on thi lop 10

Tài liệu ôn tập lớp 9 môn toán - năm học 2006 - 2007
Bài 1: Cho biểu thức : M =










+


+










xx
x
xx
x
x

x
x 2
1
11
:
1
a) Rút gọn M.
b) Tính giá trị của M khi x = 7 + 4
3
c) Tìm x sao cho M = 2
Bài 2: Cho biểu thức : P =










+

2
2
:
2
3
2
4
x
x
x
x
xxx
x
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x =
53
8
+
c) Tìm các giá trị của n để có x thoả mãn (
1
+
x
).P >
x
+ n
Bài 3: Cho biểu thức : B =

++











+

+
1
2
1:
1
1
1
12

xx
x
xxx
x
a) Rút gọn B.
b) Tìm x để : 2.B < 1
c) Với giá trị nào của x thì B.
x
= 4/5
Bài 4: Cho biểu thức : M =










+

+

+
1
1
3
1
:
3
1
9
72
xxx
x
x
xx
a) Rút gọn M.
b) Tìm các số nguyên của x để M là số nguyên.
c) Tìm x sao cho : M > 1
Bài 5: Cho biểu thức : A = 1 :








+

+
+


+
+
1
1
1
1
1
22
xxx
x
xx
xx
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A nếu x = 7 - 4
3
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A .
Bài 6: Cho biểu thức : P =

+


+








+



+
1
2
11
1
:
1
1
1
1
x
x
x
xx

x
x
x
a) Rút gọn P.
Trang
1
C h ỉ c ó s ự n ỗ l ự c c ủ a c h í n h b ạ n m ớ i đ e m l ạ i t h à n h c ô n g
Tài liệu ôn tập lớp 9 môn toán - năm học 2006 - 2007
b) Tính giá trị của P khi x =
2
347

c) Tìm x sao cho P = 1/2
Bài 7: Cho biểu thức : A =








+
+

++


+
x
xx
x
xx
x
x
x
1
1
:
1
1
12
3
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A nếu x =
2
32

c) Xét dấu của tích A.
x

1

Bài 8: Cho biểu thức : A =








+
+










+
1
1:
1
1
1
2
x
x

xxxxx
x
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 0
Bài 9: Cho biểu thức : B =








+










+++

+
1
2
2:

1
2
1
1
x
xx
xxxxx
a) Rút gọn B.
b) Tính giá trị của B khi x = 6 + 2
5
c) Tìm x nguyên để B nguyên.
Bài 10: Cho biểu thức : A =









+
+

+
+
xxxx
x
2
1

6
5
3
2
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A nếu x =
32
2
+
c) Tìm x nguyên để A nguyên
Bài 11: Cho biểu thức : M =









+


+

+

x
x
x

x
xx
x
3
12
2
3
65
92
a) Rút gọn M.
b) Tìm x để M < 1
c) Tìm các số tự nhiên x để M nguyên.
Bài 12: Cho biểu thức : A =

+

+
2
3
1:
3
1
32
4
x
x
x
x
xx
xx
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A > 1
c) Tìm m để có số x sao cho: (
x
+ 1).A = m.(x+1) -2
Bài 13: Cho biểu thức : P =
3
2
3
:

2
2
4
4
2
2
xx
xx
x
x
x
x
x
x










+

+
Trang
2
Tài liệu ôn tập lớp 9 môn toán - năm học 2006 - 2007
a) Rút gọn P.
b) Tìm các số nguyên của x để P chia hết cho 4.
c) Tìm x sao cho P = -1
Bài 14: Cho biểu thức : M =








+
+

+

+

xx
x
x
x
x
x
x
x 141
:
1
13
1
a) Rút gọn M.
b) Tìm các số tự nhiên x để M là số nguyên
c) Tìm x thoả mãn M < 0
Bài 15: Cho biểu thức : P =









+
+

++


+
x
x
xxx
x
x
x
1
52
1
3
:
1
1
12
3
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x =
53

8

c) Tìm x nguyên để P là số tự nhiên
d) Tìm x để P < -1
Bài 16: Cho biểu thức : B =









