi xe đạp trên đoạn đờng cuối của đoạn AB.
Bài 13: Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 120 km. Cùng lúc đó có một xe máy chạy từ B trở về A và gặp

xe ô tô tại một tỉnh C cách một trong hai điểm khởi hành 75km. Tính vận tốc của mỗi xe ,biết rằng nếu vận tốc
của hai xe không đổi và xe máy khởi hành trớc ô tô 48 phút thì sẽ gặp nhau ở giữa quãng đờng.

19
ễN THI VO LP 10 Họ tên: NGUYN NGC QUNH NH , lp
9A3
Bài 14:

Một ô tô đi từ địa điểm A đến điểm B với vận tốc xác định . Nếu vận tốc tăng 20km/h
so với dự định thì thời gian đến B sẽ giảm 1giờ, nh ng nếu vận tốc giảm 10km/h thì thời gian
đến B sẽ tăng thêm 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của ô tô.
Bi 15

: Mt bố na trụi t do ( vi vn tc bng vn tc ca dũng nc) v mt ca nụ cựng
di bn A xuụi dũng sụng. Ca nụ xuụi dũng c 144 km thỡ quay tr v bn A ngay, c i
ln v ht 21 gi. Trờn ng ca nụ tr v bn A, khi cũn cỏch bn A 36 km thỡ gp bố na
núi trờn. Tỡm vn tc riờng ca ca nụ v vn tc ca dũng nc.
Bài 16: Theo dự kiến , một công nhân dự định làm 70 sản phẩm trong thời gian đã định. Nhng thực tế , do áp
dụng khoa học kỹ thuật nên đã tăng năng suất 5 sản phẩm mỗi giờ .Do đó không những hoàn thành trớc thời hạn
40 phút mà còn vợt mức 10 sản phẩm. Tính năng suất dự kiến.
Bài 17: Một công nhân dự định làm 33 sản phẩm trong thời gian đã định . Trớc khi làm việc xí nghiệp giao thêm
cho 29 sản phẩm nữa . Do vậy mặc dù ngời đó đã làm tăng mỗi giờ 3 sản phẩm song vẫn hoàn thành chậm hơn dự
kiến 1 giờ 30 phút. Tính năng suất dự kiến.
Bài 18: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào một bể chứa trong thời gian đã định thì mỗi giờ phải bơm đợc 10
m
3
. Sau khi bơm đợc 1/3 thể tích bể chứa , ngời công nhân vận hành cho máy hoạt động với công suất
lớn hơn 5m
3
mỗi giờ so với ban đầu. Do vậy , so với qui định bể chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút . Tính thể tích

