CHƯƠNG 2 - VẼ HÌNH HỌC docx

CHƯƠNG 2 :
VẼ HÌNH HỌC
MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU
Sau khi học xong phần này, sinh viên có khả năng :
* Dựng được các đường thẳng song song cách đều, dựng đường thẳng vuông
góc,chia đều đoạn thẳng,dựng được góc vuông, chia đôi một góc bất kỳ;
* Chia đường tròn thành một số phần bằng nhau;
* Ứng dụng các kiểu vẽ nối tiếp, vẽ đường cong hình học để vẽ các các vật
thể có đường bao là mặt cong.
NỘI DUNG (2 tiết)
2.1. Chia đều đoạn thẳng và đường tròn
2.1.1. Chia đều đoạn thẳng
2.1.1. Chia đều đường tròn
2.2. Vẽ độ dốc và độ côn
2.2.1. Độ dốc
2.2.2. Độ côn
2.3. Vẽ nối tiếp
2.3.1. Vẽ tiếp tuyến với một đường tròn
2.3.2. Vẽ tiếp tuyến chung với hai đường tròn
2.3.3. Vẽ cung tròn nối tiếp với hai đường thẳng
2.3.4. Vẽ cung tròn nối tiếp với một đường thẳng và một cung tròn khác
2.3.5. Vẽ cung tròn nối tiếp với hai cung tròn khác
24
CHƯƠNG 2 :
VẼ HÌNH HỌC
* Dựng hình cơ bản:
 Dựng đường thẳng song song: ( Hình 2.1)
 Bài toán: Cho một đường thẳng a và một điểm C . Hãy vạch đường thẳng b
đi qua điểm C và song song với đường thẳng a.
Cách dựng:
- Trên đường thẳng a lấy một điểm B tuỳ ý làm tâm, vẽ một cung tròn bán kính

BC, cung tròn này cắt đường thẳng a tại điểm A.
- Vẽ cung tròn tâm C, bán kính CB và cung tròn tâm B, bán kính CA, hai cung
tròn này cắt nhau tại D.
- Nối CD, đó chính là đường thẳng b song song với đường thẳng a.

B
A
C
a
Hình 2.1
 Dựng đường thẳng vuông góc: ( Hình 2.2)
Bài toán: Cho một đường thẳng a và điểm C. Hãy vạch
đường b thẳng đi qua C và vuông góc với đường thẳng
a.
Cách dựng:
- Lấy điểm C làm tâm, vẽ cung tròn có bán kính
lớn hơn khoảng cách từ điểm C đến a, cung tròn này cắt
đường thẳng a tại hai điểm A và B.
- Lấy A,B làm tâm vẽ 2 cung tròn có bán kính lớn
hơn
2
AB
. Hai cung tròn cắt nhau tại điểm D.
- Nối C và D, CD chính là đường thẳng b vuông
góc với đường thẳng a
Hình
2.2
∗ Nếu điểm C nằm trên đường thẳng a thì cách vẽ cũng tương tự như trên.
 Chia đôi một góc ( Hình 2.3)
Để chia đôi góc xOy, ta thực hiện như sau :

- Lấy O làm tâm vẽ cung tròn bán kính tùy ý , cắt tia Ox và Oy tại A và B.
- Lấy A, lấy B làm tâm vẽ cung tròn bán kính >
2
AB

Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm I. Đường thẳng OI chínhlà đường phân
giác của góc xOy, chia góc này ra 2 phần bằng nhau.
25
a
C
A
B
C
A
D
b
R
R
A
B
C
D
a
b

