Dap an bai on tong hop do thi so 1.

Bài ôn tập tổng hợp số 1
Cho hàm số: y =
( )
( )
mx
mmxm

+ 422
2
(H
m
)
Phần 1: Trong phần này cho m = 1 (H
1
): y =
x 3
x 1


Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (H
1
)
a. TXĐ: D = R\{1}
b. Chiều biến thiên:
Tiệm cận:
x 1
x 1
x 3
lim
x 1
x 3

lim
x 1
+





=






= +


x = 1 là tiệm cận đứng
x
x 3
lim 1
x 1


=

y = -1 là tiệm cận ngang
Bảng biến thiên:
y =

( ) ( )
( ) ( )
2 2
x 1 x 3
2
x 1 x 1

=

> 0 x 1
Khoảng nghịch biến: (-; 1) và (1; +)
Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm của
hai tiệm cận I(1; -1) làm tâm đối xứng
Đồ thị (H
1
) đi qua những điểm nào có toạ độ nguyên?
y =
x 3
x 1


= -1 -
4
x 1
Gọi M(x
0
; y
0
) là điểm thuộc (H
1

) có toạ độ là các số nguyên y
0
= -1 -
0
4
x 1
Để x
0
; y
0
Z 4
M
(x
0
- 1)

0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
x 1 1 x 2 y 5
x 1 1 x 0 y 3
x 1 2 x 3 y 3
x 1 2 x 1 y 1
x 1 4 x 5 y 2
x 1 4 x 3 y 0
= = =

= = =


= = =


= = =


= = =


= = =

. Vậy các điểm có toạ độ nguyên là:
( )
( )
( )
( )
( )
( )





1
2
3

4
5
6
M 2; 5
M 0;3
M 3; 3
M 1;1
M 5; 2
M 3;0

Bằng đồ thị, biện luận theo a số nghiệm phơng trình:

aaxx =+ 3
(1)
LG:
(1)
x 3
a
x 1

=

số nghiệm của (1) bằng số giao điểm
x
-
1
+
y + +
y
-1

+
-
-1
x
y
O 1 2 3 4-1-2
-3
3
-2
-5
c. Vẽ:
x-3-10235y013-5-3
-2
-3
-1
x
y
O 1 2 3 4-1-2
-3
-3
1
d: y = a
của đồ thị (C): y =
x 3
x 1


và đờng thẳng
d: y = a
Cách vẽ đồ thị (C): y =

x 3
x 1


=
x 3
Nếu x -3
x 1
x 3
Nếu x > -3
x 1












- Giữ nguyên phần đồ thị của (H
1
) ứng với x -3
- Lấy đối xứng phần còn lại qua Ox
- Hợp của hai phần đồ thị trên là đồ thị của (C)
Dựa vào đồ thị ta có:
- Nếu:

>


=




a 1
a 0
a 1
(C) cắt d tại 1 điểm (1) có 1 nghiệm
- Nếu -1 < a < 0 (C) cắt d tại 2 điểm (1) có 2 nghiệm
- Nếu 0 < a 1 (C) d =

(1) vô nghiệm
Tìm m để phơng trình sau có đúng 2 nghiệm x thoả mãn
0 x < ;
m
x
x
=

+
1sin
3sin
(1)
Đặt sinx = t
NX: Nếu
t 1

t 0
>


<

thì không có x [0; )
Nếu
t 1
t 0
=


=

thì có 1 nghiệm x [0; )
Nếu 0 < t < 1 thì có 2 nghiệm x [0; )
(1)
t 3
t 1


= m (2)
Dựa trên đồ thị ta thấy nếu m > 3 thì đờng thẳng y = m cắt đồ thị (H
1
) tại 1 điểm có hoành
độ (0; 1) (2) có 1 nghiệm (0; 1) (1) có 2 nghiệm [0; )
Chứng tỏ đờng thẳng d: y = -x + k luôn cắt (H
1
) tại 2 điểm phân biệt A, B. Tìm k để đoạn AB

ngắn nhất.
Xét phơng trình hoành độ giao điểm:
( ) ( )
x 3
x k x 3 x 1 x k
x 1

= + = +

f(x) = x
2
- (k + 2)x + k - 3 = 0 (1)
Do f(1) = -4 0 và
= (k + 2)
2
- 4(k - 3) = k
2
+ 16 > 0 k Nên (1) luôn có hai nghiệm phân biệt đờng thẳng d:
y = -x + k luôn cắt (H
1
) tại 2 điểm phân biệt A, B
Khi đó theo định lí Viet ta có:
A B
A B
x x k 2
x .x k 3
+ = +


