Dap an bai on tong hop do thi so 4

Bài ôn tập tổng hợp số 4
Cho hàm số: y = x
4
+ 4ax
3
+ bx
2
+ a(a - 1)x + 1 - 2a
Phần I: Cho a = 0, ta đợc hàm: y = x
4
+ bx
2
+ 1
( )
b
C
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi b = -4
y = x
4
- 4x
2
+ 1
a) TXĐ: D = R
b) Chiều biến thiên:
Giới hạn:
x
lim y

= +
Bảng biến thiên:
y = 4x

3
- 8x y = 0
x 0 y 1
x 2 y 3
= =


= =

x

-
2
0
2
-
y - 0 + 0 - 0 +
y
+
-3
1
-3
+
Khoảng đồng biến:
( )
2;0
;
( )
2;+
Khoảng nghịch biến:

( )
; 2
;
( )
0; 2
Điểm cực đại: A
( )
0;1
Điểm cực tiểu: B
( )
2; 3
C
( )
2; 3
Điểm uốn: y = 12x
2
- 8
y = 0 x =
2
3
y = -
11
9
Điểm uốn:
2 11 2 11
D ; E ;
3 9 3 9


ữ ữ

ữ ữ

Gọi (d
m
) là tiếp tuyến của (C) tại M có hoành độ x
M
= m. chứng minh rằng hoành độ điểm
chung của (C) và (d
m
) phơng trình: (x - m)
2
(x
2
+ 2mx + 3m
2
- 4) = 0. Tìm tất cả các giá trị m để tiếp
tuyến (d
m
) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt P, Q khác M. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng PQ
khi m thay đổi.
LG:
y(m) = 4m
3
- 8m
d(m): y = (4m
3
- 8m)(x - m) + m
4
- 4m
2

+ 1
Xét phơng trình hoành độ giao điểm: x
4
- 4x
2
+ 1 = (4m
3
- 8m)(x - m) + m
4
- 4m
2
+ 1
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
4 4 2 2 3
2 2 3
x m 4 x m 4m 8m x m 0
x m x m x m 4 x m 4m 8m 0
=

+ + + + =

( )
( )
( ) ( )
3 2 2 3
2 2 2
x m x mx m 4 x 3m 4m 0

x m x 2mx 3m 4 0

+ + + =

+ + =
c) Vẽ:
x-22y11
O
x
y
1
2
2
2
3
2
3

2

-2
11
9

-3
Nhận xét: Đồ thị nhận trục tung làm
trục đối xứng
(d
m
) cắt (C) tại 2 điểm P, Q phân biệt M f(x) =

( )
2 2
x 2mx 3m 4 0 1+ + =
có 2 nghiệm
phân biệt x m
( )
f m 0
0




>



2
2
2
m
6m 4 0
3
2m 4 0
2 m 2

+ >



< <

(*)
x
P
; x
Q
là 2 nghiệm của phơng trình (1) Theo viét:
P Q
2
P Q
x x 2m
x .x 3m 4
+ =



=


I là trung điểm của phép quay tâm
( )
( )
Q P
I

3 4 2
I I
x x
x m
2
y 4m 8m x m m 4m 1
+

= =



= + +

Do (*)
( ) ( )
I
I
3 4 2 4 2
I I I I I I I I I
2
x
3
2 x 2
y 4x 8x x x x 4x 1 7x 12x 1

< <


= + + + + = + +



Vậy quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng PQ khi m thay đổi là đờng cong có phơng trình:
y = -7x
4
+ 12x
2
+ 1 với hoành độ các điểm thoả mãn
2
x
3
2 x 2





< <

Xác định k để đờng thẳng y = k cắt (C) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số
cộng.
Đờng thẳng y = k cắt (C) tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng
x
4
- 4x

2
+ 1 = k có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
x
4
- 4x
2
+ 1 - k = 0 (1) có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
Đặt x
2
= t: (1) t
2
- 4t + 1 - k = 0 (2)
Giả sử (2) có 2 nghiệm 0 < t
1
< t
2
(1) có 4 nghiệm phân biệt:
1
t ;

2
t
4 nghiệm trên lập thành cấp số cộng t
1
= 9t
2
Vậy (1) có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
(2) có 2 nghiệm t
1
, t

