Đề cương ôn tập toán vào THPT

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 THPT - Năm học 2010-2011
A. Những công thức biến đổi căn thức:
1)
AA =
2
2)
BAAB .=
( với A

0 và B

0 )
3)
B
A
B
A
=
( với A

0 và B > 0 )
4)
BABA =
2
(với B

0 )
5)
BABA
2
=

( với A

0 và B

0 )

BABA
2
=
( với A < 0 và B

0 )
6)
B
AB
B
A
=
( với AB

0 và B

0 )
7)
B
BA
B
A
=
( với B > 0 )

8)
2
)(
BA
BAC
BA
C

=


( Với A

0 và A

B
2
)
9)
BA
BAC
BA
C

=

)(
( với A

0, B

0 và A

B )
B. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau:
a)
32 +x
b)
12
3
+ x
c)
1
2
x
d)
2
2
1
x
HD: a)
2
3
x
b)
2
1
<x
c)

1
0
x
x
d)
0x
Bài 2: Phân tích thành nhân tử ( với x

0 )
a)
8632 +++
b) x
2
5 c) x - 4 d)
1xx
HD: a)
( )( )
1232 ++
b)
( )( )
55 + xx
c)
( )( )
22 + xx
d)

( )( )
11 ++ xxx
Bài 3: Đa các biểu thức sau về dạng bình phơng.
a)
223 +
b)
83
c)
549 +
d)
7823
HD: a)
( )
2
12 +
b)
( )
2
12
c)
( )
2
25 +
d)
( )
2
74
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
( )

2
174
b)
2832
146
+
+
c)
5
5
2
+

x
x
(với x

5) d)
1
1


x
xx
( với
1,0 xx
)
Biên tập: Hồ Hiếu Giang -Giáo viên trờng THCS Nghĩa Khánh Trang 1
Phần I: Các bài toán về căn thức
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 THPT - Năm học 2010-2011

HD: a)
417
b)
2
2
c)
5x
d)
1++ xx
Bài 5: Tìm giá trị của x

Z để các biểu thức sau có giá trị nguyên.
a)
2
3
+x
( với x

0) b)
1
5
+
+
x
x
( với x

0) c)
2
2

+
x
x
( với x

0 và x

4)
HD: a)
{ }
1=x
b)
{ }
9;1;0=x
c)
{ }
36;16;9;1;0=x
Bài 6: Giải các phơng trình, bất phơng trình sau:
a)
35 =x
b)
523 x
c)
2
3
3
=

+

x
x
d)
1
1
3
>
x
HD: a) x = 14 b)
2
3
1 x
c) x = 81 d)
161 << x
C. Bài tập tổng hợp:
Bài 1: Cho biểu thức: A =
1
1
1
1
+



+
x
x
x
xx
a)Tìm ĐKXĐ và rút gọn A.

b) Tính giá trị biểu thức A khi x =
4
9
.
c) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1.
HD: a) ĐKXĐ là:





1
0
x
x
, rút gọn biểu thức ta có: A =
1x
x
.
b) x =
4
9
thì A = 3
c)
10
<
x
.
Bài 2: Cho biểu thức: B =
4

52
2
2
2
1

+

+
+

+
x
x
x
x
x
x
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức B.
b) Tìm x để B = 2.
HD: a) Điều kiện:





4
0
x
x

, rút gọn biểu thức ta có: B =
2
3
+x
x
.
c) B = 2

x = 16.
Bài 3: Cho biểu thức: C =









+


+

1
2
2
1
:
1
1
1
a
a
a
a
aa
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức C.
b) Tìm giá trị a để C dơng.
HD: a) Điều kiện:







>
1
4
0
a

a
a
, rút gọn biểu thức ta có: C =
a
a
3
2
b) C dơng khi a > 4.
Biên tập: Hồ Hiếu Giang -Giáo viên trờng THCS Nghĩa Khánh Trang 2
Tµi liƯu «n thi vµo líp 10 THPT - N¨m häc 2010-2011
Bµi 4: Cho biĨu thøc D =
x
x
x
x
x
x
4
4
.
22
−









+
+
−
a) T×m ®iỊu kiƯn x¸c ®Þnh vµ rót gän biĨu thøc D.
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa D khi x =
526 −
.
HD: a) §iỊu kiƯn:



≠
>
4
0
x
x
, rót gän biĨu thøc ta cã: D =
x
.
b) D =
15 −
Bµi 5: Cho biĨu thøc E =
1
3
11
−
−
+
−

−
+
x
x
x
x
x
x
a) T×m ®iỊu kiƯn x¸c ®Þnh vµ rót gän biĨu thøc E.
b) T×m x ®Ĩ E = -1.
HD: a) §iỊu kiƯn:



≠
>
1
0
x
x
,rót gän biĨu thøc ta cã: E =
x+
−
1
3
.
c) x = 4.
Bµi 6: Cho biĨu thøc: F =
8
44

.
2
2
2
2 ++








+
−
−
xx
xx
a) Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức F.
b) Tính giá trò của biểu thức F khi x=3 +
8
;
c) Tìm giá trò nguyên của x để biểu thức F có giá trò nguyên ?
HD: a) §KX§:



≠
≥
4

0
x
x
,rót gän biĨu thøc ta cã: F =
2
2
−
+
x
x
b) x = 3+
( )
2
122238 +=+=

⇒
A =
122 −
c) BiĨu thøc A nguyªn khi:
{ }
1;2;42 ±±±=−x

⇒
x = {0; 1; 9; 16; 36}
D. Bµi tËp lun tËp:
Bµi1: Cho biĨu thøc :

+
−+
−

+
+
=
6
5
3
2
aaa
a
P
a−2
1
a) T×n §KX§ vµ rót gän P.
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa P khi: a =
347 −
.
c) T×m gi¸ trÞ cđa a ®Ĩ P < 1.
Bµi2 : Cho biĨu thøc: Q=








−
+
−
−

+








−
− 1
2
2
1
:
1
1
1
a
a
a
a
aa
a. Rót gän Q.
b. T×m gi¸ trÞ cđa a ®Ĩ Q d¬ng.
Bµi3: Cho biĨu thøc: A =
x
x
x
x

xx
x
−
+
−
−
+
−
+−
−
3
12
2
3
65
92
a, T×m §KX§ vµ rót gän biĨu thøc A.
Biªn tËp: Hå HiÕu Giang -–Gi¸o viªn trêng THCS NghÜa Kh¸nh Trang 3
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 THPT - Năm học 2010-2011
b, Tìm các giá trị của x để A > 1.
c, Tìm các giá trị của x

