100 bài toán hình học không gian tổng hợp(Luyện thi lớp 11,12)

Chuyên đề Hình Học không gian tổng hợp
Tuyển tập 100 bài tập hình học không gian tổng hợp.
Bài 1.Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau,có giao tuyến là đường thẳng Trên lấy hai
điểm A,B với AB=a.Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C,trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC,BD
cùng vuông góc với và .Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A
đến mặt phẳng (BCD) theo a.
Bài 2. Cho hình chóp ta giác S.ABC có đáy ABC à tam giác đều cạnh a,SA=2a và SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC).Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và
SC.Tính thể tích khối chóp A.BCNM.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với và SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD).Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC;I là giao điểm của BM à AC. Chứng minh
rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB).Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Bài 4. Cho hình trụ các đấy là hai hình tròn tâm O và O',bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a.Trên
đường tròn đáy tâm O lấy điểm A,trên đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B sao cho AB=2a.Tính thể
tích của khối tứ diện OO'AB.
Bài 5. Cho hai nửa đường thẳng Ax,By chéo nhau và vuông góc nhau.Có AB là đường vuông góc
chung,AB=a.Ta lấy các điểm M trên Ax,N trên By với Am=x,BN=y.
1. Chứng minh rằng các mặt của tứ diện ABMN là các tam giác vuông.
2. Tính thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện ABMN theo ,x,y.
Bài 6. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính số đo của góc phẳng nhị diện [B,A'C,D]
Bài 7. Cho hình lăng trụ đứng có đấy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc .Gọi M là trung điểm cạnh
AA' và N là trung điểm cạnh CC'.Chứng minh rằng bốn điểm B',M,D,N cùng thuộc một mặt
phẳng.Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN là hình vuông.
Bài 8. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng các hình chóp đỉnh G với đáy là các mặt của tứ diện
ABCD có thể tích bằng nhau.
Bài 9. Cho tứ diện .Với điều kiện nào đối với đường thẳng nối trung điểm của các cặp cạnh đối là
đường vuông góc chung của chúng.
Bài 10. Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai cạnh bên và mặt đáy bằng
α
.Tính
tang của góc giữa hai mặt phẳng và theo.TÍnh thể tích khối chóp theo a và

α
.
Bài 11.Cho hình chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng 10 dm và cạnh bên bằng 25 dm. Tính thể tích hình
chóp đã cho .
Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, góc nhọn tạo bởi hai đường chéo
AC và BD là , các tam giác SAC và SBD là các tam giác đều cạnh a. Tính thể tích hình chóp theo a.
Bài 13. Cho ABC là tam giác vuông tại C. Trên đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng
(ABC) lấy điểm S ( khác với A). Chứng minh rằng các mặt của thiết diện S.ABC đều là tam giác
vuông .
Bài 14.Trong mặt phẳng (P) , cho hình vuông ABCD. Trên đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng
(P) lấy một điểm S bất kì, dựng mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với SC. Mặt phẳng (Q) cắt SB,
SC, SD lần lượt tại B', C', D'. Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, B', C', D' cùng nằm trên một
mặt cố định.
Bài 15. Cho hình nón có đường cao h. Một mặt phẳng đi qua đỉnh S của hình nón tạo với mặt đáy
hình nón một góc , đi qua hai đường sinh SAO CHO, SB của hình nón và cắt mặt đáy của hình nón
theo dây cung AB, cung AB có số đo bằng . Tính diện tích thiết diện SAB.
Bài 16. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = 2a và SA vuông
góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng
SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.
Bài 17. Cho tứ diện ABCD và mặt phẳng (P). Tìm điểm M thuộc MP’(P) sao cho:
MA MB MC MD+ + +
uuur uuur uuuur uuuur
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 18. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O', bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a.
Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A. trên đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính
thể tích của khối tứ diện OO'AB.
Ngọc Vinh
1
Chuyên đề Hình Học không gian tổng hợp
Bài 19. Cho hình chóp đáy hình thang, H là hình chiếu của A lên SB. Chứng minh tam giác SCD

