Dap an bai on tong hop do thi so 2.
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (162.38 KB, 14 trang )
Bài ôn tập tổng hợp số 2
Cho hàm số: y =
( )
1
232
2
+
++++
x
mxmx
(H
m
)
Phần I: Cho m = 0 (H
0
): y =
2
x 2x 2 1
x 1
x 1 x 1
+ +
= + +
+ +
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H
0
) của hàm số.
a. TXĐ: D = R\{-1}
b. Chiều biến thiên:
Giới hạn và tiệm cận:
x
lim y
=
;
( )
x x
1
lim y x 1 lim 0
x 1
+ = =
+
y = x + 1 là tiệm cận xiên
x 1
x 1
lim y
lim y
+
= +
=
x = -1 là tiệm cận đứng
Bảng biến thiên:
y = 1 -
( ) ( )
2
2 2
1 x 2x
x 1 x 1
+
=
+ +
; y = 0 x
2
+ 2x = 0
x 0 y 2
x 2 y 2
= =
= =
x
-
-2 -1 0 +
y
+ 0 - - 0 +
y
-
-2
-
+
2
+
Viết phơng trình tiếp tuyến của (H
0
) vuông góc với tiệm cận xiên.
Cách 1: d: y = x + 1 là tiệm cận xiên
d k
. k
d
= -1 k
= -1 : y = -x + a
là tiếp tuyến của (H
0
)
( )
( )
2
2
2
2
1
x 1
2
6 2
x 2x 2
x 2x 2
a
x a
x a
x 1
2
x 1
1
1
1
1 1
x 1
x 1
x 1
2
2
6 2
a
2
= +
+ +
+ +
=
= +
= +
+
+
=
+ =
=
+
+
=
có hai đờng thẳng cần tìm là
1
: y = -x +
6 2
2
và
2
: y = -x -
6 2
2
+
Cách 2: d: y = x + 1 là tiệm cận xiên
Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm hệ số góc của tiếp tuyến là k = y(x
0
)
c. Vẽ
Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm
của hai tiệm cận làm tâm đối xứng
x
y
O
-2
-2
-1
-1
1
2
tiếp tuyến vuông góc với d k = -1
( )
0 0
2
0
0 0
1 1
x 1 y 2
1
2 2
1 1
1 1
x 1
x 1 y 2
2 2
= + = +
=
+
= =
có hai đờng thẳng cần tìm là
1
: y =
1 1
x 1 2
2 2
+ + +
ữ
= -x +
6 2
2
và
2
: y =
1 1
x 1 2
2 2
+ +
ữ
= -x -
6 2
2
+
Biện luận theo tham số t số nghiệm x [0; ) của phơng trình: sin
2
x + (t - 2)cosx + t - 3 = 0
cos
2
x - (t - 2)cosx - t + 2 = 0 (1)
Đặt u = cosx
Ta thấy: Nếu
u 1
u 1
>
không có nghiệm x [0;)
Nếu -1 < u 1 có 1 nghiệm x [0; )
(1) u
2
- (t - 2)u - t + 2 = 0 u
2
+ 2u + 2 = t(u + 1)
2
u 2u 2
t
u 1
+ +
=
+
số nghiệm của phơng trình (1) bằng số giao điểm của (H
0
) và đờng thẳng y = t
Dựa vào đồ thị ta có:
Nếu
5
t
2
t 2
>
=
d cắt (H
0
) tại 1 điểm có hoành độ t (-1; 1] (1) có 1 nghiệm [0; )
Nếu 2 < t
5
2
d cắt (H
0
) tại 2 điểm có hoành độ t(-1; 1] (1) có 2 nghiệm [0; )
Nếu t < 2 d không cắt (H
0
) tại điểm có hoành độ t (-1; 1] (1) không có nghiệm
[0; )
Tìm những điểm trên (H
0
) đối xứng nhau qua điểm A(0; 3).
