Chương 9: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC potx

Ch ơng 9 : Ma trận - Định thức
9.1. Ma trận
9.1.1. Định nghĩa ma trận.
Định nghĩa 9.1. Một tập hợp m
ì
n số thực đợc sắp xếp có thứ tự thành một
bảng gồm m dòng và n cột đợc gọi là một ma trận cấp m
ì
n, ký hiệu là:
A =
( )
n
n
ij
m n
m m mn
m n
a a a
a a a
a
. . .
a a a
ì
ì



=

11 12 1
21 22 2
1 2
,
trong đó m, n là các số nguyên dơng; số a
ij
(
i ,m; j ,n= =1 1
) đợc gọi là phần
tử nằm trên dòng i và cột j của ma trận.
Chú ý 9.1. Trong chơng này ta luôn giả thiết cấp của một ma trận là tích
của hai số nguyên dơng.
Hai ma trận cùng cấp đợc gọi là bằng nhau nếu các phần tử tơng ứng
của chúng bằng nhau và đợc gọi là khác nhau nếu có ít nhất một phần tử
khác nhau.
Một ma trận cấp m
ì
n mà tất cả các phần tử của nó đều bằng 0 đợc gọi
là ma trận không cấp m
ì
n, ký hiệu là 0
m
ì
n
. Vậy :
0
m
ì
n
=

m n


. . .

ì






0 0 0
0 0 0
0 0 0
.
Một ma trận cấp n
ì
n đợc gọi là ma trận vuông cấp n.
A =
( )
n
n
ij
n n
n n nn
n n
a a a
a a a
a

. . .
a a a
ì
ì



=



11 12 1
21 22 2
1 2
,
trong ma trận vuông cấp n, đờng chéo đi từ a
11
đến a
nn
đợc gọi là đờng chéo
chính, đờng chéo đi từ a
n1
đến a
1n
đợc gọi là đờng chéo phụ.
Một ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đờng chéo chính (hoặc đ-
ờng chéo phụ) là những số khác 0, các phần tử khác đều bằng 0 đợc gọi là
ma trận đờng chéo cấp n. Chẳng hạn,
n n

. . .

ì







1 0 0
0 2 0
0 0 1
,
n n
n
n
. .

ì







0 0 0
0 0 1 0

0 0
1 0 0 0
.
Một trận đờng chéo cấp n có các phần tử trên đờng chéo chính đều bằng
1 đợc gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu là E
m
ì
n
. Vậy:
E
m
ì
n
=
n n


. . .

ì






1 0 0
0 1 0
0 0 1
.

Một ma trận cấp m
ì
n đợc gọi là ma trận hình thang nếu phần khác 0
trong ma trận đó lập thành một hình thang vuông. Chẳng hạn, các ma trận
sau là các ma trận hình thang:
ì







4 4
1 2 3 5
0 1 4 2
0 0 2 1
0 0 0 0
,


ì







4 4

0 0 0
0 0 0
3 4 8 0
1 2 5 1
,
ì







4 5
3 2 6 1 1
2 1 7 9 0
1 2 5 0 0
0 0 0 0 0
,
ì






4 5
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 2 5 0 0

1 1 0 2 0
.
Nhận xét 9.1. Cho A = (a
ij
)
m
ì
n
. Nếu gọi A
1
, A
2
, , A
n
lần lợt là các cột của ma
trận A. Thì ma trận A là một hệ gồm n vectơ cột m chiều, hay A = (A
1
, A
2
, ,
A
n
). Nếu gọi A
1
, A
2
, , A
m
lần lợt là các dòng của ma trận A. Thì ma trận A
là một hệ gồm m vectơ cột n chiều, hay

A =
m
A
A
.
.
.
A

ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ

1
2
.
9.1.2. Các phép tính về ma trận.
Định nghĩa 9.2. Cho ma trận
A =
n
n
m m mn
m n
a a a
a a a

. . .
a a a
ì






11 12 1
21 22 2
1 2
.
Ma trận chuyển vị của ma trận A đợc ký hiệu và xác định nh sau:
A
T
=
n
n
n n n
n m
a a a
a a a
. . .
a a a m
ì

11 21 1
12 22 2
1 2
.
Ví dụ 9.1.
A =
T
A
ì
ì





=






3 4
4 3
1 2 6
1 0 2 3
0 4 5
2 4 0 1

2 0 7
6 5 7 9
3 1 9
.
Nhận xét 9.2. Với mọi ma trận A ta luôn có:
T T
(A ) A.=
Định nghĩa 9.3. Các phép biến đổi sau đây thực hiện vào một ma trận đợc
gọi là các phép biến đổi sơ cấp:
Đổi chỗ hai dòng (hoặc hai cột) của ma trận cho nhau.
Nhân các phần tử trên cùng một dòng (hoặc một cột) của ma trận với
một hằng số khác 0.
Nhân các phần tử trên cùng một dòng (hoặc một cột) của ma trận với
một hằng số rồi cộng tơng ứng vào một dòng (hoặc một cột) khác.
Nhận xét 9.3. Các phép biến đổi sơ cấp thực hiện vào một ma trận chính là
các phép biến đổi sơ cấp thực hiện vào hệ các véctơ dòng (hoặc hệ các véctơ
cột) của ma trận đó.
Định nghĩa 9.4. Cho hai ma trận A = (a
ij
)
m
ì
n
và B = (b
ij
)
m
ì
n
thì tổng của hai

ma trận này là một ma trận đợc ký hiệu và xác định nh sau:
A + B =(a
ij
+ b
ij
)
m
ì
n
.
Nhận xét 9.4. Cần lu ý rằng chỉ có tổng của hai ma trận cùng cấp mà
không có tổng của hai ma trận khác cấp.
Định nghĩa 9.5. Cho ma trận A = (a
ij
)
m
ì
n
và k là hằng số thì tích của số k
với ma trận A là một ma trận đợc ký hiệu và xác định nh sau:
kA = (ka
ij
)
m
ì
n
.
Định nghĩa 9.6. Cho ma trận A = (a
ij
)

m
ì
n
. Gọi A
1
, A
2
, , A
n
lần lợt là các cột
của ma trận A; B là vectơ cột m chiều và k là số nguyên dơng thoả mãn
1 k n. Phép thế vectơ cột B vào vị trí cột k của A là bỏ cột thứ k của
A đi và thay vào đó cột B. Ma trận nhận đợc, đợc ký hiệu và xác định nh
sau:
A
k
(B) = (A
1
, A
2
, , A
k-1
, B, A
k+1
, , A
n
) nếu 1< k < n;
A
1
(B) = (B, A