vuông và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)
Bài 20. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng các đường thẳng nối mỗi đỉnh của tứ diện với trọng
tâm của mặt đối diện đồng quy tại một điểm.Gọi điểm đó là G.
Bài 21. Cho hình cóp tam giác đều S.ABC đỉnh S,có độ dài cạnh đáy bằng a.Gọi M và N lần lượt là
các trung điểm của các cạnh SB và SC.Tính theo a diện tích tam giác AMN ,biết rằng mặt phẳng
(AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Bài 22. Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABD); AC = AD = 4cm; AB
= 3cm; BC = 5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (ACD).
Bài 23. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
α
. Tính
thể tích hình chóp đã cho .
Bài 24. Cho hình chóp đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là các trung điểm
của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc
với mặt phẳng (SBC).
Bài 25. Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy a và cạnh bên bằng m. Tính thể tích hình chóp
theo a và m .
Bài 26. Cho tứ diện ABCD có: AC = AD = BC = BD = a, AB = 2m , CD = 2n.
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và CD .
a. Chứng minh rằng IK là đoạn thẳng vuông góc chung của 2 cạnh đối nhau AB và CD.
b. Tính IK theo a, m và n.
Bài 27. Cho đường tròn đường kính nằm trong mặt phẳng và . Gọi là điểm thuộc đường tròn khác
và . Chứng minh rằng mặt phẳng nếu vuông góc với một trong ba cạnh bên cũng sẽ cắt hình chóp
theo một thiết diện là một tam giác vuông .
Bài 28. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên . Gọi D, E lần
lượt là trung điểm của AB và A'B'.
1. Tính thể tích khối đa diện ABA'B'C'
2. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (CEB')
Bài 29. Cho tứ diện OABC có góc
0

180AOB BOC∠ +∠ =
. Gọi OD là phân giác trong của góc
∠
AOC . Tính góc
∠
BOD.
Bài 30. Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, góc
ACB =
α
, BC = a , SA = a
2
. Gọi M là trung điểm cạnh SB. Chứng minh mặt phẳng (SAB)
vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tính thể tích khối tứ diện MABC.
Bài 31. Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác ABC vuông tại A , góc vuông góc với mặt phẳng
(ABC), SA tạo với đáy (ABC) một góc
α
. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B trên SA, SC.
a. Tính thể tích của hình chóp S.ABC
b. Chứng minh rằng A, B, C, E, F cùng thuộc một mặt cầu, xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Bài 32. Cho tam diện 3 góc vuông Oxyz.Trên các cạnh Ox,Oy,Oz ta lần lượt lấy các điểm A,B,C sao
cho OA=a,OB=b,OC=c trong đó a,b,c là ba số dương.
1.Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mp(ABC).Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác
ABC.Tính OH theo a,b,c.
2.Chứng tỏ rằng với lần lượt là diện tích của các tam giác ABC,OAB,OBC,OCA.
Bài 33. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA=SB=SD=a.
1. Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp S.ABCD theo a.
2. Tính cosin của góc nhị diện (SAB,SAD)
Bài 34. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O .AC =a ;BD= b.tam giác SBD
đều .Gọi I là điểm di động trên đoạn AO với AI = x(0<x<a/2).Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song
song với mp(SBD).Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi hình chóp và mp(P)

Bài 35. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABC có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính khoảng cách từ điểm S
đến mp (ABCD)
Bài 36. Cho góc tam diện vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lấy lần lượt các điểm A, B, C có OA = a, OB
= b, OC = c.
Ngọc Vinh
2
Chuyên đề Hình Học không gian tổng hợp
1. Chứng minh rằng tam giác ABC có 3 góc nhọn.
2. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Hãy tính OH theo a, b, c.
2. Chứng minh rằng bình phương diện tích của tam giác ABC bằng tổng bình phương diện tích các
mặt còn lại của tứ diện .
Bài 37. Cho hình chóp tam giác , các cạnh còn lại đều bằng 1.
1. Tính thể tích hình chóp theo x,y.
2. Với x,y là giá trị nào thì thể tích hình chóp là lớn nhất?
Bài 38. Cho khối lăng trụ tam giác mà mặt bên có diện tích bằng 4. Khoảng cách giữa cạnh và mặt
bằng 7.
Tính thể tích khối lăng trụ .
Bài 39. Cho hình nón có đường cao h. Một mặt phẳng đi qua đỉnh S của hình nón tạo với mặt phẳng
đáy hình nón một góc , đi qua hai đường sinh SA, SB của hình nón và cắt mặt đáy của hình nón theo
dây cung AB, cung AB có số đo bằng . Tính diện tích thiết diện SAB.
Bài 40. Cho 2 nửa đường thẳng Ax và By vuông góc với nhau và nhận là đoạn vuông góc chung. Lấy
điểm M trên Ax và điểm N trên By sao cho . Xác định tâm I và tính theo a bán kính R của mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện ABMN. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và BI.
Bài 41. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh SB vuông góc với đáy
(ABC). Qua B kẻ BH vuông góc với SA, BK vuông góc với SC. Chứng minh SC vuông góc với
(BHK) và tính diện tích tam giác BHK biết rằng AC = a, BC =
3a
, SB =
2a
.

