BT tong hop on thi lop 10
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (914.38 KB, 81 trang )
Ôn tập Thi vào 10
ôn tập vào lớp 10 năm học 2009-2010
Phần 1: Các loại bài tập về biểu thức
Bài 1: Cho biểu thức :
+
+
+
+
=
aaa
a
P
a
a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a để P<1
Bài 2: Cho biểu thức: P=
+
+
+
+
+
+
+
xx
x
x
x
x
x
x
x
a) Rút gọn P b)Tìm giá trị của a để P<0
Bài 3: Cho biểu thức: P=
+
+
+
x
x
x
x
xx
x
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P=
Bài 4: Cho biểu thức P=
+
+
+
aaaa
a
a
a
a
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P<1
c) Tìm giá trị của P nếu
=a
Bài 5: Cho biểu thức: P=
+
+
+
+
a
a
a
a
a
a
a
aa
a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức M=a.(P-
)
Bài 6: Cho biểu thức: P =
+
+
+
+
+
+
+
+
x
xx
x
x
x
xx
x
x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi x
( )
+=
Bài 7: Cho biểu thức: P=
+
+
+
x
x
xxxxx
x
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P
0
Bài 8: Cho biểu thức: P=
+
+
++
+
a
a
a
aa
a
a
a
a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức P.
a
Bài 9: Cho biểu thức P=
+
++
+
+
+
x
x
xx
x
xx
x
a) Rút gọn P b) So sánh P với 3
Bài 10: Cho biểu thức : P=
+
+
+
a
a
aa
a
a
aa
a) Rút gọn P
Tìm a để P<
c)
Bài 11: Cho biểu thức: P=
+
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P<
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 12: Cho biểu thức: P=
+
+
x
x
x
x
xx
x
x
xx
a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của x để P<1
Bài 13: Cho biểu thức : P=
+
+
+
+
x
x
x
x
xx
x
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P=
c) Chứng minh P
Bài 14: Cho biểu thức: P=
mx
m
mx
x
mx
x
+
+
với m>0
a) Rút gọn P
b) Tính x theo m để P=0.
c) Xác định các giá trị của m để x tìm đợc ở câu b thoả mãn
điều kiện x>1
Phạm Thị Thủy Tiên - Nghĩa Phơng T Nghĩa Quảng Ngãi
Ôn tập Thi vào 10
Bài 15: Cho biểu thức P=
+
+
+
+
a
aa
aa
aa
a) Rút gọn P
b) Biết a>1 Hãy so sánh P với P
c) Tìm a để P=2
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 16: Cho biểu thức P=
+
+
+
+
+
+
+
+
ab
aab
ab
a
ab
aab
ab
a
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P nếu a=
và b=
+
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu
=+
ba
Bài 17: Cho biểu thức : P=
+
+
+
+
+
+
a
a
a
a
a
a
aa
aa
aa
aa
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của a thì P=7
c) Với giá trị nào của a thì P>6
Bài 18: Cho biểu thức: P=
+
+
a
a
a
a
a
a
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của a để P<0
c) Tìm các giá trị của a để P=-2
Bài 19: Cho biểu thức P=
( )
ab
abba
ba
abba
+
+
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn P
c) Tính giá trị của P khi a=
và b=
Bài 20: Cho biểu thức : P=
+
++
+
+ x
xxx
x
xx
x
a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng P>0
x
Bài 21: Cho biểu thức : P=
++
+
+
xx
x
xxx
xx
a) Rút gọn P
b) Tính
P
khi x=
+
Bài 22: Cho biểu thức P=
xx
x
x
x
+
+
a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của x để P=20
Bài 23: Cho biểu thức : P=
( )
yx
xyyx
xy
yx
yx
yx
+
+
+
a) Rút gọn P
b) Chứng minh P
Bài 24: Cho biểu thức P=
++
+
+
+ baba
ba
bbaa
ab
babbaa
ab
ba
a) Rút gọn P b) Tính P khi a=16 và b=4
Bài 25: Cho biểu thức: P=
+
+
+
a
aa
aa
aaaa
a
aa
a) Rút gọn P
b) Cho P=
+
tìm giá trị của a
c) Chứng minh rằng P>
Bài 26: Cho biểu thức: P=
+
+
+
+
x
x
x
x
xx
x
x
xx
a) Rút gọn P b) Với giá trị nào của x thì P<1
Bài 27: Cho biểu thức P=
( )
( )
baba
baa
babbaa
a
baba
a
++
+
++
a) Rút gọn P b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
Bài 28: Cho biểu thức P=
+
+
a
a
a
a
aa
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P>
Bài 29: Cho biểu thức:
P=
xyyx
yyxxyx
yx
yxyx
+
+++
++
+
+
a) Rút gọn P b) Cho x.y=16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất
Phạm Thị Thủy Tiên - Nghĩa Phơng T Nghĩa Quảng Ngãi
Ôn tập Thi vào 10
Bài 30: Cho biểu thức : P=
x
x
yxyxx
x
yxy
x
+
a) Rút gọn P b) Tìm tất cả các số nguyên dơng x để y=625 và P<0,2
Bài tập rút gọn
Bài 31 :
1) Đơn giản biểu thức : P =
14 6 5 14 6 5
+ +
.
2) Cho biểu thức : Q =
x 2 x 2 x 1
.
x 1
x 2 x 1 x
+ +
ữ
ữ
+ +
a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tìm x để
> - Q.
c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.
H ớng dẫn :
1. P = 6
2. a) ĐKXĐ : x > 0 ; x
1. Biểu thức rút gọn : Q =
x
.
b)
> - Q
x > 1.
c) x =
{ }
thì Q
Z
Bài 32 : Cho biểu thức P =
1 x
x 1 x x
+
+
a) Rút gọn biểu thức sau P.
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x =
1
2
.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x
1. Biểu thức rút gọn : P =
x
x
+
.
b) Với x =
1
2
thì P = - 3 2
.
Bài 33 : Cho biểu thức : A =
+
+
x
x
x
xx
a) Rút gọn biểu thức sau A. b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =
c) Tìm x để A < 0. d) Tìm x để
= A.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x
0, x
1. Biểu thức rút gọn : A =
x
x
.
b) Với x =
thì A = - 1.
c) Với 0
x < 1 thì A < 0.
d) Với x > 1 thì
= A.
Bài 34 : Cho biểu thức : A =
1 1 3
1
a 3 a 3 a
+
ữ ữ
+
a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Xác định a để biểu thức A >
.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : a > 0 và a
9. Biểu thức rút gọn : A =
+
a
.
b) Với 0 < a < 1 thì biểu thức A >
.
Bài 35 : Cho biểu thức: A =
2
2
x 1 x 1 x 4x 1 x 2003
.
x 1 x 1 x 1 x
+ +
+
ữ
+
.
1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa.
2) Rút gọn A.
3) Với x
Z? để A
Z?
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x 0 ; x
1. b) Biểu thức rút gọn : A =
x
x
+
với x 0 ; x
1. c) x = - 2003 ; 2003 thì A
Z.
Bài 36 : Cho biểu thức: A =
( )
2 x 2 x 1
x x 1 x x 1
:
x 1
x x x x
+
+
ữ
ữ
+
.
a) Rút gọn A. b) Tìm x để A < 0. c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : A =
+
x
x
. b) Với 0 < x < 1 thì A < 0. c) x =
{ }
thì A
Z.
Bài 37 : Cho biểu thức: A =
x 2 x 1 x 1
:
2
x x 1 x x 1 1 x
+
+ +
ữ
ữ
+ +
a) Rút gọn biểu thức A. b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2.
H ớng dẫn :
Phạm Thị Thủy Tiên - Nghĩa Phơng T Nghĩa Quảng Ngãi
Ôn tập Thi vào 10
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : A =
++ xx
b) Ta xét hai trờng hợp :
+) A > 0
++ xx
> 0 luôn đúng với x > 0 ; x 1 (1)
+) A < 2
++ xx
< 2
2(
++ xx
) > 2
xx +
> 0 đúng vì theo gt thì x > 0. (2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < A < 2(đpcm).
Bài 38 : Cho biểu thức: P =
a 3 a 1 4 a 4
4 a
a 2 a 2
+
+
+
(a
0; a
4)
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P với a = 9.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : a
0, a
4. Biểu thức rút gọn : P =
a
b) Ta thấy a = 9
ĐKXĐ . Suy ra P = 4
Bài 39 : Cho biểu thức: N =
a a a a
1 1
a 1 a 1
+
+
ữ ữ
ữ ữ
+
1) Rút gọn biểu thức N. 2) Tìm giá trị của a để N = -2004.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : a
0, a
1. Biểu thức rút gọn : N = 1 a . b) Ta thấy a = - 2004
ĐKXĐ . Suy ra N = 2005.
Bài 40 : Cho biểu thức
3x
3x
1x
x2
3x2x
19x26xx
P
+
+
+
+
=
a. Rút gọn P. b. Tính giá trị của P khi
347x
=
c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
H ớng dẫn :
a ) ĐKXĐ : x
0, x
1. Biểu thức rút gọn :
3x
16x
P
+
+
=
b) Ta thấy
347x =
ĐKXĐ . Suy ra
22
33103
P
+
=
c) P
min
=4 khi x=4.
Bài 41 : Cho biểu thức
+
+
+
+
=
x
x
x
x
x
x
x
x
P
a. Rút gọn P. b. Tìm x để
2
1
P <
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
H ớng dẫn :
a. ) ĐKXĐ : x
0, x
9. Biểu thức rút gọn :
3x
3
P
+
=
b. Với
9x0
<
thì
2
1
P <
c. P
min
= -1 khi x = 0
Bài 42: Cho A=
a a
a a
a a a
+
+ +
ữ
ữ
ữ
+
với x>0 ,x
1
Rút gọn A
Tính A với a =
( ) ( )
(
)
+
( KQ : A= 4a )
Bài 43: Cho A=
x x x x x
x
x x x x
+
ữ ữ
ữ ữ
+ +
với x
0 , x
9, x
4 .
a. Rút gọn A.
b. x= ? Thì A < 1.
c. Tìm
x Z
để
A Z
(KQ : A=
x
)
Bài 44: Cho A =
x x x
x x x x
+
+
+ +
với x
0 , x
1.
a. Rút gọn A.
b. Tìm GTLN của A.
c. Tìm x để A =
d. CMR : A
. (KQ: A =
x
x
+
)
Bài 45: Cho A =
x x
x x x x x
+ +
+ +
+ +
với x
0 , x
1.
a . Rút gọn A. b. Tìm GTLN của A . ( KQ : A =
x
x x+ +
)
Bài 46: Cho A =
x x x x x
+
+ + +
với x
0 , x
1.