Z để A

Z.
Bài4 : Cho biểu thức: C =
1
2
1
3

1
1
+
+
+

+ xxxxx
a, Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức C.
b, Tìm các giá trị của x để C = 1.
Bài5: Cho biểu thức: M =
.
2
x)(1
1x2x
2x
1x
2x
2










++
+

a) Rút gọn M.
b) Tìm các giá trị của x để M dơng.
c) Tìm giá trị lớn nhất của M.
Bài6: Cho biểu thức: P =









+
+











1

2
1
1
:
1
1
x
xxxx
x
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P > 0
c) Tìm x để P = 6.
A. Kiến thức cơ bản về hàm số - Đồ thị của hàm số:
Hàm số bậc nhất một ẩn
1) Hàm số bậc nhất một ẩn có dạng: y = ax + b (a

0).
2) Hàm số đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi a < 0.
3) Đồ thị hàm số là một đờng thẳng cắt trục tung tại điểm ( 0; b ) cắt trục hoành tại
điểm ( -
a
b
; 0 ). Khi b = 0 đồ thị hàm số đi qua gốc toạ độ.
4) Cho hai đờng thẳng y = ax + b (d) và y = ax + b (d) (a; a

0).
(d) cắt (d) khi a

a.
(d) // (d) khi a = a và b

b.
(d)

(d) khi a = a và b = b.
Hàm số bậc hai y = ax
2
( a

0)
1)Hàm số y = ax
2
(a

0)
Biên tập: Hồ Hiếu Giang -Giáo viên trờng THCS Nghĩa Khánh Trang 4
Phần II: Hàm số và đồ thị
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 THPT - Năm học 2010-2011
Nếu a > 0 hàm số đồng biến khi x > 0, nghịch biíen khi x < 0.
Nếu a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0.
2) Đồ thị của hàm số là một đờng cong Parapol nhận trục tung làm trục đối xứng và
nhận gốc toạ độ làm đỉnh. Khi a < 0 đồ thị nằm phía dới trục hoành và khi a > 0 đồ thị
nằm phía trên trục hoành.
B. Bài tập cơ bản về hàm số - Đồ thị hàm số:
Bài 1 : Cho hai hàm số : y = 2x - 1 và y =
3
2
x +
3
1

.
a)Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một mặt phẳng toạ độ.
b) Tìm toạ độ giao điểm của chúng.
HD : a) Xác định giao điểm của đồ thị với hai trục toạ độ, sau đó kẻ đờng thẳng đi qua
hai điểm đó.
b) Toạ độ giao điểm (1 ; 1).
Bài 2 : Viết phơng trình đờng thẳng y = ax + b biết :
a) Đồ thị hàm số của nó có tung độ gốc bằng 3 và đi qua điểm A (-1 ; 2).
b) Song song với đờng thẳng y =
3
2

x và đi qua điểm B(3 ; -1)
HD : a) y = x + 3 b) y =
3
2

x +1.
Bài 3 : Cho hai hàm số : y = 2x
2
và y = x m
a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một mặt phẳng toạ độ khi m = -1 và tìm toạ độ giao
điểm của hai đồ thị hai hàm số trên.
b) Với giá trị nào của m thì hai đồ thị hai hàm số trên cắt nhau tại hai điểm.
HD : a) Vẽ hai đồ thị : y = 2x
2
và y = x +1.
b) 2x
2
= x m có hai nghiệm phân biệt

m <
8
1
D. Bài tập luyện tập:
Bài 1 : Cho hàm số y = ax + 2. Hãy xác định hệ số a, biết :
a) Hàm số là một đờng thẳng song song với đờng thẳng y = - 4x + 1.
b) Đồ thị hàm số đi qua điểm a( 2 ; -3).
c) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng - 2.
Bài 2 : Cho đờng thẳng y = (m 2)x + n (m

2) (d)
Tìm các giá trị m, n trong các trờng hợp sau :
a) Đờng thẳng (d) đi qua hai điểm A(-1 ; 2) và B(3 ; - 4)
b) Song song với đờng thẳng 3y + 2x = 1 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
Bài 3 : Cho hàm số y =
2
1
x
2
và y = x + m - 1
a) Vẽ hai đồ thị của hai hàm số trên cùng một mặt phẳng toạ độ khi m =
2
5
. Tìm toạ độ
giao điểm.
b) Tìm m để hai đồ thị trên chỉ có một điểm chung.
Biên tập: Hồ Hiếu Giang -Giáo viên trờng THCS Nghĩa Khánh Trang 5
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 THPT - Năm học 2010-2011
A. Kiến thức cơ bản về ph ơng trình bậc hai:

1) Công thức nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0)

= b
2
4ac
Nếu

> 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
a
b
x
a
b
x
2
;
2
21

=
+
=
Nếu

= 0 phơng trình có nghiệm kép :
a

b
xx
2
21
==
Nếu

< 0 phơng trình vô nghiệm.
2) Công thức nghiệm thu gọn của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0)
'
= b
2
ac (
2
'
b
b =
)
Nếu
'
> 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
a
b
x
a
b

x
''
;
''
21

=
+
=
Nếu
'
= 0 phơng trình có nghiệm kép :
a
b
xx
'
21
==
Nếu
'
< 0 phơng trình vô nghiệm.
3) Hệ thức Viét và ứng dụng :
a) Gọi x
1

; x
2
là hai nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0) thì :







=
=+
a
c
xx
a
b
xx
21
21
.
b) Cho phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0) nếu :
a + b + c = 0 thì phơng trình có nghiệm :
a
c
xx ==
21

;1
a b + c = 0 thì phơng trình có nghiệm :
a
c
xx ==
21
;1
Biên tập: Hồ Hiếu Giang -Giáo viên trờng THCS Nghĩa Khánh Trang 6
Phần III: Phơng trình bậc hai
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 THPT - Năm học 2010-2011
c) Cho hai số u và v có :



=
=+
Pvu
Svu
.