Hình 2.3
2.1 . CHIA ĐỀU ĐOẠN THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
2.1.1. Chia đều đoạn thẳng
2.1.1.1. Chia đôi một đoạn thẳng( Hình 9.4):
Để chia đôi một đoạn thẳng AB, ta

lấy hai điểm A,B làm tâm vẽ hai cung
tròn có bán kính R (R>
2
AB
) cắt nhau tại
hai điểm 1 và 2. Đường thẳng 1, 2 cắt AB
tại điểm C. Đó là điểm giữa của đoạn AB.
2.1.1.2. Chia một đoạn thẳng thành
nhiều phần bằng nhau
Để chia đoạn thẳng AB ra n phần
bằng nhau, cách vẽ như sau(Hình 2.5)




Hình 2.5
Qua điểm A kẻ đường Ax bất kỳ (nên lấy sao cho góc xAB là góc nhọn)
- Từ A, dùng compa đo để đặt lên Ax n đoạn thẳng bằng nhau, ví dụ:4 đọan,
bằng các điểm chia C', D', E', F'.
- Nối F’B và qua các điểm C', D', E', kẻ các đường song song với F’B. Giao
điểm của các đường thẳng đó với AB cho ta các điểm chia tương ứng C,D,E,F là
những điểm cần tìm.
26
R
R
A B
C
1
2
Hình 2.4

2.1.2. Chia đều đường tròn
2.1.2.1. Chia đường tròn thành 3 phần và 6 phần bằng nhau:
* Chia đường tròn thành 3 phần bằng nhau,
vẽ tam giác đều nội tiếp (Hình 9.6)
- Lấy 1 trong 2 giao điểm của đường kính
với đường tròn (O,R) làm tâm (giả sử điểm 4), vẽ
một cung tròn có bán kính bằng bán kính của
đường tròn R, cung tròn này cắt đường tròn tâm O
tại hai điểm : 2, 3. Các điểm 1, 2 và 3 là những
điểm chia đường tròn ra 3 phần bằng nhau.
- Nối 3 điểm , ta được tam giác đều nội tiếp
của đường tròn tâm O.
Hình 2.6
* Chia đường tròn thành 6 phần bằng nhau, vẽ lục giác đều nội tiếp




a) b)
Hình 2.7
- Lấy 2 trong 4 giao điểm của 2 đường kính vuông góc nhau của đường tròn
(O,R) với đường tròn (O,R) làm tâm, vẽ hai cung tròn tâm 1 và 4 có bán kính bằng
bán kính của đường tròn R, cung tròn này cắt đường tròn tâm O tại bốn điểm 2, 6, 3,
5. Các điểm 1, 2, 3, 4, 5 và 6 là những điểm chia đường tròn ra 6 phần bằng nhau
(Hình 2.7a).
- Nối 6 điểm, ta được lục giác đều nội tiếp của đường tròn tâm O (Hình 2.7b).
2.1.2.2. Chia đường tròn thành 4 phần và 8 phần bằng nhau
* Chia đường tròn thành 4 phần bằng nhau, vẽ tứ giác đều nội tiếp :
Hai đường tâm vuông góc chia đường tròn ra 4 phần bằng nhau . Nối bốn điểm 1, 2,
3, 4, ta được tứ giác đều nội tiếp của đường tròn tâm O (Hình 2.8).

27



Hình 2.8
* Chia đường tròn thành 8 phần bằng nhau,
vẽ bát giác đều nội tiếp :
Hai đường kính vuông góc nhau cắt nhau
tại 4 điểm 1, 3, 5, 7.
Vẽ đường phân giác của các góc 1O3 và
3O5, chúng cắt đường tròn tại 4 điểm 2, 4, 6, 8.
Nối 8 điểm, ta được bát giác đều nội tiếp của
đường tròn tâm O (Hình 2.9).
Hình 2.9
2.1.2.3. Chia đường tròn thành 5 và 10 phần bằng nhau ( Hình 2.10 ):

* Chia đường tròn thành 5 phần bằng nhau,
vẽ ngũ giác đều nội tiếp P
- Vẽ cung tròn tâm A, bán kính OA
cắt đường tròn tâm O tại 2 điểm P, Q.
Nối P, Q cắt OA tại M, MO = MA.