+

+










+

+
xx
x
x
x
x
x
xx
x
2
2
2
3
:
4
23
2
3
2
a) Rút gọn B.
b) Tính giá trị của B khi x = 9 - 4
5
c) Tìm x sao cho B.( x 1 ) = 3
x
Bài 17: Cho biểu thức : M =

+

+

+
+










+
+
+
+
1
11
1
:1
11
1
xy

xxy
xy
x
xy
xxy
xy
x
a) Rút gọn M
b) Tính giá trị của M khi x = 2 -
3
và y =
31
13
+

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của M nếu :
4
=+
yx

Bài 18: Cho biểu thức : B =








+++

+
+
632
6
632
32
yxxy
xy
yxxy
yx
a) Rút gọn B.
b) Cho B=
).10(
10
10


+
y
y
y
Chứng minh :
10
9
=
y
x
Bi 19 : Cho biu thc :

+










+
+

+

+
+
=
1
2:
3

2
2
3
65
2
x
x
x
x
x
x
xx
x
P
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để

2
51

P
Trang
3
Tài liệu ôn tập lớp 9 môn toán - năm học 2006 - 2007
( THI VO LP 10 THPT Chu V
ă
n An, Amterdam, HN. Khúa thi : 2001-2002 )
Bi 20 : Cho biu thc :
vi x 0 ; x 1.
1) Rỳt gn P.

2) Tìm x sao cho P < 0.
( THI VO LP 10 H CHUYấN TNH H TY. Mụn : Toỏn ( chu ng)Khúa thi : 2003
2004)
Bi 21 : Cho biu thc :
( )
1
122
1
2


+
+

++

=
x
x
x
xx
xx
xx
P
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
c) Tìm x để biểu thức
P
x
Q

2
=
nhận giá trị là số nguyên
( THI VO LP 10 THPT Chu V ăn An, Amterdam, HN. Khúa thi : 20-6-2003 )
Bi 22 : Cho biu thc :
2
2
2
1
1
1
1
1

+

+

=
x
xx
x
x
x
P
a) Rút gọn P
b) Tìm x để
2
>
x
P
( THI VO LP 10 THPT Chu V
ă
n An, Amterdam, HN. Khúa thi : 18-6-2004 )
Bi 23 : Cho biu thc :

+










+

=
2
2
:
2
45
2
1
x
x
x
x
xx
x
x

P
a) Rút gọn P
b) Tìm m để có x thoả mãn :
12
+=
mxxmxP
( THI
Tốt nghiệp trung học cơ sở,
HN. Khúa thi : 26-5-2005 )
Trang
4
Ước mơ chính là bánh lái của con tầu, để ớc mơ thành công bạn cần có nghị lực
Tài liệu ôn tập lớp 9 môn toán - năm học 2006 - 2007
Bài 1: Một xe tải đi từ A đến B cách nhau 214,5 km . Cùng lúc đó một xe khách đi từ B trở về A. Tìm vận
tốc của mỗi xe, biết rằng xe khách đi nhanh hơn xe tải 4km mỗi giờ nên đã đến A trớc khi xe tải đến B 1
giờ 30 phút.
Bài 2: Một xe tải đi từ A đến B cách nhau 120 km .Nửa giờ sau một xe máy chạy từ A để đến B chạy chậm
hơn xe tải 6 km/h nên đến B chậm hơn 70 phút so với xe tải.Tính vận tốc mỗi xe ?
Bài 3: Hai bến sông AB cách nhau 80km. Hai ca nô khởi hành cùng một lúc chạy từ A đến B , ca nô thứ
nhất chạy chậm hơn ô tô thứ hai 4km/h . Trên đờng đi ca nô thứ hai dừng lại nghỉ 1giờ rồi chạy tiếp đến B.
Tính vận tốc của mỗi ca nô , biết rằng ca nô thứ nhất đến B trớc ca nô thứ hai 20 phút.
Bài 4: Một ca nô xuôi dòng 90km , rồi ngợc dòng 36 km. Biết thời gian xuôi dòng nhiều hơn ngợc dòng là
2 giờ và vận tốc xuôi dòng lớn hơn ngợc dòng là 6km/h. Tính thời gian mỗi ca nô đi hết quãng đờng AB.
Bài 5: Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 54km. Cả đi lẫn về mất 5 giờ 15 phút .Tính vận tốc của
dòng nớc , biết vận tốc riêng của tàu khi nớc yên lặng là 21km/h.
Bài 6: Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 60km đi ngợc chiều nhau. Sau 1giờ 20 phút
gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô , biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ngợc
là 9km/h và vận tốc dòng nớc là 3km/h.
Bài 7:Một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 24km, cùng lúc đó có một chiếc bè trôi theo dòng nớc từ
A về hớng B. Sau khi ca nô đến B quay trở lại thì gặp chiếc bè đã trôi đợc 8km. Tính vận tốc riêng của ca