thì u và v là nghiệm của phơng trình X
2
SX + P = 0 ( ĐK để phơng trình có nghiệm S
2

4P).
4) Điều kiện nghiệm của phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0.
Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu khi :

>

0.
0
21
xx
Phơng trình có hai nghiệm trái dấu khi :
0.
21
<xx
Phơng trình có hai nghiệm dơng khi :





>+
>

0
0.
0
21
21
xx
xx
Phơng trình có hai nghiệm âm khi :

<+
>

0
0.
0
21
21
xx
xx
B. Bài tập cơ bản về ph ơng trình bậc hai :
Bài 1 : Giải các phơng trình sau :
a) x
4
9x
2
+ 18 = 0 b) ( x
2
+ 3x - 2)(x -1) = 0 c)
( )( )
13
12
1
2
3 +

=

+
+ xxxx
x
HD : a) x
1
= x
2
= 1, x
3
= -1 và x
4
= 3 b) x
1,2
=
2
173
; x
3
= 1 c) x = 2.
Bài 2 : Cho phơng trình x
2
(m + 2)x + 2m = 0
a) Giải phơng trình với m = -1.
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm.
c) Tính tổng và tích hai nghiệm của phơng trình theo m.
c) Gọi x
1

; x
2
là hai nghiệm của phơng trình, tìm m để (x
1

+ x
2
)
2
- x
1

. x
2
= 5.
HD : a) x
1

= -1; x
2
= 2.
b)



0


m
c)

=
+=+
mxx
mxx
2.
2
21
21
d)
21 =m
Bài 3 : Cho phơng trình : 2x
2
(m + 3)x + m = 0 (1)
a) Giải phơng trình (1) với m = 2.
b) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (1) có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn
x
1

+ x
2
=
2
5

x
1

. x
2

c) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
21
xx
Biên tập: Hồ Hiếu Giang -Giáo viên trờng THCS Nghĩa Khánh Trang 7
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 THPT - Năm học 2010-2011
HD : a) x
1
=
2
1
; x
2
= 2 b) m = 2 c) m = 1.
Bài 4 : Cho phơng trình x
2
+ (m 2)x + m + 5 = 0 (1)
a) Giải phơng trình (1) với m = - 2.
b) Tìm các giá trị của tham số m để các nghiệm x
1

; x
2
của phơng trình (1) thoả mãn
x
1
2

+ x
2
2
= 10.
HD : a) x
1
=1 ; x
2
= 3. b)
2
0166
0168
2
2
=





=

m

mm
mm
Bài 5 : Cho phơng trình : x
2
2mx + m
2
-1 = 0 (1)
a) Giải phơng trình với m = 2.
b) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phơng trình có tổng bình phơng các nghiệm bằng 4.
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm âm.
e) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 2, tìm nghiệm còn lại.
HD : a) x
1
=1 ; x
2
= 3. b)

= 1 > 0 với

m c) x
1
2

+ x
2
2
= 2m
2
+ 2 = 4

m =

1
d)
1
01
02
2
<



>
<
m
m
m
e)



=
=




=
=

4
0
3
1
2
2
x
x
m
m
Bài 6 :
Cho phơng trình : x
2
2(m - 1)x + m
2
3 = 0
( 1 )
; m là tham số.
a)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm.
b) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia.
HD: a)
Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi



0

(m - 1)
2
m

2
3

0

4 2m

0

m

2.
b) Với m

2 thì (1) có 2 nghiệm. Gọi một nghiệm của (1) là a thì nghiệm kia là 3a . Theo Viet ,ta
có:
2
3 2 2
.3 3
a a m
a a m
+ =


=


a=
1
2

m


3(
1
2
m
)
2
= m
2
3

m
2
+ 6m 15 = 0

m = 3

2
6
( thõa mãn điều kiện).
C. Bài tập luyện tập:
Bài 1 : Giải các phơng trình sau :
a)
2
3
1
52

=


x
x
x
x
b) (4x
2
- 25)(2x
2
7x - 9) = 0 c) x
4
+ 5x
2
+ 4 = 0
d) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24.
Bài 2 : Cho phơng trình x
2
+ (m + 1)x + m = 0 (1)
a) Giải phơng trình với m = -2.
b) Chứng minh phơng trình (1) luôn có nghiệm. Tìm nghiệm của (1).
c) Gọi x
1

; x
2
là hai nghiệm của phơng trình (1), tìm m để :
2
11

21
=+
xx
.
d) Gọi x
1

; x
2
là hai nghiệm của phơng trình (1), tìm m để biểu thức P = x
1
2

+ x
2
2
đạt giá
trị nhỏ nhất.
Bài 3 : Cho phơng trình x
2
2(m 1)x + m
2
- 3m = 0
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 0. Tìm nghiệm còn lại.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1

; x
2

thoả mãn x
1
2

+ x
2
2
= 8.
Biên tập: Hồ Hiếu Giang -Giáo viên trờng THCS Nghĩa Khánh Trang 8
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 THPT - Năm học 2010-2011
d) Tìm m để phơng trình có đúng một nghiệm âm.
e) Tìm một hệ thức liên hệ giữa x
1

; x
2
không phụ thuộc vào m.
A. Các b ớc giải bài toán bằng cách lập hệ ph ơng trình:
B ớc 1 : Lập hệ phơng trình
1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thờng ẩn là đại lợng mà bài toán yêu cầu tìm).
2) Biểu thị các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đã biết.
3) Lập hệ phơng trình biểu thị mối quan hệ giữa các lợng.
B ớc 2 : Giải hệ phơng trình
B ớc 3 : Kết luận bài toán.
B. Bài tập cơ bản:
Bài 1 : Giải các hệ phơng trình sau :
a)

=+
=
22
532
yx
yx
b)







=+
=+
4
111
3
121
yx
yx
c)



+=+
=+
1)2)(1(
)3)(2(

xyyx
xyyx
HD : a)



=
=
1
4
y
x
b) Đặt







=
=

=
=
12
1
6
1
1
1
v
u
y
v
x
u




=
=
12
6
y
x
c)



=
=

5
2
y
x
Bài 2 : Một ô tô và một xe đạp chuyển động đi từ hai đầu một quãng đờng, sau 3 giờ thì
hai xe gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một địa điểm, sau 1 giờ hai xe cách
nhau 28 km. Tính vận tốc xe đạp và ô tô.
HD : Gọi vận tốc xe đạp là x (km/h), vận tốc của ô tô là y (km/h).
ta có hệ phơng trình :



