Đề thi vào 10 hải Phòng năm 2009-2010

Bài hình học đề thi tuyển sinh 10 năm học 2009-2010
Hải phòng, ngày 24 tháng 6 năm 2009
Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A. Một đường tròn(O) đi qua B và C
cắt các cạnh AB, AC của tam giác ABC lần lượt tại D và E( BC không là
đường kính của (O) ) .Đường cao AH của tam giác ABC cắt DE tại K.
1. CMR góc ADE= góc ACB
2. CM: K là trung điểm của DE
3. Trường hợp K là trung điểm của AH. Chứng minh rằng đường thẳng DE
là tiếp tiến chung ngoài của đường tròn đuờng kính BH và đường tròn
đường kính CH
A
B
D
C
E
H
K
a)
· ·
ADE ACB=
Vì tứ giác BAEC nội tiếp (O)
⇒
· ·
ADE ACB=
(cùng bù với góc BDE)
b) K là trung điểm của DE
* Ta có
·
·
DAK ACB=
(cùng phụ với góc B) mà

· ·
ADE ACB=
·
·
ADE DAK⇒ =
⇒
Tam giác ADK cân tại K
⇒
AK = DK
*Chứng minh tương tự ta có AKE cân tại K
⇒
AK = EK
Suy ra DK= EK. Vậy K là trung điểm của DE
c) Giả sử khi K là trung điểm của AH thì DE là tiếp tuyến chung ngoài của
đường tròn đường kính BH và CH.
Gọi O
1
và O
2
lần lượt là tâm đường tròn đường kính BH và CH.
Khi K là trung điểm của AH thì tứ giác ADHE là
hình chữ nhật. Ta có:
*
∆
DKH cân tại K (tính chất hình chữ nhật)
⇒
µ
¶
1 2
D A=

(1)
∆
DO
1
H cân tại O
1

⇒
¶
¶
2 1
D A=
(2)
Mà
¶
¶
0
1 2
A A 90+ =
⇒
µ
¶
0
1 2
D D 90+ =
⇒
DE là tiếp tuyến của (O
1
).
*Chứng minh tương tự ta có DE là tiếp tuyến

của (O
2
).
Vậy DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
A
B
C
H
D
E
K
O
1
O
2
1
2
1
2
3
2
1
4