Dien tich tam giac - Giai tam giac

Ngày soạn : Tiết :
ξ 4. CÁC HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC
VÀ GIẢI TAM GIÁC
I. Mục Tiêu
1. Về kiến thức : củng cố, khắc sâu kiến thức về :
− Hiểu đònh lí cosin, đònh lí sin , công thức tính độ dài đường trung tuyến trong một tam giác .
− Biết được một số công thức tính diện tích tam giác
− Biết một số trường hợp giải tam giác .
2. Về kó năng :
− Ad được đònh lí cosin, đònh lí sin , công thức về độ dài đường trung tuyến , các công thức để
tính diện tích để giải một số bài toán có liên quan đến tam giác .
− Biết giải tam giác trong một số trường hợp đơn giản . Biến vận dụng kiến thức giải tam giác
vào các bài toán có nội dung thực tiển . Kết hợp với việc sử dụng máy tính bỏ túi khi giải toán .
II. Chuẩn Bò
1. GV chuẩn bò :
Các bảng biểu , bảng cuộn , thước kẻ .
Chuẩn bò máy chiếu qua đầu overhead hoặc projecter .
Chuẩn bò đề bài để phát cho học sinh .
2. Học sinh chuẩn bò SGK, kiến thức về tập hợp và xem trước phần ξ3 .
Phân nhóm học tập ( mỗi nhóm 2 bàn ) .
III) Kiểm tra bài cũ :
.
Hoạt động GV Hoạt động HS Nội dung
HĐ1: Giúp HS nắm được
các công thức tính diện tích
tam giác .

* Hãy viết các công thức
tính diện tích tam giác theo
một cạnh và đường cao
tương ứng ?

* Cho hs nêu các ct tính
diện tích tam giác
S =
1
2
a.h
a
=
1
2
b.h
b
=
1
2
c.h
c

4) Công thức tính diện tích tam giác
Cho tam giác ABC có các cạnh BC=a, CA=b,
AB=c. Gọi R và r lần lượt là bán kính đường
tròn ngoại tiếp,nội tiếp tam giác và
a
h
,
b
h
,
c
h

là các đường cao của tam giác ABC lần lượt
vẽ từ các đỉnh A,B,C .
Diện tích S của tam giác ABC được tính
theo một trong các công thức sau :
(1) S =
1
2
ah
a
=
1
2
b.h
b
=
1
2
c.h
c

(2) S =
1
2
ab sin C =
1
2
bc sin A =
1
2

ca sin B;
(3) S =
4
abc
R
;
(4) S = pr;
(5) S =
( )( )( )p p a p b p c− − −

(công thức Hê−rông)
Hoạt động GV Hoạt động HS Nội dung
* GV vẽ hình và hỏi : Xét
∆
AHC vuông tại H ,
ta có :
a
h
=AH = ?
* Cho các nhóm thảo luận
để chm công thức (2)
* Từ ct (1): S =
1
2
ab sin C
làm sao chm ct (2)
* Thế sinC vào ct (1) ta
được gì ?
* Cho các nhóm thảo luận
để chm công thức (3)

GV vẽ hình và hỏi:
− Kh cách từ tâm O đến 3
cạnh thế nào ?
− S bằng tổng diện tích 3
tam giác nào ?
− S
OBC
= ? , S
OCA
= ? ,
S
OAB
= ?
GV nêu ví dụ 1 và cho các
nhóm giải trên bảng con
* Để tính diện tích tam giác
khi biết trước 3 cạnh ta ad
công thức nào ?
* Để tính bán kính đường
tròn nội tiếp và ngoại tiếp
a
h
= AH=ACsin C =
bsin C (kể cả
ˆ
C

nhọn,tù hay vuông)
Ad : sinC =
2

c
R
S =
4
abc
R
Đều bằng r
OAB, OBC, OCA
1
2
ar ,
1
2
br ,
1
2
cr

công thức Hê−rông
Chứng minh
* Ta đã biết S =
1
2
a
a
h

với
a
h

= AH=ACsin C = bsin C (kể cả
ˆ
C

nhọn,tù hay vuông)
Do đó S =
1
2
absin C
Các công thức S =
1
2
ca sin B và
S =
1
2
bc sin A được Chứng minh tương tự .
b) Ta có ct S =
1
2
ab sin C
theo đònh lí sin sinC =
2
c
R
⇒ S =
4
abc
R
( đpcm)

c) Chứng minh công thức S = pr
Ta có khoảng cách từ tâm O đến 3 cạnh
bằng nhau
Do đó : S = S
OBC
+ S
OCA
+ S
OAB