=
=




=
=+
40
12
28
15633
y
x
xy
yx
Vậy vận tốc xe đạp là 12 (km/h), vận tốc của ô tô là 40 (km/h).
Bài 3 : Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với

vận tốc 35 km/h thì sẽ đến chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h
thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính quãng đờng AB và thời gian dự định đi
từ A đến B.
HD : Gọi quãng đờng AB là x(km), thời gian ô tô dự định đi từ A đến B là y (giờ).
(x > 0 ; y > 1).
Ta có hệ phơng trình :



=
=








=
=
8
350
1
50
2
35
y
x
x

y
y
x
Vậy quãng đờng AB là 350(km), thời gian ô tô dự định đi từ A đến B là 8 (giờ).
Biên tập: Hồ Hiếu Giang -Giáo viên trờng THCS Nghĩa Khánh Trang 9
Phần IV: Giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 THPT - Năm học 2010-2011
Bài 4 : Hai ca nô cùng khởi hành từ A đến B cách nhau 85 km và đi ngợc chiều nhau.
Sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc thật của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca nô
đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô đi ngợc dòng là 9 km/h và vận tốc dòng nớc là
3km/h.
HD : Gọi vận tốc thật của ca nô đi xuôi dòng là x(km/h), vận tốc ca nô đi ngợc dòng là y
(km/h) (x,y > 3)
Theo bài ra ta có phơng trình :



=
=






=++
=+
24
27
85)3(

3
5
)3(
3
5
9)3(3
y
x
yx
yx
Vậy vận tốc thật của ca nô đi xuôi dòng là 27(km/h), vận tốc ca nô đi ngợc dòng là 24
(km/h)
Bài 5 : Hai đội công nhân cùng làm một công việc trong 16 ngày thì xong. Nếu đội thứ
nhất làm 3 ngày, đội thứ hai làm trong 6 ngày thì hoàn thành đợc
4
1
công việc. Hỏi nếu
làm một mình thì mỗi đội hoàn thành công việc đó trong bao lâu ?
HD : Gọi thời gian đội thứ nhất hoàn thành công việc một mình là x ( ngày). Thời gian
đội thứ hai hoàn thành công việc một mình là y ( ngày).



=
=

=+
=+

48
24
4
163
16
111
y
x
yx
yx
. Vậy thời gian đội thứ nhất hoàn thành công việc một mình là
24 ( ngày). Thời gian đội thứ hai hoàn thành công việc một mình là 48 ( ngày).
Bài 6 : Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1 giờ 20 phút đầy bể. Nếu mở vòi
thứ nhất trong 10 phút, vòi thứ hai trong 12 phút thì đợc
15
2
bể nớc. Hỏi nếu chảy một
mình thì mỗi vòi chảy trong bao lâu đầy bể ?
HD : Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x (phút), thời gian vòi 2 chảy một
mình đầy bể là y (phút).



=

=








=+
=+

240
120
15
21210
1
8080
y
x
yx
yx
. Vậy thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là 120 (phút), thời
gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là 240 (phút).
Bài 7 : Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45 m. Tính diện
tích thửa ruộng, biết rằng nếu chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng lên 3 lần thì
chu vi thửa ruộng không thay đổi.
HD : Gọi chiều rộng của thửa ruộng là x (m), chiều dài của thửa ruộng là y (m). ( x> 0,
y > 0).

=
=






+=+
=

60
15
)
2
3(2)(2
45
y
x
y
xyx
xy


Diện tích của thửa ruộng là : 900 m
2
.
Biên tập: Hồ Hiếu Giang -Giáo viên trờng THCS Nghĩa Khánh Trang 10

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 THPT - Năm học 2010-2011
Bài 8 : Tìm hai số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số của nó bằng 11, nếu đổi
chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì nó tăng thêm 27 đơn vị.
HD : Gọi số tự nhiên có hai chữ số là
ab
(
90,90 < ba
).



=
=




=
=+

7
4
27
11
b
a
abba
ba
. Vậy số cần tìm là 47.
C. Bài tập luyện tập:

Bài 1 : Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với một vận tốc đã định. nếu vận tốc tăng thêm
20 km/h thì thời gian giảm đi 1 giờ, nếu vận tốc giảm bớt đi 10 km/h thì thời gian tăng
lên 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của ô tô.
Bài 2 : Hai ngời ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc , đi
ngợc chiều nhau và gặp nhau tại một địa điểm cách A 2 km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên
vận tốc, nhng ngời đi chậm hơn xuất phát trớc ngời kia 6 phút thì họ sễ gặp nhau ở chính
giữa quãng đờng. Tính vận tốc của mỗi ngời.
Bài 3 : Quãng đờng AB gồm một đoạn lên dốc dài 4km và một đoạn xuống dốc dài
5km. Một ngời đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút, từ B về A hết 41 phút ( vận tốc lên dốc
và xuống dốc lúc đi và lúc về nh nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc và vận tốc lúc xuống
dốc.
Bài 4 : Hai đội lao động nếu cùng làm chung thì sau 4 ngày sễ hoàn thành công việc.
nhng lúc đầu, đội một làm đợc 9 ngày thì đội hai mới tới và hai đội làm một ngày nữa
thì công việc mới hoàn thành. Hỏi mỗi đội làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong công
việc ?
Bài 5 : Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 30 phút sẽ đày bể. Nếu từng
vòi chảy riêng thì vòi I chảy trong 3 giờ băng nớc vòi II chảy vào bể trong 2 giờ. Hỏi
nếu chảy một mình thì mỗi vòi chảy trong bao lâu đầy bể ?
Bài 6 : Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị
là 3 đơn vị. Nếu đổi hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì nó giảm 27 đơn
vị.
Bài 7: Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5 m thì
diện tích tăng 500 m
2
. Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì diện tích
giảm 600 m
2
. Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu.
A. Các b ớc giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình:
B ớc 1 : Lập phơng trình

1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thờng ẩn là đại lợng mà bài toán yêu cầu tìm).
2) Biểu thị các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đã biết.
3) Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ giữa các lợng.
B ớc 2 : Giải phơng trình
B ớc 3 : Kết luận bài toán.
B. Bài tập cơ bản:
Biên tập: Hồ Hiếu Giang -Giáo viên trờng THCS Nghĩa Khánh Trang 11
Phần V: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 THPT - Năm học 2010-2011
Bài 1 : Hai ca nô cùng khởi hành từ A đến B cách nhau 85km và đi ngợc chiều nhau.
Sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc thật của mỗi ca nô (vận tốc ca nô khi nớc
yên lặng và không đổi) biết rằng vận tốc ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô ngợc
dòng là 9km/h và vận tốc dòng nớc là 3km/h.
HD : Gọi x (km/h) là vận tốc của ca nô đi xuôi dòng, x > 0.