nô, biết rằng vận tốc của bè bằng vận tốc dòng nớc bằng 4km/h.
Bài 8: Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian đã định.Khi đi đợc nửa quãng
đờng xe bị chắn bởi xe hoả 3 phút .Vì vậy để đến B đúng hạn xe phải tăng tốc 2km/h trên quãng đờng còn
lại. Tính vận tốc dự định.
Bài 9:Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ C đến D. Xe tải đi với vận tốc 30km/h, xe con đi với vận
tốc 45km/h .Sau khi đã đi đợc 3/4 quãng đờng CD, xe con tăng vận tốc thêm 5km/h trên quãng đờng còn
lại vì vậy đã đến D sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút.Tính quãng đờng CD.
Bài 10: Một ngời đi xe đạp dự định đi hết quãng đờng AB dài 20km trong thời gian đã định. Nhng thực tế ,
sau khi đi đợc 1 giờ với vận tốc dự định, ngời đó đã giảm vận tốc đi 2km/h trên quãng đờng còn lại. Vì vậy
đã đến B chậm hơn dự kiến 15 phút.Tính vận tốc dự định và thời gian lăn bánh trên đờng.
Bài 11:Một ô tô dự định đi hết quãng đờng AB dài 150 km trong thời gian đã định. Sau khi đi đợc 2 giờ ,
ngời lái xe quyết định tăng tốc thêm 2km/h trên quãng đờng còn lại .Do đó đã đến B sớm hơn dự kiến 30
phút. Tính vận tốc ô tô đi ở đoạn đờng đầu ?
Bài 12: Một ngời dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km trong thời gian đã định.Sau khi đi đợc nửa
quãng đờng , ngời đó dừng lại nghỉ 30 phút . Vì vậy mặc dù trên quãng đờng còn lại đã tăng tốc thêm
2km/h song vẫn đến đến B chậm hơn dự kiến 12phút. Tính vận tốc của ngời đi xe đạp trên đoạn đờng cuối
của đoạn AB.
Bài 13: Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 120 km. Cùng lúc đó có một xe máy chạy từ B trở về A
và gặp xe ô tô tại một tỉnh C cách một trong hai điểm khởi hành 75km. Tính vận tốc của mỗi xe ,biết rằng
nếu vận tốc của hai xe không đổi và xe máy khởi hành trớc ô tô 48 phút thì sẽ gặp nhau ở giữa quãng đờng.
Bài 14: Một ô tô đi từ địa điểm A đến điểm B với vận tốc xác định . Nếu vận tốc tăng
20km/h so với dự định thì thời gian đến B sẽ giảm 1giờ, nh ng nếu vận tốc giảm 10km/h
thì thời gian đến B sẽ tăng thêm 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của ô tô.
Bi 15 : Mt bố na trụi t do (vi vn tc bng vn tc ca dũng nc ) v mt ca nụ
cựng di bn A xuụi dũng sụng. Ca nụ xuụi dũng c 144 km thỡ quay tr v bn A
Trang
5
Tài liệu ôn tập lớp 9 môn toán - năm học 2006 - 2007
ngay, c i ln v ht 21 gi. Trờn ng ca nụ tr v bn A, khi cũn cỏch bn A 36 km
thỡ gp bố na núi trờn. Tỡm vn tc riờng ca ca nụ v vn tc ca dũng nc.