Phạm Thị Thủy Tiên - Nghĩa Phơng T Nghĩa Quảng Ngãi
Ôn tập Thi vào 10
a . Rút gọn A. b. CMR :
A
( KQ : A =
x
x x +
)
Bài 47: Cho A =
x x x x x
x
x x x x
+
+
ữ ữ
ữ ữ
+ +
a. Rút gọn A. b. Tìm
x Z
để
A Z
( KQ : A =
x
+
)
Bài 48: Cho A =
a a a
a a a a
+ +
+
với a
0 , a
9 , a
4.
a. Rút gọn A. b. Tìm a để A < 1 c. Tìm
a Z
để
A Z
( KQ : A =
a
a
+
)
Bài 49: Cho A=
x x x x x
x x
x x x
+ +
+
ữ ữ
ữ ữ
+
với x > 0 , x
4.
a. Rút gọn A.
b. So sánh A với
A
( KQ : A =
x
x
+
)
Bài50: Cho A =
( )
x y xy
x y
x y
y x
x y x y
+
ữ
+
ữ
+
với x
0 , y
0,
x y
a. Rút gọn A.
b. CMR : A
0 ( KQ : A =
xy
x xy y
+
)
Bài 51 : Cho A =
x x x x x x
x
x x x x x x x
+ +
+ +
ữ
ữ
ữ
+ +
Với x > 0 , x
1.
a. Rút gọn A. b. Tìm x để A = 6 ( KQ : A =
( )
x x
x
+ +
)
Bài 52 : Cho A =
( )
x x x
x x x
x x
+
ữ
+
ữ
ữ
ữ
với x > 0 , x
4.
a. Rút gọn A b. Tính A với x =
(KQ: A =
x
)
Bài 53 : Cho A=
x x x x x
+ +
ữ ữ
+ +
với x > 0 , x
1.
a. Rút gọn A b. Tính A với x =
(KQ: A =
x
)
Bài 54 : Cho A=
x x
x x x
x
+ +
ữ
ữ
ữ
+ +
với x
0 , x
1.
a. Rút gọn A. b. Tìm
x Z
để
A Z
(KQ: A =
x
x
)
Bài 55: Cho A=
x
x
x x x x x x
ữ
ữ
ữ
+ +
với x
0 , x
1.
a. Rút gọn A. b. Tìm
x Z
để
A Z
c. Tìm x để A đạt GTNN . (KQ: A =
x
x
+
)
Bài 56 : Cho A =
x x x x
x
x x x
+
+
ữ ữ
ữ ữ
+
với x
0 , x
9
. a. Rút gọn A. b. Tìm x để A < -
( KQ : A =
a
+
)
Bài 57 : Cho A =
x x x x x
x x
x x x
+
ữ ữ
ữ ữ
+
với x
0 , x
1.
a. Rút gọn A b. Tính A với x =
(KQ: A =
x
x
+
) c . CMR : A
Bài 58 : Cho A =
x
x x x x x
+
+
ữ
+
với x > 0 , x
1.
a. Rút gọn A (KQ: A =
x
x
) b.So sánh A với 1
Phạm Thị Thủy Tiên - Nghĩa Phơng T Nghĩa Quảng Ngãi
Ôn tập Thi vào 10
Bài 59 : Cho A =
x x x
x
x x x
+
ữ ữ
ữ ữ
+ +
Với
x x
a. Rút gọn A. b. Tìm x để A =
c. Tìm x để A < 1. ( KQ : A =
x x
x
+
)
Bài 60 : Cho A =
x x x x
x
x x
+ +
ữ
ữ
+ +
với x
0 , x
1.
a. Rút gọn A. b. CMR nếu 0 < x < 1 thì A > 0
c. Tính A khi x =3+2
d. Tìm GTLN của A (KQ: A =
x x
)
Bài 61 : Cho A =
x x x
x x x x x
+
+ +
ữ
ữ
+ +
với x
0 , x
1.
a. Rút gọn A. b. CMR nếu x
0 , x
1 thì A > 0 , (KQ: A =
x x+ +
)
Bài 62 : Cho A =
x x
x x
x
+
ữ
+
với x > 0 , x
1, x
4.
a. Rút gọn b. Tìm x để A =
Bài 63 : Cho A =
x x x x
x x
x x
+ +
+
ữ
ữ
ữ
+
với x
0 , x
1.
a. Rút gọn A. b. Tính A khi x= 0,36 c. Tìm
x Z
để
A Z
Bài 64 : Cho A=
x x x x
x x x x x
+ + +
+ +
ữ ữ
ữ ữ
+ +
với x
0 , x
9 , x
4.
a. Rút gọn A. b. Tìm
x Z
để
A Z
c. Tìm x để A < 0 (KQ: A =
x
x
+
)
Phần 2: Các bài tập về hệ ph ơng trình bậc 2:
Bài 1: Cho phơng trình :
( )
mxxm
+=
a) Giải phơng trình khi
+=
m
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm
=
x
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng duy nhất
Bài 2: Cho phơng trình :
( )
=+ mmxxm
(x là ẩn )
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm
=x
.Tìm nghiệm còn lại
b) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm phân biệt
c) Tính
xx +
theo m
Bài 3: Cho phơng trình :
( )
=++ mxmx
(x là ẩn )
a) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm trái dấu
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Chứng minh biểu thức M=
( ) ( )
xxxx
+
không phụ thuộc vào m.
Bài 4: Tìm m để phơng trình :
a)
( )
=+ mxx
có hai nghiệm dơng phân biệt
b)
=++
mxx
có hai nghiệm âm phân biệt
c)
( )
( )
=+++ mxmxm
có hai nghiệm trái dấu
Bài 5: Cho phơng trình :
( )
=+ aaxax
a) Chứng minh rằng phơng trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a
b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
.Tìm giá trị của a để
xx +
đạt giá trị nhỏ nhất
Phạm Thị Thủy Tiên - Nghĩa Phơng T Nghĩa Quảng Ngãi
Ôn tập Thi vào 10
Bài 6: Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức:
=+
cb
CMR ít nhất một trong hai phơng trình sau phải có nghiệm
=++
=++
bcxx
cbxx
Bài 7:Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm số chung:
( )
( )
=+
=++
xmx
xmx
Bài 8: Cho phơng trình :
=+
mmxx
a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt
b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dơng lớn nhất của phơng trình
Bài 9: Cho phơng trình bậc hai tham số m :
=+++
mxx
a) Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm
b) Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thoả mãn điều kiện
=+ xx
Bài 10: Cho phơng trình
( )
=+ mxmx
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cung dấu . Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ?
Bài 11: Cho phơng trình
( )
=+++ mxmx
(với m là tham số )
a) Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình
b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt là
xx
; hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa
xx
mà không phụ thuộc vào m
c) Tìm giá trị của m để
xxxx ++
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 12: Cho phơng trình
( )
=++ mmxxm
với m là tham số
a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
m
b) Xác định giá trị của m dể phơng trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiêm của phơng trình
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
d) Tìm m để phơng trình có nghiệm
xx
thoả mãn hệ thức:
=++
x
x
x
x
Bài 13: A) Cho phơng trình :
=+
mmxx
(m là tham số)
a) Chứng tỏ rằng phơnh trình có nghiệm
xx
với mọi m ; tính nghiệm kép ( nếu có) của phơng trình và giá trị của m tơng ứng
b) Đặt
xxxxA
+=
Chứng minh
+=
mmA
Tìm m để A=8
Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tơng ứng
c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia
B) Cho phơng trình
=+
mmxx
a) Chứng tỏ rằng phơnh trình có nghiệm
xx
với mọi m.
b) Đặt A=
xxxx +
CMR A=
+
mm
Tìm m sao cho A=27
c)Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia.
Bài 14: Giả sử phơng trình
=++
cbxxa
có 2 nghiệm phân biệt
xx
.Đặt
nn
n
xxS
+=
(n nguyên dơng)
a) CMR
=++
++
nnn
cSbSSa
b) áp dụng Tính giá trị của : A=
+
+
Bài 15: Cho f
(x)
= x
2
- 2 (m+2).x + 6m+1
a)
CMR phơng trình f
(x)
= 0
có nghiệm với mọi m
b)
Đặt x=t+2 .Tính f
(x)
theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f
(x)
= 0
có 2 nghiệm lớn hơn 2
Bài 16: Cho phơng trình :
( )
=+++ mmxmx
a) Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm
b) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng
c) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau
d) Gọi
xx
là hai nghiệm nếu có của phơng trình . Tính
xx +
theo m
Bài 17: Cho phơng trình
=+ xx
có hai nghiệm là
xx
.
Không giải phơng trình , hãy tính giá trị của biểu thức :
xxxx
xxxx
M
+
++
=
Bài 18: Cho phơng trình
( )
=+++ mxmx
x
Phạm Thị Thủy Tiên - Nghĩa Phơng T Nghĩa Quảng Ngãi
Ôn tập Thi vào 10
a) Giải phơng trình khi m=
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Gọi
xx
là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của m để :
mxxxx =+
Bài 19: Cho phơng trình
=++
nmxx
(1) (n , m là tham số)
Cho n=0 . CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
Tìm m và n để hai nghiệm
xx
của phơng trình (1) thoả mãn hệ :
=
=
xx
xx
Bài 20: Cho phơng trình:
( )
= kxkx
( k là tham số)
a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
b) Gọi
xx
là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của k sao cho
=+ xx
Bài 21: Cho phơng trình
( )
=+
mxxm
(1)
a) Giải phơng trình (1) khi m=1
b) Giải phơng trình (1) khi m bất kì
c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có một nghiệm bằng m
Bài 22:Cho phơng trình :
( )
=+ mmxmx
a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm
xx
thoả mãn
<<<
xx
Bài tập về hàm số bậc nhất
B ài 23:
1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4).
2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành.
H ớng dẫn :
1) Gọi pt đờng thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b.
Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) ta có hệ pt :
+=
+=
ba
ba
=
=
b
a
Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = 3x 1
2) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1 ; Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
.
B ài 24 Cho hàm số y = (m 2)x + m + 3.
1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.
2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2; y = 2x 1 đồng quy.
H ớng dẫn :
1) Hàm số y = (m 2)x + m + 3
m 2 < 0
m < 2.
2) Do đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. Suy ra: x= 3; y = 0
Thay x= 3; y = 0 vào hàm số y = (m 2)x + m + 3, ta đợc m =
.
3) Giao điểm của hai đồ thị y = -x + 2; y = 2x 1 là nghiệm của hệ pt:
=
+=
xy
xy
(x;y) = (1;1).
Để 3 đồ thị y = (m 2)x + m + 3, y = -x + 2và y = 2x 1 đồng quy cần: (x;y) = (1;1) là nghiệm của pt : y = (m 2)x + m + 3.
Với (x;y) = (1;1)
m =
B ài 25: Cho hàm số y = (m 1)x + m + 3.
1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1; -4).
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.
H ớng dẫn :
1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần: m 1 = - 2
m = -1.
Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Thay (x;y) = (1; -4) vào pt: y = (m 1)x + m + 3. Ta đợc: m = -3.
Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1; -4).
3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x
0
;y
0
). Ta có y
0
= (m 1)x
0
+ m + 3
(x
0
1)m - x
0
- y
0
+ 3 = 0
=
=
y
x
Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2).
B à26 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
1) Viết phơng trình đờng thẳng AB.
2) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m
2
3m)x + m
2
2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2).
H ớng dẫn :
1) Gọi pt đờng thẳng AB có dạng : y = ax + b.
Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 1) và (2 ;-1) ta có hệ pt :
+=
+=
ba
ba
=
=
b
a
Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = - 2x + 3.
Phạm Thị Thủy Tiên - Nghĩa Phơng T Nghĩa Quảng Ngãi
Ôn tập Thi vào 10
2) Để đờng thẳng y = (m
2
3m)x + m
2
2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2) ta cần :
=+
=
mm
mm
m = 2.
Vậy m = 2 thì đờng thẳng y = (m
2
3m)x + m
2
2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2)
B ài 27 : Cho hàm số y = (2m 1)x + m 3.
1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)
2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định ấy.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x =
2 1
.
H ớng dẫn :
1) m = 2.
2) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x
0
;y
0
). Ta có
y
0
= (2m 1)x
0
+ m - 3
(2x
0
+ 1)m - x
0
- y
0
- 3 = 0
=
=
y
x
Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (
).
Baứi 28 : Tìm giá trị của k để các đờng thẳng sau: y =
6 x
4
; y =
4x 5
3
và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm.
B ài 29 : Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b. Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A(1; 3) và B(-3; -1).
B ài 30 : Cho hàm số: y = x + m (D).
Tìm các giá trị của m để đờng thẳng (D):
1) Đi qua điểm A(1; 2003).
2) Song song với đờng thẳng x y + 3 = 0.
Chủ đề : Phơng trình bất phơng trình bậc nhất một ần
Hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn .
A. kiến thức cần nhớ :
1. Phơng trình bậc nhất : ax + b = 0.
Ph ơng pháp giải :
+ Nếu a 0 phơng trình có nghiệm duy nhất : x =
.
+ Nếu a = 0 và b 0
phơng trình vô nghiệm.
+ Nếu a = 0 và b = 0
phơng trình có vô số nghiệm.
2. Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn :
=+
=+
Ph ơng pháp giải :
Sử dụng một trong các cách sau :
+) Phơng pháp thế : Từ một trong hai phơng trình rút ra một ẩn theo ẩn kia , thế vào phơng trình thứ 2 ta đợc phơng trình bậc nhất 1 ẩn.
+) Phơng pháp cộng đại số :
- Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau).
- Trừ hoặc cộng vế với vế để khử ẩn đó.
- Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai.
B. Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1 : Giải các phơng trình sau đây :
a)
=
+
+
ĐS : ĐKXĐ : x 1 ; x - 2. S =
{ }
.
b)
++
= 2
Giải : ĐKXĐ :
++
0. (*)
Khi đó :
++
= 2
2x = - 3
x =
Với
x =
thay vào (* ) ta có (
)
3
+
+ 1 0
Vậy x =
là nghiệm.
Ví dụ 2 : Giải và biện luận phơng trình theo m :
(m 2)x + m
2
4 = 0 (1)
+ Nếu m
2 thì (1)
x = - (m + 2).
