Các bài toán hình học luyện thi ĐH

Chuyên đề: Hình học
CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC
LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 1. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC
=
3a
và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a
thể tích khối chóp A'.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA', B'C'.
ĐS:
3
1
;cos
2 4
a
ϕ
=
.
( Trích đề thi ĐH 2008 – A).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB =
3a
và mặt phẳng
(SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a
thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.
ĐS:
3
3 5
;cos
3 5
a
ϕ
=

.
( Trích đề thi ĐH 2008 – B).
Bài 3. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' =
2a
.
Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C.
ĐS:
3
2 7
;
2 7
a a
.
( Trích đề thi ĐH 2008 – D).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB=BC=a,
AD = 2a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Chứng minh
rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a.
ĐS:
3
3
a
.
( Trích đề thi CĐ 2008)
Bài 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a
2
. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm
của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP. Tính theo
a thể tích của khối tứ diện AMNP.
ĐS:

3
6
48
a
.
( Trích đề thi CĐ 2009)
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B, BA = BC = 2a. hình chiếu vuông góc
của S lên (ABC) là trung điểm E của AB, SE = 2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, SC. M là điểm di
động trên tia đối của tia BA sao cho góc
·
( )
90
o
ECM
α α
= <
và H là hình chiếu vuông góc của S lên MC.
Tính thể tích khối tứ diện EHIJ theo a,
α
và tìm
α
để thể tích đó lớn nhất. ĐS:
3
1
.sin 2
12
a
α
( Trích đề dự bị 1 - 2008 – A).
Bài 7. Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông, SA = SB = SC = a. Gọi M, N, E lần

lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC; D là điểm đối xứng của S qua E; I là giao điểm của AD và
(SMN). Chứng minh rằng
AD SI⊥
và tính theo a thể tích của khối tứ diện MBSI. ĐS:
3
36
a
( Trích đề dự bị 2 - 2008 – A).

1
Chuyên đề: Hình học
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh = a,
( )
3,SA a SA ABCD= ⊥
. Tính theo
a thể tích khối tứ diện SACD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC.
( Trích đề dự bị 1 - 2008 – B).
Bài 9. Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC, ABD là các tam giác đều cạnh = a, các mặt ACD, BCD vuông
góc nhau. Hãy tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD và tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AD, BC.
( Trích đề dự bị 2 - 2008 – B).
Bài 10. Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD, AC sao cho BC = 4BM,
AC = 3AP, BD = 2BN. Mp (MNP) cắt AD tại Q. tính tỉ số
AQ
AD
và tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện
ABCD được phân chia bởi mp (MNP). ĐS:
3
5
AQ
AD

=
;
1
2
7
13
V
V
=
( Trích đề dự bị 1 - 2008 – D).
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh SA
vuông góc với đáy và
2SA a=
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác
SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến (SCD). ĐS:
3
a
( Trích đề thi ĐH 2007 – D).
Bài 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D
qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh
MN BD⊥
và tính
theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. ĐS:
2
4
a
( Trích đề thi ĐH 2007 – B).
Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAD) là tam giác đều và nằm trong
mp vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh
AM BP⊥

và tính thể tích của khối tứ diện CMNP. ĐS:
3
3
96
a
( Trích đề thi ĐH 2007 – A).
Bài 14. Cho lăng trụ đứng
1 1 1
.ABC A B C
có AB = a, AC = 2a,
1
2 5AA a=
và
·
120
o
BAC =
. Gọi M là trung
điểm cạnh CC
1
. Chứng minh
1
MB MA⊥
và tính
( )
1
,d A A BM
. ĐS:
a 5
.

3
( Trích đề dự bị 1 - 2007 – A).
Bài 15. Cho hình chóp S.ABC có góc giữa (SBC) và (ABC) là 60
o
; ABC và SBC là các tam giác đều cạnh
a. tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC). ĐS:
3a
13
( Trích đề dự bị 2 - 2007 – A).
Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O,
SA ⊥
đáy. Cho
, 2AB a SA a= =
. Gọi H, K
lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh
( )
SC AHK⊥
và tính thể tích khối chóp OAHK.
ĐS:
3
2a
27
.
( Trích đề dự bị 1 - 2007 – B).
Bài 17. Trong mp (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao
cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy S sao cho góc giữa (SAB) và (SBC) là 60
o
. Gọi
H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh rằng tam giác AHK vuông và tính thể tích của