( THI VO LP 10 H CHUYấN TNH H TY. Mụn : Toỏn (chung)Khúa thi : 2003 2004)
Bài 16: Theo dự kiến , một công nhân dự định làm 70 sản phẩm trong thời gian đã định. Nhng thực tế , do
áp dụng khoa học kỹ thuật nên đã tăng năng suất 5 sản phẩm mỗi giờ .Do đó không những hoàn thành trớc
thời hạn 40 phút mà còn vợt mức 10 sản phẩm. Tính năng suất dự kiến.
Bài 17: Một công nhân dự định làm 33 sản phẩm trong thời gian đã định . Trớc khi làm việc xí nghiệp giao
thêm cho 29 sản phẩm nữa . Do vậy mặc dù ngời đó đã làm tăng mỗi giờ 3 sản phẩm song vẫn hoàn thành
chậm hơn dự kiến 1 giờ 30 phút. Tính năng suất dự kiến.
Bài 18: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào một bể chứa trong thời gian đã định thì mỗi giờ phải bơm đ-
ợc 10 m
3
. Sau khi bơm đợc 1/3 thể tích bể chứa , ngời công nhân vận hành cho máy hoạt động với
công suất lớn hơn 5m
3
mỗi giờ so với ban đầu. Do vậy , so với qui định bể chứa đợc bơm đầy trớc 48
phút . Tính thể tích bể chứa .
Bài 19: Một xí nghiệp giao cho một công nhân làm 120 sản phẩm trong thời gian qui định. Sau khi làm đợc
2 giờ , ngời đó cải tiến kỹ thuật nên đã tăng đợc 4sản phẩm/ giờ so với dự kiến . Vì vậy trong thời
gian qui định không những hoàn thành kế hoạch mà còn vợt mức 16 sản phẩm. Tính năng suất làm
lúc đầu.
Bài 20: Một công nhân dự định làm 36 sản phẩm trong thời gian đã định.Sau khi đi đợc nửa số lợng đợc
giao , ngời đó dừng lại nghỉ 30 phút . Vì vậy mặc dù làm thêm 2 sản phẩm mỗi giờ với nửa số sản phẩm
còn lại song vẫn hoàn thành công việc chậm hơn dự kiến 12phút. Tính năng suất dự kiến .
Bài 21:Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể chứa không có nớc thì sau 1 giờ 30 phút đầy bể. Nếu mở vòi thứ
nhất chảy 15 phút rồi khoá lại, rồi mở tiếp vòi thứ hai chảy 20 phút thì đợc 20% bể. Hỏi nếu để từng vòi
chảy một thì sau bao lâu bể đầy.
Bài 22:Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể chứa không có nớc thì sau 2 giờ 40 phút đầy bể. Tính xem nếu để
từng vòi chảy thì mỗi vòi cần bao lâu, biết rằng để chảy đầy bể thì vòi thứ nhất cần nhiều hơn vòi thứ hai là
4 giờ.
Bài 23:Hai công nhân cùng làm một công việc sau 4 ngày hoàn thành . Biết rằng nếu làm một mình xong
việc thì ngời thứ nhất làm nhanh hơn ngời thứ hai là 6 ngày .Tính thời gian mỗi ngời làm một mình xong

công việc trên.
Bài 24: Trong một buổi liên hoan, một lớp học sinh mời 15 khách tới dự . Vì lớp đã có 40 học sinh nên phải
kê thêm 1 dãy ghế nữa và mỗi dãy ghế phải xếp thêm 1 ngời nữa mới đủ chỗ ngồi.Hỏi ban đầu lớp học có
bao nhiêu dãy ghế, biết mỗi dãy có số ngời ngồi nh nhau và không quá 5 ngời.
Bài 25:Trong một trang sách nếu thêm 2 dòng và mỗi dòng bớt đi 1chữ thì số chữ trong trang tăng thêm 4
chữ. Nhng nếu bớt đi 3 dòng và mỗi dòng thêm 2 chữ thì số chữ trong trang vẫn không thay đổi. Tính số
chữ , số dòng trong trang sách lúc đầu.
Bài 26: Theo dự kiến, một đội xe đự định điều động một số lợng xe để chuyên chở 420 tấn hàng . Nhng
thực tế đội đã điêù động thêm 5 xe nữa . Do vậy mỗi xe chuyên chở ít hơn ban đầu 7 tấn so với dự kiến.
Tính số lợng xe mà đội đã điều động chuyên chở.
Bài 27:Tổng của chữ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng chục của một số có hai chữ số là 10. Nếu đổi
chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì sẽ đợc số mới nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị. Tìm số có
hai chữ số.
Bài 28:Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi 280m . Ngời ta làm một lối đi xung quanh vờn thuộc đất của
vờn rộng 2m , diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256m
2
. Tính kích thớc của vờn
Trang
6
Tài liệu ôn tập lớp 9 môn toán - năm học 2006 - 2007
Bài 29:Trên một miếng đất hình thang cân chiều cao 35m, hai đáy lần lợt bằng 30m, 50m ngời ta làm hai
đoạn đờng có cùng chiều rộng. Các tim đờng lần lợt là đờng trung bình của hình thang và các đoạn thẳng
nối hai trung điểm của hai đáy.Tính chiều rộng các đoạn đờng đó biết rằng diện tích làm đờng chiếm 0,25
diện tích hình thang.
Bài 1 : Cho đờng tròn tâm O, bán kính OA=R. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại trung
điểm H của OA.
a) Tứ giác ABOC là hình gì ?
b) Gọi K là điểm đối xứng với O qua A. Chứng minh rằng:KBOC tứ giác nội tiếp và
KB,KC là tiếp tuyến của (O)
c) Tam giác KBC là tam giác gì?