bể chứa .
Bài 19: Một xí nghiệp giao cho một công nhân làm 120 sản phẩm trong thời gian qui định. Sau khi làm đợc 2 giờ
, ngời đó cải tiến kỹ thuật nên đã tăng đợc 4sản phẩm/ giờ so với dự kiến . Vì vậy trong thời gian qui định
không những hoàn thành kế hoạch mà còn vợt mức 16 sản phẩm. Tính năng suất làm lúc đầu.
Bài 20: Một công nhân dự định làm 36 sản phẩm trong thời gian đã định.Sau khi đi đợc nửa số lợng đợc giao , ng-
ời đó dừng lại nghỉ 30 phút . Vì vậy mặc dù làm thêm 2 sản phẩm mỗi giờ với nửa số sản phẩm còn lại song vẫn
hoàn thành công việc chậm hơn dự kiến 12phút. Tính năng suất dự kiến .
Bài 21:Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể chứa không có nớc thì sau 1 giờ 30 phút đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất
chảy 15 phút rồi khoá lại, rồi mở tiếp vòi thứ hai chảy 20 phút thì đợc 20% bể. Hỏi nếu để từng vòi chảy một thì
sau bao lâu bể đầy.
Bài 22:Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể chứa không có nớc thì sau 2 giờ 40 phút đầy bể. Tính xem nếu để từng
vòi chảy thì mỗi vòi cần bao lâu, biết rằng để chảy đầy bể thì vòi thứ nhất cần nhiều hơn vòi thứ hai là 4 giờ.
Bài 23:Hai công nhân cùng làm một công việc sau 4 ngày hoàn thành . Biết rằng nếu làm một mình xong việc thì
ngời thứ nhất làm nhanh hơn ngời thứ hai là 6 ngày .Tính thời gian mỗi ngời làm một mình xong công việc trên.
Bài 24: Trong một buổi liên hoan, một lớp học sinh mời 15 khách tới dự . Vì lớp đã có 40 học sinh nên phải kê
thêm 1 dãy ghế nữa và mỗi dãy ghế phải xếp thêm 1 ngời nữa mới đủ chỗ ngồi.Hỏi ban đầu lớp học có bao nhiêu
dãy ghế, biết mỗi dãy có số ngời ngồi nh nhau và không quá 5 ngời.
Bài 25:Trong một trang sách nếu thêm 2 dòng và mỗi dòng bớt đi 1chữ thì số chữ trong trang tăng thêm 4 chữ.
Nhng nếu bớt đi 3 dòng và mỗi dòng thêm 2 chữ thì số chữ trong trang vẫn không thay đổi. Tính số chữ , số dòng
trong trang sách lúc đầu.
Bài 26: Theo dự kiến, một đội xe đự định điều động một số lợng xe để chuyên chở 420 tấn hàng . Nhng thực tế
đội đã điêù động thêm 5 xe nữa . Do vậy mỗi xe chuyên chở ít hơn ban đầu 7 tấn so với dự kiến. Tính số lợng xe
mà đội đã điều động chuyên chở.
Bài 27:Tổng của chữ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng chục của một số có hai chữ số là 10. Nếu đổi chỗ chữ
số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì sẽ đợc số mới nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị. Tìm số có hai chữ số.
Bài 28:Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi 280m . Ngời ta làm một lối đi xung quanh vờn thuộc đất của vờn
rộng 2m , diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256m
2
. Tính kích thớc của vờn
Bài 29:Trên một miếng đất hình thang cân chiều cao 35m, hai đáy lần lợt bằng 30m, 50m ngời ta làm hai đoạn

đờng có cùng chiều rộng. Các tim đờng lần lợt là đờng trung bình của hình thang và các đoạn thẳng nối hai trung
điểm của hai đáy.Tính chiều rộng các đoạn đờng đó biết rằng diện tích làm đờng chiếm 0,25 diện tích hình
thang.
Bi 30

: Theo k hoch hai t sn xut 600 sn phm trong mt thi gian nht nh. Do ỏp
dng k thut mi nờn t I ó vt mc 18% v t II ó vt mc 21%. Vỡ vy trong thi gian

20
ễN THI VO LP 10 Họ tên: NGUYN NGC QUNH NH , lp
9A3
quy nh h ó hon thnh vt mc 120 sn phm. Hi s sn phm c giao ca mi t
theo k hoch ?
Bi 31 : Hai ụtụ khi hnh cựng mt lỳc trờn quóng ng t A n B di 120 km. Mi gi
ụtụ th nht chy nhanh hn ụtụ th hai l 10 km nờn n B trc ụtụ th hai l 2/5 gi. Tớnh
vn tc ca mi ụtụ ?
Bi 32

: Mt ca nụ xuụi dũng t bn sụng A n bn sụng B cỏch nhau 24 km ; cựng lỳc ú,
cng t A v B mt bố na trụi vi vn tc dũng nc l 4 km/h. Khi n B ca nụ quay li
ngay v gp bố na ti a im C cỏch A l 8 km. Tớnh vn tc thc ca ca nụ.
Bi 33