2
, A
3
, , A
n
) nếu k = 1;
A
n
(B) = (A
1
, A
2
, , A
n-1
, B) nếu k = n.
Tơng tự ta có phép thế vào dòng.
Ví dụ 9.2. Cho vectơ B = (a, b, c) và ma trận A =





1 2 3
9 6 0
8 7 4
. Khi đó, ta có:
A
2
(B) =
a b c

1 2 3
8 7 4
, A
3
(B
T
) =
a
b
c





1 2
9 6
8 7
.
Tính chất 9.1. Cho A, B, C là các ma trận cùng cấp; k là số thực. Thì:
A + B = B + A, k(A + B) = kA + kB, (A + B) + C = A + (B + C).
Định nghĩa 9.7. Cho hai ma trận A = (a
ij
)
m

ì
n
, B = (b
ij
)
n
ì
p
. Tích của hai ma
trận A và B là ma trận đợc ký hiệu và xác định nh sau: AB = (c
ij
)
m
ì
p
trong đó
c
ij
= a
i1
b
1j
+ a
i2
b
2j
+ + a
in
b
nj

(i = 1, 2, 3, , n; j =1, 2, 3, ,p).
Nhận xét 9.5.
(i) Hai ma trận nhân đợc với nhau nếu số cột của ma trận bị nhân bằng
số dòng của ma trận nhân. Ma trận tích có số dòng bằng số dòng của ma
trận bị nhân, số cột bằng số cột của ma trận nhân.
(ii) Phần tử nằm trên dòng i và cột j của ma trận tích bằng, các phần tử
nằm trên dòng i của ma trận bị nhân, nhân tơng ứng với các phần tử nằm
trên cột j của ma trận nhân rồi cộng lại.
(iii) Ma trận A có thể nhân đợc với ma trận B, nhng B cha chắc đã nhân
đợc với A (chẳng hạn số cột của B khác số dòng của A). Vì vậy phép nhân ma
trận không giao hoán.
Ví dụ 9.3. Cho hai ma trận A =
,B
ì
ì





=






3 4
4 3
1 2 6

1 0 2 3
0 4 5
2 4 0 1
2 0 7
6 5 7 9
3 1 9
. Thì
AB =
c c c
c c c
c c c





11 12 13
21 22 23
31 32 33
=





14 5 47
5 21 41
47 41 191
,
BA =

41 38 44 59
38 41 35 49
44 35 53 69
59 49 69 91
.
Nhận xét 9.6. Nếu A = (a
ij
)
m
ì
n
thì AE
n
ì
n
= A và E
m
ì
m
A= A.
9.2. định thức
9.2.1. Hoán vị và nghịch thế.
Định nghĩa 9.7. Cho n số nguyên, dơng đầu tiên 1,2,3, , n. Mỗi cách sắp
xếp vị trí của n số đó đợc gọi là một hoán vị của n số đó. Nếu trong một hoán

vị, mà một số đứng trớc lớn hơn một số đứng sau thì tạo thành một nghịch
thế. Số nghịch thế của một hoán vị là tổng các nghịch thế có trong hoán vị
đó.
Ký hiệu số nghịch thế của hoán vị (j
1
,j
2
, ,j
n
) là N(j
1
,j
2
, ,j
n
). Hoán vị
(j
1
,j
2
, ,j
n
) đợc gọi là hoán vị chẵn (hoặc lẻ) nếu N(j
1
, j
2
, , j
n
) là số chẵn (hoặc
số lẻ).

Ví dụ 9.4.
(i) Nếu n = 1. Thì có một hoán vị là (1), N(1) = 0.
(ii) Nếu n = 2. Thì có hai hoán vị là (1,2) và (2,1). N(1,2) = 0, N(2,1) = 1.
(iii) Nếu n = 3. Thì có 6 hoán vị là:
(1,2,3), N(1,2,3) = 0; (1,3,2), N(1,3,2) = 1; (2,1,3), N(2,1,3) = 1;
(2,3,1), N(2,3,1) = 2; (3,1,2), N(3,1,2) = 2; (3,2,1), N(3,2,1) = 3.
Chú ý 9.2. Với n số thì có n! hoán vị.
Tính chất 9.2. Nếu đổi chỗ hai số trong một hoán vị cho nhau thì số nghịch
thế của nó thay đổi tính chẵn (lẻ). Nghĩa là, nếu (j
1
,j
2
, , j
i
, , j
k
, , j
n
) là hoán
vị chẵn thì (j
1
, j
2
, , j
k
, , j
i
, , j
n
) là hoán vị lẻ và ngợc lại.

9.2.2. Định nghĩa định thức.
Định nghĩa 9.8. Cho A =(a
ij
)
m
ì
n
là ma trận vuông cấp n. Từ mỗi dòng của A
lấy tuỳ ý một phần tử sao cho không có hai phần tử nào nằm trên cùng một
cột, chẳng hạn nếu xếp theo thứ tự tăng dần của dòng các phần tử đó là a
j
1
1
, a
j
2
1
, , a
n
j1
(từ ma trận A lấy ra đợc n! bộ số nh trên). Khi đó, định thức của
ma trận A là:
( )
( )
( )
n
n
n
N j ,j , ,j
j j jn

j ,j , ,j
a a a



1 2
1 2
1 2
1 2
1
và đợc ký hiệu là: D, hoặc
A, hoặc det(A), hoặc
n
n
n n nn
a a a
a a a
. . .
. . .
a a a
11 12 1
21 22 2
1 2
. Vậy:
A =
( )
( )
( )

1 2
1 2
1 2
1 2
1
n
n
n
N j ,j , ,j
j j jn
j ,j , ,j
a a a
. (9.1)
Nhận xét 9.7. Tổng (9.1) có n! số hạng và còn đợc viết dới dạng:
A=



1 2
1 2
1 2
1 2
1
n
n
n
N(i ,i , ,i )
i i i n
(i ,i , ,i )

( ) a a a
. (9.2)
Ví dụ 9.5. (i) n =1 A= a
11
= (1)
0
a
11
= a
11
.
(ii) n = 2 A=
N( , ) N( , )
a a
( ) a a ( ) a a a a a a
a a
= + =
11 12
1 2 2 1
11 22 12 21 11 22 12 21
21 22
1 1
.
(iii) n = 3 A=
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33