Gọi M, N (H
0
) đối xứng với nhau qua A
M(x
0
; y
0
) N(-x
0
; 6 - y
o
) đk:
2 2
0 0
x y 0+ >
Do M, N (H
0
)
( )
( )
2
0 0
0
0
2
0 0
0
0
x 2x 2
y 1
x 1
x 2x 2
6 y 2
x 1
+ +
=
+
+
=
+
Thay (1) vào (2) ta đợc: 6 -
2 2
0 0 0 0
0 0
x 2x 2 x 2x 2
x 1 x 1
+ + +
=
+ +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
0 0 0 0 0 0 0
0 0
2
0
0 0
6 1 x x 2x 2 x 1 x 2x 2 x 1
1 1 3 2
x y 1 2
2 2 2
4x 2
1 1 3 2
x y 1 2
2 2 2
+ + + = + +
+
= = + + =
=
+
= = + =
M
1 3 2 1 3 2
; ; N ;
2 2 2 2
+ +
ữ ữ
ữ ữ
Tìm những điểm trên (H
0
) có toạ độ nguyên.
Gọi M(x
0
; y
0
) (H
0
) có toạ độ nguyên
sin
cos
O
y
0
= x
0
+ 1 +
0
1
x 1+
để x
0
; y
0
Z 1
M
(x
0
+ 1)
0 0 0
0 0 0
x 1 1 x 0 y 2
x 1 1 x 2 y 2
+ = = =
+ = = =
Các điểm có tọa độ nguyên là: A(0; 2) và B(-2; -2)
Xét đờng thẳng (d
k
): y = -x + k. Biện luận theo k số điểm chung của (d
k
) và (H
0
), tìm trong họ
đờng thẳng (d
k
) là tiếp tuyến của (H
0
) và tiếp điểm tơng ứng. Trờng hợp (d
k
) và (H
0
) có 2 giao
điểm A và B, hãy tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng của AB khi k thay đổi. Tìm k để (d
k
) cắt
(H
0
) tại 2 điểm đối xứng nhau qua đờng thẳng y = x - 1.
LG
Xét pt hoành độ giao điểm:
( ) ( ) ( )
2
2
x 2x 2
x k f x 2x 3 k x 2 k 0 1
x 1
+ +
= + = + + =
+
f(1) = 5 0 (1) không có nghiệm x = 1
= k
2
+ 2k - 7
Số giao điểm của (d
k
) và (H
0
) bằng số nghiệm của (1)
+ < 0 -1 - 2
2 k 1 2 2< < +
(1) vô nghiệm (d
k
) (H
0
) =
+ = 0
k 1 2 2
k 1 2 2
= +
=
(1) có 1 nghiệm (d
k
) cắt (H
0
) tại 1 điểm
+ = 0
k 1 2 2
k 1 2 2
> +
<
(1) có 2 nghiệm (d
k
) cắt (H
0
) tại 2 điểm
(d
k
) là tiếp tuyến của (H
0
)
( )
2
2
x 2x 2
x k
k 1 2 2
x 1
1
k 1 2 2
1 1
x 1
+ +
= +
= +
+
=
=
+
có hai đờng thẳng cần tìm là
1
: y = -x +
6 2
2
tiếp điểm
1 1
M 1 ; 2
2 2
+ +
ữ
và
2
: y = -x -
6 2
2
+
tiếp điểm
1 1
N 1 ; 2
2 2
ữ
(d
k
) (H
0
) = {A; B} x
A
; x
B
là 2 nghiệm của (1)
Theo định lí viét ta có :
A B
A B
k 1
x x
2
k 2
x .x
2
+ =
+
=
I là trung điểm của AB x
I
=
A B
I
x x k 1
k 2x 1
2 2
+
= = +
I (d
k
) y
I
= -x
I
+ k = -x
I
+ 2x
I
1 = x
I
+ 1
(1) có nghiệm 0
I
I
I
I
1 2 2
x
2x 1 2 2
k 1 2 2
2
k 1 2 2 2x 1 2 2 1 2 2
x
2
+
+
+
(*)
Quỹ tích điểm I là các điểm thuộc đờng thẳng y = x + 1 có hoành độ thoả mãn (*)
(d
k
) cắt (H
0
) tại 2 điểm đối xứng qua : y = x - 1
k
d
I
toạ độ I là nghiệm của hệ phơng trình:
y x 1
y x 1
=
= +
vô nghiệm
không có k để (d
k
) cắt (H
0
) tại 2 điểm đối xứng nhau qua đờng thẳng y = x - 1
Tìm các giá trị t sao cho trên (H
0
) có hai điểm R và S thoả mãn:
=+
=+
tyx
tyx
SS
RR
(1)
CM khi đó R và S thuộc cùng một nhánh đồ thị.