Hình 9.10
- Vẽ cung tròn tâm M, bán kính MC cắt AB tại N, vẽ cung tròn tâm C, bán kính
CN cắt vòng tròn ( O,R) tại điểm 1 và 3. C1 là một cạnh của ngũ giác đều. Dùng 1 và
3 làm tâm vẽ cung tròn bán kính bằng C1 xác định được điểm 4 và 5.
* Chia đường tròn thành 10 phần bằng nhau, vẽ thập giác đều nội tiếp
Vẽ đường phân giác của các góc CO1, 1O5, 5O4, 4O3 và 3O2 ta tìm được
28
10 điểm của thập giác đều nội tiếp.

2.1.2.4. Chia đường tròn ra 7 phần bằng nhau:
Dùng phương pháp vẽ gần đúng ( Hình 2.11 )


- Vẽ hai đường kính vuông góc AB⊥CD
- Vẽ cung tròn tâm D, bán kính CD, cung này cắt AB kéo dài tại hai điểm E và
F.
- Chia đường kính CD thành 7 phần bằng nhau bằng các điểm 1', 2', 3'……
- Nối hai điểm E và F với các điểm chia chẵn 2', 4', 6' (hoặc các điểm chia lẻ 1',
2', 3', 5'), các đường này cắt đường tròn tại các điểm 1, 2, 3…7, đó là các đỉnh của
hình.
- Nối hai điểm E và F với các điểm chia chẵn 2', 4', 6' (hoặc các điểm chia lẻ 1',
2', 3', 5'), các đường này cắt đường tròn tại các điểm 1, 2, 3…7, đó là các đỉnh của
hình 7 cạnh đều nội tiếp cần tìm.

2.2. VẼ ĐỘ DỐC VÀ ĐỘ CÔN
2.2.1. Độ dốc:
Độ dốc giữa đường thẳng AB đối với đường thẳng AC là tang của góc BAC
(Hình 2.12)
i = tgα =
AC
BC
=
a
b

29
b
a
α

S
B
C
A
C
F
E
6
5
A
4
D
3
2
B
1
A
1'
2'
3'
4'
6'
5'
Hình 2.11
Hình 2.12
- Độ dốc đặc trưng cho độ nghiêng giữa đường thẳng này với đường thẳng kia
- Độ dốc được tính theo phần trăm hay theo tỉ lệ
- Vẽ độ dốc là vẽ góc theo tang của góc.
Ví dụ : Vẽ độ dốc 1:6 của đường thẳng đi qua điểm B đã cho đối với đường
thẳng a đã cho. ( Hình 2.13.a)

Cách vẽ:
- Từ đđiểm B hạ đường vuông góc xuống đường thẳng a, C là chân đường
vuông góc đó.
- Dùng compa đo đặt lên CB, kẻ từ điểm C sáu đoạn thẳng mỗi đoạn bằng đoạn
BC, ta được điểm mút A.
- Nối A, B ta có đường thẳng AB là đường có độ dốc đối với đường thẳng AC
bằng 1:6 ( Hình 2.13.b).
2.2.2. Độ côn ( Hình 2.14 ):
- Độ côn là tỉ số giữa hiệu số đường kính hai mặt cắt vuông góc của một hình
côn tròn xoay với khoảng cách của hai mặt cắt đó.

K=
α
tg
L
dD
2=
−
- Các độ côn thường dùng trong ngành Chế tạo máy ( TCVN 135 – 63 ):
+ Theo K,có 1:3; 1:5; 1:7; 1:8; 1:10; 1:12; 1:15; 1:20; 1:30; 1:50; 1:100; 1:200
+ Theo 2∝ , có 30
0
; 45
0
, 60
0
; 75
0
; 90

0
; 120
0


30
a
B
C
B
A
a
Hình 2.13.a
Hình 2.13.b
Hình 2.14
- TCVN-74 qui định trước số đo độ dốc ghi dấu hiệu độ dốc và trước số
đo độ côn ghi dấu hiệu độ côn . Đỉnh các dấu hiệu này thường hướng về đỉnh góc
và được viết trên giá song song với đường đáy dốc hay trục hình côn, ví dụ ( H . 2.15).