Phạm Thị Thủy Tiên - Nghĩa Phơng T Nghĩa Quảng Ngãi
¤n tËp Thi vµo 10 –
+ NÕu m = 2 th× (1) v« nghiƯm.
VÝ dơ 3 : T×m m
∈
Z ®Ĩ ph¬ng tr×nh sau ®©y cã nghiƯm nguyªn .
(2m – 3)x + 2m
2
+ m - 2 = 0.
Gi¶i :
Ta cã : víi m
∈
Z th× 2m – 3
≠
0 , v©y ph¬ng tr×nh cã nghiƯm : x = - (m + 2) -
.
®Ĩ pt cã nghiƯm nguyªn th× 4
2m – 3 .
Gi¶i ra ta ®ỵc m = 2, m = 1.
VÝ dơ 3 : T×m nghiƯm nguyªn d¬ng cđa ph¬ng tr×nh : 7x + 4y = 23.
Gi¶i :
a) Ta cã : 7x + 4y = 23
⇔
y =
= 6 – 2x +
−
V× y
∈
Z
⇒
x – 1
4.
Gi¶i ra ta ®ỵc x = 1 vµ y = 4
bµi tËp phÇn hƯ pt
B µi 1 : Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh:
a)
2x 3y 5
3x 4y 2
− = −
− + =
b)
x 4y 6
4x 3y 5
+ =
− =
c)
2x y 3
5 y 4x
− =
+ =
d)
x y 1
x y 5
− =
+ =
e)
2x 4 0
4x 2y 3
+ =
+ = −
f)
2 5
2
x x y
3 1
1,7
x x y
+ =
+
+ =
+
B µi 2 : Cho hƯ ph¬ng tr×nh:
mx y 2
x my 1
− =
+ =
1) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh theo tham sè m.
2) Gäi nghiƯm cđa hƯ ph¬ng tr×nh lµ (x, y). T×m c¸c gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ x + y = -1.
3) T×m ®¼ng thøc liªn hƯ gi÷a x vµ y kh«ng phơ thc vµo m.
B µi 3 : Cho hƯ ph¬ng tr×nh:
x 2y 3 m
2x y 3(m 2)
− = −
+ = +
1) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh khi thay m = -1.
2) Gäi nghiƯm cđa hƯ ph¬ng tr×nh lµ (x, y). T×m m ®Ĩ x
2
+ y
2
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
B µi 4 : Cho hƯ ph¬ng tr×nh:
(a 1)x y a
x (a 1)y 2
− + =
+ − =
cã nghiƯm duy nhÊt lµ (x; y).
1) T×m ®¼ng thøc liªn hƯ gi÷a x vµ y kh«ng phơ thc vµo a.
2) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa a tho¶ m·n 6x
2
– 17y = 5.
3) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cđa a ®Ĩ biĨu thøc
2x 5y
x y
−
+
nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
B µi 5 : Cho hƯ ph¬ng tr×nh:
x ay 1
(1)
ax y 2
+ =
+ =
1) Gi¶i hƯ (1) khi a = 2.
2) Víi gi¸ trÞ nµo cđa a th× hƯ cã nghiƯm duy nhÊt.
B µi 6 : X¸c ®Þnh c¸c hƯ sè m vµ n, biÕt r»ng hƯ ph¬ng tr×nh
mx y n
nx my 1
− =
+ =
cã nghiƯm lµ
( )
1; 3−
.
B µi 7 : Cho hƯ ph¬ng tr×nh
( )
a 1 x y 4
ax y 2a
+ + =
+ =
(a lµ tham sè).
1) Gi¶i hƯ khi a = 1.
2) Chøng minh r»ng víi mäi a hƯ lu«n cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y
≥
2.
B µi 8 (trang 22): Cho hƯ ph¬ng tr×nh :
=+
=+
(m lµ tham sè).
a) Gi¶i hƯ khi m = -1.
b) Gi¶i vµ biƯn ln pt theo m.
B µi 9 : (trang 24): Cho hƯ ph¬ng tr×nh :
+=−
=
(m lµ tham sè).
a) Gi¶i hƯ khi m = -1.
b) Tìm giá trò nguyên của m để hệ có hai nghiệm nguyên.
c) Xác đònh mọi hệ có nghiệm x > 0, y > 0.
B µi 10 : Một ôtô và một xe đạp chuyển động đi từ 2 đầu một đoạn đường sau 3 giờ thì gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một điểm thì
sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km. Tính vận tốc của mỗi xe. HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h . Vận tốc ôtô : 40 km/h.
B µi 11 : Một ôtô đi từ A dự đònh đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến B lúc 2 giờ chiều. Nếu xe chạy với vận tốc
50 km/h thì sẽ đến B lúc 11 giờ trưa. Tính độ quảng đường AB và thời diểm xuất phát tại A. ( AB = 350 km, xuất phát tại A lúc 4giờ sáng.)
Ph¹m ThÞ Thđy Tiªn - NghÜa Ph¬ng – T NghÜa – Qu¶ng Ng·i
¤n tËp Thi vµo 10 –
B µi 12 : Hai vòi nước cùng chảy vào một cài bể nước cạn, sau
giờ thì đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất, sau 9 giờ mở vòi thứ hai
thì sau
giờ nữa mới nay bể . Nếu một mình vòi thứ hai chảy bao lâu sẽ nay bể. Đáp số : 8 giờ.
B µi 13 :Biết rằng m gam kg nước giảm t
0
C thì tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal). Hỏi phải dùng bao nhiêu lít 100
0
C và bao nhiêu lít 20
0
C để được
hỗn hợp 10 lít 40
0
C. Hường dãn : Ta có hệ pt :
=+
=+
⇔
=
=
Vậy cần 2,5 lít nước sôi và 75 lít nước 20
0
C.
B µi 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dòch axít thì dung dòch mới có nồng độ 50%. Lại thêm 300g nước vào dung dòch mới được dung dòch axít
có nồng độ 40%. Tính nồng độ axít trong dung dòch ban đầu.
Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y là khối lượng dung dòch ban đầu.Theo bài ra ta có hệ pt :
=
+
+
=
+
+
x
x
⇔
=
=
Vậy nồng độ phần trăm của dung dòch axít ban đầu là 40%.
Ph¬ng tr×nh bËc hai ®Þnh lý viet vµ øng dơng
A.Ki ế n th ứ c c ầ n ghi nh ớ
1. !"#$%"&'(")* !+,* ")/01"*
223/04")5(,*6/*$7/*&8/9//0-:")*;,
<=$3>* 5(//15-;7/?@ ) A/0B"@45(+/*) A/0B5(?@4C* ")/01"*/0D/*@"*,* ")/01"*%"*E/"F"(/*G(
7/")* !H$"*E/
*4I?J")* !
*4I?J&8")* !
<=$
≠
K%, !/&8
∆
3
L*4I
∆
M
3
M
L
N
∆
O
∆
M
O/*1,* ")/01"*?J")* !
N
∆
3
∆
M
3,* ")/01"*(")* !>9,
3
a
b
*4I
3
a
b
M
N
∆
P
∆
M
P,* ")/01"*(")* !,*Q" !/
3
a
b
∆−−
3
a
b
∆+−
*4I
3
a
b
MM
∆−−
3
a
b
MM
∆+−
2. Định lý Viét.
<=$
#@")* !+,* ")/01"*
223
≠
/*1 R3
2
3
a
b
,3
3
a
c
o l¹i<=$(* &8
@
2
3R?@
3,/*1* &85(#@")* !"=$cã ) cđa ph¬ng tr×nh bËc 2:
LR2,3
3.DÊu cđa nghiƯm sè cđa ph¬ng tr×nh bËc hai.
Cho ph¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) . Gäi x
1
,x
2
lµ c¸c nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh .Ta cã c¸c kÕt qu¶ sau:
*) x
1
vµ x
2
tr¸i dÊu( x
1
< 0 < x
2
)
⇔
p < 0
*) Hai nghiƯm cïng d¬ng( x
1
> 0 vµ x
2
> 0 )
⇔
>
>
≥∆
S
p
*) Hai nghiƯm cïng ©m (x
1
< 0 vµ x
2
< 0)
⇔
<
>
≥∆
S
p
*) Mét nghiƯm b»ng 0 vµ 1 nghiƯm d¬ng( x
2
> x
1
= 0)
⇔
>
=
>∆
S
p
*) Mét nghiƯm b»ng 0 vµ 1 nghiƯm ©m (x
1
< x
2
= 0)
⇔
<
=
>∆
S
p
4.Vµi bµi to¸n øng dơng ®Þnh lý ViÐt
a)TÝnh nhÈm nghiƯm.
XÐt ph¬ng tr×nh bËc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0)
• NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x
1
= 1 , x
2
=
a
c
• NÕu a – b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x
1
= -1 , x
2
= -
a
c
Ph¹m ThÞ Thđy Tiªn - NghÜa Ph¬ng – T NghÜa – Qu¶ng Ng·i
Ôn tập Thi vào 10
Nếu x
1
+ x
2
= m +n , x
1
x
2
= mn và
thì phơng trình có nghiệm
x
1
= m , x
2
= n hoặc x
1
= n , x
2
= m
b) Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm x
1
,x
2
của nó
Cách làm : - Lập tổng S = x
1
+ x
2
- Lập tích p = x
1
x
2
- Phơng trình cần tìm là : x
2
S x + p = 0
c)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc 2 có nghệm x
1
, x
2
thoả mãn điều kiện cho trớc.(Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến
đổi):
*) x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
2x
1
x
2
= S
2
2p
*) (x
1
x
2
)
2
= (x
1
+ x
2
)
2
4x
1
x
2
= S
2
4p
*) x
1
3
+ x
2
3
= (x
1
+ x
2
)
3
3x
1
x
2
(x
1
+ x
2
) = S
3
3Sp
*) x
1
4
+ x
2
4
= (x
1
2
+ x
2
2
)
2
2x
1
2
x
2
2
*)
xx
xx
xx
+
=+
=
p
S
*)
xx
xx
x
x
x
x
+
=+
=
p
pS
*) (x
1
a)( x
2
a) = x
1
x
2
a(x
1
+ x
2
) + a
2
= p aS + a
2
*)
aaSp
aS
axax
axx
axax
+
=
+
=
+
(Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải thoả mãn điều kiện
)
d)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x
1
cho trớc .Tìm nghiệm thứ 2
Cách giải:
Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x
1
cho trớc có hai cách làm
+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:
(hoặc
M
) (*)
- Thay x = x
1
vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị của tham số
- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*) để kết luận
+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện
(hoặc
M
) mà ta thay luôn
x = x
1
vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số
- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và giải phơng trình
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà phơng trình bậc hai này có
< 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham
số để phơng trình có nghiệm x
1
cho trớc.
Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm
+) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình (nh cách 2 trình bầy ở trên)
+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm đợc nghiệm thứ 2
+) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm đợc nghiệm thứ 2
B . Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải và biện luận phơng trình : x
2
2(m + 1) +2m+10 = 0
Giải.
Ta có
M
= (m + 1)
2
2m + 10 = m
2
9
+ Nếu
M
> 0
m
2
9 > 0
m < - 3 hoặc m > 3 .Phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
= m + 1 -
m
x
2
= m + 1 +
m
+ Nếu
M
= 0
m =
3
- Với m =3 thì phơng trình có nghiệm là x
1.2
= 4
- Với m = -3 thì phơng trình có nghiệm là x
1.2
= -2
+ Nếu
M
< 0
-3 < m < 3 thì phơng trình vô nghiệm
Kết kuận:
Với m = 3 thì phơng trình có nghiệm x = 4
Với m = - 3 thì phơng trình có nghiệm x = -2
Với m < - 3 hoặc m > 3 thì phơng trình có 2 nghiệm phân
biệtx
1
= m + 1 -
m
x
2
= m + 1 +
m
Với -3< m < 3 thì phơng trình vô nghiệm
Bài 2: Giải và biện luận phơng trình: (m- 3) x
2
2mx + m 6 = 0
Hớng dẫn
Nếu m 3 = 0
m = 3 thì phơng trình đã cho có dạng - 6x 3 = 0
x = -
* Nếu m 3
0
m
3 .Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số
M
= m
2
(m 3)(m 6) = 9m 18
- Nếu
M
= 0
9m 18 = 0
m = 2 .phơng trình có nghiệm kép x
1
= x
2
= -
M
=
a
b
= - 2
- Nếu
M
> 0
m >2 .Phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1,2
=
m
mm
- Nếu
M
< 0
m < 2 .Phơng trình vô nghiệm
Kết luận:
*)Với m = 3 phơng trình có nghiệm x = -
*)Với m = 2 phơng trình có nghiệm x
1
= x
2
= -2
*)Với m > 2 và m
3 phơng trình có nghiệm x
1,2
=
m
mm
*)Với m < 2 phơng trình vô nghiệm
Bài 3: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
a) 2x
2
+ 2007x 2009 = 0
b) 17x
2
+ 221x + 204 = 0
c) x
2
+ (
)x -
= 0
d) x
2
(3 - 2
)x - 6
= 0
Phạm Thị Thủy Tiên - Nghĩa Phơng T Nghĩa Quảng Ngãi
Ôn tập Thi vào 10
Giải
a) 2x
2
+ 2007x 2009 = 0 có a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) = 0
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x
1
= 1 , x
2
=
=
a
c
b) 17x
2
+ 221x + 204 = 0 có a b + c = 17 221 + 204 = 0
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x
1
= -1 , x
2
= -
=
a
c
= - 12
c) x
2
+ (
)x -
= 0 có: ac = -
< 0 .
