Tích phân vô tỉ dạng đặc biệt ( tiếp ) ppt
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (264.44 KB, 5 trang )
Vũ Ngọc Thành
Trường THPT mường so
Kỉ niệm những tháng ngày vật vã trên đất Lai Châu . Viết tài liệu cho đỡ buồn.
MỘT TRƯỜNG HỢP RIÊNG CỦA TÍCH PHÂN NHỊ THỨC
(
((
( )
))
)
{
{{
{ }
}}
}
{
{{
{ }
}}
}
{
{{
{ }
}}
}
(
((
( )
))
)
p
n m
q
m
q
Cách Chuyển tích phân vô tỉ dạng : sang tích phân hữu tỉ
q Z
p Z
n
Nếu thấy m Z | 0
a R | 0
b R | 0
x 0
Các hướng chuyển đổi sang tích phân của hà
x ax b
Hướng 1 : Đặt trực tiếp
Bước 1 : đặt
m hữu
a
tỉ
x b t
+
++
+
∈
∈∈
∈
∈
∈∈
∈
∈
∈∈
∈
∈
∈∈
∈
∈
∈∈
∈
∈
∈∈
∈
>
>>
>
+
++
+
+
++
+
=
==
=
∫
∫∫
∫
»
»»
»
(
((
(
)
))
)
(
((
( )
))
) (
((
( )
))
)
(
((
( )
))
)
p
n m
q
n
q
m q m 1 q 1 m q 1
q 1
1
q
q q
m
m
n 1
1
q q 1
m
p
n 1 m p
q
q
Bước 2 : Lắp văn ráp :
x ax b
dx
ax b t max dx qt dt max qt dt
x
dx qt dt
Khi đó
x
m t b
t b t b
x x
a a
dx t b qt
dx
t b
a
dt
x ax b t
x a
m t b
− − −
− − −− − −
− − −
−
−−
−
+
++
+
−
−−
−
+
++
+
+
++
+
+ =
+ =+ =
+ = ⇒
⇒⇒
⇒ =
==
= ⇒
⇒⇒
⇒ =
==
=
⇒
⇒⇒
⇒ =
==
=
−
−−
−
− −
− −− −
− −
=
==
= ⇒
⇒⇒
⇒ =
==
=
+
++
+
−
−−
−
= + = =
= + = == + = =
= + = =
−
−−
−
−
−−
−
=
==
=
∫
∫∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
(
((
( )
))
)
1
q 1
m
p
q
Muốn hướng 1 thu được tích phân của hàm hữu tỉ ta chỉ cần bổ sun
qt dt
t
m t b
n 1
là số nguyên
m
Sau đây là một số ví d
g thêm đi
ụ đi đượ
ề
c theo hướng 1
u kiện :
−
−−
−
−
−−
−
+
++
+
∫
∫∫
∫
Vũ Ngọc Thành
Trường THPT mường so
Kỉ niệm những tháng ngày vật vã trên đất Lai Châu . Viết tài liệu cho đỡ buồn.
2
2
2 3
5
2
2
dx
Ví dụ 1 : Tính I
x x 4
Bài làm
n 1
Ta thấy đây là dạng toán của ta vì nó thỏa mãn cái điều mà lúc nãy ta gia
2tdt 2xdx
x
û sử 0 là số nguyên
m
Bước1 :
Bước2 Lắp ra
t 4
đặt t x 4
x 5 t 3
x 2 3 t 4
dx
I
x x
ùp
=
==
=
= −
= −= −
= −
= +
= += +
= + ⇒
⇒⇒
⇒
=
==
=
=
==
=
+
++
+
+
++
+
=
==
=
⇒
⇒⇒
⇒ =
==
=
=
==
= ⇒
⇒⇒
⇒ =
==
=
=
==
=
∫
∫∫
∫
(
((
( )
))
)
(
((
( )
))
) (
((
( )
))
)
2 3 2 3 4
2
5 5 3
2 2 2
4 4
4
3
3 3
3
3
3
xdx tdt
t 4 t
4 x x 4
dt 1 1 1 1 t 2 1 5
dt ln ln
4 t 2 t 2 4 t 2 4 3t 2 t 2
1
: Tích phân I 1 dx
x
1 n 1
I x 1dx ta đi được theo hướng
Ví dụ 2
Bài làm
Bư
1 vì
ớc 1
nhìn thấy 0 là số nguyên
x m
Khi đó
: Đa
= = =
= = == = =
= = =
−
−−
−
+ +
+ ++ +
+ +
−
−−
−
= = − = =
= = − = == = − = =
= = − = =
− + +
− + +− + +
− + +− +
− +− +
− +
= +
= += +
= +
+
++
+
= + =
= + == + =
= + =
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫
3
3
ët x 1 t
1 t
: Lắp văn ráp : IB dt
3
t 1
ước 2
+ =
+ =+ =
+ =
=
==
=
−
−−
−
∫
∫∫
∫
Vũ Ngọc Thành
Trường THPT mường so
Kỉ niệm những tháng ngày vật vã trên đất Lai Châu . Viết tài liệu cho đỡ buồn.