=
N( , , ) N( , , )
( ) a a a ( ) a a a +
1 2 3 1 3 2
11 22 33 11 23 32
1 1
+
N( , , ) N( , , )
( ) a a a ( ) a a a +
2 1 3 2 3 1
12 21 33 12 23 31
1 1
+
N( , , ,) N( , , )
( ) a a a ( ) a a a +
3 1 2 3 2 1
13 21 32 13 22 31
1 1
=
a a a a a a a a a+ +
11 22 33 12 23 31 13 22 31
a a a
11 23 32
a a a
12 21 33
a a a
13 21 32
.
Nhận xét 9.8. Trong định thức cấp ba có ba số hạng mang dấu cộng là tích
của ba số đi theo đờng chéo chính và song song đờng chéo chính, ba số hạng

mang dấu trừ là tích của ba số đi theo đờng chéo phụ và song song đờng
chéo phụ.
9.2.3. Tính chất của định thức.
Định lý 9.1. Cho ma trận A =(a
ij
)
n
ì
n
. Khi đó, định thức của ma trận không
thay đổi qua phép chuyển vị, nghĩa là:
T
A A=
.
Chứng minh. Vì A =(a
ij
)
n
ì
n
A
T
=(a
ji
)
n
ì
n
. Theo định nghĩa của định thức và
các công thức (9.1), (9.2) ta có:

A=
n
n
n
N( j ,j , ,j )
j j nj
( j ,j , ,j )
( ) a a a



1 2
1 2
1 2
1 2
1
=
n
n
n
N( j ,j , ,j )
j j j n
( j ,j , ,j )
( ) a a a



1 2
1 2
1 2

1 2
1
=A
T
.
Nhận xét 9.9. Vì phép chuyển vị của ma trận là phép chuyển dòng j (j
=1,2, ,n) của ma trận A (tơng ứng) thành cột j của ma trận A
T
, nên từ định
lý 9.1 ta suy ra: các tính chất của định thức đúng cho các dòng thì
cũng đúng cho các cột của định thức đó .
Định lý 9.2. Nếu đổi chỗ hai dòng của định thức cho nhau (hai cột của định
thức cho nhau) thì định thức đổi dấu.
Chứng minh. Sử dụng kết quả của nhận xét 9.9, nên ta chỉ cần chứng
minh định lý cho phép đổi chỗ hai cột cho nhau.
Cho A = (a)
n
ì
n
với các cột là A
1
, A
2
, , A
n
. Giả sử đổi chỗ cột thứ j và cột
thứ k của |A| cho nhau (1 j < k n) đợc định thức mới ký hiệu là |A

|. Ta
có: |A| =|A

1
,A
2
, ,A
j
, , A
k
, ,A
n
|
=
j k n
j k n
j k n
N(i ,i , ,i , ,i , ,i )
i j i j i k i n
(i ,i , ,i , ,i , i )
( ) a a a a a



1 2
1 2
1 2
1 2
1
=
k j n
k j n
k j n

N(i ,i , ,i , ,i , ,i )
i j i k i j i n
(i ,i , ,i , ,i , i )
( ) a a a a a



1 2
1 2
1 2
1 2
1
= |A
1
,A
2
, ,A
k
, , A
j
, ,A
n
| = |A

|.
Hệ quả 9.2.1. Nếu trong một định thức có hai dòng bằng nhau (hoặc hai cột
bằng nhau) thì định thức bằng 0.
Ví dụ 9.6. Cho a
1
, a

2
, , a
n
là các số thực khác nhau. Giải phơng trình:
n
n
n
n n n
x x x
a a a
. . . .
a a a
=
2
2
1 1 1
2
1
1
0
1
.
Giải.
Vế trái của phơng trình là định thức cấp n +1 nên có (n +1)! số hạng.
Mỗi số hạng là tích của n +1 thừa số, mỗi thừa số nằm trên một dòng của
định thức. Vì vậy, mỗi số hạng của định thức chỉ có một thừa số nằm trên
dòng 1 có chứa x với luỹ thừa bậc cao nhất là n, các thừa số khác đều là hằng
số. Hay phơng trình đã cho là phơng trình bậc n theo x, do đó có nhiều nhất
là n nghiệm.
Nếu x = a

1
thì dòng 1 và dòng 2 của định thức bằng nhau nên định thức
bằng 0, hay x = a
1
là một nghiện của phơng trình.
Tơng tự, ta đợc x = a
1
, x = a
2
, , x = a
n
là n nghiệm cần tìm của phơng
trình.
Định lý 9.3. Nếu nhân tất cả các phần tử nằm một dòng (hoặc một cột) với
một số thì định thức đợc nhân với số đó. Chẳng hạn, gọi A
1
,A
2
, ,A
j
, ,A
n
lần
lợt là các cột của |A| với A = (a)
n
ì
n
và k là số thực. Thì:
|A
j

(kA
j
)| = k|A| |A
1
,A
2
, ,kA
j
, ,A
n
| = k|A|.
Chứng minh. Theo định nghĩa định thức ta có:
kA= k
k n
k n
k n
N( j ,j , ,j , j )
j j kj nj
( j ,j , ,j , j )
( ) a a a a



1 2
1 2
1 2
1 2
1
=
k n

k n
k n
N( j ,j , ,j , j )
j j kj nj
( j ,j , ,j , j )
( ) a a ka a



1 2
1 2
1 2
1 2
1
=|A
1
,A
2
, ,kA
j
, ,A
n
|.
Hệ quả 9.3.1. Nếu trong một định thức có một dòng (hoặc một cột) bằng
không thì định thức đó bằng 0.
Hệ quả 9.3.2. Nếu trong một định thức có hai dòng (hoặc hai cột) tỷ lệ với
nhau thì định thức đó bằng 0.
Định lý 9.4 (Tính chất tuyến tính). Cho A là ma trận vuông cấp n với các
cột là A
1

, A
2
, , A
n
; B
1
, B
2
, , B
m
là các vectơ cột n chiều; k
1
, k
2
, , k
m
là các số
thực ; j là chỉ số cột của A (1 j n). Thì:
|A
j
(k
1
B
1
+ k
2
B
2
+ + k
m

B
m
)| = k
1
|A
j
(B
1
)| + k
2
|A
j
(B
2
)| + + k
m
|A
j
(B
m
)|
|A
1
,A
2
, ,A
j-1
, k
1
B

1
+ k
2
B
2
+ + k
m
B
m
, A
j+1
, ,A
n
|
= k
1
|A
1
,A
2
, ,A
j-1
,B
1
,A
j+1
, ,A
n
|+ k
2

|A
1
,A
2
, ,A
j-1
,B
2
,A
j+1
, ,A
n
|+
+ k
m
|A
1
,A
2
, ,A
j-1
,B
m
,A
j+1
, ,A
n
|.
Hệ quả 9.4.1. Nếu cộng vào một cột (hoặc một dòng) một tổ hợp tuyến tính
của các cột (hoặc dòng) khác thì giá trị của định thức không đổi.

