Xác Suất Thống Kê (phần 9) potx

Các tính chất của kỳ vọng
1) E(C) = C với mọi hằng số C.
2) E(CX) = CE(X).
3)
E
[
(u(X)
]
=












i
u(x
i
)f(x
i
) nếu X rời rạc

D
u(x)f(x)dx nếu X liên tục
4) E(aX + b) = aE(X) + b

5) E(X + Y) = E(X) + E(Y).
Các tính chất của kỳ vọng
Example
Thời gian (tính theo giờ), để xử lý một sự cố mất
điện tại một nhà máy sản xuất, là biến ngẫu
nhiên X có hàm mật độ xác suất sau:
f(x) =

1 nếu 0 < x < 1
0 nơi khác
Tổn thất của nhà máy phụ thuộc vào thời gian
xử lý sự cố mất điện theo bậc lũy thừa 3, nghĩa
là nếu thời gian xử lý sự cố là x thì tổn thất sẽ
vào khoảng x
3
. Tính trung bình tổn thất sau mỗi
lần nhà máy gặp sự cố mất điện.
Các tính chất của kỳ vọng
Example
Một thư ký soạn thảo N lá thư và điền N địa chỉ
tương ứng vào N bì thư. Cô ta vô tình làm rơi tất
cả bì thư trên sàn nhà và các bì thư trộn lẫn vào
nhau không theo thứ tự ban đầu. Giả sử cô thư
ký xếp ngẫu nhiên 1 lá thư vào 1 bì thư bất kỳ
trên sàn, sao cho xác suất một lá thư được xếp
vào 1 bì thư bất kỳ là như nhau. Hỏi kỳ vọng con
số lá thư được xếp vào đúng bì thư của nó là bao
nhiêu?
Chương 2: Biến ngẫu nhiên và kỳ vọng
Biến ngẫu nhiên - Các dạng của biến ngẫu nhiên

Phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiên
Kỳ vọng
Phương sai
Hiệp phương sai và hệ số tương quan
Bất đẳng thức Chebyshev và luật số lớn
Định nghĩa
Cho X là biến ngẫu nhiên với kỳ vọng µ = E(X).
Phương sai (Variance) của X, ký hiệu là Var(X),
được định nghĩa bởi:
Var(X) = E[(X − µ)
2
]
Chứng minh rằng Var(X) = E(X
2
) − [E(X)]
2
.
Example
Tính Var(X) với X là số nút nhận được khi tung
xúc sắc 6 mặt cân bằng.
Example
Tính phương sai của biến ngẫu nhiên chỉ định I
của biến cố A.
Định nghĩa
Cho X là biến ngẫu nhiên với kỳ vọng µ = E(X).
Phương sai (Variance) của X, ký hiệu là Var(X),
được định nghĩa bởi:
Var(X) = E[(X − µ)
2
]

Chứng minh rằng Var(X) = E(X
2
) − [E(X)]
2
.
Example
Tính Var(X) với X là số nút nhận được khi tung
xúc sắc 6 mặt cân bằng.
Example
Tính phương sai của biến ngẫu nhiên chỉ định I
của biến cố A.
Định nghĩa
Cho X là biến ngẫu nhiên với kỳ vọng µ = E(X).
Phương sai (Variance) của X, ký hiệu là Var(X),
được định nghĩa bởi:
Var(X) = E[(X − µ)
2
]
Chứng minh rằng Var(X) = E(X
2
) − [E(X)]
2
.
Example
Tính Var(X) với X là số nút nhận được khi tung
xúc sắc 6 mặt cân bằng.
Example
Tính phương sai của biến ngẫu nhiên chỉ định I
của biến cố A.
Định nghĩa

Cho X là biến ngẫu nhiên với kỳ vọng µ = E(X).
Phương sai (Variance) của X, ký hiệu là Var(X),
được định nghĩa bởi:
Var(X) = E[(X − µ)
2
]
Chứng minh rằng Var(X) = E(X
2
) − [E(X)]
2
.
Example
Tính Var(X) với X là số nút nhận được khi tung
xúc sắc 6 mặt cân bằng.
Example
Tính phương sai của biến ngẫu nhiên chỉ định I
của biến cố A.
Các tính chất của phương sai
Chứng minh rằng:
Var(aX + b) = a
2
Var(X).
Từ đó suy ra:

Var(b) = 0 với mọi hằng số b.

Var(aX) = a
2
Var(X) với mọi hằng số a.
Độ lệch chuẩn: được định nghĩa là căn bậc hai

của phương sai.
σ =

Var(X) .
Các tính chất của phương sai
Chứng minh rằng:
Var(aX + b) = a
2
Var(X).
Từ đó suy ra:

Var(b) = 0 với mọi hằng số b.

Var(aX) = a
2
Var(X) với mọi hằng số a.
Độ lệch chuẩn: được định nghĩa là căn bậc hai
của phương sai.
σ =

Var(X) .