(
((
( )
))
)
mp
p p
n
p
n m mp n
q
q q
m m
mp
p
n
q
q
m
q
mp
n
q
Ta có thể chuyển đổi n
Hướng 2 : Biến đổi lại tích phân ban đầu sang dạng khác nhưng vẫn là tích pha
hư sau :
b b
x x a dx x x a dx
x x
b
x a d
ân nhò thức
x ax b dx
x a bx x
x
+
++
+ +
++
+
−
−−
−
= + = + =
= + = + == + = + =
= + = + =
+
++
+
= + =
= + == + =
= + =
+
++
+
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫
(
((
( )
))
)
(
((
( )
))
) (
((
( )
))
)
p
m
q
q
m
q q q 1
m m m 1
q 1 q 1
q 1
1
q q
m 1
q
m
q
Bây giờ Ta thử :
b b mb
a t dx t a dx qt dt
x x x
dx q t q t
1 qt dt
dt x dx dt
dx
dx đây vẫ
x m m
t a t a
mb
x
1 t a
b
x
b
n là tích phân nhò thức
b
Bước1 : đặt a t
x
Khi đó :
x
t a
−
−−
−
+
++
+
− −
− −− −
− −
−
−−
−
−
−−
−
+
++
+
−
−−
−
⇒
⇒⇒
⇒ + =
+ =+ =
+ = ⇒
⇒⇒
⇒ = −
= −= −
= − ⇒
⇒⇒
⇒ =
==
=
=
==
= ⇒
⇒⇒
⇒ =
==
=
=
==
=
− −
− −− −
− −
− −
− −− −
− −
−
−−
−
⇒ ⇒
⇒ ⇒⇒ ⇒
⇒ ⇒
−
−−
−
=
==
=
=
==
=
+ =
+ =+ =
+ =
−
−−
−
∫
∫∫
∫
(
((
( )
))
)
(
((
( )
))
)
1
m
mpp p
n mp n
q
q q
m m
mp
p
n 1
1
p
n m
q
n 1 p
q 1
m q
p
q
q
q
q
m
b b
Khi đó x x a dx x x a dx
x x
b
x x a
Bước2 : Lắp văn ráp :
x ax b dx
b q t
t dt
m
t a
dx
t a
Muốn tích phân này trở thành tích phâ
x
n cu
+
++
+
+
++
+
+
++
+
−
−−
−
−
−−
−
+
++
+
+
++
+
−
−−
−
= + = + =
= + = + == + = + =
= + = + =
−
−−
−
= +
= += +
= +
=
==
=
−
−−
−
∫
∫∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫
ûa hàm hữu tỉ
n 1 p
Khi đó ta sẽ bổ sung thêm giả thiết là là số nguyên
m q
Sau đây là một số ví dụ mà ta đi được theo hướng 2
+
++
+
+
++
+
Vũ Ngọc Thành
Trường THPT mường so
Kỉ niệm những tháng ngày vật vã trên đất Lai Châu . Viết tài liệu cho đỡ buồn.