LG:
toạ độ R và S thoả mãn (1) R, S d: x + y = t y = -x + t
(H
0
) có hai điểm R và S thoả mãn (1)
2
x 2x 2
x t
x 1
+ +
= +
+
có nghiệm x -1
f(x) = 2x
2
+ (3 - t)x + 2 - t = 0 có nghiệm x -1
t 1 2 2
t 1 2 2
+
af(-1) = 2 > 0 t
1 2
1 2
t t 1
1 t t
<
<
R và S thuộc cùng một nhánh đồ thị
Gọi (t
a
) là tiếp tuyến của (H
0
) tại điểm có hoành độ a. Tìm phơng trình (t
a
). Tìm a để (t
a
) qua
điểm A(0; 0), chứng minh có 2 giá trị a thoả mãn yêu cầu đề bài và khi đó 2 tiếp tuyến tơng ứng
vuông góc.
LG:
y(a) = 1 -
( )
2
1
a 1+
t
a
: y =
( )
( )
2
2
1 a 2a 2
1 x a
a 1
a 1
+ +
+
+
+
A(0; 0) t
a
( )
( )
2 2
2
a 2a a 2a 2
a 0
a 1
a 1
+ + +
+ =
+
+
2
a 4a 2 0+ + =
a 2 2
a 2 2
= +
=
Câu còn lại sai đề
Tìm quỹ tích điểm từ đó kẻ đợc 2 tiếp tuyến vuông góc đến (H
0
)
Kiến thức giải bài này vợt quá chơng trình
Tìm điểm trên trục Ox sao cho từ đó kẻ đợc đúng 1 tiếp tuyến đến (H
0
).
A Ox A(a; 0). Gọi đi qua A và có hệ số góc k : y = k(x - a)
là tiếp tuyến của (H
0
)
( ) ( )
( )
( )
2
2
2
x 2x 2
k x a 1
x 1
x 2x
k 2
x 1
+ +
=
+
+
=
+
Thay (2) vào (1) ta đợc
( )
( )
( )
( )
2 2
x 2x 2 x 1 x 2x x a+ + + = +
( ) ( ) ( ) ( )
2
f x a 1 x 2 a 2 x 2 0 3= + + + + =
Qua A kẻ đợc 1 tiếp tuyến đến (H
0
) (3) có 1 nghiệm x 1
TH1: a = -1: (3) 2x + 2 = 0 (loại)
TH2: a -1: (3) có 1 nghiệm x -1
( )
' 0
f 1 0
=
2
a 2a 2 0
a 1 0
+ + =
vô nghiệm
KL: Trên trục Ox không có điểm nào sao cho từ điểm đó kẻ đợc đúng 1 tiếp tuyến đến (H
0
).
Tìm điểm trên (H
0
) sao cho tổng khoảng cách từ đó đến 2 trục toạ độ là nhỏ nhất.
