ĐỀ THI THỬ LẦN 5 ĐHSP VÀ ĐÁP ÁN (HOT)

TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦNV NĂM 2010
MÔN THI: TOÁN
Câu I. (2.0 điểm).Cho hàm số
2
1
x
y
x
=
−
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)của hàm số.
2. Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = mx –m +2 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
A ; B và đoạn AB có độ dài nhỏ nhất
Câu II (2.0 điểm).
1. Giải phương trình:
( ) ( )
3 3
sin 1 cot cos 1 tan 2 sin .cosx x x x x x+ + + =
2. Giải bất phương trình:
2
2 2 2x x x x x− ≤ − − − −
Câu III:
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P):
2
4y x x= −
và các tiếp tuyến được kẻ
từ điểm
1
;2
2

M
 
 ÷
 
đến (P).
2. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a và
2
. . .
2
a
SA SB SC SA SB SC= = =
r r r r
r r
. Tính thể tích khối chóp SABC theo a.
Câu IV:
1. Viết về dạng lượng giác của số phức:
1 cos2 sin 2z i
α α
= − −
, trong đó
3
2
2
π
α π
< <
2. Giải hệ phương trình:
2 1
2 1
2 2 3 1

2 2 3 1
y
x
x x x
y y y
−
−

+ − + = +


+ − + = +


(với x, y
∈
R)
Câu V:
1. Trong mặt phẳng (Oxy), cho 2 đường thẳng
1 2
: 2 5 0, :3 2 1 0d x y d x y+ + = + − =
và điểm
G(1;3). Tìm toạ độ các điểm B thuộc d
1
và C thuộc d
2
sao cho tam giác ABC nhận điểm
G làm trọng tâm. Biết A là giao điểm của 2 đường thẳng d
1
và d

2
.
2. Trong không gian Oxyz, hãy lập phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua điểm M(3;2;1) và
cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A, B, C sao cho thể tích khối tứ diện OABC có
giá trị nhỏ nhất.
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ LẦN V ĐHSP
Câu 1)
a) Hs tự làm
b) Đường thẳng y=mx-m+2 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi phương trình
2
2
1
x
mx m
x
= − +
−
có 2
nghiệm phân biệt khác 1.
2
( ) 2 2 0g x mx mx m⇔ = − + − =
có 2 nghiệm phân biệt khác 1
0
0
(1) 0
m
g

≠


∆ >


≠


0m
⇔ >
. Ta có
1 1 2 2
( ; 2); ( ; 2A x mx m B x mx m− + − +
)
( )
2 2 2
2 1 2 1 2 1
; ( ) ( ) (1 )AB x x m x x AB x x m⇒ = − − ⇒ = − +
r
( )
( )
2
2 2
1 2 1 2
4 ( 1)AB x x x x m⇔ = + − +
Vì x
1
;x
2

là 2 nghiệm của g(x)=0 nên ta có
1 2 1 2
2
2;
m
x x x x
m
−
+ = =
2
1
8( ) 16 min 4 1AB m AB m
m
⇒ = + ≥ ⇒ = ⇔ =
Câu 2)
1. Điều kiện sinx.sinx>0. Ta có phương trình tương đương với
sinx cos 2 sinx.cosx x+ =
sin ,cos 0x x⇒ >
sinx cos
4
x x k
π
π
⇒ = ⇒ = +
2
2
x k
π
π
⇒ = +

2. Điều kiện
2x
≤
BPT
2 ( 1)( 2) 2x x x x x⇔ − ≤ + − − −
2 0
2
( 1)( 2 2 ) 0
2
1
1 0
x
x
x x x
x
x
x
− =

=


⇔ + − + − ≤ ⇔ ⇔
<



≤ −




+ <


Câu 3)
1)Lập phương trình các tuyến tuyến kẻ từ M đến (P). Ta có y=4x hoặc y=2x+1. Hai tiếp tuyến
cắt nhau tại M có hoành độ x=1/2. và tiếp xúc với (P) tại x=0 và x=1. Vẽ đồ thị suy ra
1 1
2 2
2 2
0 0
1
(4 4 ) (2 1 4 )
12
S x x x dx x x x dx= − + + + − + =
∫ ∫
2)
2
. . .
2
a
SA SB SB SC SC SA= = =
r r r r
r r
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
SA SB AB SB SC BC SC SA AC a+ − + − + −
⇔ = = =
SA SB SC a
⇒ = = = ⇒

SABC là tứ diện đều có các canh bằng a
3
2
12
a
V⇒ =

Câu 4)
1) Ta có
2sin [ os sin ]
2 2
z c i
π π
α α α
   
= − + + +
 ÷  ÷
   
2) Trừ hai vế các phương trình ta có
2 1 2 1
2 2 3 2 2 3
x y
x x x y y y
− −
+ − + + = + − + +
Xét hàm số
2 1
( ) 2 2 3
t
f t t t t

−
= + − + +
có
2
1 1
2 2
1 2 2 1
'( ) 1 3 ln3 3 ln3 0
2 2 2 2
t t
t t t t
f t
t t t t
− −
− − + + −
= + + = + >
− + − +

Do f(t) là hàm đồng biến trên R nên suy ra x=y hệ phương trình đã cho tương đương với
2 1
2 2 3
x
x x x
−
+ − + =
2
ln( 2 2 1) ( 1)ln 3x x x x⇔ + − + − = −

Xét g(x)=
2

ln( 2 2 1) ( 1)ln 3x x x x+ − + − − −
có
2
2
1
1
2 2
'( ) ln3 1 ln3 0
1 2 2
x
x x
g x
x x x
−
+
− +
= − ≤ − <
− + − +
( ) 1g x NB x⇒ =
là nghiệm duy nhất
1x y⇒ = =
Câu 5)
1. Toạ độ A là nghiệm hệ sau
2 5 0
( 11;17)
3 2 1 0
x y
A
x y
+ + =


⇒ −

+ − =

B thuộc d1 nên B(a;-2a-5) và C thuộc d2 nên C(b;1/2(1-3b)). Dùng tính chất toạ độ trọng tâm
tam giác suy ra B(-35;65);C(49;-73)
2. Gọi giao điểm của mặt phẳng với các trục toạ độ là A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) suy ra phương
trình mặt phẳng là
1
x y z
a b c
+ + =
vì mặt phẳng đi qua M nên
3 2 1
1
a b c
+ + =
. Ta có thể tích của tứ
diện là V=1/6abc. Mặt khác theo BĐT cosi ta có
3
3 2 1 6
1 3 6.27 27 min 27
3 2 1 1
9; 6; 3 : 1
3 9 6 3
abc V V
a b c abc
x y z
a b c mp

a b c
= + + ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ = ⇔
= = = ⇔ = = = ⇒ + + =