3
5
x +
3
5
(x 9) = 85

x = 30. Vậy vận tốc thật của ca nô đi xuôi dòng là : 27
km/h. Vận tốc thật của ca nô đi ngợc dòng là 24km/h.
Bài 2 : Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 45 km. Một ca nô đi từ A đến B nghỉ ở
B 30 phút rồi quay trở lại A. Thời gian kể từ lúc đi đến lúc trở về đến bến A là 4 giờ 30
phút. Tính vận tốc ca nô khi nớc yên lặng, biết vận tốc của dòng nớc là 6 km/h.
HD : Gọi x(km/h) là vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng (x > 6).
Ta có phơng trình :

072452
2
1
4
2
1
6
45
6
45
2
==+
+
+

xx
xx
, phơng trình chỉ có nghiệm x
= 24 (TM). Vậy vận tốc của ca nô khi dòng nớc yên lặng là 24 km/h.
Bài 3 : Một ngời dự định làm 120 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Khi làm mối
giờ thêm 2 sản phẩm nên ngời đó đã làm xong trớc dự định 1 giờ mà còn làm thêm 6 sản
phẩm nữa. Hỏi ngời đó dự định mỗi giờ làm đợc bao nhiêu sản phẩm ?
HD : Gọi x là số sản phẩm ngời đó dự định làm trong một giờ ( x > 0)
024081
2
126120
2
=+=
+
xx

xx
, phơng trình chỉ có nghiệm x = 12 (TM). Vậy dự định
mỗi giờ làm đợc 12 sản phẩm.
B i 4: Hai đội cùng đào một con mơng. Nếu mỗi đội làm một mình cả con mơng thì
thời gian tổng cộng hai đội phải làm là 25 giờ. Nếu hai đội cùng làm chung thì công việc
hoàn thành trong 6 giờ. Tính xem mỗi đội làm một mình xong cả con mơng trong bao
lâu?
HD: Gọi thời gian đội I hoàn thành công việc một mình là x (giờ). 25 > x > 0. Thời gian
đội hai hoàn thành công việc một mình trong 25 x ngày.
015025
6
1
25
11
2
=+=

+ xx
xx
15;10
21
== xx
. Thời gian đội I hoàn thành công
việc một mình là 10 (giờ). Thời gian đội II hoàn thành công việc một mình là 15 (giờ).
Hoặc thời gian đội I hoàn thành công việc một mình là 15 (giờ). Thời gian đội II hoàn
thành công việc một mình là 10 (giờ).
Bài 5: Nếu hai vòi nớc cùng chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút đầy bể. Nếu mở
riêng từng vòi thì vòi thứ nhất làm đầy nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Nếu mở riêng
từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể?
HD: Gọi x ( giờ) là thời gian vòi I chảy một mình đầy bể thì x + 2 ( giờ) là thời gian vòi

II chảy một mình đầy bể. Ta có phơng trình:
035236
35
12
2
11
2
==
+
+ xx
xx
.
Bài 6: Trong một phòng họp có 80 ngời, đợc sắp xếp ngồi đều trên các ghế. Nếu ta bớt
đi 2 dãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm 2 ngời mới đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có
mấy dãy ghế và mỗi dãy đợc xếp bao nhiêu chỗ ngồi?
HD: Gọi x là số dãy ghế trong phòng họp, x

N
*
, thì chỗ ngồi trên một dãy là
x
80
.
+ Nếu bớt đi hai ghế thì số chỗ ngồi trên mỗi dãy là :
2
80
x
.
Biên tập: Hồ Hiếu Giang -Giáo viên trờng THCS Nghĩa Khánh Trang 12
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 THPT - Năm học 2010-2011

+ Theo bài ra ta có phơng trình:
2
80
x
-
x
80
= 2

x
1
= 9; x
2
= - 8. Vậy số dãy ghế trong
phòng họp là 10 dãy, mỗi dãy đợc xếp 8 chỗ ngồi.
C. Bài tập luyện tập:
Bài 1 : Quãng sông từ A đến B dài 36 km. Một ca nô xuôi dòng từ A đến B rồi ngợc
dòng từ B trở về A hết tổng cộng 5 giờ. Tính vận tốc thực của ca nô biết vận tốc dòng n-
ớc là 3 km/h.
Bài 2 : Lúc 7 giờ một ô tô đi từ A đến B. Lúc 7 giờ 30 phút một xe máy đi từ B đến A
với vận tốc kém hơn vận tốc ô tô là 24 km/h. Ô tô đến B đợc 1 giờ 20 phút thì xe máy
mới đến A. Tính vận tốc của mỗi xe, biết quãng đờng AB dài 120 km.
Bài 3: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A . Sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc ca
nô chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20 Km.
Hỏi vận tốc của thuyền , biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12 Km/h.
Bài 4 : Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đờng dài 120 km
trong một thời gian đã định . Đi đợc một nửa quãng đờng xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi
đúng giờ , xe phải tăng vận tốc thêm 2 Km/h trên nửa quãng đờng còn lại . Tính thời
gian xe lăn bánh trên đờng .
Bài 5 : Một ôtô dự định đi từ A đén B cách nhau 120 Km trong một thời gian quy định .