3 3
m 3
3 3 2
3 3 4
2
2 2
4 3 3
2
3 3
3
1
2
3
1
Bài làm
Phương pháp đổi biến để chuyển sang tích phân hữu tỉ
b 1
Bằng cách đặt t a 1
x x
khi đó :
1 1 3
1 t t 1 dx 3t dt
x x x
dx 1 dx dx t
t dt t dt dt
x x
x
Ví dụ 1 : Tính I x x 1dx
x t 1
và x x 1dx
= + = +
= + = += + = +
= + = +
−
−−
−
+ =
+ =+ =
+ = ⇒
⇒⇒
⇒ = −
= −= −
= − ⇒
⇒⇒
⇒ =
==
=
⇒
⇒⇒
⇒ = −
= −= −
= − ⇒
⇒⇒
⇒ = −
= −= −
= − ⇒
⇒⇒
⇒ = −
= −= −
= −
−
−−
−
+
++
+
= +
= += +
= +
=
==
=
∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫
(
((
( )
))
)
3
3
2 2 2
3 2 3
3 3
3
3 3 3
1 1 1
9
2
2 3
2
3 3 2
3
1
2
1 1 1 dx
x x 1 dx x 1 dx x 1
x
x x x
1 t t
t dt dt ? Đây là tích phân của hàm hữu tỉ
t 1 t 1
t 1
+ = + = +
+ = + = ++ = + = +
+ = + = +
= − = − =
= − = − == − = − =
= − = − =
− −
− −− −
− −
−
−−
−
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
(
((
( )
))
)
2 2
2 2
3
2
2
2 3 3
3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
3
3 3
2
3 3
dx
Tìm I
x x 1
1
1 t
x
1 2 dx
t 1 dx 2tdt tdt
x x x
3
x 2 2 t
2
Ví dụ 2 :
Bài làm
Bước1 : Đặt
Bước 2 Lắ
2
2
x 3 t
3
dx dx tdt 2 3
I dt
t
1 3 2 2
x x 1
x 1
p rá
x
p
=
==
=
+
++
+
+ =
+ =+ =
+ =
−
−−
−
= −
= −= −
= − ⇒
⇒⇒
⇒ =
==
= ⇒
⇒⇒
⇒ = −
= −= −
= −
⇒
⇒⇒
⇒ =
==
= ⇒
⇒⇒
⇒ =
==
=
=
==
= ⇒
⇒⇒
⇒ =
==
=
−
−−
−
= = = = − = −
= = = = − = −= = = = − = −
= = = = − = −
+
++
+
+
++
+
∫
∫∫
∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
Vũ Ngọc Thành
Trường THPT mường so
Kỉ niệm những tháng ngày vật vã trên đất Lai Châu . Viết tài liệu cho đỡ buồn.
Ví dụ 3:
33
3
6
3
2
2 3 2
2
2
3
2 3
33
3
2
sin x sinx
Tính I .cot x.dx
sinx
1
1 t
sin x
1
cot x t 2cot x dx 3t dt
sin x
1 3 t
1 t cot xdx dt
sin x 2 1 t
sin x sinx 1
1 t
sinx si
Trả lời bài :
Bài làm
Bước 1 : Đặt
Bước 2 : Đ
n x
Với xổi t
6
cận :
π
ππ
π
π
ππ
π
π
ππ
π
−
−−
−
=
==
=
− =
− =− =
− =
− =
− =− =
− = ⇒
⇒⇒
⇒ =
==
=
⇒
⇒⇒
⇒ = −
= −= −
= − ⇒
⇒⇒
⇒ =
==
=
−
−−
−
−
−−
−
= − =
= − == − =
= − =
=
==
= ⇒
⇒⇒
⇒ = −
= −= −
= −
∫
∫∫
∫
3
3
1
3
3
3
3
1
3Với x t
3
3
3 t
Vậy I dt ?
2 1 t
Đến đây bạ
Bước 3
n tự la
: Lắp văn r
øm lấy nhé . Mình ngại l é
á
am
p :
π
ππ
π
−
−−
−
−
−−
−
=
==
= ⇒
⇒⇒
⇒ = −
= −= −
= −
= =
= == =
= =
−
−−
−
∫
∫∫
∫