: hon thnh mt cụng vic, hai t phi lm chung trong 6 gi. Sau 2 gi lm chung
thỡ t hai c iu i lm vic khỏc, t mt ó hon thnh cụng vic cũn li trong 10 gi.
Hi nu mi t lm riờng thỡ sau bao lõu s lm xong cụng vic ú ?
Bi 34

: Mt khu vn hỡnh ch nht cú chiu di bng 7/4 chiu rng v cú din tớch bng
1792m

2
. Tớnh chu vi ca khu vn y.
Phần thứ bảy
Bài1- Cho hàm số y =
2
1
x
2
a. Vẽ đồ thị hàm số.
b. Tính giá trị của hàm số tại x =
2
+
3
c. Các điểm A(- 1; -
2
1
), B(4;8) , C(
2
;1) có thuộc đồ thị hàm số không?
d. M, N là các điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ là 2, - 4.
Viết phơng trình đờng thẳng MN.
e. Tìm giao điểm của đờng thẳng y = x + 4 với đồ thị hàm số trên.
g. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm (3; 4) và tiếp xúc với đồ thị hàm
số trên.
h. Chứng minh đờng thẳng y = mx + m + 3 luôn cắt đồ thị hàm số trên với
m. Gọi 2 giao điểm là A, B. Tìm m để:
x
2
A
+ x

2
B
- x
A
x
B
= - 3 ; x
A
+ x
B
= 0
k. Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ gấp đôi hoành độ.

21
ễN THI VO LP 10 Họ tên: NGUYN NGC QUNH NH , lp
9A3
Bài2

: Cho hàm số f(x) = x
2
- x +2
a. Tính các giá trị của hàm số tại x =
2
1
và x = -3
b. Tìm các giá trị của x khi f(x) = 2 và f(x) = 14
Bi 3 : (1,5 im) V parabol y = - x
2
/2 (P) : v ng thng (D) : y = 3x trờn cựng mt h
trc ta . Tỡm ta cỏc giao im ca (P) v (D) bng phộp tớnh.

Bài 4

:Cho
( )
2
.25 xmy
=

a) Vẽ đồ thị hàm số với m=6
b) Tìm m để hàm số đồng biến với x<0
c) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua A( -2:12)
Bài 5

Cho ( P): y=-x
2
. Đờng thẳng y =m cắt ( P) tại A; B. Tìm m để tam giác AOB đều và tính
diện tích tam giác ABO.
Bài 6

: Cho Parabol ( P) :
2
4
1
xy
=
và đờng thẳng(d):
2
2
1

+= xy
a) Vẽ ( P) và ( d) trên cùng hệ trục toạ độ.
b) Gọi A, B là các giao điểm của ( P) và ( d). Tìm M trên cung AB của ( P) sao cho S
MAB
lớn nhất
c) Tìm N trên trục hoành sao cho NA+NB nhỏ nhất
Bài 7

: Cho Parabol ( P): y=3x
2
trong hệ trục toạ độ Oxy. Tìm m để đ ờng thẳng y=x+m cắt ( P

)
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA vuông góc với OB
Bài 8

: Cho Parabol y =
2
2
1
x
và điểm M(1, -2).
1. Chứng minh rằng: Phơng trình đờng thẳng đi qua M có hệ số góc là k luôn cắt Parabol tại 2
điểm phân biệt A, B với

k.
b. Gọi x
A
, x
B

lần lợt là hoành độ của A và B, xác định k để
)(2
22
BABABA
xxxxxx ++
đạt giá trị
lớn nhất. Tìm giá trị ấy.
Bi 9

: V th hm s : y = - x
2
/4 (P) v ng thng (D) : y = 2x + 3 trờn cựng mt h trc
ta . Tỡm ta cỏc giao im ca (P) v (D) bng phộp tớnh.
Bài 10

: Cho hàm số y = ax
2
(1)
a) Xác định a biết đồ thị của (1) đi qua điểm
( )
A 2 ;2 2
b) Vẽ đồ thị hàm só (1) với a vừa tìm đ ợc.
c) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số khi x

[ - 2 ; 0 ] ; x

[ 0 ; 2 ] .
d) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số khi x

[ - 3 ; 3 ] .