=

AB
2
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )

+ = + + + = = +


2 2 2 2 2 2
B A B A B A B A B A B A A B
x x y y x x x k x k 2 x x 2 x x 4x .x
= 2[(k + 2)
2
- 4(k - 3)] = 2(k
2
+ 16) 32 AB 4
2

KL: Vậy với k = 0 thì AB ngắn nhất
Tìm trên đồ thị (H
1
) điểm có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận nhỏ nhất.
gọi M(x
0
; y
0
) (H
1

):
0
0
0
x 3
y
x 1

=

Tiệm cận đứng d
1
: x = 1 Tiệm cận ngang d
2
: y = -1
sin
cos
O
( ) ( )
0
1 0 2 0
0 0
x 3 4
d M;d x 1 ; d M;d y 1 1
x 1 x 1

= = + = + =


( ) ( )

+ = + =

1 2 0 0
0 0
4 4
d M;d d M;d x 1 2 x 1 . 4
x 1 x 1
Dấu = xảy ra
0
0
4
x 1
x 1
=

(x
0
- 1)
2
= 4
0 0
0 0
x 1 y 1
x 3 y 3
= =


= =

KL: Vậy có 2 điểm: M

1
(-1; 1) M
2
(3; -3) thì tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận nhỏ nhất
Chứng minh trên (H
1
) có vô số cặp điểm tại đó 2 tiếp tuyến song song với nhau.
y =
( )
2
4
x 1
. Xét phơng trình: y(x
0
) = k
( )
2
0
4
k
x 1
=

(1)
Ta thấy nếu k > 0 thì (1) có 2 nghiệm phân biệt
với mỗi k > 0 có 2 điểm phân biệt có hoành độ là nghiệm của phơng trình (1) mà tiếp tuyến tại
hai điểm đó song song với nhau đfcm
Cho đờng thẳng (D): y = ax + b tiếp xúc với (H
1
) và 2 tiệm cận lần lợt tại M và N. Gọi I là

giao điểm của 2 tiệm cận. Chứng minh tiếp điểm là trung điểm đoạn thẳng MN và diện tích
IMN không phụ thuộc a, b. Tìm a, b để khoảng cách từ I đến (D) lớn nhất.
d
1
d
2
= I(1; -1)
Gọi (D) là tiếp tuyến của (H
1
) tại A(x
0
; y
0
) (D):
( )
( )
0
0 0
2
0
0
x 34
y x x
x 1
x 1

= +


- (D) d

1
= {M} x
M
= 1

( )
( )
0 0 0
M 0
2
0 0 0 0
0
x 3 x 3 x 74 4
y 1 x
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1

= + = + =



0
0
x 7
M 1;
x 1


ữ

- (D) d
2
= {N} y
N
= -1
( )
( )
0
M 0
2
0
0
x 34
1 x x
x 1
x 1

= +



( )
( )
0
M 0
2
0
0
x 34

x x 1
x 1
x 1
+
= +



( )
( )
M 0
2
0
0
4 x x
4
x 1
x 1

=


x
M
= 2x
0
- 1
N(2x
0
- 1; -1) x

N
+ x
M
= 1 + 2x
0
- 1 = 2x
0
A là trung điểm của MN đpcm
IN =
0 0
2x 1 1 2 x 1 =
IM =
0
0 0
x 7 8
1
x 1 x 1

