Đề thi HSG 9 (dự kiến) năm 2009 - 2010

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
DUY TIÊN
Đề thi đề xuất
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2009 – 2010
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1. (4đ).
a) Cho phương trình x
2
- x- 1 = 0 có 2 nghiệm là x
1
và x
2
(x
2
< 0). Tính giá trị của biểu
thức:
5 2 8
1 1 2 2
1
2 1 24
3
A x x x x
= − + − −
.
b) Giải hệ phương trình:
2 2
3
1
2

x y xy
x x y

+ − =

= +

Bài 2. (3đ): Tìm số thực a để phương trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên:
2 2
11 3
3 6 4 0
4 2
x a x a
 
− + + + =
 ÷
 
Bài 3. (5đ).
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
2
10 3
5 6
x
C
x x
+
=
− + +
b) Giải phương trình:

32 4 2
3 1 2x x x x
− − = − −
.
Bài 4. (6,5đ). Cho tam giác ABC có AB > AC > BC. Trên các cạnh AB; AC lấy lần lượt 2
điểm M và N sao cho BM = BC = CN. I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. AI cắt
đường tròn ngoại tiếp các tam giác AMN và ABC lần lượt tại E và F.
a) Chứng minh tứ giác AMIC nội tiếp.
b) So sánh IE và IF.
Bài 5. (1,5đ). Cho Parabol (P) y = x
2
. Tìm tất cả các số thực m
≥
0 sao cho qua điểm
M(0;m) có đúng 2 dây cung của (P) có độ dài bằng 2.
- HÕt -
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
DUY TIÊN
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN 9
Năm học 2009 – 2010
BÀI NỘI DUNG ĐIỂM
1 a) x
2
- x- 1 = 0(1)
x
1
; x
2
là 2 nghiệm của (1) ; x

2
< 0 nên x
1
> 0.
x
1
2
= x
1
+1 ; x
2
2
= x
2
+1
0,25
x
1
4
= (x
1
+1)
2
= x
1
2
+2 x
1
+1= 3 x
1

+2.
Tương tự x
2
4
= 3 x
2
+2
0,5
x
1
5
= x
1
(3x
1
+2) = 3x
1
2
+ 2x
1
( )
2
5 2 2
1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 1 1 1.( 1 0)x x x x x x x− + = + + = + = + + >
0,5
( ) ( ) ( )
2
8
2 2 2 2 2

24 3 2 3 2 .( 3 2 0)x x x x x− = − = − − − <
0,5
A =
1
x
+1-
( )
2 1 2
1 1 1 4
3 2 1
3 3 3 3
x x x− − = + + = + = 
 
0,25
b)
2 2
3
1(1)
2 (2)
x y xy
x x y

+ − =

= +

Thay (1) vào (2) được 2x
3
= (x+y)(x
2

+y
2
-xy) = x
3
+y
3
1,25
=> x = y
0,25
Nghiệm (1;1) ; (-1;-1)
0,5
Bài 2
Viết pt đã cho là pt bậc 2 đối với a:

( )
2 2
, 2
11 3
4 6 3 0
4 2
3 11 6
a xa x x
x x
− + − + =
∆ = − − +
1,0
Pt có nghiệm khi
( ) ( )
'
2

0 3 2 3 0 3
3
x x x∆ ≥ ⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤
1,0
Để pt đã cho có nghiệm nguyên thì
x
{ }
1;2;3∈
0,25
x
= 1 tìm được
3 2
4
a
±
=
0,25
BÀI NỘI DUNG ĐIỂM
x
= 2 tìm được a = 1; a = 2
0,25
x
= 3 tìm được
9
4
a =
0,25
Bài 3
a) –
x

2
+ 5
x
+6 = (
x
+1)(6-
x
)
ĐK: -1 <
x
< 6
0,25
2
5 6 1. 6x x x x− + + = + −
Đặt
2 2
1 ( 0); 6 ( 0) 10 3 4x a a x b b x a b+ = > − = > ⇒ + = +
1,0
2 2 2 2
4 2 4
4
a b a b
C
ab ab
+
= ≥ =
(BĐT Cô si)
0,25
Dấu “=” xảy ra khi
2 2

2
4
5
a b x= ⇔ =
0,25
Kết luận C
min
= 4 khi
x
= 2/5
0,25
b) Nhận thấy
x
= 0 không là nghiệm của pt đã cho
0, 5
Chia cả 2 vế cho
x

0≠
được pt:

3
1 1
3 2x x
x x
− − = − −
1,0
Đặt
3
1

x t
x
− =
; ta có pt
3
3 2a a− = −
(*)
0,5
Giải pt (*) đươc a = 1
0,5
KL: Nghiệm của pt đã cho là
1 5
2
x
±
=

0,5
BÀI NỘI DUNG ĐIỂM
4
Hình vẽ
0,25
a) Chứng minh được
·
·
·
1
2
BMI BCI BCA= =
1,0

Chứng minh được
·
·
BCI ACI
=
0,5
=>
·
·
BMI ACI
=
0, 5
Kết luận: AMIC là tứ giác nội tiếp
0,25
b) Chứng minh được
∆
BIF cân tại F => IF = BF(*)
0,5
(1)
BF ME
BFC MEN
BC MN
∆ ∆ ⇒ =
:
0,5
Chứng minh được
(2)
ME IE
MIE MCN
MN CN

∆ ∆ ⇒ =
:
1,5
Từ (1) và (2) =>
IE BF
CN BC
=
0,5
BC= CN nên IE = BF (** )
0,25
Từ (*) và (**) suy ra IE = IF
0,25
Bài 5
Phương trình đường thẳng (d) đi qua M(0;m) có dạng : y = ax + m.
Pt hoành độ giao điểm của (d) và (P) là x
2
– ax – m = 0.(1)
Vì m
≥
0 nên pt (1) luôn có 2 nghiệm x
1
; x
2
. A(x
1
; x
1
2
) ; B(x
2

;x
2
2
) là giao
của (d) và (P).
0,25
BÀI NỘI DUNG ĐIỂM
Tính được AB
2
= a
4
+ (4m +1)a
2
+4m
Để AB = 2 thì ta có a
4
+ (4m +1)a
2
+4m = 4 (2).
Đặt a
2
= t ( t
≥
0). Ta có pt:
t
2
+(4m + 1 ) t + 4(m-1) = 0 (3)
0,25
Để có đúng 2 dây cung của (P) có độ dài bằng 2 thì pt (2) có 2 nghiệm;
=> pt (3) có đúng 1 nghiệm dương

0,25
Chứng minh được pt(3) có
2
(4 1) 16 0m∆ = − + >
với mọi m nên có 2 nghiệm
phân biệt t
1
; t
2
0,25
Để (3) có đúng 1 nghiệm dương thì t
1
t
2
< 0
0,25
 4(m-1) < 0 m < 1
Kết luận:
0 1m
≤ <
0,25