Bài 11

: Cho hai hàm số
2
1
y x và y 2x 2
2
= =
.

22
ễN THI VO LP 10 Họ tên: NGUYN NGC QUNH NH , lp
9A3
a) Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy.
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị.
Bài 12**

: Tam giác đều AOB nội tiếp trong một parabol y = ax
2
đỉnh O là gốc tọa độ và đáy AB
song song với trục Ox, A và B nằm trên parabol. Hãy tính tung độ của điểm B.
Bài 13

: Cho đờng thẳng (d): y = k(x - 1) và parabol (P): y =
2
1
x
2
. Với giá trị nào của k thì (d):
a) Tiếp xúc với (P).

b) Cắt (P) tại một điểm có tung độ là 2 và hoành độ d ơng. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và
(d).
KHI CHứNG MINH HìNH CầN KHAI THáC GIả THIếT
Và PHÂN TíCH ĐI LÊN Từ KếT LUậN
A.Khai thác giả thiết
-Khi chứng minh Hình cần khai thác những điều có đ ợc từ đầu bài ,những điều đã chứng
minh đợc.Đặc biệt cần chú ý những điều sau:
I.Nếu có điểm thuộc đ

ờng tròn thì nghĩ tới
1, Các bán kính bằng nhau
2, Tứ giác nội tiếp
3,Các góc với đờng tròn.Đặc biệt nếu có đ ờng kính thì sẽ có góc vuông
II. Nếu có Tứ giác nội tiếp thì nghĩ tới
1,Các góc đối bù nhau
2, 4 cặp góc nội tiếp bằng nhau(nếu nối 2 đờng chéo)
3, Góc trong bằng góc ngoài ở đỉnh đối( Phải chứng minh)
4, Điểm thuộc đờng tròn
5, Bài toán Phơng tích ( Nếu có giao điểm 2 đờng chéo hoặc 2 cạnh đối)
III. Nếu có Tiếp tuyến thì nghĩ tới
1,Các tính chất Vuông góc , cách đều , phân giác
2, Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
IV. Quan hệ

Góc - Cung Dây Khoảng cách từ tâm đến dây
V .Nếu có tam giác cân, tam giác đều , hình bình hành , hình chữ nhật , hình thoi, hình
vuôngthì nghĩ tới
Tính chất của các hình ấy
VI.Nếu có góc vuông , tam giác vuông thì nghĩ tới

định lý Pi ta go và các hệ thức l ợng trong tam giác vuông
VII.Nếu có 2 đ

ờng thẳng song song thì nghĩ tới


Định lý Ta Lét và các cặp góc So le trong , Đồng vị
VIII.Nếu có đ

ờng phân giác , đ

ờng trung tuyến , đ

ờng cao , trung trực

của tam giác thì
nghĩ tới tính chất của chúng
B.phân tích đi lên từ kết luận(
Dựa vào các phép chứng minh)
I - Chứng minh các yếu tố bằng nhau.

23
ễN THI VO LP 10 Họ tên: NGUYN NGC QUNH NH , lp
9A3
1. Chứng minh hai góc bằng nhau.
C1 Thờng CM chúng là hai góc tơng ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc đồng dạng.
C2/ Nếu là hai góc trong 1 tam giác thờng CM chúng là hai góc ở đáy của tam giác cân.
C3/ Nếu là hai góc đối trong một tứ giác ta thờng CM tứ giác đó là hình bình hành.
C4/ Nếu là hai góc kề trong một tứ giác thờng CM tứ giác là hình thang cân.

