CHƯƠNG 4 - HÌNH CHIẾU CỦA CÁC KHỐI HÌNH HỌC pps

CHƯƠNG 4 :
HÌNH CHIẾU CỦA CÁC KHỐI HÌNH HỌC
MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU
Sau khi học xong bài này, sinh viên có khả năng :
* Xây dựng được hình biểu diễn của các khối hình học cơ bản.
* Xác định được những điểm nằm trên mặt của một số khối hình học cơ bản.

NỘI DUNG (4 tiết)
4.1. Khối đa diện
4.1.1. Khái niệm
4.1.2. Đồ thức của khối đa diện
4.1.3. Đồ thức của hình lăng trụ
4.1.4. Đồ thức của hình chóp đều, hình chóp cụt đều
4.1.5. Các mặt phẳng cắt khối đa diện
4.2. Khối trụ
4.2.1. Khái niệm
4.2.2. Đồ thức của khối trụ
4.2.3. Điểm thuộc mặt trụ
5.2.4. Các mặt phẳng cắt khối trụ
4.3. Khối nón
4.3.1. Khái niệm
4.3.2. Đồ thức của khối nón
4.3.3. Điểm thuộc mặt nón
4.3.4. Các mặt phẳng cắt khối nón
4.4. Khối cầu
4.4.1. Đồ thức của khối cầu
4.4.2. Điểm thuộc mặt cầu
4.4.3. Các mặt phẳng cắt khối cầu
71
CHƯƠNG 4 :
HÌNH CHIẾU CỦA CÁC KHỐI HÌNH HỌC

4.1. KHỐI ĐA DIỆN
4.1.1. Khái niệm
Khối đa diện là khối hình học được giới hạn bằng các đa giác phẳng. Các đa
giác phẳng gọi là các mặt của khối đa diện. Các đỉnh và các cạnh của đa giác gọi là
các đỉnh và các cạnh của khối đa diện (Hình 4.1a).
a) b)
Hình 4.1
4.1.2. Đồ thức của khối đa diện
Muốn vẽ hình chiếu của khối đa diện phải vẽ hình chiếu của các đỉnh, các cạnh
và các mặt của khối đa diện. Khi chiếu lên một mặt phẳng hình chiếu nào đó, nếu
cạnh không bị các mặt của vật thể che khuất thì cạnh đó được vẽ bằng nét liền đậm,
ngược lại, nếu cạnh bị che khuất, thì cạnh đó được vẽ bằng nét đứt (Hình 4.1b).
Hình chóp, hình lăng trụ là các khối đa diện đặc biệt.
4.1.3. Đồ thức của hình lăng trụ
4.1.3.1. Đồ thức của hình hộp chữ nhật :
72
Để đơn giản, đặt các mặt của hình hộp song song với các mặt phẳng hình
chiếu. Các hình chiếu của các mặt của hình hộp là các hình chữ nhật (Hình 4.2).
Hình 4.2
Muốn xác định điểm K nằm trên mặt của hình hộp, ta vẽ qua K một đường
thẳng thuộc mặt hình hộp.
4.1.3.2.Đồ thức của hình lăng trụ đều :
Cách vẽ hình chiếu và cách xác định điểm nằm trên mặt của hình lăng trụ
tương tự như trên. Hình 4.3 là hình chiếu của một lăng trụ tam giác.
Hình 4.3
73
4.1.4. Đồ thức của hình chóp đều, hình chóp cụt đều
4.1.4.1. Hình chiếu của hình chóp đều :
Xét hình chóp đều SABCDEF. Để đơn giản, nên đặt mặt đáy ABCDEF của
hình chóp đều song song với mặt phẳng hình chiếu P

2
và đường chéo AD song song
với mặt phẳng hình chiếu P
1
, sẽ được các hình chiếu như hình 4.4.
Hình chiếu bằng là hình lục giác đều, Hình chiếu bằng của đỉnh S trùng với
tâm của hình lục giác đều. Hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh là hai hình tam giác
cân, đó là hình chiếu của các mặt bên. Chiều cao của tam giác cân bằng chiều cao của
hình chóp.
Muốn xác định một điểm K nằm trên mặt của hình chóp, hãy kẻ qua đỉnh S và
điểm K nằm trên đường thẳng SK nằm trên mặt bên của hình chóp. Cách vẽ như hình
4.4.
Hình 4.4
4.1.4.2. Hình chiếu của hình chóp cụt đều :
Cách vẽ hình chiếu và cách xác định điểm nằm trên mặt bên của hình chóp cụt
tương tự như trường hợp hình chóp. Hình 4.5 là hình chiếu của một hình chóp cụt có
đáy là hình vuông.
Hình 4.5
74
4.1.5. Các mặt phẳng cắt khối đa diện
Giao tuyến của mặt phẳng với khối đa diện là một đa giác phẳng, cạnh của đa
giác là giao tuyến của mặt phẳng với bề mặt của đa diện, đỉnh của đa giác là giao điểm
của mặt phẳng với cạnh của đa diện.
a) b)
Hình 4.6