d) Trực tâm tam giác ABC là điểm nào trên hình vẽ ?
e) Tính độ dài BC.
f) Tính diện tích phần trung của hình tròn(O;R) và hình tròn ngoại tiếp tứ giác KBOC.
Bài 2 : Cho (O;R) và dây AB<2R. Trên tia AB lấy C sao cho AC>AB.Từ C kẻ hai tiếp
tuyến với (o)tại P,K. Gọi I là trung điểm của AB
a) Chứng minh rằng Tứ giác CPOK nội tiếp
b) Chứng minh rằng: C,P, I, O, K cùng nằm trên một đ ờng tròn
c) Chứng minh rằng tam giác ACP đồng dạng với tam giác PCB suy ra CP
2
=CB.CA
d) gọi H trực tâm tam giác CPK.Tính PH theo R
e) Giả sử PA//CK. Chứng minh rằng tia đối của tia BK là phân giác của góc CBP
Bài 3 : Cho ABC nhọn, nội tiếp đờng tròn tâm O. Từ B, C kẻ tiếp tuyến với đờng tròn,
chúng cắt nhau tại D. Từ D
kẻ cát tuyến song song
với AB cắt đờng tròn tại E, F và cắt AC
tại I.
a) Chứng minh góc DOC bằng góc BAC
b) Chứng minh bốn điểm O, I, D, C nằm trên một đ ờng tròn
c) Chứng minh IE=IF
d) Chứng minh ID là phân giác góc BIC
Trang
7
Học vấn luôn đem đến cho bạn niềm vui thực sự
Tài liệu ôn tập lớp 9 môn toán - năm học 2006 - 2007
e) Cho B,C cố định , khi A chuyển động trên cung BC lớn thì I di chuyển trên
đờng nào ?
Bài 4 : Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB, kẻ tia tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P sao
cho AP>R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đờng tròn tại M.
a) Chứng minh APMO nội tiếp

b) Chứng minh rằng BM//OP
c) Đờng thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là
hình bình hành .
d) Chứng minh rằng PNMO là hình thang cân
e) Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I, PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng
minhI, J, K thẳng hàng.
Bi 5 : Cho na ng trũn tõm O ng kớnh AB = 2R. C l trung im ca on thng
AO, ng thng Cx vuụng gúc vi ng thng AB, Cx ct na ng trũn trờn ti I. K
l mt im bt kỡ nm trờn on thng CI (K khỏc C ; K khỏc I), tia AK ct na ng
trũn ó cho ti M. Tip tuyn vi na ng trũn tõm O ti im M ct Cx ti N, tia BM
ct Cx ti D.
1) Chng minh rng bn im A, C, M, D cựng nm trờn mt ng trũn.
2) Chng minh MNK cõn.
3) Tớnh din tớch ABD khi K l trung im ca on thng CI.
4) Chng minh rng : Khi K di ng trờn on thng CI thỡ tõm ca ng trũn ngoi
tip AKD nm trờn mt ng thng c nh.
( THI VO LP 10 H CHUYấN TNH H TY. Mụn : Toỏn ( chu ng)Khúa thi : 2003 2004)
Bài 6 : Cho đoạn AB và M nằm giữa A.B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng hình
vuông AMCD, MBEF. AF cắt BC tại N
a)Chứng minh rằng:AF vuông góc với BC,suy ra N nằm trên hai đ ờng tròn ngoại tiếp
AMCD, MBEF.
b) Chứng minh: D, N,E thẳng hàng và MN vuông góc với DE
c)Cho AB cố định M di động. Chứng minh:MN luôn đi qua điểm cố định,
Bài7 :Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn(O). D,E là điểm chính giữa của cung AB, AC.
DE cắt AB và AC tại H,K.
a) Chứng minh rằng: tam giácAHK cân
b) BE cắt CD tại I, Chứng minh rằng AI vuông góc với DE
Trang
8
Tài liệu ôn tập lớp 9 môn toán - năm học 2006 - 2007