2
thoả mãn:
( )
( )
1 2
1 2
t 9t 3
0 t t 4

=


< <


Theo viét:
( )
( )
1 2
1 2
t t 4 5
t .t 1 k 6

+ =


=


Giải hệ (3) (5) (6)ta đợc

2
1
2
t
5
18
t
5
11
k
5

=



=



=


thoả mãn (2)
Kết luận: Vậy với
11
k
5
=
thì đờng thẳng y = k cắt (C) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành

1 cấp số cộng.
Tìm điểm A Oy sao cho qua A có thể kẻ đợc 3 tiếp tuyến với (C). Viết phơng trình 3 tiếp
tuyến đó.
A Oy A(0; a). Gọi d là đờng thẳng đi qua A có hệ số góc k
d: y = kx + a
d là tiếp tuyến của (C)
( )
( )
4 2
3
x 4x 1 kx a 1
4x 8x k 2

+ = +


=


Thay (2) và o(1) ta đợc: x
4
- 4x
2
+ 1 = 4x
4
- 8x
2
+ a
f(x) = 3x
4

- 4x
2
+ a = 0 (3
Qua A kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến (C) hệ (1), (2) có 3 nghiệm phân biệt (3) có 3 nghiệm phân
biệt
(3) có nghiệm x = 0 a = 0 thay vào (3) ta đợc: 3x
4
- 4x
2
= 0
x 0 k 0
2 8
x k
3 3
= =



= =


m
d
1
: y = 0
d
2,3
: y =
8
x

3
m
phần II: Cho a = 1, ta đợc hàm: y = x
4
+ 4x
3
+ bx
2
- 1 (
'
b
C
)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
'
4
C
của hàm số khi b = 4
( )
'
4
C
: y = x
4
+ 4x
3
+ 4x
2
- 1

a) TXĐ: D = R
b) Chiều biến thiên:
Giới hạn:
x
lim y

= +
Bảng biến thiên: y = 4x
3
+ 12x
2
+ 8x = (x
2
+ 3x + 2)
y = 0
x 0 y 1
x 1 y 0
x 2 y 1
= =


= =


= =

Khoảng đồng biến: (-2; -1) và (0; +)
Khoảng nghịch biến: (-; -2) và (-1; 0)
Điểm cực đại: A(-1; 0)
Điểm cực tiểu: B(-2; -1) C(0; -1)

Điểm uốn:
y = 12x
2
+ 24x + 8 y = 0
3 3 5
x y
3 9
3 3 5
x y
3 9

+
= =




= =


x
-
-2 -1 0
+
y - 0 + 0 - 0 +
y
+
-1
0
-1

+
c) Vẽ:
xy
x
O
y
-
-2 -1
-1
1
2
9
16
Nhận xét: Đồ thị nhận đường
thẳng x = -1 làm trục đối xứng
Điểm uốn:
3 3 5 3 3 5
D ; E ;
3 9 3 9

+

ữ ữ
ữ ữ

Chứng minh
( )
'
4
C

có một trục đối xứng. Suy ra giao điểm của
( )
'
4
C
và Ox.
Gọi I(-1; 0)
Đổi hệ trục toạ độ Oxy sang hệ trục IxY (IY // Oy)
Công thức đổi trục:
x X 1
y Y
=


=

thay vào
( )
'
4
C
ta đợc:
Y = (X - 1)
4
+ 4(X - 1)
3
+ 4(X - 1)
2
- 1 = X
4

- 8X
2
= g(X)
Ta thấy: g(-X) = g(X) hàm số Y = g(X) là hàm số chẵn
( )
'
4
C
nhận đờng thẳng x = -1 làm trục
đối xứng
Xét phơng trình: X
4
- 8X
2
= 0
X 0 x 1
X 2 2 x 2 2 1
X 2 2 x 2 2 1
= =


= =


= =

giao điểm của
( )
'
4

C
và Ox là: A(-1; 0) B
( )
2 2; 2 2 1
C
( )
2 2;2 2 1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
'
0
C
của hàm số khi b = 0
( )
'
0
C
: y = x
4
+ 4x
3
- 1
a) TXĐ: D = R
b) Chiều biến thiên:
Giới hạn:
x
lim y