Bài 42. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng a. Giả sử M, N, P, Q lần lượt là trung
điểm của các cạnh A'D', D'C', C'C, AA'.
1. Chứng minh rằng 4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một mặt phẳng. Tính chu vi của tứ giác MNPQ
theo a.
2. Tính diện tích của tứ giác MNPQ theo a.
Bài 43. Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a.
1. Giả sử I là một điểm thay đổi ở trên cạnh CD. Hãy xác định vị trí của I để diện tích tam giác IAB
là nhỏ nhất.
2. Giả sử M là một điểm thuộc cạnh AB. Qua điểm M dựng mặt phẳng song song với AC và BD. Mặt
phẳng này cắt các cạnh AD, DC, CB lần lượt tại N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? Hãy xác định vị
trí của M để diện tích tứ giác MNPQ là lớn nhất.
Bài 44. Cho hình chóp S.ABCD. Một mặt phẳng không đi qua đỉnh nào của hình chóp cắt các cạnh
SA, SB, SC, SD lần lượt tại A', B', C', D'. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tìm mệnh đề đúng
trong các mệnh đề sau đây:
A. Các đường thẳng A'C', B'D', SO đôi một chéo nhau.
B. Các đường thẳng A'C', B'D', SO đôi một đồng phẳng.
C. Các đường thẳng A'C', B'D', SO đồng quy.
D. Hai đường thẳng A'C' và B'D' cắt nhau còn hai đường thẳng A'C' và SO chéo nhau.
Bài 45.Trong mặt phẳng có đường tròn tâm O , bán kính R và đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn
(O,R) tại điểm A cố định . Từ điểm M nằm trên mặt phẳng và ngoài đường tròn (O,R) kẻ tiếp tuyến
MT tới đường tròn (O,R) ( T là tiếp điểm ). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d .
Chứng minh rằng đường tròn tâm M có bán kính MT luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M
di động trên mặt phẳng sao cho: MT = MH
Bài 46. Cho tứ diện ABCD. Lấy M bất kỳ nằm trong mặt phẳng (ABD). Các mặt phẳng qua M lần
lượt song song với các mặt phẳng (BCD); (CDA); (ABC) lần lượt cắt các cạnh CA, CB, CD tại A', B',
C'. Xác định vị trí điểm M để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:

Bài 47. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao và đáy ABC có các cạnh bằng . Điểm M,
N là trung điểm của cạnh AC, AB tương ứng. Tính thể tích hình chóp S.AMN và bán kính hình cầu
nội tiếp hình chóp đó.

Bài 48. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình chữ nhật với: . Các cạnh bên của hình chóp bằng
nhau và bằng .
Ngọc Vinh
3
Chuyên đề Hình Học không gian tổng hợp
a) Tính thể tích của hình chóp S.ABCD.
b) Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, SC, SD. Chứng minh rằng SN vuông
góc với mặt phẳng (MEF).
c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Bài 49. Cho tứ diện O.ABC có cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và . Kí hiệu K, M, N
lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao
điểm của CE với mặt phẳng (OMN).
a) Chứng minh rằng: CE vuông góc với mặt phẳng (OMN).
b) Tính diện tích của tứ giác OMIN theo a.
Bài 50. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = . Chứng minh mp(SAB) vuông
góc với mp(SAC).
Bài 51. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh bằng a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SCD
là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh rằng SI vuông (SCD), SJ vuông (SAB).
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh rằng SH vuông AC.
c) Gọi M là 1 điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông SA. Tính AM theo a.
Bài 52. Chứng minh rằng :
Tổng cos của các nhị diện tạo bởi 4 mặt của tứ diện luôn luôn bé thua hoặc bằng 2
Bài 53. Cho tứ diện ABCD với tâm diện vuông đỉnh A. Xác định vị trí điểm M để :
P= , đạt min
Bài 54. Cho tứ diện SABC. Đáy ABC có trọng tâm G. Hãy phân tích vector theo 3 vector theo 3
vector :