+ =

S
IMN
=
1
IM.IN 8
2
=
đfcm
Gọi H là chân đờng cao hạ từ I lên (D) d(I; (D)) = IH
Ta có:

2 2 2
1 1 1
IH IM IN
= +
IH
2
=
( )
( )
2 2 2 2
2 2
2
0
2
0
IM .IN 16 16
16
64
IM IN
2 4.16
4 x 1
x 1
= =
+
+

( )
( )
2
2

0
2
max
max
0
64
IH IH 16 4 x 1
x 1
= =


( )
4
0 0
0
0 0
x 1 2 x 3
x 1 16
x 1 2 x 1
= =

=

= =

. x
0
= 3 (D): y = x - 6 a = 1 và b = -6
. x
0

= -1 (D): y = x + 2 a = 1 và b = 2
Từ đồ thị (H
1
) hãy suy ra đồ thị các hàm số sau đây:
a)
1
3

+
=
x
x
y
=
x 3 x 3
Nếu 0
x 3
x 1 x 1
x 3 x 3
x 1
Nếu 0
x 1 x 1







=

<


x
y
O 1 2 3 4-1-2
-3
3
Cách vẽ: Giữ nguyên đồ thị (H
1
) nằm bên trên Ox.
Lấy đối xứng phần còn lại qua Ox.
Hợp của hai phần đồ thị trên là đồ thị
1
3

+
=
x
x
y
b)
1
3

+

=
x
x
y
=
x 3
Nếu x > 1
x 1
x 3
Nếu x < 1
x 1












Cách vẽ: Giữ nguyên đồ thị (H
1
) ứng với x > 1.
Lấy đối xứng phần còn lại qua Ox.
Hợp của hai phần đồ thị trên là đồ thị
1
3

+
=
x
x
y

c)
x
x
y

+
=
1
3
=
x 3
Nếu x > 0
x 1
x 3
Nếu x < 0
x 1

Cách vẽ: Giữ nguyên đồ thị (H
1
) bên phải Oy.
Lấy đối xứng đó qua Oy.
Hợp của hai phần đồ thị trên là đồ thị
x
x
y

+
=
1
3
Tìm tập hợp các điểm M(x, y) sao cho:
-1-2
-3
x
y
O 1 2 3 4
-2
-5
-3
-1
1
x
y
O 1 2 3 4-1-2

-3
3
-2
-5
-3
-1
x
y
O 1 2 3 4-1-2
-3
-2
-5
-3
a)
x
x
y

+
=
1
3

x 3
x 1
x 3
x 1

Nếu
x 3
x 1


0
Cách vẽ: Giữ nguyên đồ thị (H
1
) bên trên Ox.
Lấy đối xứng đó qua Ox.
Hợp của hai phần đồ thị trên là tập hợp các điểm
M(x, y) trên mặt phẳng toạ độ sao cho:
x
x
y

+
=
1
3
b)
x
x

y

+
>
1
3

x 3
0
x 1
x 3
0
x 1
x 3
y
x 1
x 3
y
x 1


<

>











<






Tập hợp các điểm M(x, y) không thuộc phần gạch trên mặt phẳng toạ độ là điểm cần tìm
Phần II: Phần này m là tham số tuỳ ý.
Xác định m để hàm số luôn luôn đồng biến.

y =
( )
2
4
0
x m
>

x m hàm số luôn đồng biến trên tong khoảng của tập xác định
Chứng minh rằng (H
m
) có tâm đối xứng. Tìm quỹ tích tâm đối xứng khi m thay đổi.
Tiệm cận đứng d
1
: x = m
Tiệm cận ngang d
2
: y = m - 2
d
1
d
2
= I(m; m - 2)
Đổi hệ trục Oxy sang hệ trục IXY sao cho (IX // OX; IY // Oy)
Công thức đổi trục:
x X m
y Y m 2
= +