= +
Bảng biến thiên:

y = 4x
3
+ 12x
2
y = 0
x = 0 y 1
x = -3 y = -28
=




x
-
-3 0
+
y - 0 + 0 +
y
+
-28
+
Khoảng đồng biến: (-3; +)
Khoảng nghịch biến: (-; -3)
Điểm cực tiểu: A(-3; -28)
Điểm uốn: y = 12x
2
+ 24x y = 0
x 2 y 17
x 0 y 1
= =

= =

Chứng minh tồn tại duy nhất 1 tiếp tuyến tiếp xúc
( )
'
0
C
tại 2 điểm phân biệt. Viết phơng trình
tiếp tuyến này và cho biết hoành độ tiếp điểm.
Bài náy quá khó với trơng trình học phổ thông
Dựa vào kết quả câu , hãy biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: x
4
+ 4x
3
- 8x + m = 0.
xác định b để
( )
'
b
C
có một trục đối xứng.
Gọi trục đối xứng của
( )
'
b
C
là: x = a
Đổi hệ trục toạ độ Oxy sang hệ trục IxY: Ix Ox; IY // Oy

c) Vẽ: x = -1 y = -1
x
y
-2
-1
-17
-28
-3
-4
O
Công thức đổi trục:
x X a
y Y
= +


=

Y = (X + a)
4
+ 4(X + a)
3
+ b(X + a)
2
1
= = X
4
+ (a + 1)X
3
+ (6a

2
+ 12a + b)X
2
+ (4a
3
+ 12a
2
+ 2ab)X + a
4
+ 4a
3
+ a
2
b - 1 = g(X)
Do x = a là trục đối xứng Y = g(X) là hàm chẵn g(-X) = g(X)

( )
3 2
4 a 1 0
4a 12a 2ab 0

+ =


+ + =



a 1
b 4

=


=

Kết luận: với b = 4 thì
( )
'
b
C
có trục đối xứng
Xác định b để hàm số có điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.
y = 3x
3
+ 12x
2
+ 2bx = x(3x
2
+12x + 2b)
y = 12x
2
+ 24x + 2b
y = 0
( )
2
x 0
3x 12x 2b 0 1
=

+ + =

TH1: (1) có nghiệm x = 0 b = 0 theo câu (2) đồ thị có một cực tiểu

TH2: (1) có nghiệm x 0
- Nếu (1) có 2 nghiệm phân biệt đồ thị có ít nhất 2 cực trị (loại)
- Nếu (1) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm b 6 (*)
y = 0 x = 0
Để x = 0 là hoành độ điểm cực tiểu y(0) > 0 2b > 0 b > 0 (**)
Kết hợp (*) và (**) b > 0 thì hàm số có điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.
Tìm b để hàm số có 3 điểm cực trị. Viết phơng trình Parabol đi qua 3 điểm cực trị của
( )
'
b
C
trong
trờng hợp này.
Hàm số có 3 cực trị (1) có 2 nghiệm phân biệt x 0
( )
' 0
b 6
f ' 0 0
b 0
>

<

y = y
2
x 1 b bx
3 x 1
4 4 2 2

+ +
ữ ữ

Gọi A(x
0
; y
0
) là điểm cực trị y(x
0
) = 0
y
0
= y(x
0
)
2 2
0 0 0
0 0
x 1 b bx b bx

3 x 1 3 x 1
4 4 2 2 2 2

+ + =
ữ ữ ữ

Kết luận: phơng trình Parabol đi qua 3 điểm cực trị của
( )
'
b
C
là: y =
2
b bx
3 x 1
2 2


ữ


Xác định b để
( )
'
b
C
có 2 điểm uốn. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm uốn của
( )
'
b

C

trong trờng hợp này.
y = 12x
2
+ 24x + 2b
( )
'
b
C
có 2 điểm uốn y = 0 có 2 nghiệm phân biệt > 0 144 - 24b > 0 b < 6
y = y
( )
2
x x 1 5b b 5b
4 8 2b x 1 4
12 6 12 6 6 6


+ + +
ữ ữ



Gọi A(x
0
; y
0
) là điểm uốn y(x
0

) = 0
y
0
= y(x
0
)
( ) ( )
2
0 0
0 0
x x 1 5b b 5b b 5b
4 8 2b x 1 4 8 2b x 1 4
12 6 12 6 6 6 6 6


+ + + =
ữ ữ ữ