Bài 55.Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1;4;5) ; B(0;3;1) ; C(2;-1;0) và mặt phẳng (P) có

phương trình : 3x-3y-2z-15=0 .
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để điểm M nằm trên mặt
phẳng (P) có tổng bình phương khoảng cách đến các điểm A;B;C nhỏ nhất là điểm M phải là hình
chiếu vuông góc của điểm G trên mặt phẳng (P) . Xác định toạ độ điểm M đó.
Bài 56. Cho hình lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , .
Tính cosin của góc giữa 2 mặt phẳng và .
Bài 57. Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng, có thể xác định được nhiều nhất bao
nhiêu mặt phẳng phân biệt từ bốn điểm đó?
Chọn một đáp án dưới đây A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
Bài 57. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a ; và vuông góc với
đáy.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
b) Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC).
Bài 58. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA=BC=a , SA=a và vuông góc
với đáy. Gọi M.N là trung điểm AB và AC.
a) Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (SBC) .
b) Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (SMN) và (SBC) .
Bài 59. Trong không gian Oxyz cho hình chóp SABC với S(3;1;-2) ; A(5;3;-1) ; B(2;3;-4) ; C(1;2;0) .
a) Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.Tìm tọa độ điểm D đối xứng với C qua đường thẳng AB.
b) M là điểm bất kỳ thuộc mặt cầu tâm D, bán kính M không thuộc mặt phẳng (ABC) . Xét tam giác
có độ dài các cạnh bằng độ dài các đoạn thẳng MA,MB,MC. Hỏi tam giác đó có đặc điểm gì.
Bài 59. Cho hình thoi ABCD có tâm O , cạnh a và AC = a . Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) với SH = a .
a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD).
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Ngọc Vinh
4
Chuyên đề Hình Học không gian tổng hợp
Bài 60. Cho tứ diện vuông OABC có các góc phẳng ở đỉnh O là vuông và OC=OA+OB. Chứng minh
rằng tổng các góc phẳng ở đỉnh C là

Bài 61. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D', có chiều cao a và cạnh đấy 2a
Với M là một điểm trên cạnh AB. Tìm giá trị lớn nhất của góc A'MC'
Bài 62. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = a ; AD = 2a . Tam giác
SAB vuông cân tại A . M điểm trên cạnh AD ( M khác A và B ) . Mặt phẳng qua M và song song với
mặt phẳng (SAB) cắt BC ; SC ; SD lần lượt tại N;P;Q .
a) Chứng minh rằng MNPQ là hình thang vuông .
b) Đặt AM = x . Tính diện tích hình thang MNPQ theo a ; x
Bài 63. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD .
a) Chứng minh rằng AO vuông góc với CD.
b) Gọi M là trung điểm CD. Tính cosin góc giữa AC và BM.
Bài 64. Cho hình lăng trụ đứng , đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh .
Gọi M,N lần lượt là trung điểm và .
a) Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng P qua MN và vuông góc với mặt phẳng . Thiết diện
là hình gì.
b) Tính diện tích thiết diện.
Bài 65. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O , SA = a và vuông góc
với mặt phẳng (ABCD). Gọi I, M theo thứ tự là trung điểm của SC, AB.
a) Tính khoảng cách từ I đến CM.
b) Tính khoảng cách từ S đến CM.
Bài 66. Cho hình chóp S.ABCD có và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Đáy ABCD
là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn bán kính AD = 2a .
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 67. Cho tứ diện đều ABCD cạnh là a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
a) Chứng minh rằng AO vuông góc với CD.
b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính cosin của góc giữa AC và BM.
Bài 68. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm O . Gọi M;N lần lượt là trung
điểm SA và BC. Biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) là
a) Tính độ dài đoạn MN.
b) Tính cosin của góc giữa MN và mặt phẳng (SBD).

Bài 69. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thoi
có tâm O;A(2;0;0),B(2;1;0) và .Gọi M là trung điểm SA.mặt phẳng (CBM) cắt SB tại N.Thế tích khối
tứ diện SCMN bằng:

Bài 70. Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và
D;AB=AD=a;CD=2a.Cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD);SD=a.Chọn đáp án đúng:
A. Diện tích tam giác SBC là
B. Tam giác SBC là tam giác vuông
C. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC) là
D. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC) là
Ngọc Vinh
A. B.
C.
D. Đáp án khác
5