=
1
2
ar +
1
2
br +
1
2
cr
=
1
2
( a+b+c).r =
1
2
p.r
Với p =
1
2

(a+b+c)
d) Công thức Hê−rông có chứng minh trong
SGK trang 60
Ví dụ 1. Tam giác ABC có các cạnh
a = 5 m, b = 6 m và c = 7 m.
a) Tính diện tích tam giác ABC ;
b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại
tiếp tam giác ABC.
GIẢI
a) Ta có p =
1
2
(5 + 6 + 7) = 9.
Theo công thức Hê−rông ta có :
S =
9(9 5)(9 6)(9 7)− − −
= 6
6
(m
2
)
b) Áp dụng công thức S = pr
Hoạt động GV Hoạt động HS Nội dung
ta ad công thức nào ?
* Các nhóm đem gắn KQ
lên bảng lớn
GV cho các nhóm nhận
xét , sửa chửa bổ sung và
đánh giá các nhóm
GV nêu ví dụ 2

Cho các nhóm thảo luận và
ghi lời giải ra bảng con
GV vẽ hình và hỏi :
− Để tính c ta ad công thức
nào?
− Để tính góc A ta da công
thức nào ?
− Để tính diện tích
∆
ABC
ad ct nào ?
Cho các nhóm gắn lời giải
lên bảng lớn
Cho các nhóm nx , Gv chỉnh
lí và đánh giá
HĐ2: Giúp HS biết cách ad
các hệ thức trong
∆
để giải
tam giác .
GV nêu ví dụ 1
Cho các nhóm thảo luận và
ghi lời giải trên bảng con
− Để tính
µ
B
ta ad gì ?
− Để tính b,c ta ad gì ?
⇒ a = ? , c = ?
Hd thêm cách sử dụng

S=p.r ⇒ r=
S
p
S=
4
abc
R
⇒ R=
4
abc
S
đònh lí côsin :
2 2 2
c a b
= +
−2abcos C
đònh lí cosin cosA =

S=
1
2
absinC
µ
A
+
µ
B
+
µ
C

= 180
0

đònh lí sin
⇒ r =
S
p
=
6 6
9
=
2 6
3
(m)
Từ công thức S =
4
abc
R
.
⇒ R =
4
abc
S
=
5.6.7
4.6 6
=
35
4 6
(m).

Ví dụ 2. Tam giác ABC có cạnh
a =8 , b = 5 và
ˆ
C
= 60
0
. Tính cạnh c, góc A
và diện tích tam giác đó.
GIẢI
* Theo đònh lí côsin ta có
2 2 2
c a b= +
− 2abcos C
= 64 + 25 −2.8.5.cos60
0
= 49
⇒ c = 7
* cosA =
2 2 2
2
b c a
bc
+ −
= 1/7
⇒ A ≈ 81
0
47’12”
* Ta có S=
1
2

absinC
=
1
2
.8.5.sin60
0
= 10
3
(đơn vò diện tích).
5.Giải tam giác và ứng dụng thực tế
a) Giải tam giác
Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam
giác khi cho biết các yếu tố khác.
Muốn giải tam giác ta thường sử dụng các hệ
thức đã được nêu lên trong đònh lí côsin, đònh
lí sin và các công thức tính diện tích tam giác.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC biết cạnh
b = 15,4 m ;
µ
0 '
54 30C =
và
µ
0
64A =
.Tính góc
µ
B

và các cạnh a,c.

GIẢI Ta có
µ
B
= 180
0
−(
µ
µ
A C+
)= 61
0
30’
Theo đònh lí sin ta có
sin sin sin
a b c
A B C
= =
.
Do đóù

sin
sin
b A
a
B
=
≈ 15,75 m
Hoạt động GV Hoạt động HS Nội dung
MTBT
61 ,

0
‘“, 30 ,
0
‘“
Cho các nhóm gắn lời giải
lên bảng lớn
Cho các nhóm nx , Gv chỉnh
lí và đánh giá
GV nêu ví dụ 2
Cho các nhóm thảo luận và
ghi lời giải trên bảng con
− Để tính cạnh b ta ad ct
nào ?
− Để tính
µ
A
ta ad ct nào ?
− Để tính
µ
C
ta làm sao ?
Cho các nhóm gắn lời giải
lên bảng lớn
Cho các nhóm nx , Gv chỉnh
lí và đánh giá
GV nêu ví dụ 3
Cho các nhóm thảo luận và
ghi lời giải trên bảng con
− Để tính diện tích của
∆

ABC ta ad ct nào ?
− Để tính sinA ta cần tính gì
− Để tính r ta ad ct nào ?
đònh lí côsin
2 2 2
2 cosb a c ac B
= + −
coasA =
2 2 2
2
b c a
bc
+ −
µ
C
= 180
0
−(
µ
A
+
µ
B
)
Ct Hê− rông hoặc
Ct S =
1
2
bcsinA
2 2 2

cos
2
b c a
A
bc
+ −
=
S=pr ⇒ r =
S
p

sin
sin
b C
c
B
=
≈ 14,27 m
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có cạnh
a=19,4 cm, c = 16,4cm và
µ
0 '
47 20B =
. Tính
cạnh b,
ˆ
A
và
µ
C