Gọi M(x; y) (H
0
) M
1
x;x 1
x 1
+ +
ữ
+
Tổng khoảng cách từ M đến Ox, Oy là d(M) =
1
x x 1
x 1
+ + +
+
Do M
0
(0; 2) (H
0
) và có d(M
0
) = 2 nên để tìm Mind(M) ta chỉ cần xét với
x
2. Ta xét các khả
năng sau:
Nếu -2 x -1
d(M) = -x - x - 1 -
1
x 1+
= -2x - 1 -
1
x 1+
= f(x)
f = -2 +
( ) ( )
2
2 2
1 2x 4x 1
x 1 x 1
=
+ +
; f = 0
2 2
x
2
2 2
x
2
+
=
=
x -2 -1 -
1
2
-1
f - 0 +
f
Nhìn vào bảng biến thiên Mind(m) = f
1 4
1 1 2
2 2
= + >
ữ
Nếu -1 x 0
d(M) = -x + x + 1 +
( )
1 1
1 g x
x 1 x 1
= + =
+ +
g(x) =
( )
2
1
x 1
+
< 0 x -1
x -1 0
g -
g
+
2
Nhìn vào bảng biến thiên Mind(M) = 2 x = 0
Nếu 0 x 2
d(M) = 2x + 1 +
1
x 1+
= h(x)
h(x) = 2 -
( )
2
1
x 1+
=
( )
2
2
2x 4x 1
x 1
+ +
+
h(x) = 0
2 2
x
2
2 2
x
2
+
=
=
x 0 2
h -
h
2
Nhìn vào bảng biến thiên Mind(M) = 2 x = 0
Kết luận: M(0; 2) thì d(M) đạt giá trị nhỏ nhất
Phần II: Cho m = -1 (H):
2
x x 1 1
y x
x 1 x 1
+
= =
+ +
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số. Từ đồ thị (H) hãy suy ra đồ thị (H
*
) của
hàm số: y =
1
1
2
+
+
x
xx
LG:
1)
TXĐ: D = R\{-1}
a. Chiều biến thiên:
Tiệm cận và giới hạn:
x x
lim y ; lim y
+
= + =
( )
x x
1
lim y x lim
x 1
=
+
= 0 y = x là tiệm cận xiên
x 1
x 1
lim y
lim y
+
=
= +
x = -1 là tiệm cận đứng
Bảng biến thiên:
y = 1 +
( )
2
1
x 1+
> 0 x -1
Hàm số đồng biến trên (-; -1) và (-1; +)
2) y =
1
1
2
+
+
x
xx
=
2
2
x x 1
Nếu x > -1
x 1
x x 1
Nếu x < -1
x 1
+
+
+
+
Cách vẽ:
Giữ nguyên phần đồ thị (H) ứng với x > 1. Lấy đối xứng phần còn lại qua Ox. Hợp của hai
phân đồ thị trên là đồ thị (H
*
)
Tìm điểm trên (H) cách đều 2 trục toạ độ.
M(x
0
; y
0
) (H) y
0
=
2
0 0
0
x x 1
x 1
+
+
d(M; Ox) =
2
0 0
0
x x 1
x 1
+
+
; d(M; Oy) =
0
x
d(M; Oy) = d(M; Ox)
2
0 0
0
0
x x 1
x
x 1
+
=
+
2 2
0 0 0 0
x x 1 x x
+ = +
2 2
0 0 0 0
2
0 0
2 2
0 0 0 0
x x 1 x x
2x 2x 1 0
x x 1 x x
+ = +
+ =
+ =
x
-
-1
+
y + +
y
+
-
+
-
c. Vẽ:
x-3-201y 1-1
x
5
2
-1
y
O
1
-2
-3 -1
5
2
1
Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm của
hai tiệm cận làm tâm đối xứng
0 0
0 0
1 3 1
x y
2
1 3
1 3 1
x y
2
1 3
+
= =
+
= =
Kết luận: Các điểm cần tìm là:
1
2
1 3 1
M ;
2
1 3
1 3 1
M ;
2
1 3
+
ữ
ữ
+
ữ
ữ
Tìm điểm trên (H) sao cho khoảng cách từ đó đến Oy bằng 2 lần khoảng cách từ đó đến Ox.
M(x
0
; y
0
) (H) y
0
=
2
0 0
0
x x 1
x 1
+
+
d(M; Ox) =
2
0 0
0
x x 1
x 1
+
+
; d(M; Oy) =
0
x
d(M; Oy) = 2d(M; Ox)
2
0 0
0
0
x x 1
x 2
x 1
+
=
+
2 2
0 0 0 0
2 x x 1 x x+ = +
( )
( )
2 2
2
0 0 0 0
0 0
2
2 2
0 0
0 0 0 0
2 x x 1 x x
x x 2 0
3x 3x 2 0
2 x x 1 x x
+ = +
+ =
+ =
+ =
0 0
0 0
0 0
0 0
1
x 1 y
2
x 2 y 1
3 33 2
x y
6
3 33
3 33 2
x y
6
3 33
= =
= =
+
= =
+
= =
Kết luận: Các điểm cần tìm là:
( )
1
2
3
4
1
M 1;
2
M 2; 1
3 33 2
M ;
6
3 33
3 33 2
M ;
6
3 33
ữ
+
ữ
ữ
+
ữ
ữ
Tìm trên mỗi nhánh của (H) một điểm sao cho khoảng cách giữa chúng là ngắn nhất. Chứng
minh khi đó 2 điểm tìm đợc thuộc về phân giác góc tạo bởi 2 đờng tiệm cận của (H).