Sau khi đi đợc 1 giờ ôtô bị chắn đờng bởi xe hoả 10 phút . Do đó , để đến B đúng hạn ,
xe phải tăng vận tốc thêm 6 Km/h . Tính vận tốc lúc đầu của ôtô.
Bài 6 : Một đôi công nhân dự định hoàn thành công việc với 500 ngày công thợ. Hãy tín
số ngời của đội, biết rằng nếu bổ sung thêm 5 công nhân thì số ngày hoàn thành công
việc giảm 5 ngày.
Bài 7 : Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ . Nếu mỗi
đội làm một mình để làm xong công việc ấy , thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với
đội thứ hai là 6 giờ . Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc ấy trong bao lâu?
Bài 8: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng . Trớc khi làm việc đội xe đó đợc bổ
xung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định . Hỏi đội xe lúc đầu có
bao nhiêu xe ? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lợng bằng nhau.
Bài 9: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không chứa nớc đã làm đầy bể trong 5 giờ
50 phút . Nếu chảy riêng thì vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 4 giờ .
Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy trong bao lâu sẽ đầy bể ?
Bài 10: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không có nớc và chảy đầy bể mất 1 giờ
48 phút . Nếu chảy riêng , vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai trong 1 giờ
30 phút . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu ?
Biên tập: Hồ Hiếu Giang -Giáo viên trờng THCS Nghĩa Khánh Trang 13
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 THPT - Năm học 2010-2011
A. Những kiến thức cơ bản:
I. Hệ thức l ợng trong tam giác vuông:

a
c
b
h
C
B
A
H

b'
c'


c
b
a
A
B
C
II. tóm tắt một số kiến thức cơ bản về đ ờng tròn:
1) Đờng kính và dây:
+ Trong một đờng tròn, đờng kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó.
+ Trong một đờng tròn, đờng kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì
vuông góc với dây đó.
2) Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây.
+ Trong một đờng tròn hai dây bằng nhau thì cách đều tâm, hai dây cách đều tâm thì
bằng nhau.
+ Trong một đờng tròn dây nào gần tâm hơn thì lớn hơn, dây nào lớn hơn thì gần tâm
hơn.
3) Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đờng tròn.
Biên tập: Hồ Hiếu Giang -Giáo viên trờng THCS Nghĩa Khánh Trang 14
Phần VI: Các bài tập hình học tổng hợp
b
2
= a.b ; c
2
= a.c
a.h = b.c
h

2
= b.c
222
111
cbh
+=
b = a.SinB = a.CosC
c = a. SinC = a. CosB
b = c.TgB = c.CotgC
c = b.TgC = b.CotgB
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 THPT - Năm học 2010-2011
+ Một đờng thẳng đi qua một điểm thuộc đờng tròn và vuông góc với bán kính đờng
tròn đi qua điểm đó thì đờng thẳng là tiếp tuyến của đờng tròn.
4) Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.
+ Hai tiếp của một đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm,
tia kẻ từ điểm đó đến tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến, tia kẻ từ tâm
đến điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua hai tiếp điểm.
5) Góc với đờng tròn.
+ Góc ở tâm có số đo bằng số đo cung bị chắn.
+ Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn.
+ Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn có số đo bằng 90
0
.
+ Trong một đờng tròn các góc nội tiếp cùng chắn một cung hay các cung bằng nhau thì
bằng nhau.
+ Trong một đờng tròn các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
+ Góc tạo bởi tia tiếp tuyến bằng nửa số đo cung bị chắn.
+ Trong một đờng tròn các góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng
chắn một cung thì bằng nhau.
+ Góc có đỉnh nằm trong đờng tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn, góc có đỉnh

nằm ngoài đờng tròn bằng nửa hiệu hai cung bị chắn.
6) Tứ giác nội tiếp đờng tròn.
+ Trong tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng 180
0
.
+ Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:
- Tứ giác có tổng số do hai góc đối diện bằng 180
0
.
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
- Tứ giác có bón đỉnh cách đều một điểm(mà ta có thể xác định đợc). Điểm đó là tâm
đờng tròn ngoại tiếp tứ giác.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc .
B. Bài tập tổng hợp:
Bài 1: Cho đờng tròn (O;6cm) một điểm A nằm ngoài đờng tròn, sao cho OA = 10cm,
qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC đến đờng tròn O (B,C là các tiếp điểm ).
a, Chứng minh OA

BC.
b, Tính độ dài các cạnh tam giác ABC.
c, Qua điểm D thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đờng tròn (O), nó cắt các
tiếp tuyến AB, AC theo thức tự ở M và N. Tính chu vi tam giác AMN.
HD: a)

ABC cân tại A, có AI là tia phân giác

AI là đờng cao (Tính chất tam giác cân).
Vậy AO

BC.

b)
cmOBAOACAB 8610
2222
====
Theo hệ thức ah = bc ta có : AO.BI = AB.BO

10.BI = 8.5

BI = 4 cm

BC = 8 cm.
c) Chu vi tam giác AMN bằng :AM+AN+MN =
=AB+AC=2AB. (Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau).
= 2.8 = 16 cm.
Bài 2: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính BC và một điểm A trên nửa đờng tròn( A khác
B,C). Kẻ AH vuông góc với BC. Trên nủa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ hai nửa đ-
ờng tròn đờng kính HB và HC, chúng lần lợt cắt AB ở E và AC ở F.
a, C/m: AE.AB = AF.AC.
b, C/m: EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn đờng kính BH và HC.
Biên tập: Hồ Hiếu Giang -Giáo viên trờng THCS Nghĩa Khánh Trang 15
N
M
I
O
A
B
C
D
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 THPT - Năm học 2010-2011
c, Gọi I và K lần lợt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. C/m: ba điểm

I,A,K thẳng hàng.
d, C/m: IK là tiếp tuyến của (O).
HD:
a) Theo hệ thức lợng ta có:
AE.AB = AH
2
; AF.AC = AH
2

AE.AB = AF.AC.
b) E thuộc đờng tròn đờng kính BH,
F thuộc đờng tròn đờng kính HC.

HEM +

HEF =

EHM +

AEH
= 90
0
. Tơng tự ta có:

HFN +

HFE = 90
0
.

EF là tiếp
tuyến chung đờng tròn đờng kính BH
và đờng tròn đờng kính HC.
c) AK // EF; AI // EF

K, A, I thẳng hàng.
d) IK đi qua điểm A thuộc đờng tròn (O).