GIẢI
Theo đònh lí côsin ta có
2 2 2
2 cosb a c ac B= + −
⇒ b ≈ 14,63 cm
cosA =
2 2 2
2
b c a
bc
+ −
≈ 0.2222 ⇒ A ≈ 77
0
9’27”
µ
C
= 180
0
− (
µ
A
+
µ
B
) ≈ 55
0
30’33”
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có cạnh a = 24
cm, b= 13 cm và c = 15 cm . Tính các góc
A,B,C

GIẢI
Theo đònh lí côsin ta có
2 2 2
cos
2
b c a
A
bc
+ −
=
= −
7
15
⇒
µ
A
≈ 117
0
49’
2 2 2
cos
2
a c b
B
ac
+ −
=
=
79
90

⇒
µ
B
≈ 28
0
38’
µ
C
= 180
0
− (
µ
A
+
µ
B
) = 33
0
33’
Hoạt động GV Hoạt động HS Nội dung
GV nêu bài toán 1 và hình
vẽ
− Để tính CD ta cần biết độ
dài cạnh AD hoặc BD
− Làm sao ta tính được cạnh
AD , ta xét
∆
nào ?
Trong
∆

ABD ta đã biết
được 1 cạnh và 2 góc nào ?
− Do đó để tính AD ta ad
gì ?

− Khi biết AD làm sao tính
CD ?
Cho các nhóm gắn lời giải
lên bảng lớn
Cho các nhóm nx , Gv chỉnh
lí và đánh giá
GV nêu bài toán 2
Cho các nhóm thảo luận và
ghi lời giải trên bảng con
GV nêu hình vẽ và hỏi
− Để đo khoảng cách AC ta
xét
∆
ABC có gì ?
−
·
ACB
= ?
− Tương tự như bài toán 1 ,
để tính AC ta ad gì ?
Gọi các nhóm gắn lời giải
trên bảng lớn
AB = 24m,
·
BAD

=180
0
−α =117
·
0
48 .CBD =β =
Đònh lí sin
sin sin
AD AB
D
=
β
Ad tỉ số lï¬ng
giác trong
∆
vuông
ACD
CD= ADsinα
AB = 42 m,
·
0
47CAB = α =
·
0.
55CBA =β =
180
0
−(α +
β
)

Đònh lí sin
sin sin
AC AB
B C
=
b) Ứng dụng vào việc đo đạc
Bài toán 1. Đo chiều cao của một cái tháp mà
không thể đến được chân tháp.Giả sử CD= h
là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp.
Chọn 2 điểm A,B trên mặt đất sao cho 3 điểm
A,B và C thẳng hàng. Ta đo khoảng cách AB
và các góc
·
·
, .CAD CBD
Chẳng hạn ta đo được
AB = 32m,
·
CAD
= α = 68
0
,
·
0
43 .CBD =β =

Khi đó chiều cao h của tháp được tính như sau:
Áp dụng đònh lí sin vào tam giác ABD ta
có
sin sin

AD AB
D
=
β
Ta có
ˆ
Dα = +β
nên
0 0
ˆ
43 25D
0
= α−β = 68 − =
Do đó AD =
0
0
sin 32sin 43
sin( ) s in 25
AB β
= ≈
α −β
51,64
Trong tam giác vuông ACD ta có
h = CD = AD sin α ≈ 47,88 (m).
Bài toán 2. Tính khoảng cách từ một điểm
trên bờ sông đến một gốc cây trên một cù lao
ở giữa sông
Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ
sông đến gốc cây C trên cù lao giữa
sông,người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ

với A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm
C. Ta đo khoảng cách AB,góc
·
CAB
và
·
CBA
.
Chẳng hạn ta đo được AB = 42 m,
·
·
0 0.
47 , 55CAB CBA= α = = β =
Khi đó khoảng cách AC được tính như sau:
Áp dụng đònh lí sin vào tam giác ABC,ta có
sin sin
AC AB
B C
=
(h.2.22)
Hoạt động GV Hoạt động HS Nội dung
Cho các nhóm nhận xét ,
chỉnh lí và đánh giá các lời
giải .
Vì sinC = sin (
)α +β
nên

0
0

sin 42.sin 55
35,17
sin( ) sin102
AB
AC m
β
= = ≈
α + β

Vậy AC ≈ 35,17 m
Củng cố:
1) Nhắc lại đònh lí cossin, đònh lí sin và đònh lí tính độ dài trung tuyến
2) Nhắc lại công thức tính diện tích tam giác
3) Một tam giác khi biết 2 cạnh b,c và góc kề A thì làm sao tính a, B,C
4) Một tam giác khi biết 1 cạnh a và 2 góc kề B,C thì làm sao tính A,b,c
5) Một tam giác khi biết 3 cạnh a,b,c thì làm sao tính A, B,C
Dặn dò : làm BT trang 59 , hd thêm ở bài 10,11