= +

thay vào đồ thị
Y + m + 2 =
( ) ( )
2
m 2 X m m 2m 4
X m m
+ +
+
Y =
( )
4
g X
X
=
Ta thấy g(-X) = -g(X)
hàm Y = g(X) là hàm số lẻ (H
m
) nhận I làm tâm đối xứng
CMR đồ thị (H
m
) luôn tiếp xúc với 2 đờng thẳng cố định
Nháp: y =
( )
2
m 2 x m 2m 4
x m
+

y(x - m) = (m - 2)x - m
2
+ 2m - 4
m
2
- m(y + x + 2) + xy + 2x + 4 = 0
=
( ) ( )
2
2 2
x y 2 4 xy 2x 4 x y 2xy 4x 4y 12+ + + + = + +
= (x - y)
2
- 4(x - y) - 12
= (x - y - 6)(x - y + 2)
LG:
Xét đờng thẳng d
1
: y = x - y - 6 = 0 y = x - 6
Xét hệ
( )
( )
( )
( )
2
2
m 2 x m 2m 4
x 6 1
x m
4

1 2
x m

+
=





=



(1) x
2
- (2m + 4)x + m
2
+ 4m + 4 = 0 (x - m - 2)
2
= 0 x = m + 2
ta thấy x = m + 2 luôn là nghiệm của (1)
hệ (1); (2) luôn có nghiệm x = m + 2
Vậy d
1
luôn tx với d
1
CM tơng tự với d
2
: x - y + 2 = 0 đfcm

Tìm điểm cố định mà mọi đồ thị (H
m
) đều đi qua.
Gọi M(x
0
; y
0
) là điểm cố định của (H
m
) y
0
=
( )
2
0
0
m 2 x m 2m 4
x m
+

m
m
2
- m(y
0
+ x
0
+ 2) + x
0
y

0
+ 2x
0
+ 4 = 0 m

0 0
0 0 0
1 0
y x 2 0
x y 2x 4 0
=


+ + =


+ + =

vô nghiệm (H
m
) không có điểm cố định
Tìm các điểm trên đờng thẳng x = 2 mà (H
m
) không đi qua
A d: x = 2 A(2; a)
(H
m
) không đi qua A a =
( )
2

2 m 2 m 2m 4
2 m
+

vô nghiệm m
2 - 2ma = -m
2
+ 4m - 8 vô nghiệm với m
m
2
- 2(a + 2)m + 2a + 8 = 0 vô nghiệm với m
= (a + 2)
2
- (2a + 8) < 0 a
2
2a - 4 < 0
1 5 a 1 5 < < +
(*)
KL: Vậy các điểm cần tìm là A(2; a) với a thoả mãn (*)
Tìm trong mặt phẳng Oxy những điểm mà họ (H
m
) không đi qua.
Gọi M(x
0
; y
0
) là điểm mà (H
m
) không đi qua
y

0
=
( )
2
0
0
m 2 x m 2m 4
x m
+

vô nghiệm với m
m
2
- m(y
0
+ x
0
+ 2) + x
0
y
0
+ 2x
0
+ 4 = 0 vô nghiệm với m
< 0
( ) ( )
0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
x y 6 x y 2 0 2 x y 6

x y 2 0
x y 6 0
+ < < <
+ >



<


kết luận: Các điểm thuộc phần gạch là các điểm cần tìm
Với giá trị nào của m thì tại giao điểm của (H
m
) với trục Ox, tiếp tuyến của đồ thị song song
với đờng thẳng y + 10 = x. Viếp phơng trình tiếp tuyến đó.
(H
m
) Ox = A
2
m 2m 4
;0
m 2

+
ữ


tiếp tuyến tại A // đờng thẳng y + 10 = x y
2
m 2m 4

1
m 2

+
=
ữ



2
4
1
m 2m 4
m
m 2
=

+

ữ



( )
2
m 2
m 2 4
m 0
=

=

=

KL: Với
m 2
m 0
=


=

thì tại giao điểm của (H
m
) với trục Ox, tiếp tuyến của đồ thị song song với đờng
thẳng y + 10 = x. Khi đó phơng trình tiếp tuyến là: d
1
: y = x + 3 và d
2
: y = x + 2
x
y
O
1
-1
3