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.áp dụng hệ thức Viet ta có :
x
1
+ x
2
= -(
) = -
+
x
1
x
2
= -
= (-
)
Vậy phơng trình có 2 nghiệm là x
1
= -
, x
2
=
(hoặc x
1
=
, x
2
= -
)
d ) x
2
(3 - 2
)x - 6
= 0 có : ac = - 6
< 0
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.áp dụng hệ thức Viét ,ta có
==
=+
Vậy phơng trình có 2 nghiệm x
1
= 3 , x
2
= - 2
Bài 4 : Giải các phơng trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham số)
a) x
2
+ (3m 5)x 3m + 4 = 0
b) (m 3)x
2
(m + 1)x 2m + 2 = 0
Hớng dẫn :
a) x
2
+ (3m 5)x 3m + 4 = 0 có a + b + c = 1 + 3m 5 3m + 4 = 0
Suy ra : x
1
= 2 Hoặc x
2
=
+
m
b) (m 3)x
2
(m + 1)x 2m + 2 = 0 (*)
* m- 3 = 0
m = 3 (*) trở thành 4x 4 = 0
x = - 1
* m 3
0
m
3 (*)
=
=
m
m
x
x
Bài 5: Gọi x
1
, x
2
là các nghịêm của phơng trình : x
2
3x 7 = 0
a) Tính:
A = x
1
2
+ x
2
2
B =
xx
C=
+
xx
D = (3x
1
+ x
2
)(3x
2
+ x
1
)
b) lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là
x
và
x
Giải ;
Phơng trình bâc hai x
2
3x 7 = 0 có tích ac = - 7 < 0 , suy ra phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.
Theo hệ thức Viét ,ta có : S = x
1
+ x
2
= 3 và p = x
1
x
2
= -7
a)Ta có
+ A = x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
2x
1
x
2
= S
2
2p = 9 2(-7) = 23
+ (x
1
x
2
)
2
= S
2
4p => B =
xx
=
=
pS
+ C =
+
xx
=
=
+
=
+
Sp
S
xx
xx
+ D = (3x
1
+ x
2
)(3x
2
+ x
1
) = 9x
1
x
2
+ 3(x
1
2
+ x
2
2
) + x
1
x
2
= 10x
1
x
2
+ 3 (x
1
2
+ x
2
2
)
= 10p + 3(S
2
2p) = 3S
2
+ 4p = - 1
b)Ta có :
S =
=
+
xx
(theo câu a)
p =
=
+
=
Spxx
Vậy
x
và
x
là nghiệm của hơng trình : X
2
SX + p = 0
X
2
+
X -
= 0
9X
2
+ X - 1 = 0
Bài 6 : Cho phơng trình : x
2
( k 1)x - k
2
+ k 2 = 0 (1) (k là tham số)
1. Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
2. Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
3. Gọi x
1
, x
2
là nghệm của phơng trình (1) .Tìm k để : x
1
3
+ x
2
3
> 0
Giải.
1. Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có:
Phạm Thị Thủy Tiên - Nghĩa Phơng T Nghĩa Quảng Ngãi
Ôn tập Thi vào 10
= (k -1)
2
4(- k
2
+ k 2) = 5k
2
6k + 9 = 5(k
2
-
k +
)= 5(k
2
2.
k +
+
) = 5(k -
) +
> 0 với mọi giá trị của
k. Vậy phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
2. Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu
p < 0
- k
2
+ k 2 < 0
- ( k
2
2.
k +
+
) < 0
-(k -
)
2
-
< 0 luôn đúng với mọi k.
Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi k
3. Ta có x
1
3
+ x
2
3
= (x
1
+ x
2
)
3
3x
1
x
2
(x
1
+ x
2
)
Vì phơng trình có nghiệm với mọi k .Theo hệ thức viét ta có
x
1
+ x
2
= k 1 và x
1
x
2
= - k
2
+ k 2
=> x
1
3
+ x
2
3
= (k 1)
3
3(- k
2
+ k 2)( k 1)= (k 1) [(k 1)
2
- 3(- k
2
+ k 2)] = (k 1) (4k
2
5k + 7) = (k 1)[(2k -
)
2
+
]
Do đó x
1
3
+ x
2
3
> 0
(k 1)[(2k -
)
2
+
] > 0
k 1 > 0 ( vì (2k -
)
2
+
> 0 với mọi k)
k > 1
Vậy k > 1 là giá trị cần tìm
Bài 7: Cho phơng trình : x
2
2( m + 1) x + m 4 = 0 (1) (m là tham số)
1. Giải phơng trình (1) với m = -5
2. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
phân biệt với mọi m
3. Tìm m để
xx
đạt giá trị nhỏ nhất (x
1
, x
2
là hao nghiệm của phơng trình (1) nói trong phần 2.)
Giải
1. Với m = - 5 phơng trình (1) trở thành x
2
+ 8x 9 = 0 và có 2 nghiệm là x
1
= 1 , x
2
= - 9
2. Có
M
= (m + 1)
2
(m 4) = m
2
+ 2m + 1 m + 4 = m
2
+ m + 5 = m
2
+ 2.m.
+
+
= (m +
)
2
+
> 0 với mọi m
Vậy phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
3. Vì phơng trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có:
x
1
+ x
2
= 2( m + 1) và x
1
x
2
= m 4
Ta có (x
1
x
2
)
2
= (x
1
+ x
2
)
2
4x
1
x
2
= 4( m + 1)
2
4 (m 4)
= 4m
2
+ 4m + 20 = 4(m
2
+ m + 5) = 4[(m +
)
2
+
]
=>
xx
= 2
++m
=
khi m +
= 0
m = -
Vậy
xx
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
khi m = -
Bài 8 : Cho phơng trình (m + 2) x
2
+ (1 2m)x + m 3 = 0 (m là tham số)
Giải phơng trình khi m = -
2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m
3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia.
Giải:
1) Thay m = -
vào phơng trình đã cho và thu gọn ta đợc 5x
2
- 20 x + 15 = 0 phơng trình có hai nghiệm x
1
= 1 , x
2
= 3
2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phơng trình đã cho trở thành; 5x 5 = 0
x = 1
+ Nếu : m + 2
0 => m
- 2 .Khi đó phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số :
= (1 2m)
2
- 4(m + 2)( m 3) = 1 4m + 4m
2
4(m
2
- m 6) = 25 > 0
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
=
+
+
m
m
=
=
+
+
m
m
x
2
=
+
=
+
=
+
m
m
m
m
m
m
Tóm lại phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
3)Theo câu 2 ta có m
- 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia ta sét 2 trờng hợp
Trờng hợp 1 : 3x
1
= x
2
3 =
+
m
m
giải ra ta đợc m = -
(đã giải ở câu 1)
Trờng hợp 2: x
1
= 3x
2
1= 3.
+
m
m
m + 2 = 3m 9
m =
(thoả mãn điều kiện m
- 2)
Kiểm tra lại: Thay m =
vào phơng trình đã cho ta đợc phơng trình :15x
2
20x + 5 = 0 phơng trình này có hai nghiệm
x
1
= 1 , x
2
=
=
(thoả mãn đầu bài)
Bài 9: Cho phơng trình : mx
2
2(m-2)x + m 3 = 0 (1) với m là tham số .
1. Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)
2. Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu.
Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai.
Giải
Phạm Thị Thủy Tiên - Nghĩa Phơng T Nghĩa Quảng Ngãi
Ôn tập Thi vào 10
1.+ Nếu m = 0 thay vào (1) ta có : 4x 3 = 0
x =
+ Nếu m
0 .Lập biệt số
M
= (m 2)
2
m(m-3) = m
2
- 4m + 4 m
2
+ 3m = - m + 4
M
< 0
- m + 4 < 0
m > 4 : (1) vô nghiệm
M
= 0
- m + 4 = 0
m = 4 : (1) có nghiệm kép x
1
= x
2
= -
M
=
=
=
m
m
a
b
M
> 0
- m + 4 > 0
m < 4: (1) có 2 nghiệm phân biệt x
1
=
m
mm
+
; x
2
=
m
mm
++
Vậy : m > 4 : phơng trình (1) vô nghiệm
m = 4 : phơng trình (1) Có nghiệm kép x =
m < 4 : phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x
1
=
m
mm +
; x
2
=
m
mm
++
m = 0 : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x =
2. (1) có nghiệm trái dấu
a
c
< 0
m
m
< 0
>
<
<
>
m
m
m
m
>
<
<
>
m
m
m
m
Trờng hợp
<
>
m
m
không thoả mãn
Trờng hợp
>
<
m
m
0 < m < 3
3. *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm
M
0
0
m
4 (*) (ở câu a đã có)
- Thay x = 3 vào phơng trình (1) ta có : 9m 6(m 2) + m -3 = 0
4m = -9
m = -
- Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = -
thoả mãn
*) Cách 2: Không cần lập điều kiện
M
0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm đợc m = -
.Sau đó thay m = -
vào phơng trình (1) :
-
x
2
2(-
- 2)x -
- 3 = 0
-9x
2
+34x 21 = 0 có
M
= 289 189 = 100 > 0 =>
=
=
x
x
Vậy với m = -
thì phơng trình (1) có một nghiệm x= 3
*)Để tìm nghiệm thứ 2 ,ta có 3 cách làm
Cách 1: Thay m = -
vào phơng trình đã cho rồi giải phơng trình để tìm đợc x
2
=
(Nh phần trên đã làm)
Cách 2: Thay m = -
vào công thức tính tổng 2 nghiệm:
x
1
+ x
2
=
=
=
m
m
x
2
=
- x
1
=
- 3 =
Cách 3: Thay m = -
vào công trức tính tích hai nghiệm x
1
x
2
=
=
=
m
m
=> x
2
=
: x
1
=
: 3 =
Bài 10: Cho phơng trình : x
2
+ 2kx + 2 5k = 0 (1) với k là tham số
1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép
2. Tim k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn điều kiện : x
1
2
+ x
2
2
= 10
Giải.
1.Phơng trình (1) có nghiệm kép
M
= 0
k
2
(2 5k) = 0
k
2
+ 5k 2 = 0 ( có
= 25 + 8 = 33 > 0 ) => k
1
=
; k
2
=
+
Vậy có 2 giá trị k
1
=
hoặc k
2
=
+
thì phơng trình (1) Có nghiệm kép.
2.Có 2 cách giải.