Chứng minh. Giả sử |A| là định thức cấp n với các cột là A
1
, A
2
, , A
n
; cộng
vào cột 1 tổng k
2
A
2
+ k
3
A
3
+ + k
n
A
n
với k
2
, k
3
, , k
n
là các số thực. Thì định
thức mới là:|A
1
+ k
2

A
2
+ k
3
A
3
+ + k
n
A
n
,A
2
,A
3
, ,A
n
| = |A
1
,A
2
,A
3
, ,A
n
| +
k
2
|A
2
,A

2
,A
3
, ,A
n
|+ k
3
|A
3
,A
2
,A
3
, ,A
n
|+ + k
n
|A
n
,A
2
,A
3
, ,A
n
| = |A|.
Các trờng hợp khác, chứng minh tơng tự.(đpcm)
Hệ quả 9.4.2. Nếu trong một định thức có một dòng (hoặc cột) là tổ hợp
tuyến tính của các dòng (hoặc cột) khác thì định thức bằng 0.
Chứng minh. Giả sử |A| là định thức cấp n với các cột là A

1
, A
2
, , A
n
; có A
1
= k
2
A
2
+ k
3
A
3
+ + k
n
A
n
với k
2
,k
3
, ,k
n
là các số thực. Thì định thức đó là:
|k
2
A
2

+ k
3
A
3
+ + k
n
A
n
,A
2
,A
3
, ,A
n
|
= k
2
|A
2
,A
2
,A
3
, ,A
n
|+ k
3
|A
3
,A

2
,A
3
, ,A
n
|+ + k
n
|A
n
,A
2
,A
3
, ,A
n
| = 0.
Các trờng hợp khác, chứng minh tơng tự.(đpcm)
Hệ quả 9.4.3. Nếu trong một định thức có hệ các vectơ dòng (hoặc cột) là hệ
phụ thuộc tuyến tính thì định thức bằng 0.
Chứng minh. Giả sử |A| là định thức cấp n với các cột là A
1
, A
2
, , A
n
; có hệ
các vectơ cột phụ thuộc tuyến tính. Thì trong hệ các vectơ cột đó có ít nhất
một vectơ biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại của hệ. Chẳng hạn đó là
A
1

. Thì: A
1
= k
2
A
2
+ k
3
A
3
+ + k
n
A
n
với k
2
,k
3
, ,k
n
là các số thực. Thì định thức
đó là:
|k
2
A
2
+ k
3
A
3

+ + k
n
A
n
,A
2
,A
3
, ,A
n
|
= k
2
|A
2
,A
2
,A
3
, ,A
n
|+ k
3
|A
3
,A
2
,A
3
, ,A

n
|+ + k
n
|A
n
,A
2
,A
3
, ,A
n
| = 0.
Các trờng hợp khác, chứng minh tơng tự.(đpcm)
Hệ quả 9.4.4. Nếu định thức khác 0 thì hệ các vectơ dòng (cột) của nó độc
lập tuyến tính.
Chứng minh.
Giả sử |A| 0 mà hệ { A
1
, A
2
, , A
n
} các vectơ cột của nó phụ thuộc tuyến
tính. Theo hệ quả 9.4.3 thì |A| = 0, trái với giả thiết (đpcm) .
Ví dụ 9.7. Tính các định thức sau:
a) D
1
=
12345 12347
22345 22347

, b) D
2
=
a (a ) (a ) (a )
b (b ) (b ) (b )
c (c ) (c ) (c )
d (d ) (d ) (d )
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
.
Giải.
a) Lấy cột thứ 2 trừ đi cột thứ nhất và áp dụng hệ quả 9.4.1 ta có:
D
1
=
=
12345 2
22345 2
2
=

12345 1
20000
22345 1
.
b) Đặt: A =
a
b
c
d







2
2
2
2
, B =
a
b
c
d

, C =






1
1
1
1
.
áp dụng định lý 9.4 ta có:
D
2
= |A, A+2B+C, A+4B+4C, A+6B+9C|
= |A,A,A+4B+4C,A+6B+9C| + 2|A,B,A+4B+4C,A+6B+9C| +
|A,C,A+4B+4C,A+6B+9C|
=2|A,B,A,A+6B+9C| + 8|A,B,B,A+6B+9C| + 8|A,B,C,A+6B+9C|+
+ |A,C,A,A+6B+9C| + 4|A,C,B,A+6B+9C| + 4|A,C,C,A+6B+9C|
= 8|A,B,C,A+6B+9C| 4|A,B,C,A+6B+9C|
= 4|A,B,C,A+6B+9C|
= 4|A,B,C,A| + 24|A,B,C,B| + 36|A,B,C,C| = 0.
9.3. khai triển định thức
Trong phần định thức, chúng ta mới chỉ tính đợc các định thức đến
cấp 3. Trong phần này, chúng ta đa ra phơng pháp khai triển định thức
để từ đó ta tính đợc định thức các cấp.
9.3.1. Phần phụ đại số.
Cho D = |A| với A = (a

ij
)
n
ì
n
. Nh ta đã biết det(a
ij
) = |a
ij
| = a
ij
.
Phần tử a
ij
đợc gọi là định thức con cấp 1 của D. Trong định thức D, sau
khi bỏ đi dòng thứ i và bỏ đi cột thứ j (i =1,2, ,n; j =1,2, ,n) chỉ còn n 1
dòng và n 1 cột. Các phần tử nằm trên giao điểm của n 1 dòng và n 1 cột
còn lại đó (giữ nguyên thứ tự của các dòng và các cột) tạo thành một định
thức cấp n 1 ký hiệu là M
ij
và đợc gọi là định thức con bù của phần tử a
ij
.
Định nghĩa 9.9. Cho D = |A| với A = (a
ij
)
n
ì
n
. Phần phụ đại số (hoặc phần bù

đại số) của phần tử a
ij
(i =1,2, ,n; j =1,2, ,n) đợc ký hiệu và xác định nh
sau:
A
ij
= (1)
i