Trong hình 4.6 a mặt phẳng Q vuông góc với P
1
cắt hình lăng trụ lục giác đều
tạo thành giao tuyến là một đa giác.

Vì Q ⊥ P
1
nên hình chiếu đứng của giao tuyến trùng với hình chiếu đứng của
mặt phẳng Q, đó là đoạn thẳng A
1
D
1
.
Các mặt bên của lăng trụ vuông góc với P
2
, nên hình chiếu bằng của giao
tuyến trùng với hình chiếu bằng của các mặt bên, chính là lục giác A
2
B
2
C
2
D
2
E
2
F
2
.
Để vẽ hình chiếu cạnh của giao tuyến, ta vẽ hình chiếu cạnh của từng điểm của
giao tuyến (Hình 4.6 b).
4.2. KHỐI TRỤ
4.2.1. Khái niệm
Hình trụ tròn xoay thường gọi là hình trụ, đó là khối hình học được giới hạn
bởi một mặt trụ tròn xoay và hai mặt cắt song song với nhau và vuông góc với trục

quay.
Hình trụ cũng được xem như khối hình học được tạo thành bởi một hình chữ
nhật quay quanh một cạnh của nó (Hình 4.7 e).
75
d) e)
Hình 4.7
4.2.2. Đồ thức của khối trụ
Hình chiếu của khối trụ trên mặt phẳng vuông góc với trục quay là hình tròn có
đường kính bằng đường kính đáy của khối trụ.
Hình chiếu của khối trụ trên mặt phẳng song song với trục quay là các hình chữ
nhật bằng nhau (Hình 4.7e).
4.2.3. Điểm thuộc mặt trụ
76
Muốn xác định một điểm K nằm trên mặt của hình trụ, biết hình chiếu đứng
K
1
, hãy kẻ qua K
1
đường dóng K
1
K
2
với K
2
∈ A
2
B
2
C
2

D
2
. Cách vẽ như hình 4.7e.
4.2.4. Các mặt phẳng cắt khối trụ
Tùy theo vị trí của mặt phẳng đối với trục của hình trụ, ta có các giao tuyến
khác nhau (Hình 4.8).
- Nếu mặt phẳng vuông góc với trục hình trụ thì giao tuyến là một đường tròn
(Hình 4.8a).
- Nếu mặt phẳng nghiêng với trục hình trụ thì giao tuyến là một đường elip
(Hình 4.8b).
- Nếu mặt phẳng song song với trục hình trụ thì giao tuyến là một hình chữ
nhật (Hình 4.8c).
Hình 4.8
Ví dụ 1: Đầu trục vát phẳng (hình 4.9). Phần vát phẳng là do giao tuyến của
mặt phẳng Q song song với trục của hình trụ và mặt phẳng R vuông góc với trục của
hình trụ tạo thành.
Khi vẽ giao tuyến ta vẽ hình chiếu bằng trước và bằng cách xác định điểm nằm
trên mặt trụ ta vẽ hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của giao tuyến.
77
Hình 4.9
Ví dụ 2: Đầu trục xẻ rãnh (hình 4.10). Phần xẻ rãnh là do giao tuyến của hai mặt
phẳng A
1
, A
2
song song với trục của hình trụ và mặt phẳng B vuông góc với trục của
hình trụ tạo thành.
Khi vẽ giao tuyến ta vẽ hình chiếu bằng trước và bằng cách xác định điểm nằm
trên mặt trụ ta vẽ hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của giao tuyến.
Hình 4.10

78
4.3. KHỐI NÓN
4.3.1. Khái niệm
a) b)
Hình 4.11
Hình nón tròn xoay thường gọi là hình nón, đó là khối hình học được giới hạn
bởi một phần mặt nón tròn xoay kể từ đỉnh tới mặt cắt vuông góc với trục quay (Hình
4.11a)
Hình nón cũng được xem như khối tròn được tạo thành bởi một hình tam giác
vuông quay quanh một cạnh góc vuông của nó .
4.3.2. Đồ thức của khối nón
Hình chiếu của khối nón trên mặt phẳng vuông góc với trục quay là hình tròn
có đường kính bằng đường kính đáy của khối nón.
Hình chiếu của khối nón trên mặt phẳng song song với trục quay là các tam
giác cân bằng nhau (Hình 4.11b).
4.3.3. Điểm thuộc mặt nón
Muốn xác định một điểm K nằm trên mặt của hình nón, biết hình chiếu đứng
K
1
, hãy kẻ qua K
1
đường sinh S
1
K
1
, từ đó xác định S
2
K
2
. Cách vẽ như hình 4.11a.