OAC =

OCA;

FAK =

FAH


OAC +

FAK =

OCA +

FAH = 90
0


IK là tiếp tuyến của (O).
Bài 3: Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By.
Qua M thuộc nửa đờng tròn , kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lợt ở E

và F
a, Chứng minh tứ giác AEMO nội tiếp
b, AM cắt OE tại P , BM cắt OF tại Q. Tứ giác MPOQ là hình gì ? tại sao?
c, Kẻ MH vuông góc với AB ( H thuộc AB). Gọi K là giao điểm của MH và EB
Chứng minh: MK = KH.
HD:
a)

EAO +

EMO = 180
0

AEMO nội tiếp.
b) AM

OE; BM

OF ( Tính chất
tam giác cân)



OPM =

OQM = 90
0

PMQ = 90
0

(góc nội tiếp chắn nửa đờng
tròn).

MPOQ là hình chữ nhật.
c) EMK EFB:
EM EF
MK BF
=
do
MF = BF
EM EF
MK MF
=
Mặt khác : ABE HBK:
EA AB
HK HB
=
.
Vì :
EF AB
MF HB
=
(Talet)
EM EA
MK KH
=
. Vì : EM = AE MK = KH.
Bài 4: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB, vẽ tiếp tuyến tại B và đờng kính MN bất kì
không trùng với AB, AM và AN cắt tiếp tuyến tại B theo thứ tự tại H và K.
a, Chứng minh MNKH là tứ giác nội tiếp.

b, Chứng minh AM.AH = AN.AK
c, Xác định vị trí của đờng kính MN để HK có độ dài ngắn nhất.
HD: a) Xét tứ giác MNKH có

MHK =
2
1
(sđANB sđMB)
Biên tập: Hồ Hiếu Giang -Giáo viên trờng THCS Nghĩa Khánh Trang 16
F
E
O
C
K
I
B
A
H
M
N
x
y
K
Q
P
O
B
A
E
F

M
H
1
1
1
K
H
O
N
A
B
M
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 THPT - Năm học 2010-2011
=
2
1
sđBN (góc có đỉnh nằm ngoài
đờng tròn).
Mặt khác

ANM =
2
1
sđAM
=
2
1
sđBN ( vì

AOM =

BON)


MHK =

ANM (1)
Mà

ANM +

MNK = 180
0




MHK +

MNK = 180
0

Tứ giác MNKH nội tiếp.
b) Xét hai tam giác vuông ABH và ABK. Theo hệ thức b
2
=a.b ta có: AB
2
= AM.AH và
AB
2

= AN.AK

AM.AH=AN.AK (đpcm).
c) Ta có
BKBHBKBHHK .2+=
(bất đẳng thức Côsi). Mà

AHK vuông tại A nên
theo hệ thức b
2
=a.b ta có:
RRABBKBH 2)2(.
22
===


HK ngắn nhất bằng 4R khi
BH=BK

Tam giác AHK cân

MN // HK.
Bài 5: Cho đờng tròn (O;R), đờng kính AB cố định và CD là một đờng kính thay đổi
không trùng với AB. Tiếp tuyến của đờng tròn (O;R) tại B cắt các đờng thẳng AC và AD
lần lợt tại E và F.
a) Chứng minh rằng BE.BF = 4R
2
.
b) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp đợc đờng tròn.
c) Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD. Chứng minh rằng tâm I luôn

nằm trên một đờng tròn cố định.
HD:
a)

AEF vuông tại A, EF

AB, áp dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông ta có:
BE.BF = AB
2


BE.BF = 4R
2
.
b)
)(
2
1
)(
2
1
);(
2
1
2
1
sdCBsdACBsdCBsdADBAEAFsdCBsdACBsdACADC ====


ADC =

AEF



CDF +

CEF = 180
0


CEFD nội tiếp.
c) Gọi K là trung điểm của EF, từ K kẻ đờng
thẳng Kt

EF, từ O kẻ đờng thẳng Ox

CD.
Khi CD không trùng, không vuông góc với AB
thì Kt cắt Ox tại I là tâm đờng tròn ngoai tiếp
tứ giác CEFD.
Vì AK là trung tuyến của tam giác vuông AEF
nên

KAF =

AFE, kết hợp với

ADC =

AEF



AFE +

AEF = 180
0

AK

CD.
AKIO là hình bình hành, do đó KI = AO = R
không đổi và I khác phía với điểm O so với
đờng thẳng cố định EF

I nằm trên đờng
thẳng d song song và cách EF một khoảng
không đổi bằng R.
Khi CD

AB thì I là giao điểm của AB và d.
Vậy I nằm trên một đờng thẳng cố định.
Biên tập: Hồ Hiếu Giang -Giáo viên trờng THCS Nghĩa Khánh Trang 17
x
t
d
E
I
O

B
A
C
D
F
K
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 THPT - Năm học 2010-2011
Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A, có cạnh đáy nhỏ hơn hai cạnh bên, nội tiếp đờng
tròn (O). Tiếp tuyến tại B và C của đờng tròn lần lợt cắt tia AC và tia AB ở D và E.
Chứng minh:
a) BD
2
= AD.CD
b) Tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp.
c) BC song song với DE.
HD:
a)

ADB

BDC (g.g)
BD
AD
CD
BD
=

BD
2
= AD.CD.

b) Ta có

E
1
=

D
1


BCDE nội tiếp.
c)

ABC =

BED ( cùng bù với

BCD)

BC // DE.
Bài 7: Cho nửa đờng tròn (O;R) đờng kính AB. Từ A và B vễ các tiếp tuyến Ax By với
nửa đờng tròn. Một góc vuông quay quanh O, hai cạnh cắt Ax và By lần lợt tại C và D.
Hai đờng thẳng OD và Ax cắt nhau tại E. Chứng minh rằng:
a) AC.BD = R
2
b) Tam giác CDE là tam giác cân.
c) CD là tiếp tuyến của nửa đờng tròn (O).
HD:
a)

AOC

BDO (g.g). Do đó
BD
OA
OB
AC
=

AC.BD = OA.OB = R
2
b)

AOE =

BOD (g.c.g)

OE = OD.