C6/ Nếu là hai góc So le trong hoặc đồng vị thờng chứng minh hai đờng thẳng song song.
C7/ Nếu là hai góc trong đờng tròn ta thờng chuyển về chứng minh cung , dây tơng ứng bn
C8/ Ngoài ra ta có thể sử dụng : hai góc có cùng số đo (tính cụ thể), tính chất tia phân giác,
hai góc đối đỉnh, cặp góc có cạnh tơng ứng vuông góc hay song song,
*Chú ý:

Nếu không chứng minh đ ợc trực tiếp. Ta nghĩ tới việc sử dụng góc thứ 3 làm trung
gian. ( CM chúng cùng bằng , cùng bù ,cùng phụ với 1 góc .Hay 2 góc cùng bằng tổng ,hiệu
của hai góc bằng nhau.)
2 . C h ứ n g m i n h h a i đ o ạ n t h ẳ n g b ằ n g n h a u .
C1/ Thông thờng gắn vào hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau.
C2/ CM là hai cạnh bên của một tam giác cân hoặc hình thang cân.
C3/ CM là hai cạnh đối của hình bình hành (HCN, Hình thoi, Hình vuông).
C4/Sửdụngđịnh nghĩa:Trung điểm đờng trung tuyến, đờng trung trực,bán kính , tiếp tuyến
C5/ Sử dụng định lí thuận đảo về đờng trung bình trong tam giác, hình thang.
C6/ Nếu là 2 đờng chéo trong 1 tứ giác thờng CM tứ giác là Hình thang cân, HCN, HV .
C7/ Nếu là 2 dây cung trong 1 đờng tròn thờng chuyển về dây , góc , kc đến tâm tơng ứng.
*Chú ý

: Ngoài ra ta có thể chứng minh bằng cách:
+ Biến đổi đại số trên đoạn thẳng bằng nhau.
+ Chứng minh hai đoạn thẳng có cùng số đo.
+ Sử dụng tính chất bắc cầu hay CM phản chứng.

II-Chứng minh hai đ ờng thẳng song song hai đ ờng thẳng
vuông góc
1 . C h ứ n g m i n h h ai đ ờn g t h ẳ n g s o n g so n g .
C1/CM cùng
song song
hoặc cùng

vuông góc
với đờng thẳng thứ ba.
C2/ CM 1 cặp góc SLT hoặc
đ v
bằng nhau
, hoặc 1 cặp TCP bù nhau.
C3/ Nếu là 2 cạnh trong 1 tứ giác thờng CM tứ giác là
Hình bình hành
C4/ Nếu có các đoạn
thẳng tỉ lệ: ta sử dụng định lí đảo của định lí Talét.
C5/ Nếu có nhiều trung điểm thờng dùng đờng trung bình của tam giác , hình thang.

2 . C h ứ n g m i n h h a i đ ờ n g t h ẳ n g vu ô n g g ó c .
C1/ Chứng minh chúng là hai tia phân giác của hai góc kề bù hay hai đờng thẳng cắt nhau tạo
ra góc bằng 90
0
.
C2/ Sử dụng tính chất đồng qui của ba đờng cao trong tam giác. Sử dụng tính chất đờng cao
ứng với cạnh đáy trong tam giác cân hoặc đờng trung trực.
C3/ Sử dụng tính chất góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn. Đờng kính của đờng tròn đi qua
trung điểm của dây cung hay tính chất của tiếp tuyến.
C4/ Nếu có độ dài: Sử dụng định lí đảo của định lí Pytago.
C5/ Nếu là 2 đờng chéo trong 1 tứ giác thờng chứng minh tứ giác là hình thoi
C6/ Chứng minh đờng thẳng này vuông góc với đờng thẳng song song với đờng kia hoặc song
song với đờng thẳng vuông góc với đờng kia.
III - chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đ ờng thẳng đồng
qui
.
1. Chứng minh ba điểm thẳng hàng:
( Cùng thuộc một đờng thẳng )