M
1
(x
1
; y
1
) nhánh trái của (H), M
2
(x
2
; y
2
) nhánh phải của (H)
Đặt
1
1
1
2
1
y 1
x 1
1
y 1
y 1
= +
=
= +
= +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2 2 2
2
1 2 1 2 1 2
2 2
2 2 2
2
2
2
2 2
2 2
1 1
M M x x y y
1
1
1 2 1
1 1 2 2
2 1 1 1
4 2 4 2 2 4 2 2 . 2 8 2
= + = + + + +
ữ
+
= + + + + = + + + +
= + + + + +
ữ
= + + = + + + =
ữ
ữ
( )
1+
( )
( )
2
1 2
1 2
min
4
M M 8 2 1
1
M M 8 2 1
1
2
2
+
=
= + = =
=
4 4
1 1
4 4 4 4
1 1 1 1
M 1 ; 1 2 ; M 1 ; 1 2
2 2 2 2
+ + +
ữ ữ
Chứng minh (H) có một tâm đối xứng I.
Gọi I(-1; -1). Đổi hệ trục toạ độ Oxy sang hệ trục toạ độ IXY sao cho IX // OX; IY // Oy
công thức đổi trục:
x X 1
y Y 1
=
=
thay vào phơng trình đồ thị (H) ta đợc:
Y - 1 = X - 1 -
1
X 1 1 +
Y = X -
1
X
= g(X)
Ta thấy g(-X) = g(X) Y = g(X) là hàm số lẻ (H) nhận I làm tâm đối xứng
Lấy M (H), gọi P, Q là giao điểm của tiếp tuyến tại M với 2 tiệm cận. Chứng minh:
a) M là trung điểm PQ
b) Diện tích IPQ là hằng số (I là giao điểm 2 tiệm cận). Tích 2 khoảng cách từ M đến2 tiệm
cận là hằng số
LG:
a) Gọi M(x
0
; y
0
) (H)
2
0 0
0
0
x x 1
y
x 1
+
=
+
là tiếp tuyến của (H) tại M : y =
( )
( )
2
0 0
0
2
0
0
x x 1
1
1 x x
x 1
x 1
+
+ +
+
+
Tiệm cận xiên d
1
: y = -x Tiệm cận đứng d
2
: x = -1
d
2
= {P}
x
P
= -1 y
P
=
( )
( )
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
2
0 0 0 0
0
x 2x 2 x x 1 x 2x 2 x x 1 x 3
1 x
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1
+ + + + +
+ = + =
+ + + +
+
P
0
0
x 3
1;
x 1
ữ
+
d
1
= {Q} y
Q
= x
Q
x
Q
=
( )
( )
2 2
0 0 0 0
Q 0
2
0
0
x 2x 2 x x 1
x x
x 1
x 1
+ + +
+
+
+
( ) ( )
2 3 2 2
0 0 0 0 0 0 0
Q
2 2
0
0 0
x 2x 2 x 2x 2x x x 1
1 x
x 1
x 1 x 1
+ + + + +
=
+
+ +
( )
( )
Q
0
2
0
0
x
2x 1
x 1
x 1
+
=
+
+
Q 0
x 2x 1= +
( )
0 0
Q 2x 1; 2x 1+ +
Ta thấy:
P Q
x x+
= - 1 + 2
0
x
+ 1 = 2
0
x
M là trung điểm của PQ
b) IP =
2
0
0 0
x 3
2
1
x 1 x 1
+ =
ữ
+ +
IQ =
( ) ( )
2 2
0 0
2x 1 1 2x 1 1+ + + + +
=
( )
2
0 0
8 x 1 2 2 x 1+ = +
IPQ
1 1
S IP.IQ.sin 4 2 sin
2 2
= =
là góc giữa hai tiệm cận sin không đổi
IPQ
S
không đổi
( )
1 0
d M;d x 1= +
;
( )
2
0 0
0
0
2
0
x x 1
x
x 1
1
d M;d
2 2 x 1
+
+
+
= =
+
( ) ( )
1 2
1
d M;d .d M;d
2
=
không đổi đfcm
Tìm trên Ox những điểm mà từ đó kẻ đợc đến đồ thị (H) hai tiếp tuyến hợp với nhau 1 góc
45
0
.