+

j
M
ij
,
trong đó M
ij
là định thức con bù của phần tử a
ij
.
Ví dụ 9.8. Cho D =



1 3 2
0 2 4
3 0 7
. Thì:
A
11

= (1)
1
+
1
M
11
= (1)
2

=

2 4
14
0 7
, A
12
= (1)
1
+
2
M
12

= (1)
3

=

0 4
12

3 7
,
A
13
= (1)
1
+
3
M
13

= (1)
4
=
0 2
6
3 0
, A
21
= (1)
2
+
1
M
21

= (1)
3

=

3 2
21
0 7
.
9.3.2. Công thức khai triển định thức theo một dòng (hoặc cột).
Cho D = |A| với A = (a
ij
)
n
ì
n
. Ngời ta chứng minh đợc các công thức sau:
Công thức khai triển định thức theo dòng thứ i (i =1,2, ,n):
D = a
i1
A
i1
+ a
i2
A
i2
+ + a
in
A
in
.
Công thức khai triển định thức theo cột thứ j (j =1,2, ,n):
D = a
1j

A
1j
+ a
2j
A
2j
+ + a
nj
A
nj
.
Nhận xét 9.10.
(i) Từ các công thức khai triển định thức theo một dòng (hoặc một cột) ta
thấy nên chọn dòng (hoặc cột) có nhiều phần tử bằng 0 để khai triển vì phần
tử nào bằng 0 thì không cần phải tính phần phụ đại số của nó.
(ii) Nếu trong định thức cần tính có ít phần tử bằng 0 (thậm chí không có).
Thì ta sử dụng các tính chất của định thức, để chuyển việc tính định thức
đã cho về tính định thức mới có nhiều phần tử bằng 0, thậm chí có dòng
(hoặc cột) chỉ có 1 phần tử khác 0. Các ví dụ sau đây sẽ minh hoạ cho nhận
xét 9.10.
Ví dụ 9.9. Tính các định thức sau:
(i) |A| =
n
a
a
. . .
a
1
2
0 0

0 0
0 0
, với a
1
, a
2
, , a
n
là các số thực.
(ii) |A| =
n
n
nn
a a a
a a
. . .
a
11 12 1
22 2
0
0 0
, với a
ij
(i, j =1,2, ,n) là các số thực.
Giải. (i) Khai triển định thức theo cột 1 ta đợc:
|A| = a
1
(−1)
2
n

a
a
. . .
a
2
3
0 0
0 0
0 0
.
Khai triÓn ®Þnh thøc theo cét 1 ta ®îc:
|A| = a
1
a
2
(−1)
2
n
a
a
. . .
a
3
4
0 0
0 0
0 0
.
T¬ng tù nh trªn ta suy ra |A| = a
1

a
2
a
n
. Tõ vÝ dô 9.9 (i) ta cã |E
n
×
n
| = 1
víi n nguyªn d¬ng.
(ii) Khai triÓn ®Þnh thøc theo cét 1 ta ®îc:
|A| = a
11
(−1)
2
n
n
nn
a a a
a a
. . .
a
22 23 2
33 3
0
0 0
.
Khai triÓn ®Þnh thøc theo cét 1 ta ®îc:
|A| = a
11

a
22
(1)
2
n
n
nn
a a a
a a
. . .
a
33 34 3
44 4
0
0 0
.
Tơng tự nh trên ta suy ra |A| = a
11
a
22
a
nn
.
Ví dụ 9.10. Tính các định thức sau:
(i) |A| =
n
a
a
. . . .
a

1
2
0 0 0
0 0 0
0 0 0
, với a
1
, a
2
, , a
n
là các số thực.
(ii) |A| =
n
(n ) n
n n n(n ) nn
a
a a
. . . .
a a a a


1
2 1 2
1 2 1
0 0 0
0 0
, với a
ij
(i, j =1,2, ,n) là các số thực.

Giải.
(i) Khai triển định thức theo cột 1 ta đợc:
|A| = a
n
(1)
1
+
n
n
a
a
. . . .
a

1
2
1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
.
Khai triển định thức theo cột 1 ta đợc:
|A| = a
n
a
n

1
(1)
1

+
n
(1)
1+(n-1)

n
a
a
. . . .
a

1
2
2
0 0 0
0 0 0
0 0 0
.
Tơng tự nh trên ta suy ra
|A| = (1)
2(1
+
2+ +n)
a
1
a
2
a
n
= (1)

n(1
+
n)
a
1
a
2
a
n
.
(ii) Khai triển định thức theo cột 1 ta đợc:
|A| = a
n1
(1)
1
+
n
n
(n ) n
(n ) (n ) (n )(n ) (n )n
a
a a
. . . .
a a a a


1
2 1 2
1 2 1 3 1 1 1
0 0 0

0 0
.
Khai triển định thức theo cột 1 ta đợc:
|A| = a
n1
a
(n

1)2
(1)
1
+
n
(1)
1+(n-1)

n
(n ) n
(n ) (n ) (n )(n ) (n )n
a
a a
. . . .
a a a a


1
2 1 2
2 3 2 4 2 1 2
0 0 0
0 0

.
Tơng tự nh trên ta suy ra
|A| = (1)
2(1
+
2+ +n)
a
n1
a
(n-1)2
a
nn
= (1)
n(1
+
n)
a
n1
a
(n-1)2
a
nn
.
Ví dụ 9.11. Tính |A| =
1 2 3 4 5
2 2 3 4 5
3 3 3 4 5
4 4 4 4 5
5 5 5 5 5
.

Giải. Nhân dòng 1 với (2) rồi cộng vào dòng 2, Nhân dòng 1 với (3) rồi
cộng vào dòng 3, Nhân dòng 1 với (4) rồi cộng vào dòng 4, Nhân dòng 1 với
(5) rồi cộng vào dòng 5.
Nh vậy ta đã thêm vào các dòng (từ dòng 2 đến dòng 5) một tổ hợp
tuyến tính của các dòng còn lại. Theo hệ quả 9.4.1 thì giá trị của định thức
không đổi. Vậy:
|A| =




1 2 3 4 5
0 2 3 4 5
0 3 6 8 10
0 4 8 12 15
0 5 10 15 20
.
Khai triển định thức theo cột 1 ta đợc:
|A| = 1. (1)
2





2 3 4 5
3 6 8 10
4 8 12 15
5 10 15 20
.

áp dụng định lý 9.3 ta có:
|A| = 5(1)
4
2 3 4 5
3 6 8 10
4 8 12 15
1 2 3 4
Nhân cột 1 với (2) rồi cộng vào cột 2, Nhân cột 1 với (3) rồi cộng vào
cột 3, Nhân cột 1 với (4) rồi cộng vào cột 4 ta có:
|A| = 5



2 1 2 3
3 0 1 2
4 0 0 1
1 0 0 0
.
Khai triển định thức theo dòng 4 ta đợc:
|A| = 5(1)
5
.