CDE có CO là đờng cao, vừa là đờng trung
tuyến nên

CDE cân.
c)

FOD và

AOE có

F =

A = 90
0
OD = OE;

D =

E. Vậy

FOD =

AOE

OF = OA = R
Do đó CD là tiếp của đờng tròn (O).
Bài 8: Cho hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại A và B. Vẽ các đờng kính AOC và
AOC. Đờng thẳng AC cắt các đờng tròn (O) tại E. Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O)
tại F. Chứng minh rằng:
a) Ba điểm C, B, D thẳng hàng.
b) Tứ giác CDEF nội tiếp đợc một đờng tròn.
c) A là tâm đờng tròn nội tiếp của

BEF.
HD:
a)

ABC =

ABD = 90
0

C, B, D thẳng hàng.
b) E và F cùng nhìn đoạn thẳng CD
Biên tập: Hồ Hiếu Giang -Giáo viên trờng THCS Nghĩa Khánh Trang 18
1
1
C
B
O
E
D
A
y
x
O
B
E
A
C
D
F
1
2
1
B
A
O
O'
C
E

D
F
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 THPT - Năm học 2010-2011
dới một góc vuông

CDEF nội tiếp
đợc một đờng tròn.
c)

F
1
=

F
2
=

C
1


FA là tia phân
giác của

F. Chứng minh tơng tự ta
có EA là tia phân giác của E. Do đó A
là tâm đờng tròn nội tiếp của

BEF.
Bài 9: Từ điểm A nằm ngoài đờng tròn (O) vẽ tiếp tuyến AT và cát tuyến ABC với đờng

tròn ( B nằm giữa B và C). Gọi H là hình chiếu của T trên OA. Chứng minh rằng:
a) AT
2
= AB.AC
b) AB.AC = AH.AO
c) Tứ giác OHBC nội tiếp đợc một đờng tròn.
HD:
a)

ATB

ACT (g.g)

AT
2
= AB.AC. (1)
b) áp dụng hệ thức b
2
= a.b vào tam
giác vuông TAO ta có:
AT
2
= AO.AH (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB.AC = AO.AH
c) Vì AB.AC = AO.AH
AH
AC
AB
AO
=

Suy ra:

AOC =

ABH (c.g.c)

ACO =

AHB



ACO +

BHO = 180
0

Tứ giác OHBC nội tiếp đợc một đờng tròn.
Bài 10: Cho hai đờng tròn (O) và (O) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
DE (D

(O); E

(O)). Kẻ tiếp tuyến chung trong tại A, cắt DE ở I. Gọi M là giao
điểm của OI và AD, N là giao điểm của OI và AE.
a) Tứ giác AMIN là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh hệ thức: IM.IO = IN.IO
c) Chứng minh OO là tiếp tuyến của đờng tròn có đờng kính DE.
d) Tính độ dài DE biết rằng OA = 5cm; OA = 3,2cm.
HD:

a) AMIN là hình chữ nhật.
b) Chứng minh IM.IO và IN.IO bằng IA
2
c) IA là bán kính đờng tròn (I) có đờng
kính DE. Do OO vuông góc với IA tại A
nên OO là tiếp tuyến của đờng tròn (I).
d) Theo hệ thức lợng trong tam giác vuông
OIO ta có: IA
2
= OA.OA = 5.3,2 = 16

IA = 4 cm. Do đó DE = 2.IA = 8 cm.
C. Bài tập luyện tập:
Biên tập: Hồ Hiếu Giang -Giáo viên trờng THCS Nghĩa Khánh Trang 19
B
O
A
C
T
H
N
M
A
O
O'
D
E
I
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 THPT - Năm học 2010-2011
Bài 1: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB, M là một điểm di chuyển trên nửa đờng tròn

đó (M

A và B). Vẽ đờng tròn (M) tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến AC
và BD với (M). Chứng minh rằng:
a)

MAH =

MAC b) AC // BD c) Ba điểm C, M, D thẳng hàng.
d) CD là tiếp tuyến của đờng tròn (O). d) AC + BD không đổi.
Bài 2: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB. Qua A và B vẽ hai tiếp tuyến Ax và By với
(O). Một đờng thẳng qua O cắt Ax và By tại M và P. Từ O vẽ một tia vuông góc với MP
cắt By tại N.
a) Chứng minh OM = OP và tam giác MNP cân.
b) Chứng minh MN là tiếp tuyến của (O).
c) Chứng minh AM.BN không đổi.
d) Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O), đờng cao BH và CK lần lợt cắt đ-
ờng tròn tại E và F.
a) Chứng minh tứ giác BKHC nội tiếp.
b) Chứng minh OA

EF và EF // HK.
c) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh rằng bán kính đờng tròn ngoại
tiếp tam giác AIB bằng bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác BIC.
Bài 4: Cho Ax là tiếp truyến của đờng tròn (O;R) (A là tiếp điểm). Lấy B

Ax sau cho
AB < 2R. Gọi M là trung điểm của AB, đờng thẳng vuông góc với AB tại M cắt đờng
tròn (O) ở H và K (H nằm giữa M và K). Chứng minh rằng:

a)

AMH

AMK.
b)
MKMH
AB
.
4
2
c) AH cắt KB tại D. Chứng minh rằng tứ giác AMDK nội tiếp.
d) Gọi B là điểm đối xứng với B qua AK. Chứng minh B nằm trên đờng tròn
(O;R).
Bài 5: Cho hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại A và B. Kẻ các đờng kính AOC và
AOD. Một cát tuyến qua B cắt hai đờng tròn này tại M và N (M

(O); N

(O)). MC
cắt ND tại I.
a) Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng.
b) Chứng minh tứ giác AMIN nội tiếp.
c) Chứng minh góc MAC bằng NAD, từ đó suy ra tứ giác ACID nội tiếp.
d) Gọi E là giao của AM và CD, F là giao của MC và AB. Chứng minh AC

EF.
Bài 6: Cho đờng tròn (O) với dây CD. Trên tia đối của tia CD lấy điểm M. Kẻ các tia
tiếp tuyến MA, MB với (O) (A và B

(O)). H là trung điểm của CD, AB giao với OH tại
P và giao với OM tại E. Chứng minh:
a) Tứ giác EHPM nội tiếp.
b) OH.OP = OE.OM
c)

MED

MCO.
Mong các đồng nghiệp đóng góp thêm ý kiến để đề cơng này đợc hoàn thiện hơn. Th
xin đợc gửi về địa chỉ:
Biên tập: Hồ Hiếu Giang -Giáo viên trờng THCS Nghĩa Khánh Trang 20