2
Chun đề: Hình học
khối chóp S.ABC. ĐS:
3
6
12
R
.
(Trích đề dự bị 2 - 2007 – B).
Bài 18. Cho lăng trụ đứng
1 1 1
.ABC A B C
có đáy ABC là tam giác vng, AB = AC = a,
1
2AA a=
. Gọi M,
N lần lượt là trung điểm của
1 1
,AA BC
. Chứng minh MN là đường vng góc chung của AA
1
và BC
1
. Tính
thể tích khối chóp
1 1
MA BC
. ĐS:
3
2

12
a
.
( Trích đề dự bị 1 - 2007 – D).
Bài 19. Cho lăng trụ đứng
1 1 1
.ABC A B C
có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA
1
.
Chứng minh
1
BM B C⊥
và tính
( )
1
,d BM B C
. ĐS:
a 30
10
.
( Trích đề dự bị 2 - 2007 – D).
Bài 20. Ch hình hộp đứng ABCD. A′B′C′D′ có các cạnh AB = AD = a,
3
'
2
a
AA =
và
·

60
o
BAD =
. Gọi M
và N lần lượt là trung điểmcủa các cạnh A′D′ và A′B′ . Chứng minh
( )
'AC BDMN⊥
. Tính thể tích khối
chóp A.BDMN ĐS:
3
3
16
a
.
( Trích đề dự bị 1 - 2006 – A).
Bài 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh
SA ⊥
đáy,
cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60
0
. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho
3
3
a
AM =
. Mặt
phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM ĐS:
3
10 3
27

a
.
( Trích đề dự bị 2 - 2006 – A).
Bài 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
·
60
o
BAD =
,
SA
⊥
đáy, SA = a. Gọi
C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC’ và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình
chóp lần lượt tại B’,D ’ . Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’. ĐS:
3
3
18
a
.
( Trích đề dự bị 1 - 2006 – B).
Bài 23. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh
bên AA’ = b. Gọi α là góc giữa 2 mp (ABC) và ( A’BC). Tính tgα và thể tích khối chóp A’BB’C’C.
ĐS:
2 2
2 3
tan
b a
a
α
−

=
và
2 2 2
3
6
a b a
V
−
=
.
( Trích đề dự bị 2 - 2006 – B).
Bài 24. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi SH là đường cao của hình
chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mp bên (SBC) bằng b. Tính thể tích khối
chóp S.ABCD. ĐS:
3
2 2
2
3 16
a b
a b−
.
( Trích đề dự bị 1 - 2006 – D).

3
Chun đề: Hình học
Bài 25. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a và điểm K thuộc cạnh CC’ sao cho
2
3
a
CK =

. Mặt phẳng (α ) đi qua A, K và song song với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa
diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó. ĐS:
3 3
2
;
3 3
a a
.
( Trích đề dự bị 2 - 2006 – D).
Bài 26. Tính thể tích hình chóp S.ABC biết , SA = a SB = b SC = c,
·
·
60 , 90
o o
ASB BSC= =
,
·
120
o
CSA =
.
ĐS:
2
12
abc
.
Bài 27. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy = a, chiều cao = a. Gọi E, K lần lượt là trung điểm
của các cạnh AD và BC. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.EBK.
ĐS:
29

8
a
.
Bài 28. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh =
2 6
. Các điểm
M, N theo thứ tự là trung điểm của cạnh AB, AC . Tính thể tích khối chóp S.AMN và bán kính mặt cầu nội
tiếp hình chóp đó . ĐS:
3 3
;
2
4 2 2
V R= =
+
.
Bài 29. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại đỉnh B, AB = a, SA = 2a và SA
vng góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng qua A vng góc với SC cắt SB, SC lần lượt tại H, K. Tính theo
a thể tích khối tứ diện SAHK. ĐS:
3
8
45
a
.
( Trích đề dự bị 2 - 2008 – D).
Bài 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a;
góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60
0
. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng
(SBI) và (SCI) cùng vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
ĐS:

3
3 15
5
a
.
( Trích đề thi ĐH 2009 – A).
Bài 31. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng
(ABC) bằng 60
0
; tam giác ABC vng tại C và
·
BAC
= 60
0
. Hình chiếu vng góc của điểm B’ lên mặt
phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a.
ĐS:
3
9
208
a
.
(Trích đề thi ĐH 2009 – B).
Bài 32. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vng tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C
= 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ
diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). ĐS:
3
4
9
IABC

a
V =
; d(A,IBC)
2 5
5
a
=
.
(Trích đề thi ĐH 2009 – D).

4