PHần III: Phần này m là tham số tuỳ ý.
Tìm m để (H
m
) không có tiệm cận đứng. Vẽ đồ thị
(H
m
): y =
( )
1
232
2
+
++++
x
mxmx
= x + m + 1 +
2m 1
x 1
+
+
Nếu 2m + 1 = 0 m = -
1
2
1
2
H
ữ
: y = x +
1
2
Ta thấy rằng đồ thị hàm số suy biến
thành đờng thẳng nên không có tiệm cận đứng
Nếu m -
1
2
:
x 1
lim y
= x = -1 là tiệm cận đứng
KL: Với m = -
1
2
thì hàm số không có tiệm cận đứng
Tuỳ theo m khảo sát sự biến thiên của hàm số.
TH1: m > -
1
2
TXĐ: D = R \ {-1}
Chiều biến thiên:
- Giới hạn và tiệm cận
x
x 1
lim y ; lim y
= =
x = -1 là tiệm cận đứng
( )
x
lim y x m 1 0
+ + =
y = x + m - 1 là tiệm cận xiên
- Bảng biến thiên:
y = 1 -
( ) ( )
2
2 2
2m 1 x 2x 2m
x 1 x 1
+ +
=
+ +
; y = 0 x
2
+ 2x - 2m = 0
x 1 1 2m
x 1 1 2m
= +
= + +
x
-
-1 -
1 2m+
-1 -1 -
1 2m+
+
y + 0 - - 0 +
y
-
m - 2
1 2m+
-
+
m + 2
1 2m+
+
TH2: m < -
1
2
x
1
1
2
y
O
1
3
2
TXĐ: D = R \ {-1}
Chiều biến thiên:
- Giới hạn và tiệm cận
x
x 1
lim y ; lim y
= =
m
x = -1 là tiệm cận đứng
( )
x
lim y x m 1 0
+ + =
y = x + m - 1 là tiệm cận xiên
- Bảng biến thiên:
y = 1 -
( ) ( )
2
2 2
2m 1 x 2x 2m
x 1 x 1
+ +
=
+ +
> 0 x -1
x
-
-1
+
y + +
y
-
+
-
+
TH3: m = -
1
2
1
2
H
ữ
: y = x +
1
2
TXĐ: D = R \ {-1}
Chiều biến thiên:
y = 1 > 0 x
x
-
-1
+
y + +
y
-
+
Tìm m để hàm số đồng biến trong (1; +).
hàm số đồng biến trên (1; +)
y 0 x (1; +) Dấu = chỉ xảy ra tại một số điểm hữu hạn
x
2
+ 2x - 2m 0 x (1; +) x
2
+ 2x 2m (1) x (1; +)
Xét hàm số: f(x) = x
2
+ 2x ; f = 2x + 2 ; f = 0 x = -1
x
-
1
+
f +
f
3
+
Ta thấy x (1; +) f(x) (3; +)
(1) đứng với x (1; +) 2m 3 m
3
2
KL: Với m
3
2
thì hàm số đồng biến trên (1; +)
Tìm m để y có cực đại và cực tiểu. Gọi y
1
và y
2
theo thứ tự là giá trị cực đại và cực tiểu của
hàm số. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị. Tìm quỹ tích
điểm cực đại và cực tiểu của (H
m
). chứng minh rằng:
2
1
2
2
2
1
>+ yy
. Tìm m để
8
21
> yy
.