Phạm Thị Thủy Tiên - Nghĩa Phơng T Nghĩa Quảng Ngãi
Ôn tập Thi vào 10
Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm:
M
0
k
2
+ 5k 2
0 (*)
Ta có x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
2x
1
x
2
Theo bài ra ta có (x
1
+ x
2
)
2
2x
1
x
2
= 10
Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi ét: x
1
+ x
2
= -
=
a
b
- 2k và x
1
x
2
= 2 5k
Vậy (-2k)
2
2(2 5k) = 10
2k
2
+ 5k 7 = 0
(Có a + b + c = 2+ 5 7 = 0 ) => k
1
= 1 , k
2
= -
Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k
1
, k
2
vào
M
= k
2
+ 5k 2
+ k
1
= 1 =>
M
= 1 + 5 2 = 4 > 0 ; thoả mãn
+ k
2
= -
=>
M
=
=
=
không thoả mãn
Vậy k = 1 là giá trị cần tìm
Cách 2 : Không cần lập điều kiện
M
0 .Cách giải là:
Từ điều kiện x
1
2
+ x
2
2
= 10 ta tìm đợc k
1
= 1 ; k
2
= -
(cách tìm nh trên)
Thay lần lợt k
1
, k
2
vào phơng trình (1)
+ Với k
1
= 1 : (1) => x
2
+ 2x 3 = 0 có x
1
= 1 , x
2
= 3
+ Với k
2
= -
(1) => x
2
- 7x +
= 0 (có
= 49 -78 = - 29 < 0 ) .Phơng trình vô nghiệm
Vậy k = 1 là giá trị cần tìm
Bài tập về pt bậc hai
B ài 1 : Cho phơng trình : x
2
6x + 1 = 0, gọi x
1
và x
2
là hai nghiệm của phơng trình. Không giải phơng trình, hãy tính:
1) x
1
2
+ x
2
2
2)
1 1 2 2
x x x x+
3)
( )
( ) ( )
2 2
1 2 1 x 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
x x x x x x
x x 1 x x 1
+ + +
+
.
B ài 2 : Cho phơng trình: 2x
2
5x + 1 = 0.
Tính
1 2 2 1
x x x x+
(với x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình).
B ài 3 : Cho phơng trình bậc hai: x
2
2(m + 1)x + m
2
+ 3m + 2 = 0
1) Tìm các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
2) Tìm giá trị của m thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
= 12 (trong đó x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình).
B ài 4 : Cho phơng trình: x
2
2mx + 2m 5 = 0.
1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
3) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
, tìm các giá trị của m để:
x
1
2
(1 x
2
2
) + x
2
2
(1 x
1
2
) = -8.
B ài 5 : Cho phơng trình: x
2
2(m + 1)x + 2m 15 = 0.
1) Giải phơng trình với m = 0.
2) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
. Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x
1
+ x
2
= 4.
Baứi 6 : Cho phơng trình: x
2
+ 4x + 1 = 0 (1)
1) Giải phơng trình (1).
2) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình (1). Tính B = x
1
3
+ x
2
3
.
B ài 7 : Cho phơng trình : x
2
- (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số).
a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm là bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn x
1
3
+ x
2
3
0.
B ài 8 : Cho phơng trình: (m 1)x
2
+ 2mx + m 2 = 0 (*)
1) Giải phơng trình khi m = 1.
2) Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 9. Cho phơng trình (2m-1)x
2
-2mx+1=0
Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)
Phơng trình: ( 2m-1)x
2
-2mx+1=0
Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành x+1=0=> x=1
Xét 2m-10=> m 1/2 khi đó ta có
= m
2
-2m+1= (m-1)
2
0 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m
ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0)
với m 1/2 pt còn có nghiệm x=
+
m
mm
=
m
pt có nghiệm trong khoảng (-1,0)=> -1<
m
<0
<
>+
m
m
=>
<
>
m
m
m
=>m<0
Vậy Pt có nghiệm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0
Phần 3: Hệ phơng trình:
Bài53: Tìm giá trị của m để hệ phơng trình ;
( )
( )
=+
+=+
ymx
myxm
Có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y nhỏ nhất
Bài 54: Giải hệ phơnh trình và minh hoạ bằmg đồ thị a)
=
=+
xy
yx
b)
=+
=
yx
yx
c)
=
=+
xy
xy
Phạm Thị Thủy Tiên - Nghĩa Phơng T Nghĩa Quảng Ngãi
Ôn tập Thi vào 10
Bài 55: Cho hệ phơng trình :
=
=+
aybx
byx
a)Giải hệ phơng trình khi
ba
=
b)Xác định a và b để hệ phơng trình trên có nghiệm :
* (1;-2)
* (
)
*Để hệ có vô số nghiệm
Bài 56:Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số m:
+=
=
mmyx
mymx
Bài 57: Với giá trị nào của a thì hệ phơng trình :
=+
=+
S
yax
ayx
a) Có một nghiệm duy nhất
b) Vô nghiệm
Bài 58 :Giải hệ phơng trình sau:
=+
=++
yxyx
yxyx
Bài 59*: Tìm m sao cho hệ phơng trình sau có nghiệm:
( ) ( )
=++
=+
yxyxmyx
yx
Bài 60 :GiảI hệ phơng trình:
=
=+
yxyx
yxyx
Bài 61*: Cho a và b thoả mãn hệ phơng trình :
=+
=++
bbaa
bba
.Tính
ba +
Bài 61:Cho hệ phơng trình :
=+
=+
ayxa
yxa
Giải hệ phơng rình khi a=-
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y>0
Phần 4: Hàm số và đồ thị
Bài 62: Cho hàm số y= (m-2)x+n (d) Tìm giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số :
a) Đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;-4)
Cắt trục tung tại điểm cótung độ bằng 1-
và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2+
.
c) Cắt đờng thẳng -2y+x-3=0
d) Song song vối đờng thẳng 3x+2y=1
Bài 63: Cho hàm số :
xy =
(P)
a) Vẽ đồ thị (P)
b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ
c) Xét số giao điểm của (P) với đờng thẳng (d)
= mxy
theo m
d) Viết phơng trình đờng thẳng (d') đi qua điểm M(0;-2) và tiếp xúc với (P)
Bài 64 : Cho (P)
xy =
và đờng thẳng (d)
mxy
+=
1.Xác định m để hai đờng đó :
a) Tiếp xúc nhau . Tìm toạ độ tiếp điểm
b) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B , một điểm có hoành độ x=-1. Tìm hoành độ điểm còn lại . Tìm toạ độ A và B
2.Trong trờng hợp tổng quát , giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N.Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn MN theo m và tìm quỹ tích của điểm
I khi m thay đổi.
Bài 65: Cho đờng thẳng (d)
=+ ymxm
a) Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P)
xy
=
tại hai điểm phân biệt A và B
b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m
c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng Max
d) Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi
Bài 66: Cho (P)
xy =
a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ đợc hai đờng thẳng vuông góc với nhau và tiếp xúc với (P)
Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng
Bài 67: Cho đờng thẳng (d)
=
xy
a) Vẽ (d)
b) Tính diện tích tam giác đợc tạo thành giữa (d) và hai trục toạ độ
c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d)
Bài 68: Cho hàm số
=
xy
(d)
a) Nhận xét dạng của đồ thị. Vẽ đồ thị (d)
b) Dùng đồ thị , biện luận số nghiệm của phơng trình
mx =
Bài 69: Với giá trị nào của m thì hai đờng thẳng : (d)
+=
xmy
(d')
= xy
a) Song song với nhau
b) Cắt nhau
c) Vuông góc với nhau
Phạm Thị Thủy Tiên - Nghĩa Phơng T Nghĩa Quảng Ngãi
Ôn tập Thi vào 10
Bài 70: Tìm giá trị của a để ba đờng thẳng :
=
+=
=
xayd
xyd
xyd
đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ
Bài 71: CMR khi m thay đổi thì (d) 2x+(m-1)y=1 luôn đi qua một điểm cố định
Bài 72: Cho (P)
xy
=
và đờng thẳng (d) y=a.x+b .Xác định a và b để đờng thẳng (d) đI qua điểm A(-1;0) và tiếp xúc với (P).
Bài 73: Cho hàm số
++=
xxy
a) Vẽ đồ thị hàn số trên
b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
mxx
=++
Bài 74: Cho (P)
xy =
và đờng thẳng (d) y=2x+m
a) Vẽ (P) b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d)
Bài 75: Cho (P)
x
y =
và (d) y=x+m
a) Vẽ (P)
b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
c) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) và cắt (P) tại điẻm có tung độ bằng -4
d) Xác định phơng trình đờng thẳng (d'') vuông góc với (d') và đi qua giao điểm của (d') và (P)
Bài 76: Cho hàm số
xy =
(P) và hàm số y=x+m (d)
a) Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P)
c) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kì. áp dụng: Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng
Bài 77: Cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng (
d
) y=-2(x+1)
a) Điểm A có thuộc (
d
) ? Vì sao ?
b) Tìm a để hàm số
xay =
(P) đi qua A
c) Xác định phơng trình đờng thẳng (
d
) đi qua A và vuông góc với (
d
)
d) Gọi A và B là giao điểm của (P) và (
d
) ; C là
giao điểm của (
d
) với trục tung . Tìm toạ độ
của B và C . Tính diện tích tam giác ABC
Bài 78: Cho (P)
xy =
và đờng thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lầm lợt là -2 và 4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d)
c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tơng ứng hoành độ
[ ]
x
sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
Bài 79: Cho (P)
x
y =
và điểm M (1;-2)
a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m
b) CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi
c) Gọi
BA
xx
lần lợt là hoành độ của A và B .Xác định m để
BABA
xxxx +
đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó
d) Gọi A' và B' lần lợt là hình chiếu của A và B trên trục hoành và S là diện tích tứ giác AA'B'B.
*Tính S theo m
*Xác định m để S=
+++ mmm
Bài 80: Cho hàm số
xy =
(P)
a) Vẽ (P)
b) Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2. Viết phơng trình đờng thẳng AB
c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
Bài 81: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P)
xy
=
và đờng thẳng (d)
=
mmxy
a) Vẽ (P)
b) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm
c) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định
Bài 82: Cho (P)
xy
=
và điểm I(0;-2) .Gọi (d) là đờng thẳng qua I và có hệ số góc m.
a) Vẽ (P) . CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
Rm
b) Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất
Bài 83: Cho (P)
x
y
=
và đờng thẳng (d) đi qua điểm I(
) có hệ số góc là m
a) Vẽ (P) và viết phơng trình (d)
b) Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P)
c) Tìm m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
Bài 84: Cho (P)
x
y
=
và đờng thẳng (d)
+=
x
y
a) Vẽ (P) và (d)
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)
c) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đờng tiếp tuyến của (P) song song với (d)
Bài 85: Cho (P)
xy
=
a) Vẽ (P)
b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2 . Viết phơng trình đờng thẳng AB
c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
Phạm Thị Thủy Tiên - Nghĩa Phơng T Nghĩa Quảng Ngãi
Ôn tập Thi vào 10
Bài 86: Cho (P)
xy =
a) Vẽ (P)
b) Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x=1 và điểm B có hoành độ x=2 . Xác định các giá trị của m và n để đờng thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P)
và song song với AB
Bài 87: Xác định giá trị của m để hai đờng thẳng có phơng trình
=+
=+
ymxd
myxd
cắt nhau tại một điểm trên (P)
xy
=
Phần 5: Giải toán bằng cách lập phơng
trình
1. chuyển động
Bài 88: Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km . Cùng một lúc , một ôtô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B về A . Hai xe gặp nhau tại thị trấn C . Từ C
đến B ôtô đi hết 2 giờ , còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút . Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng trên đờng AB hai xe đều chạy với vận tốc không
đổi
Bài 89: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngợc dòng từ bến B về bến A mất tất cả 4 giờ . Tính vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng ,biết
rằng quãng sông AB dài 30 km và vận tốc dòng nớc là 4 km/h.
Bài 90: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h , sau đó lại ngựơc từ B trở về A .Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngợc 1 giờ 20
phút . Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là 5 km/h
Bài 91: Một ngời chuyển động đều trên một quãng đờng gồm một đoạn đờng bằng và một đoạn đờng dốc . Vận tốc trên đoạn đờng bằng và trên
đoạn đờng dốc tơng ứng là 40 km/h và 20 km/h . Biết rằng đoạn đờng dốc ngắn hơn đoạn đờng bằng là 110km và thời gian để ngời đó đi cả quãng đ-
ờng là 3 giờ 30 phút . Tính chiều dài quãng đờng ngời đó đã đi.
Bài 92: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B . Xe tảI đi với vận tốc 30 Km/h , xe con đi với vận tốc 45 Km/h. Sau khi đi đ ợc
quãng đờng AB , xe con tăng vận tốc thêm 5 Km/h trên quãng đờng còn lại . Tính quãng đờng AB biết rằng xe con đến B sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút.
Bài 93: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 Km với một vận tốc xác định . Khi từ B về A ngời đó đi bằng con đờng khác dài hơn trớc 29
Km nhng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi 3 Km/h . Tính vận tốc lúc đi , biết rằng thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ 30 phút.
Bài 94:Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 Km đi ngợc chiều nhau . Sau 1h40 thì gặp nhau . Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô ,
biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ngợc 9Km/h và vận tốc dòng nớc là 3 Km/h.