4.3.4. Các mặt phẳng cắt khối nón
Tùy theo vị trí của mặt phẳng đối với trục của hình nón tròn xoay, ta có các
giao tuyến khác nhau (Hình 4.12).
- Nếu mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón thì giao tuyến là một tam giác cân, cạnh
của tam giác cân là đường sinh hình nón (Hình 4.12b).
- Nếu mặt phẳng song song với một đường sinh hình nón thì giao tuyến là một
parabol (Hình 4.12c).
- Nếu mặt phẳng song song với trục hình nón hoặc hai đường sinh hình nón thì
giao tuyến là một hyperbol (Hình 4.12d).
79
a) b) c) d) e)
- Nếu mặt phẳng nghiêng với trục hình nón và cắt tất cả các đường sinh của
hình nón thì giao tuyến là một đường elip (Hình 4.12e).
Hình 4.12
Đồ thức của khối nón cụt (hình 4.13) :
Hình 4.13
4.4. KHỐI CẦU
4.4.1. Đồ thức của khối cầu
Hình chiếu của khối cầu trên các mặt phẳng hình chiếu là các hình tròn có
đường kính bằng đường kính của khối cầu.
Các hình tròn này là đường bao hình chiếu của hình cầu, đồng thời là hình
chiếu của đường tròn lớn song song với mặt phẳng hình chiếu (Hình 4.14b).
80
a) b)
Hình 4.14
4.4.3. Điểm thuộc mặt cầu
Một điểm thuộc mặt cầu khi điểm đó thuộc một đường tròn của mặt cầu. Muốn
xác định một điểm K nằm trên mặt cầu, ta dựng qua điểm đó đường tròn nằm trên mặt
cầu, và mặt phẳng chứa đường tròn đó song song với mặt phẳng hình chiếu. Cách vẽ
như hình 4.14b.

4.4.4. Các mặt phẳng cắt khối cầu
Giao tuyến của mặt phẳng với khối cầu là một hình tròn.
- Nếu mặt phẳng cắt song song với mặt phẳng hình chiếu thì hình chiếu của
đường tròn giao tuyến trên mặt phẳng hình chiếu đó cũng là một đường tròn (Hình
4.15).
- Nếu mặt phẳng nghiêng với mặt phẳng hình chiếu thì hình chiếu của giao
tuyến trên mặt phẳng hình chiếu là một đường elip (Hình 4.16).
Hình 4.15
81
Hình 4.16
Ví dụ 3: Đầu đinh vít chỏm cầu xẻ rãnh (hình 4.17). Phần xẻ rãnh là do giao
tuyến của hai mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh và một mặt phẳng
song song với mặt phẳng hình ciếu bằng tạo thành.
Khi vẽ giao tuyến ta vẽ hình chiếu đứng trước và bằng cách xác định điểm nằm
trên mặt cầu ta vẽ hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh của giao tuyến.
Hình 4.17
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
.
1. Làm thế nào để xác định một điểm thuộc mặt của khối đa diện, một
điểm thuộc mặt của khối chóp, một điểm thuộc mặt của khối tròn xoay, hình cầu ?
2. Cho hai hình chiếu của các khối đa diện (Hình 4.18). Vẽ hình chiếu
thứ ba và các hình chiếu còn lại của điểm nằm trên mặt của khối đa diện.
82
Hình 4.18
3. Cho hai hình chiếu của các khối tròn xoay (Hình 4.19). Vẽ hình chiếu
thứ ba và các hình chiếu còn lại của điểm nằm trên mặt của khối tròn xoay.
83
Hình 4.19
84
4. Vẽ hình chiếu cạnh của các khối lăng trụ bị cắt một phần (Hình 4.20 ,

4.21).
Hình 4.20
Hình 4.21
5. Hoàn thiện hình chiếu bằng và vẽ hình chiếu cạnh của các khối tròn
xoay bị cắt một phần (Hình 4.22).
85
Hình 4.22
86
87