Hình 2.15
- Vẽ độ côn K của một hình
côn là vẽ hai đường sinh của một
hình thang cân, mỗi cạnh bên có độ
dốc bằng K/2 đối với đường cao
của hình thang đó.
Ví dụ : Vẽ hình côn đỉnh A,

trục AB có độ côn bằng 1:5 ( Hình 2.16)
Cách vẽ: Ta vẽ độ côn bằng 1:5
của trục bằng cách vẽ độ dốc bằng 1:10 của hai đường sinh đối với đường trục.
Qua các điểm A và B đã được xác định vẽ hai đường thẳng có độ dốc đối với
đường trục bằng 1:10.

2.3. VẼ NỐI TIẾP
2.3.1. Vẽ tiếp tuyến với một đường tròn
2.3.1.1. Điểm cho trước nằm trên đường tròn
- C
∈
vòng tròn (O,R). Nối OC.
- Vẽ AB
⊥
OC. AB là tiếp tuyến cần vẽ (hình 2.17).

Hình 2.17 Hình 2.18
31
5a
a
A
B
Hình 2.16
2.3.1.2. Điểm cho trước nằm ngoài đường tròn
- Nối OC, tìm trung điểm I của OC, vẽ đường tròn phụ đường kính OC.
- Đường tròn phụ tâm I, bán kính OI cắt đường tròn (O, R) tại T
1
và T
2
.

- CT
1
và CT
2
là 2 tiếp tuyến cần vẽ (hình 2.18).
2.3.2. Vẽ tiếp tuyến chung với hai đường tròn
Cho 2 đường tròn O
1
và O
2
, bán kính R
1
,

R
2
, khoảng cách tâm O
1
O
2
= A.
Có 2 trường hợp :
- Đường thẳng tiếp xúc ngoài ,cách vẽ như hình (2.19).
- Đường thẳng tiếp xúc trong ,cách vẽ như hình (2.20).



Hình 2.19
Hình 2.20
2.3.3. Vẽ cung tròn nối tiếp với hai đường thẳng

Cho 2 đường thẳng d
1
và d
2
cắt nhau. Hãy vẽ cung tròn bán kính R nối tiếp với
hai đường thẳng đó.
Cách vẽ: Áp dụng tính chất tiếp xúc của đường tròn với đường thẳng để xác
định vị trí tâm cung nối tiếp và tiếp điểm.
- Từ phía trong góc của hai đường thẳng đã cho, kẻ 2 đường thẳng song song
với d
1
và d
2
và cách chúng một khoảng bằng bán kính R. Hai đường thẳng vừa kẻ cắt
nhau tại một điểm O đó là tâm nối tiếp.
32
- Từ tâm O hạ đường vuông góc xuống d
1
và d
2
ta được hai điểm T
1
và T
2
đó là
hai tiếp điểm.
- Cung nối tiếp là cung tròn T
1
T
2

, tâm O, bán kính R (hình 2.21).
Hình 2.21
2.3.4. Vẽ cung tròn nối tiếp với một đường thẳng và một cung tròn khác
Bài toán :Cho cung tròn tâm O
1
, bán kính R
1
và đường thẳng d, vẽ cung tròn bán kính
R nối tiếp với cung tròn tâm O
1
và đường thẳng d.
Có 2 trường hợp: cung nối tiếp, tiếp xúc ngoài và tiếp xúc trong với cung tròn
tâm O
1
.
2.3.4.1. Trường hợp tiếp xúc ngoài (Hình 2.22)
Cách vẽ :
- Vẽ đường thẳng d’ song
song với đường thẳng d và
cách d một khoảng bằng R.
- Lấy O
1
làm tâm vẽ cung
tròn phụ có bán kính bằng
R+R
1
. Đường tròn phụ (O
1
,
R+R