Bài 95: Hai địa điểm A,B cách nhau 56 Km . Lúc 6h45phút một ngời đi xe đạp từ A với vận tốc 10 Km/h . Sau đó 2 giờ một ngời đi xe đạp từ B đến
A với vận tốc 14 Km/h . Hỏi đến mấy giờ họ gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu Km ?
Bài 96: Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 Km/h . Sau đó một thời gian, một ngời đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30 Km/h và
nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp ngời đi xe máy tại B . Nhng sau khi đi đợc nửa quãng đờng AB , ngời đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3 Km/h nên
hai ngòi gặp nhau tại C cách B 10 Km . Tính quãng đờng AB
Bài 97: Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 Km/h . Khi đến B ngời đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình
là 24 Km/h . Tính quãng đờng AB biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút.
Bài 98: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h , sau đó ngợc từ B về A . Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngợc là 40
phút . Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là 3 Km/h và vận tốc riêng của ca nô là không đổi .
Bài 99: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình là 40 Km/h . Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó , khi còn 60 Km nữa thì đợc
một nửa quãng đờng AB , ngời lái xe tăng vận tốc thêm 10 Km/h trên quãng đờng còn lại . Do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định . Tính
quãng đờng AB.
Bài 100: Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến bến B . Ca nô I chạy với vận tốc 20 Km/h , ca nô II chạy với vận tốc 24 Km/h .
Trên đờng đi ca nô II dừng lại 40 phút , sau đó tiếp tục chạy . Tính chiều dài quãng đờng sông AB biết rằng hai ca nô đến B cùng một lúc .
Bài 101: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 Km . Sau đó 1 giờ 30 phút , một ngời đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ . Tính
vận tốc của mỗi xe , biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.
Bài 102: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ , xuôi dòng 108 Km và ngợc dòng 63 Km. Một lần khác , ca nô đó cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng
81 Km và ngợc dòng 84 Km . Tính vận tốc dòng nớc chảy và vận tốc riêng ( thực ) của ca nô.
Bài103: Một tầu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 Km , cả đi và về mất 8 giờ 20 phút . Tính vận tốc của tầu khi n ớc yên lặng , biết rằng vận tốc
dòng nớc là 4 Km/h.
Bài 104: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A . Sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại
một điểm cách bến A 20 Km. Hỏi vận tốc của thuyền , biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12 Km/h.
Bài 105: Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đờng dài 120 Km trong một thời gian đã định . Đi đợc một nửa quãng đờng
xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ , xe phải tăng vận tốc thêm 2 Km/h trên nửa quãng đờng còn lại . Tính thời gian xe lăn bánh trên đờng .
Bài 106: Một ôtô dự định đi từ A đén B cách nhau 120 Km trong một thời gian quy định . Sau khi đi đợc 1 giờ ôtô bị chắn đờng bởi xe hoả 10 phút .
Do đó , để đến B đúng hạn , xe phải tăng vận tốc thêm 6 Km/h . Tính vận tốc lúc đầu của ôtô.
Bài107: Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định . Khi còn cách B 30 Km , ngời đó nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ
nguyên vận tốc đang đi , nhng nếu tăng vận tốc thêm 5 Km/h thì sẽ tới đích sớm hơn nửa giờ .Tính vận tốc của xe đạp tren quãng đờng đã đi lúc đầu.
2. Năng xuất
Bài 108: Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ . Nếu mỗi đội làm một mình để làm xong công việc ấy , thì đội thứ
nhất cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ . Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc ấy trong bao lâu?
Bài 109: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày . Nhng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đã vợt mức 6000 đôi giầy
do đó chẳng những đã hoàn thành kế hoạch đã định trong 24 ngày mà còn vợt mức 104 000 đôi giầy . Tính số đôi giầy phải làm theo kế hoạch.
Bài 110: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt đợc 20 tấn cá , nhng đã vợt mức đợc 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn
thành kế hoạch sớm 1 tuần mà còn vợt mức kế hoạch 10 tấn . Tính mức kế hoạch đã định
Bài 111: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng . Trứoc khi làm việc đội xe đó đợc bổ xung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự
định . Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe ? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lợng bằng nhau.
Bài 112: Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một mức khoán . Nếu làm chung trong 4 giờ tổ 1 và 6 giờ của tổ 2 thì hoàn thành đợc
mức khoán .
Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ này sẽ làm xong mức khoán thì mỗi tổ phải làm trong bao lâu ?
Bài 113: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc đã định . Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất đ ợc
điều đi làm việc khác , tổ thứ hai làm nốt công việc còn lại trong 10 giờ . Hỏi tổ thứ hai làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
Bài 114: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong . Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ và ngời thứ hai làm 6 giờ thì họ làm đợc 25%
côngviệc . Hỏi mỗi ngời làm công việc đó trong mấy giờ thì xong .
3. Thể tích
Bài 115: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không chứa nớc đã làm đầy bể trong 5 giờ 50 phút . Nếu chảy riêng thì vòi thứ hai chảy đầy bể
nhanh hơn vòi thứ nhất là 4 giờ . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy trong bao lâu sẽ đầy bể ?
Bài 116: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không có nớc và chảy đầy bể mất 1 giờ 48 phút . Nếu chảy riêng , vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh
hơn vòi thứ hai trong 1 giờ 30 phút . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu ?
Bài 117: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào một bể chứa trong một thời gian quy định thì mỗi giờ phải bơm đợc 10 m
3
. Sau khi bơm đợc
thể tích bể chứa , máy bơm hoạt động với công suất lớn hơn , mỗi giờ bơm đợc 15 m
3
. Do vậy so với quy định , bể chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút.
Tính thể tích bể chứa.
Bài 118: Nếu hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể chứa không có nớc thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể . Nếu mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi khoá
lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 20 phút thì sẽ đợc
bể . Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể ?
Bài 119: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể chứa không có nớc thì sau 2 giờ 55 phút sẽ đầy bể . Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể
nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu ?
Phạm Thị Thủy Tiên - Nghĩa Phơng T Nghĩa Quảng Ngãi
Ôn tập Thi vào 10
Bài120 : Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km . Ô tô thứ nhất mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm
hơn ô tô thứ hai 1 giờ . Tính vận tốc mỗi xe ô tô .
Bài 121 : Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Sau khi đi đợc 2/3 quãng đờng với vận tốc đó, vì đờng khó đi nên ngời lái xe phải giảm
vận tốc mỗi giờ 10 km trên quãng đờng còn lại. Do đó ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định. Tính quãng đờng AB.
Bài 122 : Hai vòi nớc cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút thì đầy. Nu chảy cùng một thời gian nh nhau thì lợng nớc của vòi II bằng 2/3 lơng nớc
của vòi I chảy đợc. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu đầy bể.
Bài 123 : Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất định . Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ . Nếu xe chạy với
vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ . Tính quãng đờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu .
Bài124 : Quãng đờng AB dài 180 km. Cùng một lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B. Do vận tốc của ôtô thứ nhất hơn vận tốc của ôtô thứ hai là 15
km/h nên ôtô thứ nhất đến sớm hơn ôtô thứ hai 2h. Tính vận tốc của mỗi ôtô?
Bài 125 : Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 13 học sinh (cả nam và nữ) đã trồng đợc tất cả 80 cây. Biết rằng số cây các bạn nam trồng
đợc và số cây các bạn nữ trồng đợc là bằng nhau ; mỗi bạn nam trồng đợc nhiều hơn mỗi bạn nữ 3 cây. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của tổ.
Bài 126 : Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km. Một ô tô đi từ A đến B, nghỉ 90 phút ở B rồi trở lại từ B về A. Thời gian từ lúc đi đến lúc
trở về là 10 giờ. Biết vận tốc lúc về kém vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc lúc đi của ô tô.
Bài 127 : Một hình chữ nhật có diện tích 300m
2
. Nếu giảm chiều rộng 3m, tăng chiều dài thêm 5m thì ta đợc hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện
tích hình chữ nhật ban đầu. Tính chu vi của hình chữ nhật ban đầu.
Bài 128 : Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km, cùng lúc đó cũng từ A một bè nứa trôi với vận tốc dòng n ớc 4 km/h.
Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa trôi tại một địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô.
Bài 129 : Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai
6 km nên đến B trớc xe thứ hai 12 phút. Tính vận tốc mỗi xe.
Bài 130 : Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến khi làm việc, do phải điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công
nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sản phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là nh
nhau.
Bài 131: Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng 120lít . Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ nhất rồi đem rót vào hai bình kia thì hoặc bình thứ 3 đầy nớc, bình
thứ 2 chỉ đợc 1/2 thể tích của nó, hoặc bình thứ 2 đầy nớc thì bình thứ 3 chỉ đợc 1/3 thể tích của nó. Tìm thể tích của mỗi bình
Bài 132 : Hai địa điểm A, B cách nhau 56km. Lúc 6h45' một ngời đi từ A với vận tốc 10km/h. Sau 2h , một ngời đi xe đạp từ B tới A với vận tốc
14km/h . Hỏi đến mấy giờ thì họ gặp nhau, chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu km
Bài 133 : Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó ngợc từ B trở về A. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngợc là 40'. Tính khoảng cách
giữa A và B . Biết vận tốc ca nô không đổi, vận tốc dòng nớc là 3km/h.
Bài 134 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50km. Sau 1h30' một ngời đi xe máy cũng từ A và đến B sớm hơn một giờ. Tính vận tốc của mỗi
xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2.5 lần xe đạp
Bài 135 : Một phòng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành từng hàng và số ghế ở mỗi hàng bằng nhau. Nếu số hàng tăng thêm 1 và số ghế ở mỗi hàng
tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi có bao nhiêu hàng, mỗi hàng có bao nhiêu ghế?
Bài 136 : Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ và ngời thứ 2 làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% công
việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình công việc đó trong mấy giời thì xong?.
Bài 137 : Hai vật chuyển động trên một đờng tròn có đờng kính 20m , xuất phát cùng một núc từ cùng một điểm. Nếu chúng chuyển động ngợc chiều
nhau
thì cứ 2 giây lại gặp nhau. Nếu chúng chuyển động cùng chiều nhauthì cứ sau 10 giây lại gặp nhua. Tính vận tốc của mỗi vật.
Bài 139 : Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm. Sang tháng thứ hai tổ 1 vợt 15%.tổ 2 vợt 20%. Do đó cuối tháng cả hai tổ xản xuất đựoc
945 sản phẩm. Tính xem trong tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu sản phẩm
Bài 139 : Một khối lớp tổ chức đi tham quan bằng ô tô. Mỗi xe chở 22 h/s thì còn thừa 01 h/s. Nếu bớt đi 01 ôtô thì có thể xếp đều các h/s trên các ôtô
còn lại. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ôtô, bao nhiêu h/s. Mỗi xe chở không quá 32 h/s.
Bài 140 : Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy trong thời gian đã định và dự định sẽ sản xuất 300 chi tiết máy trong một ngày. Nhng thực tế
mỗi ngày đã làm thêm đợc 100 chi tiết, nên đã sản xuất thêm đợc tất cả là 600 chi tiết và hoàn thành kế hoạch trớc 1 ngày
Tính số chi tiết máy dự định sản xuất.
Bài 141: Một ca nô xuôi dòng 42km rồi ngợc dòng trở lại là 20km mát tổng cộng 5giờ. Biết vận tốc của dòng chảy là 2km/h. Tìm vận tốc của ca nô
lúc dòng nớc yên lặng
Bài 142: Một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng. Hôm làm việc có 2 xe phải điều đi nơi khác nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn. Hỏi đội có bao nhiêu
xe?
Bài 143 : Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đễn địa điểm B. Mỗi giờ ôtô thứ nhất chạy nhanh hơn ôtô thứ hai 12km nên đến địa điểm B tr-
ớc ô tô thứ hai 100phút. Tính vận tốc của mỗi ô tô biết quãng đờng AB dài 240km
Bài 144 : Nếu mở cả hai vòi nớc chảy vào mệt bể cạn thì sau 2 giờ 55phút bể đầy bể. Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi
thứ hai là hai giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể?
Bài 145 : Hai tổ học sinh trồng đợc một số cây trong sân trờng.
Nếu lấy 5 cây của tổ 2 chuyển cho tổ một thì số cây trồng đợc của cả hai tổ sẽ bằng nhau.
Nếu lấy 10 cây của tổ một chuyển cho tổ hai thì số cây trồng đợc của tổ hai sẽ gấp đôi số cây của tổ một.