=

1 2 3
0 1 2 5
0 0 1

9.4. Ma trận nghịch đảo

9.4.1.Định nghĩa ma trận nghịch đảo.
Định nghĩa 9.10. Cho A và X là các ma trận vuông cấp n. Ma trận X đợc
gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A nếu:
XA = AX = E
n
ì
n
.
Ma trận nghịch đảo của ma trận A đợc ký hiệu là A

1
. Vậy
A

1
A = A A

1
= E
n
ì
n
.
Định lý 9.5. Nếu ma trận A = (a
ij
)
n
ì
n
có ma trận nghịch đảo thì ma trận

nghịch đảo đó là duy nhất.
Chứng minh. Giả sử ma trận A có hai ma trận nghịch đảo
A
1
1
và
A
1
2
.
Theo định nghĩa 9.10 ta có:

A
1
1
A = A
A
1
1
= E
n
ì
n
,
A
1
2
A = A
A
1

2
= E
n
ì
n
.
Nhân bên trái cả hai vế của A
A
1
1
= E
n
ì
n
với
A
1
2
ta đợc:

A
1
2
A
A
1
1
=
A
1

2
E
n
ì
n
(
A
1
2
A)
A
1
1
=
A
1
2
E
n
ì
n
A
1
1
=
A
1
2

A

1
1
=
A
1
2
. (đpcm)
9.4.2. Phơng pháp tìm ma trận nghịch đảo.
Định nghĩa 9.11. Cho A là ma trận vuông cấp n. Ma trận phụ hợp của ma
trận A đợc ký hiệu và xác định nh sau:
n
n
n n nn
n n
A A A
A A A
A
. . .
A A A
ì



=



11 21 1
12 22 2
1 2

.
Định lý 9.6. Cho A là ma trận vuông cấp n. Nếu
A
là ma trận phụ hợp của
ma trận A thì:
A
A
=
A
A = |A|E
n
ì
n
=
n n
A
A
. . .
A
ì
0 0
0 0
0 0
.
Chứng minh. Giả sử A
A
= (c
ij
)
n

ì
n
. Theo công thức khai triển định thức
theo một dòng ta có: c
ii
= a
i1
A
i1
+ a
i2
A
i2
+ + a
in
A
in
= |A| (i =1,2, ,n).
Nếu trong định thức có dòng i bằng dòng j thì công thức khai triển định
thức theo i là. a
i1
A
i1
+ a
i2
A
i2
+ + a
in
A

in
= a
i1
A
j1
+ a
i2
A
j2
+ + a
in
A
jn
=0. Vậy:
c
ij
= a
i1
A
j1
+ a
i2
A
j2
+ + a
in
A
jn
= 0

(i, j =1,2, ,n; i j). (đpcm)
Định nghĩa 9.12. Cho A là ma trận vuông cấp n. Ma trận A đợc gọi là ma
trận không suy biến nếu |A| 0 và đợc gọi là ma trận suy biến nếu |A| = 0.
Ví dụ 9.12. Ma trận A =





1 2 3
0 3 1
2 7 7
là ma trận suy biến vì |A| = 0. Ma trận
A =





1 2 3
0 3 1
0 7 7
là ma trận không suy biến vì |A| = 14 0.
Định lý 9.7. Cho A là ma trận vuông cấp n. Điều kiện cần và đủ để ma trận
A có ma trận nghịch đảo là ma trận A không suy biến.
Chứng minh. Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo A

1
thì A A

1
= E
n
ì
n
.
Suy ra: | A A

1
| = |E
n
ì
n
| |A||A

1
| = 1 |A| 0.
Ngợc lại, nếu A là ma trận không suy biến |A| 0. Gọi
A
là ma trận
phụ hợp của A. Theo các định lý 9.5 và 9.6 thì: A
A
=
A
A = |A|E
n
ì
n
.
A

1
=
A
A
là ma trận nghịch đảo duy nhất của A. (đpcm)
Quy tắc tìn ma trận nghịch đảo.
Tính |A|. Nếu |A| = 0, khẳng định ma trận A suy biến do đó không có
ma trận nghịch đảo.
Nếu |A| 0, khẳng định ma trận A không suy biến do đó không có duy
nhất ma trận nghịch đảo .
Tính
A
và tính A

1
=
A
A
.
Ví dụ 9.13. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận
A =





1 3 2
2 1 2
3 4 1

.
Giải. Ta có |A| = 15 0, ma trận A không suy biến nên có duy nhất A

1
=
A
A
.
A
11
=
( ) =
2
1 2
1 7
4 1
, A
12
=
( ) =
3
2 2
1 4
3 1
, A
13
=
( ) =
4
2 1

1 5
3 4
,
A
21
=
( ) =
3
3 2
1 5
4 1
, A
22
=
( ) =
4
1 2
1 5
3 1
, A
23
=
( ) =
5
1 3
1 5
3 4
,
A
31

=
( ) =
4
3 2
1 4
1 2
, A
32
=
( ) =
5
1 2
1 2
2 2
, A
33
=
( ) =
6
1 3
1 5
2 1
.
Vậy
A
=

7 5 4
4 5 2
5 5 5
nên A

1
=
A
A
=
1
15








7 5 4
4 5 2
5 5 5
.
Ví dụ 9.14. Cho ma trận A =

1 3 2
2 1 2
3 4
.
1) Với giá trị nào của thì ma trận A có ma trận nghịch đảo?
2) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A khi = 0.
Giải.
1) Điều kiện cần và đủ để ma trận A có ma trận nghịch đảo là ma trận A
không suy biến |A| 0 20 5 0 4.
2) Với = 0 thì A =