1
) cắt d’tại O. O là tâm
cung nối tiếp.
- Nối OO
1
, đường này cắt
cung (O
1
,R
1
) tại T
1
- Kẻ OT
2
⊥

d. T
1
và T
2
là 2
tiếp điểm.
- Cung T
1
T
2
tâm O bán kính R là cung nối tiếp.
2.3.4.2. Trường hợp tiếp xúc trong ( Hình 2.23) :
Cách vẽ : Tương tự như ở trường hợp
tiếp xúc ngoài. Ở đây cung tròn phụ

có bán kính bằng hiệu hai bán kính
R+R
1
.

Hình 2.23
2.3.5. Vẽ cung tròn nối tiếp với hai cung tròn khác
33
T
1
T
2
d
O
1
O
R
R
R
1
R
+
R
1
R
R
R
-
R
1

R
1
d
T
2
T
1
O
1
O
Hình 2.22
R
R
d
1
d
2
T
1
T
2
O
R
R
R
d
1
d
2
T

1
T
2
O
Bài toán : Cho 2 đường tròn tâm O
1
và O
2
, bán kính R
1
và R
2
. Hãy vẽ cung tròn
tâm O, bán kính R nối tiếp với hai trường tròn đã cho.
Có 3 trường hợp: Tiếp xúc ngoài, tiếp xúc trong, vừa tiếp xúc ngoài vừa tiếp
xúc trong.
2.3.5.1. Trường hợp tiếp xúc ngoài
Cách dựng:
- Lấy O
1
và O
2
làm tâm vẽ hai cung tròn
phụ có bán kính là R+R
1
và R+R
2
, hai cung tròn
này cắt nhau tại O, O là tâm cung nối tiếp.
- Nối O và O

1
cắt đường tròn tâm O
1
tại T
1
.
Nối O và O
2
cắt đường tròn tâm O
2
tại T
2
.
T
1
, T
2
là 2 tiếp điểm. Hình 2.24
- Cung T
1
T
2
tâm O, bán kính R là cung nối tiếp.
(Hình 2.24).
2.3.5.2. Trường hợp tiếp xúc trong
Cách dựng:
Tương tự như ở trường hợp tiếp xúc ngoài. Ở đây
các cung tròn phụ tâm O
1
và O

2
có bán kính R-R
1

và R-R
2
(Hình 2.25).
2.3.5.3. Trường hợp vừa tiếp xúc ngoài, vừa tiếp
xúc trong tức nối tiếp hỗn hợp Hình 2.25
Cách dựng:
- Lấy O
1
và O
2
làm tâm vẽ hai cung tròn phụ
có bán kính là R-R
1
và R-R
2
, hai cung tròn này cắt
nhau tại O.
- Nối O và O
1
cắt đường tròn tâm O
1
tại T
1
.
Nối O và O
2

cắt đường tròn tâm O
2
tại T
2
.
T
1
, T
2
là 2 tiếp điểm.
- Cung T
1
T
2
tâm O, bán kính R là cung nối tiếp.
( Hình 2.26 ).

Hình 2.26
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
1. Chia đường tròn bán kính R40 thành 5 phần; 7 phần bằng nhau.
2. Trình bày cách vẽ nối tiếp.
3. Vẽ hình cái móc (hình 2.27).

34
R
1
R
2
R
+

R
1
R
+
R
2
R
O
O1 O2
T1
T2
O
2
O
1
R
1
R
2
R
+
R
2
R
-
R
1
R
O
T

2
T
1
O
2
O
1
R
1
R
-
R
1
R
-
R
2
R
R
2
O
T
2
T
1
Hình 2.27
4. Vẽ hình các chi tiết (hình 2.28).
35
4 loã
5 loã

1
2
36
8 loã
3
4
37
6 loã
4 loã
5
6
Hình 2.28
38
39