Hỏi mỗi tổ trồng đợc bao nhiêu cây?
Bài 146: Hai ô tô A và B khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh cách nhau 150km, đi ngợc chiều và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô, biết
rằng nếu vận tốc của ô tô A tăng thêm 5km/h và vận tốc ô tô B giảm 5km/h thì vận tốc của ô tô A bằng 2 lần vận tốc của ô tô B.
Bài 147: Hai hợp tác xã đã bán cho nhà nớc 860 tấn thóc. Tính số thóc mà mỗi hợp tác xã đã
bán cho nhà nớc. Biết rằng 3 lần số thóc hợp tác xã thứ nhất bán cho nhà nớc nhiều hơn hai lần số thóc hợp tác xã thứ hai bán là 280 tấn
Phần 6 : Hình học
ôn tập hình học 9
Phần 1 : hình học phẳng
A. lý thuyết:
I.Đờng tròn:
1,Định nghĩa:
Tập hợp các điểm cách điểm 0 cho trớc một khoảng cách R > 0 không đổi gọi là đờng tròn tâm 0 bán kính R . Kí hiệu : ( 0 ; R)
2, Vị trí t ơng đối:
* Của một điểm với một đờng tròn :
xét (0 ; R ) và điểm M bất kì
vị trí tơng đối Hệ thức
M nằm ngoài ( O ; R ) OM > R
M nằm trên ( O ; R ) hay M thuộc ( O ; R) OM = R
M nằm trong ( O ; R ) OM < R
* Của một đờng thẳng với một đờng tròn :
Phạm Thị Thủy Tiên - Nghĩa Phơng T Nghĩa Quảng Ngãi
Ôn tập Thi vào 10
xét ( O ; R ) và đờng thẳng a bất kì ( với d là khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng a )
vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức
a cắt ( O ; R ) 2 d < R
a tiếp xúc ( O ; R ) 1 d = R
a và ( O ; R ) không giao nhau 0 d > R
* Của hai đờng tròn :
xét ( O;R) và (O; R) ( với d = O O )
vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức
Hai đờng tròn cắt nhau 2 R r < d < R- r
Hai đờng tròn tiếp xúc nhau :
+ tiếp xúc ngoài :
+ tiếp xúc trong :
1
d = R + r
d = R r
Haiđờng tròn không giao nhau :
+hai đờng tròn ở ngoài nhau :
+đờng tròn lớn đựng đờng tròn nhỏ :
0 d > R + r
d < R -r
3 . Tiếp tuyến của đ ờng tròn :
a. Định nghĩa :
đờng thẳng d đợc gọi là tiếp tuyến của một đờng tròn nếu nó chỉ có một điểm chung với đờng đó .
b, Tính chất :
+ Tính chất 1 : Nếu một đờng thẳng là một tiếp tuyến của một đờng tròn thì nó vuông góc với bán kính đI qua tiếp điểm .
+ Tính chất 2 : Nếu hai tiếp tuyến của một đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì giao điểm này cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm
đờng tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến .
c, Cách chứng minh :
Cách 1 : chứng minh đờng thẳng đó có một điểm chung với đờng tròn đó .
Cách 2 : chứng minh đờng thẳng đó vuông góc với bán kính của đờng tròn đó tại một điểm và điểm đó thuộc đờng tròn .
4 . Quan hệ giữa đ ờng kính và dây cung :
* Định lí 1 : Đờng kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung ấy ra thành hai phần bằng nhau .
* Định lí 2 : Đờng kính đI qua trung điểm của một dây cung không đi qua tâm thì vuông góc với dây cung ấy.
5 . Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm :
* Định lí 1 : Trong một đờng tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm .
* Định lí 2 : Trong hai dây cung không bằng nhau của một đờng tròn, dây cung lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn .
II. Góc trong đờng tròn:
1, Các loại góc trong đ ờng tròn:
- Góc ở tâm
- Góc nội tiếp
- Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đờng tròn
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
2, Mối quan hệ giữa cung và dây cung:
* Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:
a, Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau b, Đảo lại, hai dây bằng nhau trơng hai cung bằng nhau.
* Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:
a, Cung lớn hơn căng dây lớn hơn b, Dây lớn hơn trơng cung lớn hơn.
3, Tứ giác nội tiếp:
a, Định nghĩa:
Tứ giác nội tiếp một đờng tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng tròn . Đơng tròn đó đợc gọi là đờng tròn ngoại tiếp tứ giác.
b, Cách chứng minh :
* Cách 1: chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng thuộc một đờng tròn
* Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180
0
* Cách 3: chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh đối diện dới cùng một góc.
Phạm Thị Thủy Tiên - Nghĩa Phơng T Nghĩa Quảng Ngãi
Ôn tập Thi vào 10
B. Bài tập:
Bài 1: Cho tam giác ABC ( Â= 1v ), đờng cao AH. Đờng tròn đờng kính AH cắt các cạnh AB, AC lần lợt tại E và F.
a. CM: tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
b. CM: tứ giác EFCB nội tiếp.
c. Đờng thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của BC.
d. CMR: Nếu S
ABC
= 2. S
AEHF
thì tam giác ABC vuông cân.
Bài 2: Cho tam giác ABC ( AB> AC ) nội tiếp (O). Vẽ đờng phân giác của góc  cắt (O) tại M. Nối OM cắt BC tại I.
1. Chứng minh tam giác BMC cân.
2. Chứng minh: góc BMA < góc AMC.
3. Chứng minh: góc ABC + góc ACB = góc BMC.
4. Đờng cao AH và BP của tam giác ABC cắt nhau tại Q. Chứng minh OH // AH.
5. Trên AH lấy điểm D sao cho AD = MO. Tứ giác OMDA là hình gì?
6. Chứng minh AM là phân giác của góc OAH.
7. OM kéo dài cắt (O) tại N. Vẽ OE vuông góc với NC. Chứng minh
MBOE
=
.
8. Chứng minh tứ giác OICE nội tiếp. Xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác OICE.
9. Chứng minh các tứ giác ABHP và QPCH nội tiếp.
10. Từ C vẽ tiếp tuyến của (O) cắt BM kéo dài tại K. Chứng minh CM là phân giác của góc BCK.
11. So sánh các góc KMC và KCB với góc A.
12. Từ B vẽ đờng thẳng song song với OM cắt CM tại S. Chứng minh tam giác BMS cân tại M.
13. 13.Chứng minh góc S = góc EOI góc MOC.
14. Chứng minh góc SBC = góc NCM.
15. Chứng minh góc ABF = góc AON.
16. Từ A kẻ AF // BC, F thuộc (O). Chứng minh BF = CA.
Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đờng tròn tâm O đờng kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại D, E. Gọi I là giao điểm của BE và CD.
1. Chứng minh AI vuông góc với BC.
2. Chứng minh góc IDE = góc IAE.
3. Chứng minh : AE . EC = BE . EI.
4. Cho góc BAC = 60
0
. Chứng minh tam giác DOE đều.
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Đờng cao AH của tam giác ABC cắt (O) tại D , AO kéo dài cắt (O) tại E.
a. Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân.
b. Gọi M là điểm chình giữa của cung DE, OM cắt BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của BC.
c. Tính bán kính của (O) biết BC = 24 cm và IM = 8 cm.
Bài 5: Trên nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB lấy hai điểm M và N sao cho các cung AM, MN, NB bằng nhau. Gọi P là giao điểm của AM và BN, H
là giao điểm của AN với BM. CMR:
a. Tứ giác AMNB là hình thang cân.
b. PH AB. Từ đó suy ra P, H, O thẳng hàng.
c. ON là tiếp tuyến của đờng tròn đơnngf kính PH.
Bài 6: Cho (O, R) , dây cung AB < 2R. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Kẻ hai dây MC, MD lần lợt cắt AB tại E và F. CMR:
a. Tam giác MAE và MCA đồng dạng.
b. ME . MC = MF . MD.
c. Tứ giác CEFD nội tiếp.
d. Khi
RAB =
thì tam giác OAM đều.
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại A ( AB > AC ), đờng cao AH. Vẽ đờng tròn tâm I đờng kính BH cắt AB tại E, đờng tròn tâm K đờng kính CH
cắt AC tại F.
a. Tứ giác AEHF là hình gì?
b. Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp.
c. Chứng minh AE . AB = AF . AC.
d. Chứmg minh EF là tiếp tuyến chung của (O) và (I).
e. Gọi Ax là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác
ABC. Chứng minh Ax // EF.
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm D thuộc AB. Qua B vẽ đờng thẳng vuông góc với CD tại H, đờng thẳng BH cắt CA tại E.
a. Chứng minh tứ giác AHBC nội tiếp.
b. Tính góc AHE.
c. Chứng minh tam giác EAH và EBC đồng dạng.
d. Chứng minh AD = AE.
e. Khi điểm D di chuyển trên cạnh AB thì điểm H di chuyển
trên đờng nào?
Bài 9: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AC ( AB > BC ; AD > CD ). Gọi E là giao điểm của AB và CD, F là giao điểm của AD và BC.
Chứng minh rằng:
a. EF AC
b. DA . DF = DC . DE
c. Tứ giác BDFE nội tiếp.
Phạm Thị Thủy Tiên - Nghĩa Phơng T Nghĩa Quảng Ngãi
Ôn tập Thi vào 10
Bài 10: Cho đờng tròn tâm O đờng kính BC, điểm A thuộc (O). Vẽ bán kính OK // BA ( K và A nằm cùng phía đối với BC ). Tiếp tuyến với đờng tròn
(O) tại C cắt OK tại I.
a. Chứng minh IA là tiếp tuyến của (O).
b. Chứng minh CK là tia phân giác của góc ACI.
c. Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm. Tính OI, CI.
Bài 11: Cho đoạn thẳng AB và O là trung điểm của AB. Vẽ về cùng phía với AB các tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Các điểm M, N theo thứ tự di
chuyển trên Ax và By sao cho góc MON = 90
0
. Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng :
a. AB là tiếp tuyến của (I ; IO).
b. MO là tia phân giác của góc AMN.
c. MN là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính AB.
d. Khi các điểm M, N di chuyển trên Ax, By thì tích AM. BN không dổi.
Bài 12: Cho (O;R) và (O; r)tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đờng tròn ( B thuộc (O); C thuộc (O) ). Tiếp tuyến chung
trong của hai đờng tròn tại A cắt BC tại M.
a. Chứng minh A, B, C thuộc đờng tròn tâm M.
b. Đờng thẳng OO có vị trí tơng đối gì với (M) nói trên?
c. Xác định tâm đờng tròn đi qua ba điểm O, O , M.
d. Chứng minh BC là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua ba
điểm O, O, M.
Bài 13: Cho (O) và (O)tiếp xúcngoài tại A. Đờng thẳng Ô cắt (O) và (O) theo thứ tự tạu B và C ( khác A ). Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài của hai
đờng tròn ( D thuộc (O); E thuộc (O)) . M là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng :
a. Góc DME là góc vuông.
b. MA là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn.
c. MD . MB = ME . MC.
Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), đờng cao BD, CE , M là trung điểm của BC.
a. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp.
b. Chứng minh các tam giác ADE và ABC đồng dạng .
c. Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) . Chứng minh Ax // DE.
d. Chứng minh rằng nếu góc BAC = 60
0
thì tam giác DME là
tam giác đều.
Bài 15: Cho (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Vẽ các tiếp tuyến AB và AC , cát tuyến ADE. Gọi H là trung điểm của DE.
a. Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp.
b. Chứng minh HA là tia phân giác của góc BHA.
c. Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh : AB
2
= AI . AH.
d. BH cắt (O) tại K . Chứng minh AE // CK.
Bài 16: Cho (O), đờng tròn AB. Vẽ tiếp tuyến xBy. Gọi C,D là hai điểm di động trên hai nửa mặt phẳng bờ AB đối nhau. Tia AC cắt Bx tại M, tia AD
cắt By tại N.
a. Chứng minh các tam giác ACD và AMN đồng dạng.
b. Tứ giác MNDC nội tiếp.
c. Chứng minh AC . AM = AD . AN và tích này không đổi
khi C, D di động.
Bài 17: Xét nửa đờng tròn (O), đờng kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn. kẻ tiếp tuyến Ax và dây AC bất kỳ. Tia phân giác của
góc Cax cắt nửa đờng tròn tại D, các tia AD và BC cắt nhau tại E.
a. Chứng minh tam giác ABE cân tại B.
b. Các dây AC và BD cắt nhau tại K. Chứng minh EK AB.
c. Tia BD cắt tia Ax tại F. Chứng minh tứ giác AKEF là hình
thoi.