c) Chứng minh rằng:CEKI nội tiếp
d) Chứng minh rằng IK//AB
e) tam giác ABC có thêm điều kiện gì ? thì AI//EC
Bài 8 :Cho đờng tròn (O) đờng kính AB=2R và một điểm M di động trên một nửa đờng
tròn. Ngời ta vẽ một đờng tròn tâm E tiếp xúc với nửa đờng tròn (O) tại M và tiếp xúc
với đờng kính AB tại N. Đờng này cắt MA, MB lần lợt tại các điểm thứ hai C, D.
a) Chứng minh CD//AB
b) Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đ ờng thẳng MN luôn đi qua một
điểm K cố định.
c) Chứng minh:tích KM.KN không đổi
d) Gọi giao điểm của các tia CN,DN với KB,KA lần l ợt là C
,
,D
,
.Tìm vị trí của M để chu
vi tam giác NC
,
D
,
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 9 :Cho tam giác ABC vuông tại A. Đ ờng cao AH. Đờng tròn đờng kính AH cắt các
cạnh AB,AC, lần lợt tại E,F.
a) Chứng minhtứ giác AEHF là hình chữ nhật.
b) Chứng minhAE.AB=AF.AC
c) Chứng minh rằng BEFC nội tiếp
d)
Đờng thẳng qua
Avuông góc với EF cắt BC tại I,
Chứng minh
I là trung điểm của

đoạn BC.
e) Chứng minh rằng nếu diện tích của ABC gấp đôi diện tích hình chữ nhật AEHF thì
tam giác ABC vuông cân.
Bài 10 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đ ờng tròn. P là điểm chính giữa của cung
AB( phần không chứa C,D). Hai đây PC, PD lần lợt cắt dây AB tại E và F. Các dây AD,
PC kéo dài cắt nhau tại I. Các dây BC,PD kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minhrằng:
a) Góc CID bằng góc CKD.
b) Tứ giác CDEF nội tiếp đợc.
c) PC.PE = PD.F
d) IKCD nội tiếp
e) IK//AB.
f) PA là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác AFD.
Bài 11 : Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong đ ờng tròn (O). Tiếp tuyến tại C với đ ờng
tròn cắt AB,AD kéo dài lần lợt tại E và F.
a) Chứng minh AB.AE=AD.AF bằng hai ph ơng pháp.
Trang
9
Tài liệu ôn tập lớp 9 môn toán - năm học 2006 - 2007
b) Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh AM vuông góc với BD.
c) Tiếp tuyến tại B và D với đờng tròn (O) cắt EF lần lợt tại I, J. Chứng minh I và J
lần lợt là trung điểm của CE và CF.
d) Tính diện tích phần hình tròn giới hạn bởi dây AD và cung nhỏ AD, biết AB=6 và
AD=6
3
.
Bài 12 : Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB=2R và một điểm M bất kì nằm trên nửa
đờng tròn (M khác A và B). Đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn tại M và cắt đờng
trung trực của đoạn AB tại I.Dờng tròn tâm I tiếp xúc với AB cắt đờng thẳng d tại C và D
(D nằm trong góc BOM).
a) Chứng minh các tia OC,OD là các tia phân giác của các góc ACM và BOM.