24
ễN THI VO LP 10 Họ tên: NGUYN NGC QUNH NH , lp
9A3
Cần chứng minh ba điểm: A, B, C thẳng hàng :
C1/ AB + BC = AC (hoặc AC + CB = AB, BA + AC = BC).
C2/ Chứng minh góc ABC = 180
0
.
C3/ CM: AB, AC cùng song song với một đờng thẳng ( Sử dụng tiên đề Ơclit).Hoặc cùng
vuông góc với 1 đờng thẳng.
C4/ Dùng tính chất: Trung điểm 1 đờng chéo và 2 đầu đờng chéo kia trong hình bình hành
thẳng hàng. Đờng kính đi qua tâm
.
2. Chứng minh ba đờng thẳng đồng qui.
C1/ Chứng minh đờng thẳng thứ ba đi qua giao điểm của hai đ ờng thẳng kia.
C2/ Sử dụng tính chất các đờng thẳng đồng qui trong một tam giác: 3 đ ờng cao đồng qui,
3 đờng trung tuyến đồng qui, 3 đờng phân giác đồng qui, 3 đờng trung trực đồng qui.
C3/ Dùng tính chất : Các đờng kính đồng quy tại tâm .Các đờng chéo của những hình bình
hành có chung 1 đờng chéo đồng quy.
C4/ Đa về chứng minh ba điểm thẳng hàng.
IV - chứng minh các hình cơ bản
.
1. Chứng minh tam giác cân.
C1/ CM tam giác có hai góc bằng nhau.
C2/ CM tam giác có hai cạnh bằng nhau.
C3/ CM tam giác có một đờng đi qua đỉnh đồng thời là một đờng khác của tam giác.
2. Chứng minh tam giác đều.
C1/ CM tam giác có ba cạnh bằng nhau.
C2/ CM tam giác có hai góc bằng 60

0
.hoặc 3 góc bằng nhau.
C3/ CM tam giác cân có một góc bằng 60
0
.hoặc cạnh bên bằng cạnh đáy.
3. Chứng minh tam giác vuông.
C1/ Sử dụng định lí đảo của định lí Pytago (nếu có độ dài).
C2/ CM tam giác có một góc bằng 90
0
.
C3/ CM tam giác có đờng trung tuyến bằng 1/2 cạnh tơng ứng.
4. Chứng minh các đờng thẳng đặc biệt.
Để chứng minh một đờng thẳng là: Đờng cao, đờng phân giác, đờng trung tuyến, đờng
trung trực, đờng trung bình, trong một tam giác. Ta chứng minh:
C1/ Sử dụng tính chất đồng qui của các đờng này trong một tam giác.
C2/ Sử dụng chính tính chất của các đ ờng ấy:
Ví dụ

:
+ Điểm cách đều hai cạnh của góc thì thuộc tia phân giác của góc ấy.
+ Điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng thì thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng ấy.

Iv - Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn
C1/ CM bốn đỉnh cùng cách đều một điểm nào đó (gọi là tâm đờng tròn).
C2/ CM tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180
0
.
C3/ Từ hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh tạo bởi hai đỉnh còn lại d ới hai góc bằng nhau.
C4/ CM tứ giác có tổng các góc đối bằng nhau
C5/Cm góc trong bằng góc ngoài ở đỉnh đối.

C6/CM tứ giác là hình chữ nhật hoặc hình thang cân.
C7/ Chứng minh 2 điểm thuộc đờng tròn đờng kính là đoạn thẳng nối 2 điểm còn lại.
Chú ý

: Nếu CM 5 điểm trở lên cùng thuộc một đ ờng tròn. Ta chọn ba điểm cố định rồi chon
điểm thứ 4, sau đó CM 4 điểm này cùng thuộc một đ ờng tròn. Sau đó CM tơng tự với các điểm
còn lại.
VI- chứ ng mi n h hệ t h ứ c , t ỉ l ệ t hứ c
C1/ Gắn vào 2 tam giác đồng dạng.

25