LG:
Hàm số có cực đại, cực tiểu y = 0 có hai nghiệm phân biệt x -1
f(x) = x
2
+ 2x - 2m = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt x -1
( )
( )
1
' 0
m
1
m *
2
f 1 0
2
1 2m 0
>
>
>
y =
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2x m 2 x 1 x m 2 x 3m 2
x 1
+ + + + + + +
+
Gọi A(x
0
; y
0
) là điểm cực tiểu y(x
0
) = 0
( ) ( ) ( )
2
0 0 0 0
2x m 2 x 1 x m 2 x 3m 2 0
+ + + + + + + =
( ) ( ) ( )
( )
2
0 0 0 0
2
0 0
0 0
0
2x m 2 x 1 x m 2 x 3m 2
x m 2 x 3m 2
y 2x m 2
x 1
+ + + = + + + +
+ + + +
= = + +
+
KL: đờng thẳng qua cực đại, cực tiểu là d: y = 2x + m + 2
Khi đó (1) có 2 nghiệm:
x 1 2m 1
x 1 2m 1
= +
= + +
Dựa vào bảng biến thiên ở phần
x 1 2m 1= +
là hoành độ điểm cực đại;
x 1 2m 1= + +
là hoành độ điểm cực tiểu
+) Quỹ tích điểm cực đại: x
1
= -1 -
2m 1+
m =
2
1 1
x 2x
2
+
; x
1
> -1
y
1
= 2x
1
+
2 2
1 1 1 1
x 2x x 6x 4
2
2 2
+ + +
+ =
quỹ tích điểm cực đại là Parabol y =
2
x 6x 4
2
+ +
ứng với x > -1
Lập luận tơng tự: quỹ tích điểm cực đại là Parabol y =
2
x 6x 4
2
+ +
ứng với x < -1
Theo định lí Viét:
1 2
1 2
x x 2
x x 2m
+ =
=
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
2
2
y y 2x m 2 2x m 2 4 x x 4 m 2 x x 2 m 2
4 x x 2x x 4 m 2 x x 2 m 2
4 4 4m 8 m 2 2 m 1 2 m 8m 4
+ = + + + + + = + + + + + +
= + + + + + +
= + + + + = + +
Xét hàm số: f(m) = 2(m
2
+ 8m + 4) với m > -
1
2
(*)
f = 2(2m + 8) ; f = 0 m = -4
x
-
-
1
2
+
f +
f
1
2
+
( )
2 2
1 2
1
y y f m
2
+ = >
( )
1 2 1 2 1 2
y y 8 2x m 2 2x m 2 8 2 x x 8
> + + + + > >
(x
1
- x
2
)
2
> 16
( )
2
1 2 1 2
3
x x 4x x 16 4 8m 16 m
2
+ > + > >
thoả mãn (*)
KL: Với m >
3
2
thì
1 2
y y 8 >
Tìm m để điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị đối xứng nhau qua đờng thẳng y = -x.
Gọi I là trung điểm của cực đại, cực tiểu x
I
=
1 2
x x
1
2
+
=
I d y
I
= 2x
I
+ m + 2 = m I(-1; m)
Cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đờng thẳng : y = -x
d
k .k 1
d
I
m 1
=
=
( )
2 1 1
m 1
=
=
vô nghiệm
Vậy không có m để điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị đối xứng nhau qua đờng thẳng y = -x.
Tìm m để (H
m
) có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ.
Gọi A(x
0
; y
0
) và B là điểm đối xứng với A qua gốc toạ độ B(-x
0
; -y
0
) ĐK:
2 2
0 0
x y 0+ >
(H
m
) có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ
( )
( )
2
0 0
0
0
2
0 0
0
0
x m 2 x 3m 2
y
x 1
x m 2 x 3m 2
y
x 1
+ + + +
=
+
+ + +
=
+
có nghiệm
( ) ( )
2 2
0 0 0 0
0 0
x m 2 x 3m 2 x m 2 x 3m 2
x 1 x 1
+ + + + + + +
=
+
có nghiệm x
0
1
( )
2
0
2 m 1 x 6m 4+ = +
có nghiệm x
0
1
2
0
3m 2
x
m 1
+
=
+
(2) có nghiệm x
0
1
m = -
2
3
x
0
= 0 y
0
= 0 (loại)
(2) có nghiệm x
0
1
2
m
3m 2
0
3
m 1
m 1
3m 2
1
1
m 1
m
2
>
+
>
+
<
+
+
KL: Với
2
m
3
m 1
1
m
2
>
<
thì (H
m
) có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ
Tìm m để tiệm cận xiên của (H
m
) cắt hệ trục theo 1 tam giác có diện tích bằng 8 đvdt.
m -
1
2
(*) (H
m
) có tiệm cận xiên d: y = x + m + 1
d Ox = {A} y
A
= 0 x
A
= -m - 1 A(-m - 1; 0)
d Oy = {B} x
B
= 0 y
B
= m + 1 B(0; m + 1)
Theo gt:
OAB
S
= 8
1
2
OA.OB = 8 OA. OB = 16
m 1 m 1 16 + =
( )
2
m 3
m 1 16
m 5
=
+ =
=
thoả mãn (*)
KL: với
m 3
m 5
=
=
thì tiệm cận xiên của (H
m
) cắt hệ trục theo 1 tam giác có diện tích bằng 8 đvdt
Tìm m để (H
m
) tiếp xúc với đờng thẳng y = 1.