1 3 2
2 1 2
3 4 0
, |A| = 20 0, A có duy nhất ma trận A

1
.
A
11
=

( ) =
2
1 2
1 8
4 0
, A
12
=
( ) =
3
2 2
1 6
3 0
, A
13
=
( ) =
4
2 1
1 5
3 4
,
A
21
=
( ) =
3
3 2
1 8
4 0

, A
22
=
( ) =
4
1 2
1 6
3 0
, A
23
=
( ) =
5
1 3
1 5
3 4
,
A
31
=
( ) =
4
3 2
1 4
1 2
, A
32
=
( ) =
5

1 2
1 2
2 2
, A
33
=
( ) =
6
1 3
1 5
2 1
.
Vậy
A
=








8 8 4
6 6 2
5 5 5
nên A

1
=

A
A
=
1
20








8 8 4
6 6 2
5 5 5
.
Nhận xét 9.11. Phơng pháp tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A vuông
cấp n nh đã trình bầy ở trên chỉ áp dụng đợc cho những ma trận cấp thấp (n
4), với những ma trận cấp cao (n >4) thì việc tìm ma trận phụ hợp
A
khá
phức tạp và hay nhầm lẫn. Để khắc phục tình trạng đó, ngời ta có thể tìm
ma trận nghịch đảo bằng cách thành lập ma trận (AE
n
ì
n
), rồi dùng các
phép biến đổi sơ cấp thực hiện vào hệ các vectơ dòng của ma trận (AE
n

ì
n
).
Biến đổi ma trận (AE
n
ì
n
) về ma trận mới sao cho bên phía ma trận A trở
thành ma trận E
n
ì
n
thì bên phía ma trận E
n
ì
n
trở thành ma trận A

1
. Nếu
trong quá trình biến đổi mà bên phía ma trận A xuất hiện một dòng (hoặc
một cột) bằng không thì dừng lại, khẳng định ma trận A suy biến do đó
không có ma trận nghịch đảo.
Ví dụ 9.15. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận
A =
ì

4 4
1 1 0 1
2 0 3 2
1 1 4 3
3 1 3 4
.
Giải. Ta có: (AE
n
ì
n
) =







1 1 0 1 1 0 0 0
2 0 3 2 0 1 0 0
1 1 4 3 0 0 1 0
3 1 3 4 0 0 0 1
.
Nhân dòng 1 với (2) rồi cộng vào dòng 2; cộng dòng 1 vào dòng 3; Nhân
dòng 1 với (3) rồi cộng vào dòng 4 ta đợc:
(AE

n
×
n
) →
 −
 
−
 
 
 
− −
 
1 1 0 1 1 0 0 0
0 1 3 4 2 1 0 0
0 2 4 2 1 0 1 0
0 2 3 7 3 0 0 1
.
Nh©n dßng 2 víi (−1) råi céng vµo dßng 1; Nh©n dßng 2 víi (−2) råi céng
vµo dßng 3; Nh©n dßng 2 víi 2 råi céng vµo dßng 4 ta ®îc:
→
 − − −
 
−
 
 
− − −
 
−
 
1 0 3 5 3 1 0 0

0 1 3 4 2 1 0 0
0 0 2 6 4 2 1 0
0 0 9 15 7 2 0 1
.
Nh©n dßng 3 víi
−
1
2
ta ®îc:
→
/
 − − −
 
−
 
 
− −
 
−
 
1 0 3 5 3 1 0 0
0 1 3 4 2 1 0 0
0 0 1 3 2 1 1 2 0
0 0 9 15 7 2 0 1
.
Nh©n dßng 3 víi 3 råi céng vµo dßng 1; Nh©n dßng 3 víi (−3) råi céng vµo
dßng 2; Nh©n dßng 3 víi (−9) råi céng vµo dßng 4 ta ®îc:
→
/
/

/
/
 − −
 
− −
 
 
− −
 
− −
 
1 0 0 4 3 2 3 2 0
0 1 0 5 4 2 3 2 0
0 0 1 3 2 1 1 2 0
0 0 0 12 11 7 9 2 1
.
Nh©n dßng 4 víi
−
1
12
ta ®îc:
→
/
/
/
/ / / /
 − −
 
− −
 

 
− −
 
− − −
 
1 0 0 4 3 2 3 2 0
0 1 0 5 4 2 3 2 0
0 0 1 3 2 1 1 2 0
0 0 0 1 11 12 7 12 3 8 1 12
.
Nhân dòng 4 với (3) rồi cộng vào dòng 3; Nhân dòng 4 với 5 rồi cộng vào
dòng 2; Nhân dòng 4 với (4) rồi cộng vào dòng 1 ta đợc:

/ / /
/ / / /
/ / / /
/ / / /









1 0 0 0 9 12 4 12 0 4 12
0 1 0 0 7 12 11 12 3 8 5 12
0 0 1 0 9 12 9 12 5 8 3 12
0 0 0 1 11 12 7 12 3 8 1 12

.
Vậy A

1
=













9
4 4
0
12 12 12
7 11 3 5
12 12 8 12
9 9
5 3
12 12 8 12
11 7 3 1
12 12 8 12
.

9.5. hạng của ma trận
9.5.1. Định nghĩa hạng của ma trận.
Định nghĩa 9.13. Cho A là ma trận cấp m
ì
n. Hạng của ma trận A (ký hiệu
là hg(A)) là cấp của định thức con khác không cấp cao nhất của ma trận A.
Nếu A = (a
ij
)
m
ì
n
và hg(A) = r thì:
0 r min {m,n};
Trong ma trận A có ít nhất một định thức con khác không cấp r;
Mọi định thức con cấp r +1 trở đi của ma trận A đều bằng 0.
Nếu A = (a
ij
)
n
ì
n
thì hg(A) = 0 A = 0
n
ì
n
; hg(A) = n |A| 0.
Ví dụ 9.16. Tìm hạng của ma trận
A =
ì

4 5
1 2 3 4 5
0 1 2 3 4
1 0 1 2 3
0 3 6 9 12
.
Giải. Ta có: A là ma trận cấp 4ì5 nên định thức con cấp cao nhất có thể có
của A là cấp 4. Nhng dòng 4 của A bằng tổng của 3 dòng đầu nên mọi định
thức con cấp 4 của A đều bằng 0. hg(A) 3. Bạn đọc dễ dàng kiểm tra đợc
mọi định thức con cấp 3 của A đều bằng 0. hg(A) 2. Mặt khác, trong A
có định thức con cấp 2 là:
.=
1 2
1 0
0 1
hg(A) = 2.
Định nghĩa 9.14. Hai ma trận có hạng bằng nhau đợc gọi là hai ma trận t-
ơng đơng.
Ví dụ 9.17. Từ ví dụ 9.16 suy ra hai ma trận sau tơng đơng với nhau:
A =
ì