Bài 18: Cho nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong nửa đờng tròn (O ; R).
Hai tiếp tuyến tại B và D cắt nhau tại T.
a. Chứng minh rằng OT // AB.
b. Chứng minh ba điểm O, C, T thẳng hàng.
c. Tính chu vi và diện tích tam giác TBD theo R.
d. Tính diện tích hình giới hạn bởi hai cạnh TB, TD và cung
BCD theo R.
Bài 19: Hai đờngtròn (O) và (O) có bán kính R và R ( R > R) tiếp xúc ngoài nhau tại C. Gọi AC và BC là hai đờng kính đi qua C của (O) và (O).
DE là dây cung của (O) vuông góc với AB tại trung điểm của M của AB. Gọi giao điểm thứ hai của đờng thẳng DC với (O) là F.
a. Tứ giác AEBD là hình gì?
b. Chứng minh rằng ba điểm B, E, F thẳng hàng.
c. Chứng minh tứ giác MDBF nội tiếp.
d. DB cắt (O) tại G. Chứng minh DF, EG, AB đồng qui.
e. Chứng minh
DEMF
=
và MF là tiếp tuyến của (O).
Bài 20: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AC. Trên đoạn OC lấy một điểm B và vẽ đờng tròn tâm O đờng kính BC. Gọi M là trung điểm của AB. Từ M
kẻ dây cung DE vuông góc với AB, DC cắt (O) tại I.
a.Tứ giác ADBE là hình gì ? tại sao?
b.Chứng minh BI // AD.
c.Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng và MD = MI.
d.Xác định và giải thích vị trí tơng đối của đờng thẳng MI với (O).
Bài 21: Từ một điểm A ở bên ngoài đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN của đờng tròn đó. Gọi I là trung điểm của dây MN.
a. Chứng minh 5 điểm A,B,I,O,C cùng nằm trên một đờng tròn.
b. Nếu AB = OB thì tứ giác ABOC là hình gì ? Tại sao? Tính diện tích hình tròn và độ dài đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC theo bán kính R
của (O).
Bài 22: Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Tia phân giác của góc A cắt BC tại D, cắt (O) tại E. Tiếp tuyến của đờng tròn tại A cắt đờng thẳng BC tại M.
a. Chứng minh MA = MD.
b. Gọi I là điểm đối xứng với D qua M, gọi F là giao điểm của IA với (O).Chứng minh E, O, F thẳng hàng.
Bài 23: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng (O) đờng kính MC. Đờng thẳng BM cắt (O) tại D. Đờng thẳng AD cắt đờng
tròn (O) tại S.
a. Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp. CA là tia phân giác của góc SCB.
b. Gọi E là giao điểm của BC với (O) . Chứng minh các đờng thẳng BA, EM, CD đồng qui.
Phạm Thị Thủy Tiên - Nghĩa Phơng T Nghĩa Quảng Ngãi
Ôn tập Thi vào 10
c. Chứng minh DM là phân giác của góc ADE.
d. Chứng minh M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE.
Bài 24: Cho tam giác ABC vuông tại A.
a. Nêu cách dựng (O) qua A và tiếp xúc với BC tại B. Nêu cách dựng (O) qua tiếp xúc với BC tại C.
b. Hai đờng tròn (O) và (O) ở vị trí tơng đối nào?
c. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tiếp tuyến chung của (O) và (O).
d. Cho AB = 36cm, AC = 48 cm. Tính độ dài BC và các bán kính của (O) , (O).
Bài 25: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB, bán kính OC vuông góc với AB. Gọi M là một điểm di động trên cung BC ( M B, M C). AM cắt
OC tại N.
a. Chứng minh rằng tích AM . AN không đổi.
b. Vẽ CD AM . Chứng minh các tứ giác MNOB và AODC nội tiếp.
c. Xác định vị trí của điểm M trên cung BC để tam giác COD cân tại D.
Bài 26: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), H là trực tâm của tam giác ABC, M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A.
a. Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành.
b. Gọi N và E lần lợt là các điểm đối xứng của M qua AB và AC. Chứng minh ba điểm N. H , E thẳng hàng.
c. Xác định vị trí của M để NE có độ dài lớn nhất.
Bài 27: Cho (O,R) và (O,r) tiếp xúc ngoài tại M ( R > r ). Đờng thẳng OO cắt (O) tại C, cắt (O) tại D . Tiếp tuyến chung ngoài AB (
OBOA
) cắt đòng thẳng OO tại H. Tiếp tuyến chung của hai đờng tròn ở M cắt AB tại I.
a. Chứng minh các tam giác OIO và AMB là các tam giác vuông.
b. Chứng minh
rRAB =
.
c. Tia AM cắt (O) tại A, tia BM cắt (O) tại B. Chứng minh ba điểm A, O, B và A , O , B thẳng hàng và CD
2
= BB
2
+ AA
2
.
d. Gọi N và N lần lợt là giao điểm của AM với OI và BM với OI. Tính độ dài các đoạn thẳng MI, AB, OI, OI, OH, OH theo R và r.
Bài 28: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, một điểm C ( khác A, B ) nằm trên đờng tròn . Tiếp tuyến Cx của (O) cắt tia AB tại I. Phân giác góc CIA cắt
OC tại O.
a. Chứng minh (O, OC) vừa tiếp xúc với (O) vừa tiếp xúc với đờng thẳng AB.
b. Gọi D,E theo thứ tự là giao điểm thứ hai của CA, CB với (O). Chứng minh D, O, E thẳng hàng .
c. Tìm vị trí của C sao cho đờng tròn ngoại tiếp tam giác OCI tiếp xúc với AC.
Bài 29: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn. C và D là hai điểm di động trên nửa đờng tròn. Các tia AC và AD
cắt Bx lần lợt tại E và F ( F nằm giữa B và E ).
a. Chứng minh hai tam giác ABF và BDF đồng dạng.
b. Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp.
c. Khi D và C di động trên nửa đờng tròn , chứng tỏ rằng : AC. AE = AD . AF = const .
Bài 30: Cho (O). Vẽ hai dây AB và CD vuông góc tại M ở bên trong (O). Từ A vẽ một đờng thẳng vuông góc với BC tại H, cắt CD tại E. F là điểm đối
xứng của C qua AB. Tia AF cắt tia BD tại K. Chứng minh rằng:
a. Góc MAH = góc MCB.
b. Tam giác ADE cân.
c. Tứ giác AHBK nội tiếp.
Bài 31. Cho đoạn thẳng AB và C là một điểm nằm giữa A và B. Ngời ta kẻ trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax và By vuông góc với AB.
Trên tia Ax lấy một điểm I. Tia Cz vuông góc với tia CI tại C và cắt By tại K. Đờng tròn đờng kính IC cắt IK tại P. Chứng minh:
a. Tứ giác CPKB nội tiếp.
b. AI.BK=AC.CB.
c. APB vuông.
d. Giả sử A, B, I cố định. Hãy xác định vị trí điểm C sao cho
diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhất.
Bài 32. Cho (O) và một điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với (O). (B, C, M, N cùng thuộc (O); AM<AN). Gọi
E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai của đờng thẳng CE với (O).
a. Chứng minh bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên một đờng tròn.
b. Chứng minh góc AOC=góc BIC
c. Chứng minh BI//MN.
d. Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất.
Bài 33. Cho tam giác ABC vuông ở A (AB<AC), đờng cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy D sao cho HD=HB. Vẽ CE vuông góc với AD (EAD).
a. Chứng minh tứ giác AHCE nội tiếp.
b. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHCE.
c. Chứng minh CH là tia phân giác của góc ACE.
d. Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng CA, CH và cung nhỏ AH của đờng tròn nói trên biết AC=6cm; góc ACB = 30
o
.
Bài 34. Cho (O) có đờng kính BC. Gọi A là một điểm thuộc cung BC (cung AB < cung AC). D là điểm thuộc bán kính OC. Đ ờng vuông góc với BC tại
D cắt AC ở E, cắt tia BA ở F.
a. Chứng minh tứ giác ADCF nội tiếp.
b. Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh: góc AME=2 góc ACB.
c. Chứng minh AM là tiếp tuyến của (O).
d. Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng BC, BA và cung nhỏ AC của (O) biết BC=8cm; góc ABC = 60
o
.
Bài 35. Cho đờng tròn (O) đờng kính AB=2R và một điểm M di chuyển trên nửa đờng tròn. Ngời ta vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với (O) tại M và tiếp
xúc với AB tại N. Đờng tròn này cắt MA, MB lần lợt tại các điểm thứ hai C, D.
a. Chứng minh CD//AB.
b. Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đờng thẳng MN đi qua một điểm K cố định.
c. Chứng minh tích KM.KN cố định.
d. Gọi giao điểm của các tia CN, DN với KB, KA lần lợt là C', D'. Tìm vị trí của M để chu vi tam giác NC'D' đạt giá trị nhỏ nhất có thể đợc.
Bài 36. Cho một đờng tròn đờng kính AB, các điểm C, D ở trên đờng tròn sao cho C, D không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời
AD>AC. Gọi các điểm chính giữa các cung AC, AD lần lợt là M, N. Giao điểm của MN với AC, AD lần lợt là H, I. Giao điểm của MD với CN là K.
a. CM: NKD và MAK cân.
Phạm Thị Thủy Tiên - Nghĩa Phơng T Nghĩa Quảng Ngãi
Ôn tập Thi vào 10
b. CM: tứ giác MCKH nội tiếp đợc. Suy ra KH//AD.
c. So sánh các góc CAK với góc DAK.
d. Tìm một hệ thức giữa số đo AC, số đo AD là điều kiện cần và đủ để AK//ND.
Bài 37. Cho (O
1
) và (O
2
) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A và tiếp tuyến chung Ax. Một đờng thẳng d tiếp xúc với (O
1
), (O
2
) lần lợt tại B, C và cắt Ax
tại điểm M. Kẻ các đờng kính BO
1
D, CO
2
E.
a. Chứng minh M là trung điểm BC.
b. Chứng minh O
1
MO
2
vuông.
c. Chứng minh B, A, E thẳng hàng; C, A, D thẳng hàng.
d. Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO
1
O
2
tiếp xúc với d.
Phần 2: Hình học không gian.
A.Lý thuyết:
I. Một số kiến thức cơ bản về hình học không gian:
1. Các vị trí t ơng đối:
a.Vị trí t ơng đối của hai đ ờng thẳng:
* a // b a , b (P), a và b không có điểm chung.
* a cắt b a , b (P), a và b có một điểm chung.
* a và b chéo nhau a và b không cùng thuộc một mặt phẳng.
b. Vị trí t ơng đối của đ ờng thẳng a và mặt phẳng (P):
* a // (P) a và (P) không có điểm chung.
* a cắt (P) a và (P) có một điểm chung.
* a (P) a và (P) có vô số điểm chung.
c. Vị trí t ơng đối của hai mặt phẳng (P) và (Q):
* (P) // (Q) không có điểm chung.
* (P) (Q) = a có một đờng thẳng a chung ( a gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng).
* (P) (Q).
2. Một số cách chứng minh:
a. Chứng minh hai đ ờng thẳng song song:
C
1
: a và b cùng thuộc một mặt phẳng.
a và b không có điểm chung.
C
2
: a // c và b // c.
C
3
:
ba
bRQ
aRP
QP
MM
MM
=
=
b.Chứng minh đ ờng thẳng song song với mặt phẳng:
MM
MM
Pa
Pb
ba
c.Chứng minh hai mặt phẳng song song:
MM
MMMM
QP
PbPa
aXbQba
d.Chứng minh hai đ ờng thẳng vuông góc:
ba
Pb
Pa
e.Chứng minh đ ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng:
Pa
PcPbbXc
caba
g.Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:
QP
Qa
Pa
II. Một số hình không gian:
1. Hình lăng trụ:
S
xq
= P . h với P: chu vi đáy
V = B . h h : chiều cao B: diện tích đáy
1. Hình trụ:
S
xq
= P.h = 2R.h với R: bán kính đáy
V = B.h = R
2
.h h: chiều cao.
2. Hình chóp : 2. Hình nón:
Phạm Thị Thủy Tiên - Nghĩa Phơng T Nghĩa Quảng Ngãi