(H
m
) tiếp xúc với đờng thẳng y = 1
( )
( )
2
2
2
x m 2 x 3m 2
1
x 1
x 2x 2m
0
x 1
+ + + +
=
+
+
=
+
( )
( )
2
2
2
x m 1 x 3m 1 0
x 2x 2m 0
m 1 x 5m 1 0
x 2x 2m 0
+ + + + =
+ =
+ + =
+ =
( )
2
5m 1
2
m 1
5m 1 5m 1
2 2m 0 1
m 1 m 1
=
+ =
ữ ữ
(1)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
5m 1 2 5m 1 m 1 2m m 1 0
+ + =
( )
( )
2
2m 1 m 10m 3 0+ + + =
2
1
m (loại vì khi đó x = -1)
2
1
m
m 5 2 7
2
m 10m 3 0
m 5 2 7
=
=
= +
+ + =
=
KL: Với
m 5 2 7
m 5 2 7
= +
=
thì (H
m
) tiếp xúc với đờng thẳng y = 1
Tìm m để đờng thẳng y = m cắt (H
m
) tại 2 điểm E, F sao cho:
a) OE OF b) EF = 2.
LG:
Xét phơng trình hoành độ giao điểm:
( )
( )
2
x m 2 x 3m 2
m *
x 1
+ + + +
=
+
f(x) = x
2
+ 2x + 2m + 2 = 0 (1)
Để d cắt (H
m
) tại 2 điểm E, F (1) có 2 nghiệm phân biệt x -1
( )
1
m
1
m *
2
2
1 2m 0
<
<
+
Khi đó x
E
, x
F
là hai nghiệm của (1). Theo Viét ta có:
E F
E F
x x 2
x .x 2m 2
+ =
= +
a)
( )
E E
OE x ;y=
uuur
( )
F F
OF x ;y=
uuur
OE OF
OE.OF 0=
uuur uuur
E F E F
x .x y .y 0+ =
2m + 2 + m
2
= 0 vô nghiệm
b) EF = 2 EF
2
= 4
( ) ( )
2 2
F E F E
x x y y 4 + =
(x
F
- x
E
)
2
= 4
( )
2
F E E F
x x 4x .x 4
+ =
4 - 4(2m + 2) = 4 m = -1 thoả mãn (*)
KL: với m = -1 thì EF = 2
Tìm điểm cố định của họ đồ thị (H
m
). Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm cố định.
Tìm điểm mà mọi đồ thị họ (H
m
) không đi qua.
Gọi A(x
0
; y
0
) là điểm cố định của (H
m
)
( )
2
0 0
0
0
x m 2 x 3m 2
y
x 1
+ + + +
=
+
m
( )
2
0 0 0 0 0 0
x 3 m x 2x 2 x y y+ + + +
= 0 m
( )
0
0
2
0 0 0 0
0
x 3
x 3 0
5
x 2x 2 y x 1 0
y
2
=
+ =
+ + + =
=
A
5
3;
2
ữ
y(3) =
2m 3
4
+
tiếp tuyến tại A có phơng trình là: y =
( )
2m 3 5
x 3
4 2
+
+ +
Gọi B(x
0
; y
0
) là điểm mà (H
m
) không đi qua
( )
2
0 0
0
0
x m 2 x 3m 2
y
x 1
+ + + +
=
+
vô nghiệm với m
( ) ( )
2
0 0 0 0 0
x 3 m x 2x 2 y x 1 0+ + + + + =
vô nghiệm với m
( )
0
0
2
0 0 0 0
0
x 3
x 3 0
5
x 2x 2 y x 1 0
y
2
=
+ =
+ + +
KL: Vậy các điểm thuộc đờng thẳng x = -3 có tung độ khác -
5
2
là các điểm mà (H
m
) không
đi qua