4 5
1 2 3 4 5
0 1 2 3 4
1 0 1 2 3
0 3 6 9 12
, B =



1 2
0 1
.
9.5.2. Tính chất về hạng của ma trận.
Định lý 9.8. Hạng của ma trận bằng hạng của hệ các vectơ dòng và bằng
hạng của hệ các vectơ cột của ma trận đó.
Chứng minh. Giả sử A = (a
ij
)
m
ì
n
, hg(A) = r.
(i) Nếu r =0 A =0
m
ì

n
hệ các vectơ dòng của A đều là các vectơ không
n chiều hạng của hệ các vectơ dòng của A bằng 0. Tơng tự, hệ các vectơ
cột của A đều là các vectơ không m chiều hạng của hệ các vectơ cột của A
bằng 0.
(ii) Nếu 1 r min{m,n} trong A có ít nhất một định thức con cấp r
là định thức khác 0, mọi định thức con từ cấp r +1 trở đi của A đều bằng 0.
Không giảm tổng quát, giả sử
D
r
=
r
r
r r rr
r r
a a a
a a a
. . .
a a a
ì
11 12 1
21 22 2
1 2
0.
Gọi A
1
, A
2
, , A
m

lần lợt là dòng 1, dòng 2, , dòng m của A; A
1
, A
2
, , A
n
lần lợt là cột 1, cột 2, , cột n của A.
Gọi
r
A ,A , ,A
0 0 0
1 2
lần lợt là dòng 1, dòng 2, , dòng r của D
r
;
r
A ,A , ,A
1 2
0 0 0
lần lợt là cột 1, cột 2, , cột r của D
r
. Vì D
r
0 nên theo hệ quả 9.4.3 ta suy
ra hệ {
r
A ,A , ,A
0 0 0
1 2
} độc lập tuyến tính.

a) Hệ {A
1
, A
2
, , A
r
} độc lập tuyến tính trong R
n
vì nếu hệ đó phụ thuộc
tuyến tính thì tồn tại các số k
1
, k
2
, , k
r
không đồng thời bằng 0 để:
k
1
A
1
+ k
2
A
2
+ + k
r
A
r
= 0
n

.
k
1
a
j1
+ k
2
a
j2
+ + k
r
a
jr
= 0 (j = 1,2, ,m).
k
1
a
j1
+ k
2
a
j2
+ + k
r
a
jr
= 0 (j = 1,2, ,r).
hệ {
r
A ,A , ,A

0 0 0
1 2
} phụ thuộc tuyến tính, trái với kết quả trên.
b) Nếu bổ sung thêm bất kỳ một vectơ A
i
trong hệ {A
1
, A
2
, , A
m
} vào hệ
{A
1
, A
2
, , A
r
}, ta sẽ chứng minh hệ mới phụ thuộc tuyến tính. Thật vậy, nếu
1 i r thì hệ mới có hai vectơ A
i
do đó hệ mới phụ thuộc tuyến tính. Nếu i >
r, ta thành lập định thức D
r+1
có các phần tử nằm trên r dòng đầu và r cột
đầu là các phần tử của D
r
; r +1 phần tử nằm trên dòng r +1(hoặc cột r +1) của
D
r+1

là r +1 phần tử nằm trên dòng i (hoặc cột j, j = 1,2, ,n) của ma trận A.
Theo định nghĩa hạng của ma trận ta có: D
r+1
= 0.
Khai triển định thức D
r+1
theo cột r +1 ta đợc:
a
1j
M
1j
+ a
2j
M
2j
+ + a
rj
M
rj
+ a
ij
D
r
= 0 (j =1,2, ,n),
trong đó M
kj
là phần bù đại số của a
kj
trong D
r+1

. Mà D
r
0 nên
a
ij
=
r
D
1
( a
1j
M
1j
+ a
2j
M
2j
+ + a
rj
M
rj
) (j =1,2, ,n)
hay a
ij
= h
1
a
1j
+ h
2

a
2j
+ + h
r
a
rj
(j =1,2, ,n).
A
i
= h
1
A
1
+ h
2
A
2
+ + h
r
A
r
hệ mới phụ thuộc tuyến tính.
Từ a) và b) suy ra hệ {A
1
, A
2
, , A
r
} độc lập tuyến tính cực đại trong hệ
{A

1
, A
2
, , A
m
}. hg(A
1
, A
2
, , A
m
) = r = hg(A).
Chứng minh tơng tự ta đợc hg(A
1
, A
2
, , A
n
) = r = hg(A).(đpcm)
Hệ quả 9.8.1. Nếu hệ các vectơ dòng (hoặc cột) của định thức A độc lập tuyến
tính thì |A| 0.
Hệ quả 9.8.2. Các phép biến đổi sơ cấp thực hiện vào ma trận không làm
thay đổi hạng của ma trận đó.
Chứng minh. Hệ quả này đợc suy ra trực tiếp từ các định lý 9.8 và 8.8.
Định nghĩa 9.1. Giả sử A = (a
ij
)
m
ì
n

có hg(A) = r > 0. Mỗi định thức con khác
0 cấp r của ma trận A đợc gọi là một định thức con cơ sở của ma trận A và
các dòng (hoặc cột) của ma trận A chứa các dòng (hoặc cột) của định thức con
đó đợc gọi là các dòng (hoặc cột) cơ sở của ma trận A.
Ví dụ 9.18. Ma trận A =
ì







4 4
1 1 2 0
2 1 0 3
3 2 2 3
1 0 2 3
có hg(A) = 2,
=
1 1
1 0
2 1
nên
định thức con
1 1
2 1
đợc gọi là định thức con cơ sở; cột 1, cột 2 đợc gọi là các
cột
cơ sở của ma trận A; dòng 1, dòng 2 đợc gọi là các dòng cơ sở của ma trận A.

9.5.3. Phơng pháp tìm hạng của ma trận.
Bài toán: Tính hạng của ma trận A = (a
ij
)
m
ì
n
0
m
ì
n
.
Giải bài toán trên có nhiều phơng pháp, sau đây chúng ta đa ra hai ph-
ơng pháp đó là: Phơng pháp định thức bao quanh và phơng pháp biến đổi ma
trận.
a) Phơng pháp định thức bao quanh.
Giả sử bằng cách nào đó biết đợc D
r
là định thức con khác không cấp r của
ma trận A (không giảm tổng quát, giả sử D
r
gồm các phần tử nằm trên r
dòng đầu tiên và r cột đầu tiên của A). Xuất phát từ D
r
tính các định thức
con cấp r +1 chứa định thức con D
r
(không cần xét các định thức không chứa
D
r

).
(i) Nếu mọi định thức con cấp r +1 chứa định thức con D
r
đều bằng 0.
Theo hệ quả 9.4.3 ta suy ra các dòng thứ r +1, r +2, ,m của A đều là tổ hợp
tuyến tính của các dòng thứ 1, 2, r của A. Do đó, hg(A) = r.