b) Chứng minh CA và DB vuông góc với AB.
c) Chứng minh AC.BD=R
2
d) Tìm một vị trí của M trên nửa đờng tròn (O) để tổng AC+BD đạt giá trị nhỏ nhất?
Tìm giá trị đó theo R.
Bài 13 :Cho đờng tròn tâm (O;R), hai đờng kính AB,CD vuông góc với nhau. Trong đoạn
AB lấy một điểm M( khác O). Đờng thẳng CM cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Đ -
ờng thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với đ ờng tròn ở điểm P. Chứng
minh rằng:
a) tứ giác OMNP nội tiếp đợc.
b) Tứ giác CMPO là hình bình hành.
c) Tứ giác OMNP nội tiếp
d) Tích CM.CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
e) Khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên một đoạn thẳng cố định.
Bài 14 :Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đ ờng tròn đờng kính BD(AC cắt BO). Kéo dài AB
và DC cắt nhau ở E;CB và DA cắt nhau tại F.
a) Chứng minh DB vuông góc với EF( gọi chân đờng vuông góc là G)
b) Chứng minh BCGF , ABGF nội tiếp
c) Chứng minh:BA.BE=BC.BF=BD.BG
d) Chứng minh B là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ACG.
e) Cho góc ABC bằng 135
0
, hãy tính độ dài AC theo BD.
Bài 15 : Cho ba điểm A, B, C trên một đ ờng thẳng theo thứ tự ấy và một đ ờng thẳng d
vuông góc với AC tại A. Vè đ ờng tròn đờng kính BC và trên đó lấy một điểm M bất kì.
Trang
10
Tài liệu ôn tập lớp 9 môn toán - năm học 2006 - 2007
Tia CM cắt đờng thẳng d tại D; Tia AM cắt đờng tròn tại điểm thứ hai tại N; tia DB cắt đ -
ờng tròn tại điểm thứ hai P.

a) Chứng minh ABMD nội tiếp
b) Chứng minh tích CM.CD không phụ thuộc vào vị trí điểm M
c) Tứ giác APND là hình gì ?tại sao ?
d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAC chạy trên một đ ờng tròn cố định khi M di
động
Bài 16 : Cho tam giác vuông cân ABC (góc C=90),E là một điểm tuỳ ý trên cạnh BC . Qua
B kẻ một tia vơng góc với tia AE tại H và cắt tia AC tại K. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BHCA nội tiếp
b) KC. KA=KH.KB .
c) Độ lớn của góc CHK không phụ thuộc vào vị trí điểm E
d) Khi E di chuyển trên cạnh BC thì BE.BC+ AE. AH không đổi
Bài 17 : cho đờng tròn tâm O và dây AB. Gọi M là điểm chính giữa cảu cung nhỏ AB và C
là một điểm nằm giữa đoạn AB. Tia MC cắt đ ờng tròn tại điểm th hai D. Chứng minh :
a) MA
2
= MC.MD
b) MB.BD = BC.MD
c) Đờng tròn ngoại tiếp BCD tiếp xúc với MB tại B.
d) Tổng bán kính của hai đờng tròn ngoại tiếp BCD và ACD không đổi khi C di
động trên đoạn AB.
Bài 18 : Cho ABC có góc A > 90
o
. Đờng tròn (O), đờng kính AB cắt đờng tròn (O
/
) đờng
kính AC tại giao điểm thứ hai là H. Một đ ờng thẳng (d) quay quanh A cắt Đ ờng tròn (O),
đờng tròn (O
/
) lần lợt tại M, N sao cho A nằm giữa M và N.
a) Chứng minh H thuộc cạnh BC và tứ giác BCNM là hình thang vuông.

b) Chứng minh tỷ số
HN
HM
không đổi.
c) Gọi I là trung điểm của MN, K là trung điểm của BC. Chứng minh bốn điểm A, H,
K, I thuộc một đờng tròn và I di chuyển trên một cung tròn cố định.
d) Xác định vị trí của đờng thẳng (d) để diện tích HMN lớn nhất.
Trang
11
Tài liệu ôn tập lớp 9 môn toán - năm học 2006 - 2007
( THI VO LP 10 THPT Chu V
ă
n An, Amterdam, HN. Khúa thi : 1999- 2000 )
Bài 19 :Cho đoạn thẳng AB và một điểm P nằm giữa A và B.Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ
các tia Ax, By vuông góc với AB và lần l ợt trên hai tia dó lấy hai điểm C và D sao cho :
AC.BD=AP.PB (1)
a) Chứng minh tam giác ACP đồng dạng với tam giác BPD.
b) Chứng minh góc CPD bằng 90
0
. Từ đó suy ta cách dựng hai điểm C;D thoả mãn
(1)
c) Gọi M là hình chiếu của P trên CD, chứng minh góc AMB bằng 90
0
d) Gọi AM cắt CP tại I, BM cắt PD tại K. Chứng minh IK // AB
e) Chứng minh điểm M chạy trên nửa đờng tròn cố định khi C;D lần lợt di động trên
Ax, By nhng vẫn thoả mãn (1).
Bài 20 :Cho tam giácABC cân tại A( góc A<90
0
) nội tiếp đờng tròn (O). Một điểm M tuỳ ý
trên cung nhỏ AC. Tia Bx vuông góc với AM cắt tia CM tại D. Chứng minh rằng:

a) Góc AMD bằng góc ABC.
b) Tam giác BMD cân
c) Khi M di động trên cung nhỏ AC thì D chạy trên một cung tròn cố định và độ lớn
của góc BDC không đổi .
Bài 21 : Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B. Đ ờng tròn đờng
kính BD cắt BC tại E.Các đờng thẳngCD, AE lần lợt cắt đờng tròn tại các điểm thứ hai F,
G. Chứng minh:
a) tam giácABC đồng dạng với tam giácEBD.
b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc.
c) Chứng minh AD.AB = AG.AE
d) AC//FG.
e) Các đờng thẳng AC, DE, BF đồng quy.
Bài 22 : Cho hai đờng tròn (O
1
),(O
2
) tiếp xúc ngoài tại A. Một đờng thẳng (d) tiếp xúc với
(O
1
),(O
2
) lần lợt tại B, C.
a) Chứng minh tam giác ABC vuông.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia tiếp tuyến chung của hai đ ờng
tròn.
c) Chứng minh góc O
1
MO
2
bằng 90

0
Trang
12
Tài liệu ôn tập lớp 9 môn toán - năm học 2006 - 2007
d) Các tia BA, CA lần lợt cắt (O
1
),(O
2
) tại các giao điểm thứ hai D, E. Chứng minh
diện tích tam giácADE bằng diện tích tam giác ABC .
Bi 23 : Cho ng trũn (O) cú bỏn kớnh R v mt im S ngoi ng trũn (O). T S v
hai tip tuyn SA, SB vi ng trũn (O) (A, B l hai tip im). V ng thng a i qua
S ct ng trũn (O) ti hai im M, N vi M nm gia hai im S v N (ng thng a
khụng i qua tõm O).
a) Chng minh SO vuụng gúc vi AB.
b) Gi H l giao im ca SO v AB, gi I l trung im ca MN. Hai ng thng OI v
AB ct nhau ti im E. Chng minh IHSE l mt t giỏc ni tip.
c) Chng minh OI.OE = R
2
.
d) Cho bit SO = 2R v MN = Tớnh din tớch tam giỏc ESM theo R.
THI TT NGHIP TRUNG HC C S TP. H CH MINH
Khúa thi : 2002 - 2003
THI TT NGHIP TRUNG HC C S THNH PH H NI
* Mụn : Toỏn * Thi gian : 120 phỳt * Khúa thi : 2002 - 2003
A. Lớ thuyt (2 im) Thớ sinh chn mt trong hai sau :
1. Phỏt biu v vit dng tng quỏt ca quy tc khai phng mt tớch.ỏp dng tớnh :
2. nh ngha ng trũn.
Chng minh rng
ng kớnh l dõy cung ln nht ca ng

trũn.
B. Bi tp bt buc (8 im)
Bi 1 : (2,5 im) Cho biu thc :




















+
+
=
xxx
x
x
x

x
x
P
2
2
1
:
4
8
2
4
a) Rỳt gn P.
b) Tỡm giỏ tr ca x P = -1.
c) Tỡm m vi mi giỏ tr x > 9 ta cú :
Trang
13